Đang tải... (xem toàn văn)
Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một vài vấn đề về phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ NGỌC KHÁNH MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ NGỌC KHÁNH MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 i Mục lục Mở đầu 1 Giải phương trình Diophantine 1.1 Phương trình Diophantine 1.1.1 Vành Z 1.1.2 Phép chia với dư 1.1.3 Khái niệm phương trình Diophantine 1.1.4 Phương trình Diophantine có điều kiện 1.1.5 Tổng số phương 1.2 Một vài phương pháp giải phương trình Diophantine 1.2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử 1.2.2 Phương pháp đồng dư 1.2.3 Phương pháp đánh giá 1.2.4 Phương pháp tham số hóa 1.2.5 Phương trình nghiệm hữu tỷ qua tham số hóa 1.2.6 Chứng minh phương trình nhiều vơ hạn nghiệm 1.2.7 Cơng thức tính nghiệm 1.3 Một vài phương trình cổ điển 1.3.1 Phương trình Pythagoras 1.3.2 Phương trình Mordell 1.3.3 Phương trình Pell Hệ phương trình Pell 2.1 Hệ phương trình Pell 2.1.1 Tiêu chuẩn Legendre 2.1.2 Hệ phương trình Pell 2.2 Phương trình ba hệ số tổ hợp liên tiếp 3 11 13 13 15 16 18 21 26 28 29 29 32 34 40 40 40 41 42 ii Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 MỞ ĐẦU Số học nói chung Phương trình Diophantine nói riêng lĩnh vực cổ xưa Toán học, lĩnh vực tồn nhiều tốn, giả thuyết chưa có câu trả lời Trong suốt q trình phát triển Tốn học, phương trình Diophantine ln thu hút nhiều người quan tâm nghiên cứu tìm hiểu Chính việc tìm lời giải cho toán hay chứng minh giả thuyết phương trình Diophantine làm nảy sinh lý thuyết, phương pháp khác Toán học Các tốn phương trình Diophantine khơng có quy tắc giải tổng quát, có dạng đơn giản Mỗi phương trình với dạng riêng đòi hỏi cách giải đặc trưng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư mền dẻo, linh hoạt cho người làm tốn.Chính thế, hầu hết kỳ thi quan trọng thi học sinh giỏi Toán quốc gia, quốc tế, thi Olympic toán , toán liên quan đến phương trình Diophantine hay đề cập đến thường tốn khó Việc hệ thống cách tương đối phương pháp giải phương trình Diophantine đưa vấn đề mở phương trình Diophantine cần thiết việc giảng dạy nghiên cứu tốn học, đặc biệt cơng tác ơn luyện học sinh giỏi Với lý đó, luận văn này, tơi trình bày khái niệm phương trình Diophantine, hệ phương trình Pell tổng hợp số phương pháp giải phương trình hệ phương trình Ngồi phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia làm hai chương đề cập đến vấn đề sau: Chương 1: Giải phương trình Diophantine 1.1 Phương trình Diophantine 1.2 Một vài cách giải phương trình Diophantine 1.3 Một vài phương trình cổ điển Chương 2: Hệ phương trình Pell 2.1 Trình bày Hệ phương trình Pell 2.2 Trình bày Phương trình ba hệ số tổ hợp liên tiếp Luận văn hoàn thành với hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Tơi bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dành cho hướng dẫn chu đáo, nghiêm túc qua trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cơ khoa Tốn trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên,các Thầy, Cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2013 - 2015,Trường THPT Lý Tự Trọng bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2015 Vũ Ngọc Khánh Chương Giải phương trình Diophantine 1.1 Phương trình Diophantine 1.1.1 Vành Z Định nghĩa 1.1.1 Miền nguyên R gọi vành iđêan R iđêan Ta sử dụng kết vành Euclide để rằng, vành Z vành chính, có nghĩa: Mỗi iđêan Z phần tử sinh Do vậy, ta bắt đầu khái niệm vành Euclide Định nghĩa 1.1.2 Cho miền nguyên R Ánh xạ δ : R∗ → N, x → δ(x), từ tập phần tử khác R đến tập số tự nhiên N thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (1) Với a, b ∈ R∗ a|b δ(a) δ(b) (2) Với a, b ∈ R, b = 0, có tồn q, r ∈ R cho a = qb + r với r = δ(r) < δ(b) r = gọi ánh xạ Euclide Định nghĩa 1.1.3 Miền nguyên R gọi vành Euclide có ánh xạ Euclide tác động lên tập R∗ Bổ đề 1.1.4 Mỗi vành Euclide vành Chứng minh: Giả sử R vành Euclide với ánh xạ Euclide δ : R∗ → N Vì R vành Euclide nên miền nguyên Giả sử I iđêan R Nếu I = I = (0) iđêan Nếu I = có phần tử a ∈ I, a = Đặt I ∗ = I \ {0} Vì δ(I ∗ ) ⊂ N nên có a0 ∈ I ∗ thỏa mãn δ(a0 ) δ(x) với x ∈ I ∗ Vì a0 ∈ I nên iđêan (a0 ) ⊆ I Bây ta I = (a0 ) Thật vậy, giả sử a ∈ I Do a0 = R vành Euclide nên tồn q, r ∈ R ch a = qa0 + r với r = δ(r) < δ(a0 ) Nếu r = r ∈ I ∗ δ(r) < δ(a0 ) : mâu thuẫn Vậy r = a = qa0 Từ suy a ∈ (a0 ) Do a lấy tùy ý nên I = (a0 ) R vành iđêan Hệ 1.1.5 Vành Z vành Chứng minh: Vành Z miền nguyên Ánh xạ δ : Z∗ → N, n → |n|, ánh xạ Euclide Do vậy, vành Z vành Euclide Theo Bổ đề 1.1.4, vành Z vành iđêan 1.1.2 Phép chia với dư Định nghĩa 1.1.6 Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b = Số a gọi chia hết cho số b hay b chia hết a có c ∈ Z thỏa mãn a = bc Trong nhiều trường hợp, thay cho việc nói a chia hết cho b ta viết a b nói b chia hết a viết b|a Khi a = bc b gọi ước a Ví dụ 1.1.7 Chứng minh rằng, tồn vô số số nguyên n thỏa mãn n4 + 1871 chia hết cho 1952 Bài giải: Vì n4 + 1871 = n4 − 81 + 1952 nên n4 + 1871 chia hết cho 1952 n4 − 81 chia hết cho 1952 hay (n − 3)(n + 3)(n2 + 9) chia hết cho 1952 Ta cần lấy n = 1952k ± với k ∈ Z Định lý 1.1.8 Với cặp số nguyên a, b ∈ Z, b = 0, luôn tồn cặp số nguyên q, r ∈ Z cho a = qb + r, Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt T = {n|b| cho n|b| −|a||b| −|a| r < |b| a, n ∈ Z} Vì |b| nên a Do −|a||b| ∈ T Vậy T = ∅ Vì T tập bị chặn nên T có số lớn m|b| Từ m|b| a ta suy r = a − m|b| r ∈ Z Ta lại có (m + 1)|b| = m|b| + |b| > m|b| Do tính lớn m|b| T nên (m + 1)|b| > a Như |b| > a − m|b| = r ta có a = qb + r với Tính nhất: Giả sử có hai biểu diễn a = qb+r với với r < |b| r < |b| a = q1 b+r1 r1 < |b| Trừ vế cho vế, ta có r − r1 = b(q1 − q) Từ |r − r1 | < |b| ta suy |q1 − q||b| < |b| Vậy q = q1 hiển nhiên r = r1 Hệ 1.1.9 Với biểu diễn a = qb + r, r < |b|, có (a, b) = (b, r) Ví dụ 1.1.10 Đặt an = 12011 + 22011 + · · · + n2011 với n ∈ N∗ Chứng minh an không chia hết cho n + Bài giải: Ta có 2an = [n2005 + 22005 ] + [(n − 1)2005 + 32005 ] + · · · + [22005 + n2005 ] + Vậy 2an = (n + 2)d + 2, d ∈ N∗ ta suy an không chia hết cho n + 1.1.3 Khái niệm phương trình Diophantine Một vấn đề cổ điển Số học giải phương trình đa thức với hệ số nguyên tập Z Đó giải phương trình nghiệm ngun hay gọi phương trình Diophantine Để hiểu rõ toán này, trước tiên ta nhắc lại vài khái niệm Định nghĩa 1.1.11 Cho đa thức f (x1 , , xn ) với hệ số số hữu tỉ số nguyên Phương trình f (x1 , , xn ) = gọi phương trình Diophantine Giải phương trình Diophantine f (x1 , , xn ) = tức tìm tất số hữu tỉ, số nguyên hay số nguyên không âm α1 , , αn để cho f (α1 , , αn ) = Cho b, a1 , a2 , , an ∈ Z số khơng đồng thời Phương trình dạng a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, (D1 ), gọi phương trình Diophantine bậc hay phương trình Diophantine tuyến tính Ta có ba kết vấn đề mở sau Định lý 1.1.12 Phương trình (D1 ) có nghiệm nguyên (zi ) b chia hết cho d = (a1 , , an ) Có thể chọn nghiệm nguyên (zi ) thỏa mãn điều kiện |zi | |b| + (n − 1) max{|aj | | j = 1, , n}, ∀i Đặc biệt, (a1 , , an ) = (D1 ) có nghiệm nguyên với số nguyên b Chứng minh: Đặt (a1 , , an ) = d Nếu (D1 ) có nghiệm b phải chia hết cho d; b khơng chia hết cho d (D1 ) vơ nghiệm Vậy, khơng làm tính tổng qt, ta giả thiết d = 1, b = Vì vành Z vành iđêan (a1 , , an ) = nên tồn số nguyên α1 , , αn ∈ Z thỏa mãn a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn = a1 bα1 + a2 bα2 + · · · + an bαn = b Điều chứng tỏ phương trình (D1 ) nhận x1 = bα1 , , xn = bαn làm nghiệm nguyên Tiếp theo, giả sử x1 , , xn nghiệm nguyên phương trình (D1 ) Ta zi < |an |, i = 1, , n − 1, với qi , zi nguyên Đặt biểu diễn xi = qi an + zi , n−1 n n−1 qi Vậy b = zn = xn + i=1 i=1 n−1 (qi an + zi ) + an (zn − xi = i=1 n q i ) = i=1 zi i=1 Điều chứng tỏ (zi ) nghiệm (D1 ) Ta có |zi | < |an | cho i = 1, , n−1; n−1 cho zn ta có |an zn | = |b − zi | |b| + (n − 1)|an | max{|aj | | j = 1, , n} i=1 Chia cho |an |, ta |zi | |b| + (n − 1) max{|aj | | j = 1, , n}, i = 1, , n Định lý 1.1.13 Cho b, a1 , a2 , , an ∈ Z số không dồng thời Nếu b chia hết cho (a1 , a2 , , an ) phương trình (D1 ) có nhiều vơ hạn nghiệm nguyên Chứng minh: Theo Định lý 1.1.12, b chia hết cho (a1 , a2 , , an ) phương trình (D1 ) có nghiệm nguyên (α1 , , αn ) Vì a1 , a2 , , an không đồng thời nên tồn = Khơng hạn chế giả thiết an = Xét x1 = α1 + n−1 ti với ti ∈ Z Khi an t1 , , xn−1 = αn−1 + an tn−1 xn = αn − i=1 n xi = b hay (x1 , , xn ) nghiệm (D1 ) Vì ti nhận giá trị tùy ý i=1 thuộc Z nên (D1 ) có nhiều vơ hạn nghiệm Ví dụ 1.1.14 Giải phương trình tuyến tính sau tập Z : 3x + 4y + 5z = Bài giải: Vì(3, 4, 5) = 1, mà ˙: 1, nên phương trình cho có nghiệm Trong Z5 ta xét 3x + 4y = hay 3x + 4y = + 5t Dễ dàng nhận x0 = −1 + 3t, y0 = − t Nghiệm tổng quát 3x + 4y = + 5t x = −1 + 3t + 4u, y = − t − 3u Dễ dàng suy z = − t Tóm lại, nghiệm tổng quát phương trình cho x = −1 + 3t + 4u, y = − t − 3u, z = − t với t, u ∈ Z Ví dụ 1.1.15 Số nghiệm ngun khơng âm phương trình tuyến tính x1 + · · · + xk = n n+k−1 k−1 Bài giải: Ký hiệu số nghiệm nguyên không âm phương trình Nk (n) Ta có N1 (n) = Tính N2 (n), tức tính số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 = n Phương trình có nghiệm (0, n), (1, n − 1), , (n, 0) nên N2 (n) = n + = n+1 Để tính N3 (n) ta xét phương trình x1 + x2 + x3 = n Cho ... chương đề cập đến vấn đề sau: Chương 1: Giải phương trình Diophantine 1.1 Phương trình Diophantine 1.2 Một vài cách giải phương trình Diophantine 1.3 Một vài phương trình cổ điển Chương 2: Hệ phương. .. lý đó, luận văn này, tơi trình bày khái niệm phương trình Diophantine, hệ phương trình Pell tổng hợp số phương pháp giải phương trình hệ phương trình Ngồi phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia làm... , tốn liên quan đến phương trình Diophantine hay đề cập đến thường tốn khó Việc hệ thống cách tương đối phương pháp giải phương trình Diophantine đưa vấn đề mở phương trình Diophantine cần thiết