Đang tải... (xem toàn văn)
dạng tài liệu góc và cung lượng giác có đầy đủ lí thuyết và các dạng câu hỏi bài tập vận dụng. Chúc các bạn học tốt.
Siêu khuyến mại áp dụng năm lần - Chỉ với 500.000đ bạn có KHỐI 10: +Bộ Word Nguyễn Phú Khánh- Huỳnh Đức Khánh +Bộ Word ThS Đặng Việt Đông + Hệ Thống BT Trắc nghiệm +Bài Tập Tự Luận Lê Hồng Đức +Bộ Word Oxy Đồn Trí Dũng +Bộ Word Luyện Thi HSG +120 Đề Thi HSG Giải Chi Tiết KHỐI 11: +Bộ Word Công Phá Toán Ngọc Huyền LB +Bộ Word ThS Đặng Việt Đông +Bộ Word Nguyễn Phú Khánh- Huỳnh Đức Khánh +Hệ Thống BT Trắc Nghiệm +Bộ Word Bồi Dưỡng HSG Lê Hồnh Phò KHỐI 12: +Bộ Word Tốn Học Bắc-Trung-Nam +Bộ Word ThS Đặng Việt Đông +Bộ Word Nguyễn Phú Khánh-Huỳnh Đức Khánh +Hệ Thống BT Trắc nghiệm +Bộ Word Tích Phân Lưu Huy Thưởng +Bộ Word Bồi Dưỡng HSG Lê Hồnh Phò +177 Đề Thi Thử Giải Chi Tiết THPTQG 2018 LIÊN HỆ BÀI CUNG VÀ GÓC LƯNG GIÁC 123 I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC Đường tròn định hướng cung lượng giác + Đường tròn định hướng đường tròn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại A chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ làm chiều dương Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A B Một điểm M di động đường tròn ln theo chiều (âm dương) từ A đến B tạo nên cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B Với hai điểm A, B cho đường tròn định hướng ta có vơ số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Mỗi cung kí hiệu � AB Góc lượng giác Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác D � CD Một điểm M chuyển động đường tròn từ C tới D � tạo nên cung lượng giác CD nói Khi tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD Ta nói tia OM tạo góc lượng giác, có tia đầu OC, tia cuối OD M O C Kí hiệu góc lượng giác ( OC, OD) Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = Đường tròn cắt hai trục tọa độ bốn điểm + O A ( 1;0) , A '( - 1;0) , B ( 0;1) , B '( 0;- 1) Ta lấy A ( 1;0) làm điểm gốc đường tròn Đường tròn xác định gọi đường tròn lượng giác (gốc A ) II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Độ radian a) Đơn vị radian Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bán kính gọi cung có số đo rad b) Quan hệ độ radian � � p 180� = rad 1rad = � � � � � 180 �p � c) Độ dài cung tròn 124 Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo p rad có độ dài pR Vậy cung có số đo a rad đường tròn bán kính R có độ dài l = Ra Số đo cung lượng giác � Số đo cung lượng giác AM ( A �M ) số thực âm hay dương � � Kí hiệu số đo cung AM sđ AM Ghi nhớ Số đo cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối sai khác bội 2p Ta viết � sđ AM = a + k2p, k �� a số đo cung lượng giác tùy ý có điểm đầu A , điểm cuối M Số đo góc lượng giác Số đo góc lượng giác ( OA, OC ) số đo cung lượng giác AC tương ứng Chú ý Vì cung lượng giác ứng với góc lượng giác ngược lại, đồng thời số đo cung góc lượng giác tương ứng trùng nhau, nên từ sau ta nói cung điều cho góc ngược lại � Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc A ( 1;0) làm điểm đầu tất cung lượng giác đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác có số đo a đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M cung Điểm cuối M � xác định hệ thức sđ AM = a CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề LÝ THUYẾT Câu Khẳng định sau nói '' đường tròn định hướng '' ? A Mỗi đường tròn đường tròn định hướng B Mỗi đường tròn chọn điểm gốc đường tròn định hướng C Mỗi đường tròn chọn chiều chuyển động điểm gốc đường tròn định hướng D Mỗi đường tròn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương chiều ngược lại gọi chiều âm đường tròn định hướng Câu Quy ước chọn chiều dương đường tròn định hướng là: 125 A B C Ln chiều quay kim đồng hồ Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ Có thể chiều quay kim đồng hồ mà ngược chiều quay kim đồng hồ D Không chiều quay kim đồng hồ không ngược chiều quay kim đồng hồ � Câu Trên đường tròn định hướng, cung lượng giác AB xác định: A Một góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB B Hai góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB C Bốn góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB D Vơ số góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB Câu Khẳng định sau nói '' góc lượng giác '' ? A Trên đường tròn tâm O bán kính R = , góc hình học AOB góc lượng giác B Trên đường tròn tâm O bán kính R = , góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A điểm cuối B góc lượng giác C Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB góc lượng giác D Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A điểm cuối B góc lượng giác Câu Khẳng định sau nói '' đường tròn lượng giác '' ? A Mỗi đường tròn đường tròn lượng giác B Mỗi đường tròn có bán kính R = đường tròn lượng giác C Mỗi đường tròn có bán kính R = , tâm trùng với gốc tọa độ đường tròn lượng giác D Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = , tâm trùng với gốc tọa độ đường tròn lượng giác Vấn đề ĐỔI TỪ ĐỘ SANG RADIAN VÀ NGƯỢC LẠI Câu Trên đường tròn cung có số đo rad là? A Cung có độ dài B Cung tương ứng với góc tâm 600 C Cung có độ dài đường kính D Cung có độ dài nửa đường kính Câu Khẳng định sau đúng? A p rad = 10 B p rad = 600 C p rad = 1800 � 180� � D p rad = � � � � � �p � Câu Khẳng định sau đúng? A rad = 10 B rad = 600 C rad = 1800 � 180� � D rad = � � � � � �p � Câu Nếu cung tròn có số đo a0 số đo radian là: 126 A 180pa B 180p a C ap 180 D p 180a Câu 10 Nếu cung tròn có số đo 3a0 số đo radian là: A ap 60 B ap 180 C 180 ap C 7p 18 C 3p 60 ap D Câu 11 Đổi số đo góc 700 sang đơn vị radian A 70 p B 18 D 18p Câu 12 Đổi số đo góc 1080 sang đơn vị radian A 3p B p 10 D p Câu 13 Đổi số đo góc 45032' sang đơn vị radian với độ xác đến hàng phần nghìn A 0,7947 B 0,7948 C 0,795 D 0,794 Câu 14 Đổi số đo góc 40025' sang đơn vị radian với độ xác đến hàng phần trăm A 0,705 B 0,70 C 0,7054 D 0,71 Câu 15 Đổi số đo góc - 125045�sang đơn vị radian A - 503p 720 B 503p 720 Câu 16 Đổi số đo góc A 150 C 251p 360 D - 251p 360 p rad sang đơn vị độ, phút, giây 12 B 100 C 60 Câu 17 Đổi số đo góc - D 50 3p rad sang đơn vị độ, phút, giây 16 A 33045' B - 29030' C - 33045' D - 32055 Câu 18 Đổi số đo góc - rad sang đơn vị độ, phút, giây A - 286044'28'' B - 286028'44'' C - 2860 D 286028'44'' rad sang đơn vị độ, phút, giây � � A 42097� B 42058� C 42097� D 42058� 18� 18� Câu 20 Đổi số đo góc - rad sang đơn vị độ, phút, giây Câu 19 Đổi số đo góc � A - 114059� 15� B - 114035� � C - 114035� 29� D - 114059� Vấn đề ĐỘ DÀI CUNG TRÒN Câu 21 Mệnh đề sau đúng? A Số đo cung tròn tỉ lệ với độ dài cung B Độ dài cung tròn tỉ lệ với bán kính C Số đo cung tròn tỉ lệ với bán kính 127 D Độ dài cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo cung Câu 22 Tính độ dài l cung đường tròn có bán kính 20cm số p đo 16 A l = 3,93cm B l = 2,94cm C l = 3,39cm D l = 1,49cm Câu 23 Tính độ dài cung đường tròn có số đo 1,5 bán kính 20 cm A 30cm B 40cm A 6,01cm B 6,11cm C 20cm D 60cm Câu 24 Một đường tròn có đường kính 20cm Tính độ dài cung đường tròn có số đo 350 (lấy chữ số thập phân) C 6,21cm Câu 25 Tính số đo cung có độ dài cung D 6,31cm 40 cm đường tròn có bán kính 20 cm A 1,5rad B 0,67rad C 800 D 880 Câu 26 Một cung tròn có độ dài lần bán kính Số đo radian cung tròn A B C D Câu 27 Trên đường tròn bán kính R , cung tròn có độ dài độ dài nửa đường tròn có số đo (tính radian) là: A p / B p / C p / D p / Câu 28 Một cung có độ dài 10cm , có số đo radian 2,5thì đường tròn cung có bán kính là: A 2,5cm B 3,5cm C 4cm D 4,5cm Câu 29 Bánh xe đạp người xe đạp quay vòng giây Hỏi giây, bánh xe quay góc độ 5 p p p p A B C D Câu 30 Một bánh xe có 72 Số đo góc mà bánh xe quay di chuyển 10 là: A 300 B 400 C 500 D 600 Vấn đề GÓC LƯỢNG GIÁC 0 Câu 31 Cho góc lượng giác ( Ox,Oy) = 22 30'+ k360 Với giá trị k góc ( Ox,Oy) = 1822 30' ? A k �� B k = C k = � D k = p Câu 32 Cho góc lượng giác a = + k2p Tìm k để 10p < a < 11p 128 A k = B k = C k = D k = Câu 33 Một đồng hồ, có kim OG số kim phút OP số 12 Số đo góc lượng giác ( OG,OP ) p A + k2p, k �� 0 B - 270 + k360 , k �� 9p + k2p, k �� D 10 Câu 34 Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc A Điểm M thuộc đường tròn cho cung lượng giác AM có số đo 450 Gọi N điểm đối xứng với M qua trục Ox , số đo cung lượng giác AN C 2700 + k3600 , k �� A - 45 B 315 C 450 3150 - 450 + k3600, k �Z D Câu 35 Trên đường tròn với điểm gốc A Điểm M thuộc đường tròn cho cung lượng giác AM có số đo 600 Gọi N điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là: o A 120 B - 240 0 0 C - 120 240 D 120 + k360 , k �Z Câu 36 Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A Điểm M thuộc đường tròn cho cung lượng giác AM có số đo 750 Gọi N điểm đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O , số đo cung lượng giác AN bằng: A 255 B - 105 0 C - 105 255 0 D - 105 + k360 , k �Z Câu 37 Cho bốn cung (trên đường tròn định hướng): a = - 5p p , b= , 25p 19p , d= Các cung có điểm cuối trùng nhau: A a b ; g d B b g ; a d C a, b, g D b, g, d Câu 38 Các cặp góc lượng giác sau đường tròn đơn vị, tia đầu tia cuối Hãy nêu kết SAI kết sau đây: p 35p p 152p A B 3 10 p 155p p 281p C D 3 7 Câu 39 Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác có điểm biểu diễn tạo thành tam giác ? k2p kp kp A B kp C D 3 Câu 40 Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác có điểm biểu diễn tạo thành hình vng g= 129 A kp BAØI B kp k2p C D kp GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG a Định nghĩa � � � Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM = a (còn viết AM = a ) �Tung độ y = OK điểm M gọi sin a kí hiệu sin a sin a = OK �Hoành độ x = OH điểm M gọi cơsin a kí hiệu cosa cosa = OH M sin a gọi tang a kí cosa hiệu tana (người ta dùng kí hiệu tga ) A' sin a H tan a = cosa � Nếu cosa �0, tỉ số y B K A x O cosa B' (người ta gọi cơtang a kí hiệu cota sin a cosa dùng kí hiệu cotga ) cot a = sin a Các giá trị sin a, cosa, tan a, cot a gọi giá trị lượng giác cung a Ta gọi trục tung trục sin, trục hồnh trục côsin �Nếu sin a �0, tỉ số Hệ 1) sina cosa xác định với a �� Hơn nữa, ta có sin( a + k2p) = sin a, " k ��; cos( a + k2p) = cosa, " k �� 2) Vì - 1�OK �1; - 1�OH �1 nên ta có - 1�sin a �1 - 1�cosa �1 3) Với m�� mà - 1�m�1 tồn a b cho sin a = m cosb = m p 4) tana xác định với a � + kp ( k ��) 130 5) cota xác định với a �kp ( k ��) 6) Dấu giá trị lượng giác góc a phụ thuộc vào vị trí điểm cuối � cung AM = a đường tròn lượng giác Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư Giá trị lượng giác cosa I II III IV + - - + sina + + - - tana + - + - cota + - + - Giá trị lượng giác cung đặc biệt a p p p p sina 2 cosa 2 2 tana cota Không xác định 3 Không xác định 1 II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG Ý nghĩa hình học tana Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc A Gọi T giao điểm OM với trục t ' At uuur tana biểu diễn độ dài đại số vectơ AT trục t 'At Trục t 'At gọi trục tang y t M A x O T t' Ý nghĩa hình học cota 131 Từ B vẽ tiếp tuyến s'Bs với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc B Gọi S giao điểm OM với trục s'Bs uur cota biểu diển độ dài đại số vectơ BS trục s'Bs Trục s'Bs gọi trục côtang y s' S s B M x O III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau sin2 a + cos2 a = 1 p 1+ tan2 a = , a � + kp, k �� cos a 1+ cot2 a = , a �kp, k �� sin2 a kp tan a.cot a = 1, a � , k �� 2 Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt 1) Cung đối nhau: a - a cos( - a ) = cosa sin( - a ) = - sin a tan( - a ) = - tan a cot( - a ) = - cot a 2) Cung bù nhau: a p - a sin( p - a ) = sin a cos( p - a ) = - cosa tan( p - a ) = - tan a cot( p - a ) =- cot a 3) Cung p : a ( a + p) 132 o o o o Ta có M = ( cos 15 - sin 15 ) +( cos 15 - sin 15 ) = ( cos2 15o - sin2 15o )( cos2 15o + sin2 15o ) +( cos2 15o - sin2 15o ) = ( cos2 15o - sin2 15o ) +( cos2 15o - sin2 15o ) = cos30o + cos30o = Chọn A Câu Ta có cos6 a - sin6 a = ( cos2 a - sin2 a )( cos4 a + cos2 a.sin2 a + sin4 a ) = cos2a � ( cos2 a + sin2 a ) - cos2 a.sin2 a � � � � � � � � = cos2a.� 1- sin 2a � � � � � � � o� 3� 1� 15 Vậy M = cos30o.� 1- sin 30 � = � 1- � � � � � � �= 32 Chọn D � � � � � 4� Câu Ta có cos �p p � � p� � p p p p cos + sin sin = cos� = cos� - � = Chọn A � � - � � � � � � � � 6� 30 30 30 5� � sin a.cosb- cosa.sin b = sin( a- b) � Câu Áp dụng công thức � � cosa.cosb- sin a.sin b = cos( a + b) � � 5p p p 5p 5p p � p = sin = � Khi sin cos - sin cos = sin� � - � � � � 18 9 18 18 9� � p p p p p p� p 1 + � = cos = Vậy P = : = Chọn A � Và cos cos - sin sin = cos� � � � � � 12 12 12 2 Câu Ta có = tan( 1800 + 450 ) - tan90.cot690 tan2250 - cot810.cot690 = cot2610 + tan2010 cot( 1800 + 810 ) + tan( 1800 + 210 ) 1- tan90.tan210 1 = = = Chọn C 0 0 tan9 + tan21 tan( + 21 ) tan30 7p 5p 11p p = cos sin = cos 24 24 24 24 �� � p 5p 5p p 1� p p� 5p 5p � 2.sin cos � � 2.sin cos � Do M = sin sin cos cos = � � � � � � � 24 24 24 24 � 24 24�� 24 24� p 5p 1� 6p p� � 1� = sin sin = � cos + cos � = � 0+ � = Chọn D � � � � � � � � 12 12 � 12 3� � 2� 16 Câu Ta có sin Câu Áp dụng cơng thức sin2a = 2.sin a.cosa, ta có A = sin p p p p p p p p p cos cos cos cos = sin cos cos cos 48 48 24 12 24 24 12 p p p p p p = sin cos cos = sin cos = sin = Chọn D 12 12 6 16 32 Câu Vì sin100 �0 nên suy 172 16sin100 cos100 cos200 cos400 cos800 = 8sin200 cos200 cos400 cos800 M = 16sin100 16sin100 4sin400 cos400 cos800 = 2sin800 cos800 = sin1600 �M = 16sin100 16sin100 16sin100 sin200 = 2sin100 cos100 = �M = cos100 Chọn D 16sin100 16sin100 a+ b a- b Câu 10 Áp dụng công thức sin a- sin b = 2.cos sin 2 p 2p p 4p p 6p p Ta có 2sin M = 2.cos sin + 2.cos sin + 2.cos sin 7 7 7 = sin 3p p 5p 3p 7p 5p p p - sin + sin - sin + sin - sin = - sin + sin p = - sin 7 7 7 7 Chọn B Câu 11 Chọn B Ta có cos( a + b) = cosacosb- sin asin b Vậy giá trị biểu thức M = - Câu 12 Áp dụng công thức sin2a = 2sin a.cosa ta sin( 2018a) = 2sin( 1009a) cos( 1009a) Chọn D Câu 13 Áp dụng công thức cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1= 1- 2sin2 a , ta cos6a = cos2 3a- sin2 3a = 2cos2 3a- 1= 1- 2sin2 3a Chọn C Câu 14 Chọn D Ta có cos3x = 4cos3 x - 3cos x Câu 15 Chọn B � � � p� � � � � p � p p � �- � � x+ � = 2cos x = 2sin� - x� � � Câu 16 Ta có cos x - sin x = 2cos� � � � � � � 4� � � � � � � � � � � 4 � � Chọn B Câu 17 Chọn B Câu 18 Chọn A p p Câu 19 Ta có cos( a + b) = � a+ b = + kp �� � a =- b+ + kp 2 � � p �= cos( b+ kp) = cosb Chọn D �� � sin( a + 2b) = sin� - b+ 2b+ + kp� � � � � � � a = - b+ kp Câu 20 Ta có sin( a+ b) = � a+ b = kp �� �� � cos( a+ 2b) = cos( - b+ 2b+ kp) = cos( b+ kp) = cosb Chọn D Câu 21 Áp dụng công thức sin( a+ b) = sin acosb+ sin bcosa , ta M = sin( x - y) cos y + cos( x - y) sin y = sin � = sin x Chọn A ( x - y) + y� � � Câu 22 Áp dụng công thức cos x cos y- sin x sin y = cos( x + y) , ta M = cos( a+ b) cos( a- b) - sin( a+ b) sin( a- b) = cos( a+ b+ a- b) = cos2a = 1- 2sin2 a Chọn B 173 Câu 23 Áp dụng công thức cos x cos y + sin x sin y = cos( x - y) , ta M = cos( a+ b) cos( a- b) + sin( a + b) sin( a- b) = cos( a + b- (a- b)) = cos2b = 1- 2sin2 b Chọn A Câu 24 Áp dụng công thức cosa.cosb- sin a.sin b = cos( a + b) , ta sin2x.sin3x = cos2x.cos3x � cos2x.cos3x - sin2x.sin3x = p p p + kp � x = + k Chọn A 10 Câu 25 Xét đáp án: � cos5x = � 5x = Đáp án A Ta có cot a + cot b = cosa cosb cosa.sin b+ sin a.cosb sin( a + b) + = = sin a sin b sin a.sin b sin a.sin b Đáp án B Ta có cos2a = 2cos2 a- � cos2 a = ( 1+ cos2a) Chọn B Câu 26 Chọn B a+ b a- b Câu 27 Áp dụng công thức cosa- cosb = - 2sin sin , ta 2 � p p� p p� � � � � � x + + x- � x+ - x+ � � � � p� � � p� � � � 4� 4� � � � � � � � M = cos� x + cos x = sin sin � � � � � � � � � � � � � � � � 4� � � 4� 2 p = - sin x Chọn B � � � � cos A = sin A = � � � � 5 � � �� Câu 28 Ta có � Mà A + B +C = 180�, � � 12 � � cos B = sin B = � � � 13 � 13 � � = - 2sin x.sin cosC = cos � 180� - ( A + B) � = - cos( A + B) � � � 12� 16 � = - ( cos A.cos B - sin A.sin B) = - � - � = � � � � 13 13� 65 Chọn C 1 + tan A + tan B =7 tan A + B = = ( ) Câu 29 Ta có 1- tan A.tan B 1- 1 + tan( A + B) + tanC p �� � tan( A + B +C ) = = = 1�� � A + B +C = Chọn C 1- tan( A + B) tanC 1- 174 �A + B p C � A +B C � � = sin = cos � � � � 2 2 �� �� Câu 30 Do � � � � � C p A + B C A + B � � = sin = cos � � � � 2 �2 � Áp dụng, ta A +B A- B C C P = ( sin A + sin B) + sinC = 2sin cos + 2sin cos 2 2 C A- B A+B C = 2cos cos + 2cos cos 2 2 � C � A- B A + B� C A B = 2cos � cos + cos = 4cos cos cos Chọn A � � � � 2� 2 � 2 � sin( A + B) = sinC Câu 31 Do A + B = p - C �� Áp dụng, ta P = ( sin2A + sin2B) + sin2C = 2sin( A + B) cos( A - B) + 2sinC.cosC = 2sinC.cos( A - B) + 2sinC.cosC = 2sinC � cos( A - B) + cosC � � � A - B +C A- B- C cos 2 A + B + C B ( ) ( - A - B - C ) + 2A = 4sinC.cos cos 2 � � �p � p = 4sinC.cos� - B� cos� - + A� � � � � � �= 4sinC.sin B.sin A = 4sin A.sin B.sinC Chọn B � � � � � � 2 = 4sinC.cos Câu 32 Ta có P = tan A + tan B + tanC = ( tan A + tan B) + tanC = sin( A + B) + sinC cosC cos A.cosB � sin( A + B) = sinC �� Mà A + B = p - C �� Khi đó, ta � � - cos( A + B) = cosC � � - cos( A + B) + cos A.cosB � � sinC sinC cosC + cos A.cos B � � � � P= + = sinC � = sinC.� � � � � � � � � � cos A.cosB.cosC �cos A.cos B.cosC � cos A.cosB cosC � � = sinC - cos A.cosB + sin A.sin B + cos A.cos B sin A.sin B.sinC = = tan A.tan B.tanC cos A.cosB.cosC cos A.cosB.cosC Chọn D C +B p A = 2 C B tan + tan � � � � C + B p A 2 = cot A = �= tan� � �� � tan� - � � ��� � � � � � �2 � C B � � � tan A 1- tan tan 2 � A� C B C B �� � tan � tan + tan � + tan tan = � � � � 2� 2� 2 Câu 33 Do A + B +C = p �� � 175 A B B C C A tan + tan tan + tan tan = Chọn A 2 2 2 sin B = 2cos A �� � sin B = 2sinC.cos A = sin( C + A) + sin( C - A) Câu 34 Ta có sinC �� � tan A + B +C = p �� � B = p - ( A +C ) �� � sin B = sin( A +C ) Do đó, ta Mặt khác sin( C - A) = �� � A = C Chọn A tan A sin2 A sin A cosC sin2 A = �� � = �� � sin2C = sin2A tanC sin C cos A sinC sin2 C �C = A �2C = 2A � �� �� �� �� p Chọn D � � 2C = p - 2A A +C = � � � Câu 35 Ta có Câu 36 Ta có P = sin2( a + p) = sin( 2a + 2p) = sin2a = 2sin a cosa Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = , suy cosa = � 1- sin2 a = � Do p < a < p nên ta chọn cosa = - Thay sin a = � 24 � 3� - � =và cosa = vào P , ta P = .� Chọn A � � � � 5� 25 5 Câu 37 Ta có P = 2sin a cosa + 2cos2 a 2cosa ( sin a + cosa ) = = 2cosa sin a + cosa sin a + cosa Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = , suy cosa = � 1- sin2 a = � Do < a < p 5 nên ta chọn cosa = �� �P = Chọn D 3 Câu 38 Ta có - = sin( p - a ) = sin a Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = , suy cosa = � 1- sin2 a = � Do p < a < 3p nên ta chọn cosa = - � p� 3� 3� 1� 4� - 4- 3 � Suy P = sin� a+ � = sin a + cosa = - � + � - � Chọn C � � � � � � � � �= � 6� � � � � � � 2 5� 10 Câu 39 Áp dụng công thức sin a.sin b = � , ta cos( a- b) - cos( a + b) � � 2� � p� � p� � 1� p P = sin� a+ � sin� a- � = � cos - cos2a � � � � � � � � � � � � � � � � 6� � � 176 �� 3� Ta có cos2a = 1- 2sin2 a = 1- 2.� �= � � �� 5� 25 1� 7� 11 � = Chọn A � Thay vào P , ta P = � � � � � � 2 25 100 �� 4� Câu 40 Ta có cos2a = 1- 2sin2 a = 1- 2.� = � � � � �� 25 Suy P = cos4a = 2cos2 2a - 1= Câu 41 Vì 49 527 - 1= Chọn B 625 625 sin a > � 3p < a < p suy � nên sin a - cosa > � � cosa < � Ta có ( sin a - cosa ) = 1- sin2a = 1+ = Suy sin a - cosa = � 5 Do sin a - cosa > nên sin a - cosa = Vậy P = Chọn A Câu 42 Áp dụng a4 + b4 = ( a2 + b2 ) - 2a2b2 Ta có P = sin4 a + cos4 a = ( sin2 a + cos2 a ) - 2sin2 a.cos2 a = 1- sin 2a = Chọn C Câu 43 Ta có P = tan2a = sin2a 2sin a.cosa = cos2a 2cos2 a - 12 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = , suy sin a = � 1- cos2 a = � 13 Do 12 3p < a < 2p nên ta chọn sin a = 13 12 120 cosa = vào P , ta P = Chọn C 13 13 119 � � � � 1- cos2a � 1+ cos2a � � � � 1+ 1- =� - cos2a � ( - 1- 2cos2a ) � � � Câu 44 Ta có P = � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 Thay sin a = - Thay cos2a = - � � � 4� � - 1+ � � � vào P , ta P = � � +1� � � �= Chọn D � � � � � 3� � � p p p Câu 45 Ta có P = cos� - a� = cos cosa + sin sin a = cosa + sin a � � � � � � 3 2 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = , suy sin a = � 1- cos2 a = � Do 3p < a < 2p nên ta chọn sin a = 177 Thay sin a = - 3� 7� 3- 21 � � � � = cosa = vào P , ta P = + � � � � � 4� Chọn B � p� � tan a - a - �= Câu 46 Ta có P = tan� � � 4� � � 1+ tan a Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = , suy sin a = � 1- cos2 a = � Do p < a < sin a 3p = nên ta chọn sin a = - Suy tan a = cosa Thay tan a = vào P , ta P = - Chọn A � p� Câu 47 Ta có P = cos� 2a - � = ( cos2a + sin2a ) � � � � � 4� Từ hệ thức sin2 2a + cos2 2a = 1, suy sin2a = � 1- cos2 2a = � Do p p p < a < � < 2a < p nên ta chọn sin2a = 2 Thay sin2a = cos2a = vào P , ta P = Chọn B 5 10 a 3a 1 Câu 48 Ta có P = sin cos = ( sin2a - sin a ) = sin a ( 2cosa - 1) 2 2 Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = , suy sin a = � 1- cos2 a = � Do p < a < 3p nên ta chọn sin a = - Thay sin a =- 39 cosa = vào P , ta P = Chọn D 5 50 p tan a + tan � p� = tan a +1 a+ � �= Câu 49 Ta có P = tan� � � � p 1- tan a � 4� 1- tan a.tan � � � � � � p p p - a� = � cot� 2p + - a � = � cot� - a� = � tan a = � � � Từ giả thiết cot� � � � � � � � � � �2 � � � � � 2 Thay tan a = vào P , ta P = - Chọn C Câu 50 Ta có cot a = 15 � 178 cosa = 15 � cosa = 15sin a sin a Suy P = sin2a = 2sin a.cosa = 30sin2 a = 30 30 30 15 = = = 1+ cot2 a 1+152 113 sin2 a Chọn C a a a a sin cos sin2 + cos2 a a 2+ 2= 2= Câu 51 Ta có P = tan + cot = a a 2 cos a sin a sin a sin cos 2 2 1 �� � sin a = � Từ hệ thức 1+ cot a = sin2 a 19 p �� � P = 19 Chọn A < a < p �� � sin a > nên ta chọn sin a = 19 � � a � 3p 3p � ;2p� � �� ;p� Câu 52 Ta có P = 1+ sin a Với a �� � � � � � �4 � � �2 � Do � a � �sin < � � a a 2 � Khi � , suy P = sin + cos < � 2 a � � - 1�cos � p < a < p suy � � � cosa < � � sin a + 2cosa = - � ( - 1- 2cosa ) + cos2 a = Ta có � � 2 � sin a + cos a = � Câu 55 Với � cosa = ( loaïi) � � 5cos2 a + 4cosa = � � � cosa = � � Từ hệ thức sin2 a + cos2 a = , suy sin a = (do sin a > ) � 24 � 4� - � =Vậy P = sin2a = 2sin a.cosa = .� Chọn C � � 5� � 25 5� � p � 12 �5 � � 144 � ;p� �� cosa = Câu 56 Ta có cos a = 1- sin a = 1- � � = mà a �� � � � � � � � 13 � � 13 169 2 � p� � �� 3� 16 0; � � sin b = Tương tự, ta có sin2 b = 1- cos2 b = 1- � = mà b �� � � � � � � � � � �� 25 Khi sin( a+ b) = sin a.cosb+ sin b.cosa = Câu 57 Ta có sin a = 12 33 = Chọn C 13 13 65 p 25 12 với < a < p suy cosa = - 1= 13 169 13 Tương tự, có cosb = p với < b < suy sin b = 1= 25 12 16 + = Chọn B 13 13 65 Câu 58 Ta P = cos( a + b) cos( a- b) = ( cosa.cosb+ sin a.sin b) ( cosa.cosb- sin a.sin b) Vậy cos( a - b) = cosa.cosb + sin a.sin b = - = ( cosa.cosb) - ( sin a.sin b) = cos2 a.cos2 b- ( 1- cos2 a) ( 1- cos2 b) 1 = 16 � 1� � 1� 119 � � 1- � � 1� � � � � �= - 144 Chọn D � 9� � � � 16� � �� � 1� 2 � cosa = 1- sin2 a = 1- � = � � � � � �� 3� � p� � � � 0; � Câu 59 Vì a, b �� �nên suy � � � � 2� � �� � � cosb = 1- sin b = 1- � � �= � � � �� 2� � � 180 có Khi cos( a + b) = cosa.cosb- sin a.sin b = 2 1 - 1+ - = 3 � - 1+ � 7- � � � Vậy cos2( a + b) = 2cos2 ( a + b) - 1= 2.� - 1= Chọn D � � � � 18 � � + tan a + tan b p =1 tan a + b = = ( ) Câu 60 Ta có suy a + b = Chọn B 1- tan a.tan b 1- - cot x.cot y- = = - Câu 61 Ta có cot( x + y) = cot x + cot y + Mặt khác < x, y < p 3p suy < x + y < p Do x + y = Chọn B Câu 62 Ta có tan( a + b) sin g = cosg � sin( a + b) sin g = cos( a + b) cosg � cos( a + b) cosg - sin( a + b) sin g = � cos( a + b + g) = Vậy tổng ba góc a + b + g = p (vì a, b, g ba góc nhọn) Chọn C 2 �� 1� 1- � � � � �� 1- tan a 2� cos2 a = = = suy sin2a = 1- cos2 2a = Câu 63 Ta có 1+ tan2 a 5 �� 1� 1+� � � � � �� 2 Lại có 1+ tan b = � cosb =cos2 b 1+ tan b =- 10 900 < b < 1800 � 1� �� � � - � � �= Mặt khác sin b = tan b.cosb = � � � � � 3� � � �� � 10 � 10 Khi 3� � � � + =đó cos( 2a- b) = cos2a.cosb+ sin2a.sin b = � � � � � � 10 � 10 10 Chọn A 1 24 � 1- sin2a = � sin2a = Câu 64 Ta có sin a- cosa = � ( sin a- cosa) = 25 25 25 � � 24� Khi cos2a = 1- sin2 2a = 1- � 2700 < 2a < 3600 = � � � � � 25� 25 Vậy giá trị biểu thức tan2a = sin2a 24 = Chọn C cos2a tan( a + b) + tan( a- b) 7+ 11 = = = ( a + b) +( a- b) � Câu 65 Ta có tan2a = tan � � � 1+ tan( a + b) tan( a- b) 1- 7.4 27 181 Chọn A ( a + b) - a � Câu 66 Ta có sin a.cos( a + b) = sin b = sin � � � � sin a.cos( a + b) = sin( a + b) cosa - cos( a + b) sin a � 2sin a.cos( a + b) = sin( a + b) cosa � sin( a + b) cos( a + b) = sin a = 2tan a Chọn D cosa p p � b = - ( a + g) 2 � � p tan a + tan g = 2.tan( a + g) = Suy cot a + cot g = 2cot b = 2.cot � - ( a + g) � � � - tan a.tan g � � Câu 67 Từ giả thiết, ta có a + b + g = 1 + tan a + tan g cot a + cot g cot a cot g = = Mặt khác nên suy 1- tan a.tan g 1- cot a.cot g - cot a cot g cot a + cot g = cot a + cot g � cot a.cot g - 1= � cot a.cot g = Chọn C cot a.cot g - Câu 68 Vì tan a, tan b hai nghiệm phương trình x2 + px + q = nên theo � tan a + tan b = - p tan a + tan b p Khi tan( a + b) = = định lí Viet, ta có � � � tan a tan b = q tan a tan b q � Chọn A � � tan a + tan b = p cot a + cot b = r Câu 69 Theo định lí Viet, ta có � � � � � � tan a tan b = q cot a.cot b = s � � �1 � 1 � + � Khi P = r.s = ( cot a + cot b) cot a.cot b = � � � � � tan a tan b �tan a tan b � = tan a + tan b ( tan a.tan b) = p Vậy P = r.s = p2 Chọn B q2 q Câu 70 Vì tan a, tan b hai nghiệm phương trình x2 - px + q = nên theo � tan a + tan b = p tan a + tan b p �� � tan( a + b) = = định lí Viet, ta có � � � tan a tan b = q tan a tan b q � 1+ p.tan( a + b) + q.tan2 ( a + b) � Khi P = cos ( a + b) � � � = 1+ p.tan( a + b) + q.tan2 ( a + b) 1+ tan2 ( a + b) 1+ p = �p � p � + q.� � � � � � 1- q 1- q� � �p � � 1+� � � � � 1- q� � � ( 1- q) + p2 ( 1- q) + q.p2 ( 1- q) + p2 - p2.q+ q p2 = = = Chọn C 2 ( 1- q) + p2 ( 1- q) + p2 182 Câu 71 Ta có M = tan x - tan y = sin x sin y sin x cos y- cos x sin y sin( x - y) = = cos x cos y cos x cos y cos x cos y Chọn C � � p - a� � Câu 72 Vì hai góc � � �và � � � � � � � � � p p p � + a� - a� = sin� + a� � � � phụ nên cos� � � � � � � � � � � � � � � � 4 � � � � � � � p p p p 2� +a� - cos2 � - a� = cos2 � + a� - sin2 � + a� � � � � Suy M = cos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4 4 � � p = cos� + 2a � �= - sin2a Chọn D � � � � � � � p � 1+ cos� + a� � � � � � � 1+ sin( - a) 1- sin a Chọn A p a� Câu 73 cos2 � + � = = = � � � � � � 2 2 Câu 74 Ta có sin y.cos x - cos y.sin x sin y.cos x cos y.sin x cos x cos y M= = = = cot x - cot y sin x.sin y sin x.sin y sin x.sin y sin x sin y Chọn B Câu 75 Ta có: M = cos x + cos2x + cos3x = ( cos x + cos3x) + cos2x = 2cos2x.cos x + cos2x = cos2x( 2cos x +1) Chọn D Câu 76 Ta có: sin3x - sin x 2cos2x sin x = = 2sin x Chọn D 2cos2 x - cos2x Câu 77 Ta có: A = ( + cos x) +( cos x + cos 3x ) ( cos x - 1) + cos x = 2cos x + 2cos x cos x cos x + cos x cos x ( cos x + cos x) = cos x Chọn C cos x + cos x Câu 78 Ta có sin a cos a sin a - cos a 2 cos a sin a = sin a.cos a = sin a - cos a = sin a - cos a = - cos 2a sin a cos a sin a + cos a sin a + cos a + cos a sin a sin a.cos a Do A = - cos 2a + cos 2a = Chọn A Câu 79 Ta có ( 1- cos 4a ) + sin 4a 2sin 2a + 2sin 2a cos 2a 2sin 2a (sin 2a + cos 2a ) A= = = = tan 2a ( + cos 4a ) + sin 4a cos2 2a + sin 2a cos 2a cos 2a (sin 2a + cos 2a ) = Chọn C Câu 80 Ta có cos 2a = 1- 2sin a ;cos 4a = cos 2a - = ( 1- 2sin a ) - Do đó: 183 A= 3- 4( 1- 2sin2 a ) + 2( 1- 2sin2 a ) - 3+ 4( 2cos2 a - 1) + 2( 2cos2 a - 1) - = 8sin2 a- 8sin2 a + 8sin4 a = tan4 a 8cos2 a- 8cos2 a + 8cos4 a Chọn B Câu 81 Ta có sin2 2a + 4sin4 a - 4sin2 a.cos2 a 4sin4 a A= = 2 4- sin 2a - 4sin a 4(1- sin a ) - 4sin2 a.cos2 a = sin4 a sin4 a = = tan4 a cos2 a (1- sin2 a ) cos4 a Do giá trị biểu thức A a = Câu 82 Ta có A = �1 � � p p� � � � tan � = � = Chọn C � � � � � � �6 � � � �3� sin a ( 2cosa +1) sin a ( 2cosa +1) sin2a + sin a = = = tan a 1+ cos2a + cosa 2cos2a + cosa cosa ( 2cosa +1) Chọn A Câu 83 Ta có A = 1- sin a+ 2sin2 a- sin a( 2sin a- 1) sin a = = = tan a Chọn B 2sin a.cosa- cosa cosa( 2sin a- 1) cosa � x� � x x sin x = sin � � � �= sin cos , � � 2� Câu 84 Ta có � x� � x + cos x = + cos � � = cos � � � � 2� x � x x x sin x � � 2cos +1� � 2sin cos + sin � � � x 2� � 2 2= = tan Chọn A Do A = � x x� x 2 x 2cos + cos cos � 2cos +1� � � 2 � � 2� � 5 4 Câu 85 Ta có sin a.cos a - sin a.cosa = sin a.cosa ( cos a - sin a ) = sin2a ( cos2 a - sin2 a ) ( cos2 a + sin2 a ) 1 = sin2a ( cos2 a - sin2 a ) = sin2a cos2a = sin4a Chọn D 2 Câu 86 Ta có - 1�sin x �1�� �- 3�3sin x �3 �� �- �3sin x - �1 �M = �� �- �P �1�� �� Chọn A � � m=- � � p� � p� x+ � �1�� � �- 2sin� x+ � �- � � Câu 87 Ta có - 1�sin� � � � � � � 3� � 3� � � p� �� � �- 2sin� x+ � + �0 �� � �P �0 Chọn C � � � � � 3� Câu 88 Áp dụng công thức sin a- sin b = 2cos 184 a+ b a- b sin , ta có 2 � p� � p� � p� p � � � sin� x+ � - sin x = 2cos� x+ � sin = cos� x+ � � � � � � � � 3� � 6� � 6� � � � � p� P �� x+ � �1�� �- 1�P �1��� � P �{- 1;0;1} Chọn C � Ta có - 1�cos� � � � � 6� 2 2 2 Câu 89 Ta có P = sin x + 2cos x = ( sin x + cos x) + cos x = 1+ cos x �M = � �cos2 x �1�� �1�1+ cos2 x �2 �� �� Chọn C Do - 1�cos x �1�� � � m= � 2 2 Câu 90 Ta có P = 8sin x + 3cos2x = 8sin x + 3( 1- 2sin x) = 2sin x + Mà - 1�sin x �1�� � �sin2 x �1�� � �2sin2 x + �5 �M = �� � �P �5 �� �� �� �T = 2M - m2 = Chọn A � � m = � Câu 91 Ta có P = cos4 x + sin4 x = ( sin2 x + cos2 x) - 2sin2 x cos2 x = 1- sin 2x 1- cos4x = + cos4x 2 4 1 Mà - 1�cos4x �1 �� � � + cos4x �1 �� � �P �1 Chọn B 4 = 1- 4 2 2 Câu 92 Ta có P = sin x - cos x = ( sin x + cos x)( sin x - cos x) =- cos2x M =1 � �- 1�- cos2x �1�� �- 1�P �1�� �� Chọn C Mà - 1�cos2x �1�� � � m=- � Câu 93 Ta có P = sin6 x + cos6 x = ( sin2 x + cos2 x) - 3sin2 x cos2 x( sin2 x + cos2 x) Siêu khuyến mại áp dụng năm lần - Chỉ với 500.000đ bạn có KHỐI 10: +Bộ Word Nguyễn Phú Khánh- Huỳnh Đức Khánh +Bộ Word ThS Đặng Việt Đông + Hệ Thống BT Trắc nghiệm +Bài Tập Tự Luận Lê Hồng Đức +Bộ Word Oxy Đồn Trí Dũng +Bộ Word Luyện Thi HSG +120 Đề Thi HSG Giải Chi Tiết KHỐI 11: +Bộ Word Cơng Phá Tốn Ngọc Huyền LB +Bộ Word ThS Đặng Việt Đông 185 +Bộ Word Nguyễn Phú Khánh- Huỳnh Đức Khánh +Hệ Thống BT Trắc Nghiệm +Bộ Word Bồi Dưỡng HSG Lê Hồnh Phò KHỐI 12: +Bộ Word Tốn Học Bắc-Trung-Nam +Bộ Word ThS Đặng Việt Đơng +Bộ Word Nguyễn Phú Khánh-Huỳnh Đức Khánh +Hệ Thống BT Trắc nghiệm +Bộ Word Tích Phân Lưu Huy Thưởng +Bộ Word Bồi Dưỡng HSG Lê Hồnh Phò +177 Đề Thi Thử Giải Chi Tiết THPTQG 2018 LIÊN HỆ 186 ... Vấn đề ĐỘ DÀI CUNG TRÒN Câu 21 Mệnh đề sau đúng? A Số đo cung tròn tỉ lệ với độ dài cung B Độ dài cung tròn tỉ lệ với bán kính C Số đo cung tròn tỉ lệ với bán kính 127 D Độ dài cung tròn tỉ lệ... SANG RADIAN VÀ NGƯỢC LẠI Câu Trên đường tròn cung có số đo rad là? A Cung có độ dài B Cung tương ứng với góc tâm 600 C Cung có độ dài đường kính D Cung có độ dài nửa đường kính Câu Khẳng định... dài cung tròn 124 Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo p rad có độ dài pR Vậy cung có số đo a rad đường tròn bán kính R có độ dài l = Ra Số đo cung lượng giác � Số đo cung