TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC LỚP Bài 1: Cho đường tròn (O) Một cung AB S điểm cung Trên dây cung AB lấy hai điểm E H Các đường thẳng SH SE cắt đường tròn C D Chứng minh EHCD tứ giác nội tiếp HDẫn: S �  (s�AD �  s� � góc có đỉnh nằm bên đường tròn) SB)( Ta có: HED B E H A �  s� �  s� �  BD) �  (s� �  s�BD) � (góc nội tiếp) HCD SD (SB SA O 2 �  HCD �  s� �  SB �  SA �  BD) �  3600  1800 C D HED (AD 2 Vậy tứ giác HECD nội tiếp đường tròn Bài 2: Cho tam giác ABC ; Các đường phân giác góc B C gặp S, Các đường thẳng A chứa phân giác hai góc ngồi B C gặp E Chứng minh rằng: a) BSCE tứ giác nội tiếp S b) Ba điểm A, S E thẳng hàng B C Hướng dẫn: �  900 (tính chất phân giác hai góc kề bù) a) SBE �  900 (tính chất phân giác hai góc kề bù) SCB �  SCB �  900  900  1800 nên SBE Vậy tứ giác BSCE nội tiếp đường tròn E b) Ta chứng minh A, S, E nằm phân giác góc A Bài 3: Các đường cao hạ từ A B tam giác ABC cắt H, đường cao kéo dài cắt đường tròn D E Chứng minh rằng: E A a) CD = CE b) H D đối xứng qua BC; H E đối xứng qua AC Hướng dẫn: H � � � a) Ta chứng minh CAD  CBE(c� ng ph�v� i ACB) O �  CE � � CD  CE suy CD B C �  CE � � CBD �  CBE � b) Từ CD Tam giác BHD có BC vừa đường cao vừa phân giác nên tam giác cân D Do BC trung trực DH Vậy D, H đối xứng qua BC Chứng minh tượng tự: E, H đối xứng qua BC Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tia phân giác góc A gặp đường tròn M Vẽ đường cao AH bán kính OA Chứng minh rằng: A a) đường thẳng OM qua trung điểm dây BC b) AM phân giác góc OAH Hướng dẫn: �  CM(v� � �  CAM) � O a) Ta chứng minh BM BAM � BM  CM C OB = OC (= R) nên OM trung trực BC, đường B H OM qua trung điểm BC � � � b) Ta chứng minh HAM v�OAM c� ng b� ng v� i AMO M Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Tia AH cắt đường tròn (O) E Kẻ A đường kính AOF a) Chứng minh: BC // EF H �  CAF � b) Chứng minh: BAE O c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng C B I Hướng dẫn: a) Ta chứng minh BC EF vng góc với AE F E �  CF � � BAE �  CAF � b) BC // EF suy BE c) Ta chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành BH//CF (vì vng góc với AC) CH//BF(cùng vng góc với AB): H, I, F nằm đường chéo H, I, F thẳng hàng Bài 6: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi I trực tâm tam giác K trung điểm AC Phân giác góc A cắt (O) M Vẽ đường cao AH Chứng minh rằng: a) OM qua trung điểm N BC A � � b) HAM  MAO I c) AIB : NOK , AI  2ON K Hướng dẫn: O Phần a) b) tương tự tập B C N H c)AB//NK(tính chất đường trung bình tam giác) �  OKN � �  OKN � ( góc có cạnh tương ứng //) AH//ON ; BI//OK nên ABI v�BAI M AI AB   � AI  2ON Vây AIB : NOK (g – g) � ON NK Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường phân giác góc A B cắt I cắt đường tròn theo thứ tự D E Tia CI cắt đường tròn F a) Chứng minh F điểm cung AB A b) Chứng minh tam giác CDI cân E c) DF Cắt AB K Chứng minh hai tam giác AKF DKB đồng dạng F I Hướng dẫn: K �  BF � a) CI tia phân giác góc ACB, CI cắt đường tròn F suy AF B C nên F điểm cung AB �  ICD � � IDC c� b) Ta chứng minh DIC n D �  BKD(� � �  BDK � (góc nội tiếp chắn cung BF) c) AKF � i� � nh) FAK Vậy hai tam giác AKF DKB đồng dạng (g – g) Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O), có ba đường cao AD, BE, CF trực tâm H Gọi I, K theo thứ tự hình chiếu vng góc B, C đường thẳng EF Chứng minh: a) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF A b) Điểm đối xứng H qua BC nằm đường tròn (O) K E c) DE + DF = IK Hướng dẫn: F H O I �  ECH(doCEHD nội tiếp) a) Ta có EDH C �  FBH � (do BFHD nội tiếp) B D FDH �  FBH � (do BCEF nội tiếp) M ECH �  FDH � , DH tia phân giác góc EDF � EDH Chứng minh tương tự ta FH tia phân giác góc DFE suy H giao điểm đường phân giác DEF nên H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF b) M điểm đối xứng H qua BC ta chứng minh tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O) �  BMC �  1800 Chỉ BAC c) Do FC tia phân giác góc DFE , BF  FC nên FB phân giác tam giác DEF đỉnh F Do B tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DEF góc DEF , theo tính chấ đường tròn bàng tiếp ta có: 2EI = EF + ED + DE (1) Chứng minh tương tự C tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DEF góc DFE và: 2FK = EF + FD + DE (2)Từ (1) (2) ta được: EI + FK = EF +DF +DE � (IF  EF)  EF  EK  EF  DE  DF � DE  DF  IF  FE  EK  IK (đ.p.c.m) Bài 9: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC theo thứ tự E, F Các đường thẳng BI, CI cắt EF theo thứ tự M, N Chứng minh bốn điểm B, M, N, C thuộc đường tròn Hướng dẫn: Giả sử M nằm ngồi đoạn EF � B $1  C �1  (B $  C) � Khi ta có: MIC � M �  900  A A  (1800  A) 2 F 21 Mặt khác, theo tính chất hai tiếp tuyến E N đường tròn kẻ từ điểm ta có: AI  EF I � �  900  A �1  900  A Do đó: AFE 1 B C �  AFE �  MFC � Suy bốn điểm M, F, I, C nằm Vậy: MIC �  IFC �  900 đường tròn Do đó: BMC Nếu M nằm đoạn EF kết khơng thay đổi �  900 Suy BMC �  BNC � Do B, C, M, N, nằm Chứng minh tương tự ta được: BNC đường tròn Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm M dựng đường tròn đường kính MC Nối BM kéo dài cắt đường tròn cắt đường tròn D Đường thẳng DA cắt đường tròn S B Chứng minh rằng: B a) ABCD tứ giác nội tiếp b) AC phân giác góc SCB O Hướng dẫn: C A M O C A � ABCD M � � a) BAC  BDC  90 tứ giác nội tiếp S � v�ACS � góc BDA D D b) ta chứng minh BCA S Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm cạnh AC (D không trùng với A C) Đường tròn đường kính CD cắt BC E; Các đường thẳng BD AE cắt đường tròn đường kính CD B điểm thứ hai F G Chứng minh rằng: B a) ABED tứ giác nội tiếp F E b) AB // FG E F Hướng dẫn: O a) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối 180 C A D D O C A � � b) Ta chứng minh ABG  BGE vị trí so le G G Bài 12: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AB = BD Tiếp tuyến (O) A cắt đường Q thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB CD a) Chứng minh tứ giác AQRC nội tiếp đường tròn R b) Chứng minh DA song song với QR B Hướng dẫn: C �  s�BC �  s�CD �  BAD � �  s�AB �  s�BD �  BAD � a)Tac� : QCR ; QAR A O 2 2 � � D n� n QCR  QAR SuyraAQRC l�t�gi� c n� i ti� p� � � c m� t� � � ng tr� n �  QCA � b) Do AQRC tứ giác nội tiếp đường tròn nên ta có: QRA �  BDA �  BCA �  QCA � �  BAD � vị tí so Do AB = BD ta có: BAD Suyra QRA le Vậy AD // QR Bài 13: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, nội tiếp đường tròn tâm O Điểm D nằm cung nhỏ � AC đường tròn (O) Tiếp tuyến với đường tròn (O) B cắt đường thẳng AD M Các đường thẳng AB CD cắt N Chứng minh a) Tứ giác DNMB nội tiếp b) MN song song với BC Hướng dẫn: 12 Bài 14: Cho H trực tâm tam giác ABC a) Gọi H’ điểm đối xứng H qua AC Chứng minh H’ nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB ; BHC ; CHA ; có bán kính c) Kẻ đường kính AA’ Chứng minh tứ giác BA’CH hình bình hành Hướng dẫn: A a) Ta chứng minh tam giác HBH’ có BC vừa đường cao vừa phân giác góc HBH’ nên tam giác HBH’là tam giác cân BC đường trung trực H HH’ hay H H’ đối xứng qua BC O C B - Chứng minh H’ nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC � � ta chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp( dấu hiệu BAC  AH'C  180 ) A' H' b)Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB ; BHC ; CHA ; có bán kính bán kính đường tròn (O) (ta chứng minh BHC  BH'C , tam giác khác tương tự) c) Ta chứng minh BH//A’C(cùng vng góc với AC) CH//BA’(cùng vng góc với AB) Bài 15: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường tròn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh: D C a) Tứ giác ADNB tứ giác CBMD nội tiếp N b) DB.BC = DM.AC M Hướng dẫn: A B �  ANB �  900 nên tứ giác ADNB nội tiếp a) Ta chứng minh ADB �  DBC �  900 chứng minh: DMC b) Ta chứng minh SADC  SBDC suy hệ thức cần chứng minh Bài 16: Cho đường tròn (O) hai dây cung AB CD (AB > CD) Các đường thẳng chứa hai dây cung cắt I bên đường tròn Gọi E F theo thứ tự trung điểm AB CD a) Chứng minh: OE  AB b) Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp đường tròn Xác định tâm bán kính đường tròn � v�OIC � c) So sánh góc: OIA Bài 17: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nủa đường tròn Gọi C, D hai điểm di động nửa đường tròn Các tia AC, AD cắt Bx E F (F nằm B E) a) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp b) Khi C, D di động nửa đường tròn Chứng minh: E AC.AE = AD.AE có giá trị khơng đổi �  300 , DOC �  600 Hãy tính diện tích tứ giác ACDB c) Cho BOD C Hướng dẫn: �  CDF �  1800 cách chứng minh CDA �  CEF � a) Ta chứng minh CEF D F b) Xét tam giác vng AEB AFB có đường cao tương ứng BC BD vận dụng hệ thức lượng tam giác ta có : A B O AC.AE = AD.AE = AB2 = 4R2 có giá trị khơng đổi R2 R2 R2 3 c) SACDB  SOBD  SDOC  SCOA     R 4 Bài18: Cho tam giác ABC có cạnh BC < AC < AB nội tiếp đường tròn tâm O Các tiếp tuyến với đường tròn B C cắt D Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn E F, cắt AC I Chứng minh: a) Năm điểm B, O, I, C, D nằm đường tròn A b) IE = IF Hướng dẫn: F O a) Tứ giác OBDC nội tiếp hay B nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD I �  s�BC �  COD � (góc nội tiếp góc tâm) Ta có A B C E �  CID � (doDI // AB) A �  CID � Do tứ giác OICD nội tiếp, tức I nằm đường tròn ngoại tiếp tamD giác suy ra: COD OCD Vậy: B, O, I, C, D nằm đường tròn �  OCD �  900 OI  EF suy IE = IF b) Do OICD nội tiếp nên OIC Bài 19: Từ điểm A ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyếnAMN đường tròn Gọi I trung điểm dây MN a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C nằm đường tròn b) Nếu AB = OB ABOC hình gì? sao? Tính diện tích hình tròn độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R đường tròn (O) N B Hướng dẫn: I a) Ta chứng minh B, C, I nhìn đoạn thẳng OA góc vuông M không đổi A O b) Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình vng( tứ giác có cạnh có góc vng) Khi SABOC  R C Độ dài đường tròn ngoại tiếp là: R Bài 20: Cho tam giác ABC (AB = AC) Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) điểm tương ứng D, E, F BF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Tia DI cắt BC M Chứng minh: a) Tam giác DEF có góc nhọn b) DF // BC tứ giác BDFC nội tiếp A BD BM  c) CB CF Hướng dẫn: a) Ta có: AD = AF(hai tiếp tuyến cắt nhau) �  AFD �  900 suy ADF c� n t� i A � ADF F D �  DEF � (c� � � DEF �  900 Ta có ADF O ng b� ng n� a s�� o cung DF) I �  900v�DFE �  900 Chứng minh tương tự ta được: FDE B C M E Vậy DEF có ba góc nhọn.(đ.p.c.m) � �  180  A n t� i A có: ADF b) Trong ADF c� � �  180  A Trong ABC c� n t� i A có: ABC �  ABC � vị trí đồng vị � DF // BC Vậy ADF �  BDF �  ABC �  BDF �  ADF �  BDF �  1800 � tứ giác BDFC nội tiếp Tứ giác BDFC có: BCF �  DFB � (soletrong); DFB �  BDM � � � FBC �  BDM � c) Ta có FBC (c� ng b� ng n� a s�� o cung DI) (1) �  DBM � Ta lại có: FCB (2) (hai góc đáy tam giác cân) � ng d� ng v� i CBF Do Từ (1) (2) suy BDM � BD BM  (đ.p.cm) CB CF Bài 21: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) a) Tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đường tròn M Chứng minh MC2  MI.MA b) Kẻ đường kính MN, tia phân giác góc B góc C cắt AN P Q Chứng minh bốn điểm P, C, B, Q thuộc đường tròn Hướng dẫn: N �  MIC � (ch� �  MB) � A a) Ta chứng minh MAC n hai cung b� ng nhauMC Q �  MIC � nên tam giác ACM đồng dạng với tam giác CIM ACM MC MA J O  � MC2  MI.MA Từ suy MI MC C B I b) Gọi J giao điểm ba đường phân giác ta giác �  PJC �  900  A ) M Ta chứng minh tứ giác APCJ nội tiếp( PAC �  900 � JCP �  900 hayQCP �  900 ta có PAJ �  900 Chứng minh tương tự ta có tứ giác AQBJ nội tiếp suy QBP �  QBP �  900 tứ giác BCPQ nội tiếp hay bốn đỉnh P, C, B, Q thuộc Tứ giác BCPQ có QCP đường tròn P Bài 22: Cho (O) đường kính AC, lấy B thuộc OA, dựng đường tròn (O’) đường kính BC Gọi M trung điểm AB, qua M kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt đường tròn (O) D E Đường thẳng DC cắt (O’) I Chứng minh rằng: a) BD // AE ; BE //AD b) Ba điểm E, B, I thẳng hàng D I c) Tứ giác MICE nội tiếp d) MI tiếp tuyến đường tròn (O’) A M e) DB  EC C B O O' Hướng dẫn: a) Ta chứng minh ADBE hình bình hành (vì có hai đường chéo E cắt trung điểm đường) suy BD//AE BE//AD b) Ta chứng minh BE//AD BI//AD(cùng vng góc với DC) �  EIC �  900 nên tứ giác MICE nội tiếp c) EMC d) Ta chứng minh �1 ; E �1  MBE �  900,MBE �  IBO' � ; I$2  IBO' � I�1  E � �$ I1  $ I  900 � MIO'  900 hay MI  IO Vậy MI tiếp tuyến đường tròn (O’) e) Chỉ B trực tâm tam giác DCE nên DB  EC Bài 23: Cho đường tròn tâm O, bán kính R I trung điểm dây cung AB Hai dây CD EF qua I với EF > CD (C, E nằm nửa mặt phẳng bờ AB) CF cắt AB M ED cắt AB N Vẽ dây FG // AB Chứng minh: E C a) Tam giác IFG cân b) Tứ giác INDG nội tiếp đường tròn I N B A M c) MI = IN Hướng dẫn: O � � D a) AB//FG suy AF  BG AF = BG �  IBG(AG � �  BF) � IA = IB(gt) nên AIF  BIG F G IAF suy IF = IG nên tam giác IFG cân I �  EFG �  1800 (tứ giác EDGF nội tiếp) b) Ta có NDG �  IGF(soletrong) � �  IGF(tamgi� � �  NIG �  1800 mà EFG NIG c IGF c� n) suy NDG Vậy tứ giác INDG nội tiếp đường tròn �  NIG � ; IF = IG ; MFI �  NGI � ) suy MI = IN c) Ta chứng minh IMF  ING ( MIF Bài 24: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB kẻ dây AC Gọi E điểm cung AC, gọi H giao điểm OE AC a) Chứng minh: OE // BC b) Từ C kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng cắt đường thẳng OE D Chứng minh BCDE hình bình hành c) Đường thẳng AE cắt CD K Chứng minh EKCH tứ giác nội tiếp d) Gọi P giao điểm đường thẳng KH với AB Chứng minh tam giác AHP đồng dạng với tam giác ABC Hướng dẫn: D a) OE // BC vng góc với AC K b) Chứng minh BCDE hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song C c) Ta có OE  AC (vì E điểm cung AC) E 0 �  EKC �  90  90  180 nên tứ giác Chứng minh AK  CD � EHC H EKCH nội tiếp � chung (1) A d) AHP v�ABC có BAC B P O � � � � � AHP  KHC (� � ) ; KHC  KEC (góc nội tiếp chắn cung KC đường tròn ngoại tiếp tứ giác �  CBA � (cùng bù với AEC � ) nên AHP �  CBA � (2) EKCH) ; KEC Từ (1) (2) suy AHP v�ABC đồng dạng Bài 25: Cho Cho ABCD tứ giác nội tiếp Gọi P giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh hình chiếu vng góc P lên bốn cạnh tứ giác bốn đỉnh tứ giác có đường tròn nội tiếp b) M điểm tứ giác cho ABMD hình bình hành Chứng minh �  CDM � �  BCM � CBM th�ACD A H N B 12 Hướng dẫn: K a) Gọi H, K, L, N hình chiếu P lên cạnh AB, BC, CD, DA P Ta chứng minh tứ giác AHPN, BHPK, CKPL, DLPN D M O � � � � � � � � L tứ giác nội tiếp, từ chứng minh H1  H2 ; K  K ; L  L ; N1  N2 (vận dụng tính chất góc nội tiếp) P giao điểm đường phân giác C góc nên P tâm đường tròn nội tiếp tứ giác HKLN b) Bài 26: Cho đường tròn tâm (O) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khác O B) Đường thẳng CH cắt đường tròn điểm thứ hai K Đường thẳng C vng góc với AB H cắt tiếp tuyến K đường tròn I Chứng minh: a) Tứ giác OHKI nội tiếp b) Tứ giác CHIO hình bình hành Hướng dẫn: H B �  OKI �  900 tứ giác OHIK nội tiếp A a) Chứng minh OHI O b) Tứ giác CHIO có HI // CO (vì vng góc với AB) K �  OKC � (OC = OK = R), OIH �  OCK � (gnt chắn cung OH � ) OCK �  OIH � (slt), từ suy OCH �  DOI � vị trí đồng vị nên CH // OI DOI I D Vậy tứ giác CHIO hình bình hành Bài 27: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Kẻ đường cao AH, tia đối tia HB lấy HD = HB, vẽ tù C đường thẳng CE vng góc với AD E Chứng minh: a) Tia CB phân giác góc ACE b) Bốn điểm A, H, E, C nằm đường tròn tam giác AHE cân c) HE2  HD.HC Hướng dẫn: E B H  ABDc� n a)Ta chứng minh (vì có đường cao vừa trung tuyến) D � � (� �  ADB � �  EDC � ABD ta lại có ABD  EDC � ) nên ABC �  ABC �  900 (1) tam giác vng ABC có ACB A �  EDC �  900 (2) tam giác vng EDC có ECD �  ECB � Vậy CB tia phân giác góc ACE Từ (1) (2) suy ACB �  AEC �  900 nên nội tiếp đường tròn b) Tứ giác AHEC có AHC Vậy bốn điểm A, H, E, C nằm đường tròn �  ECH � � HA �  HE � � HA  HE tam giác AHE cân H ACH c) tam giác vuông ABC AH đường cao có AH2  HB.HC mà HB = HD ; HE = HA nên suy HE2  HD.HC Bài 28: Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B Vẽ dây AE (O1)tiếp xúc với (O2), vẽ dây AF (O2) tiếp xúc với (O1) A BE AE2 a) Chứng minh:  BF AF b) Gọi C điểm đối xứng A qua B Có nhận xét hai tam giác EBC FBC A c) Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Hướng dẫn: O2 O1 �1  F $1 (cùng chắn cung AB (O2)) a) A E B C F C �2  E � 2(c� A ng ch� n cung AB c� a (O1) ) suy tam giác ABE đồng dạng với tam giác FBA (g – g) AB AE BE AB.AE AB.AF �   (1) � BE  ; BF  FB AF BA AF AE BE AE �  BF AF BC BE  � CBE : FBC (c  g c) b) Từ (1) ta thay AB = BC ta có BF BC �1  F $2 theo cmt ta có A �1  F $1 c) Từ CBE : FBC � C �  ECF � A �1  A �2  C �1  C �2  F $1  A �2  F $2  C �  1800 (tổng ba góc tam giác) : EAF Vậy AECF nội tiếp Bài 29: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao từ đỉnh A cắt đường tròn (O) F AD đường kính đường tròn (O) a) Chứng minh góc BAC DAF có tia phân giác B, C, F, D bốn đỉnh hình thang cân b)Chứng minh AB.AC = AD.AE c)Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh BC đường trung trực HF DH qua trung điểm I BC A d)Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh O, G, H thẳng hàng Hướng dẫn: H a) gọi AM tia phân giác góc DAF, AM cắt (O) M ta chứng minh G �  CD � (BC//FD vng góc với AF) có FM �  MD � suy BF O � v�DAF � �  CM � � BAM �  CAM � nên AM phân giác chung BAC E BM C B I �  CF � nên CBF �  BCD � BC//FD có BD BCDF hình thang cân AB AE F M D  � AB.AC  AD.AE b) Ta chứng minh AEB : ACD(g  g) � AD AC c) Đã hướng dẫn d) Gọi G trọng tâm tam giác ABC AI trung tuyến ABC nên AG  AI Ta lại có AI trung tuyến tam giác AHD nên G trọng tâm tam giác AHD mà HO trung tuyến tam giác AHD Vậy H, G, O thẳng hàng Bài 30: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M, N, P theo thứ tự điểm cung AB, BC, AC Các đoạn thẳng BP AN cắt I, MN cắt AB E Chứng minh: a) tam giác BNI cân b) AE.BN = EB.AN A c) EI // BC P AN AB M  d) D giao điểm AN BC I BN BD E O Hướng dẫn: B C D � � a) Ta chứng minh IBN  BIN dựa vào số đo cung nên tam giác BNI cân N b) Xét tam giác ANB có NE phân giác góc ANB tam giác ANB N BE BN �  � AE.BN  BE.AN AE AN n c) Do tam giác BNI cân N có NE phân giác trung trực BI nên EB = EI � BEI c� �  IBC � (cùng EBI � ) vị trí so le nên EI // BC Tiếp tục ta chứng minh EIB �  BAN � ; BND �  BNA � (chung) � BND : ANB � AN  AB d) NBD BN BD Bài 31: Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) có AB  AC  R a) Tính độ dài BC theo R b) M điểm di động cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC D Chứng minh AM.AD = AC2 c) Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động đường tròn cố định M di động cung nhỏ AC A Hướng dẫn: M a) Tam giác AOB có OA  OB2  R2  R2  (R 2)2  AB2 I �  900 nên tam giác AOB vuông O, AOB B C D O �  900 Tương tự ta có AOC �  BOC �  900  900  1800 B, O, C thẳng hàng nên BC = 2R AOB �  (s�AB �  s� �  (s�AC �  s�CM) �  s�AM �  ACM � CM) b) Ta có ADC 2 AD AC �  ACM � ) Do  � AD.AM  AC2 suy ra: ADC : ACM (góc A chung ADC AC AM � c) Tam giác ABC vuông cân nên ACB  45 �  ACD �  CMD �  CMA �  1800 mà Ta có: ACB �  CMA(do � �  ACB �  450 Điều chứng tỏ M di chuyển ACD ADC : ACM) n� n CMD cung nhỏ AC tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD di chuyển đường thẳng qua C song song với AB Bài 32: Cho đường tròn đường kính AB dây cố định vng góc với AB H, M điểm di động cung nhỏ BC, AM cắt CD I a) Chứng minh MA tia phân giác góc CMD b) Chứng minh hệ thức MA.MI = MC.MD c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AID cắt MD E Chứng minh CE  AM , từ suy quĩ tích giao điểm F CE AM d) Tìm quĩ tích điểm E M di chuyển cung nhỏ BC Hướng dẫn: C �  AD � �M �1  M �2 � AM phân giác góc CMD a) AC M b) Chứng minh : F I MA MD A MAD : MCI (g  g) �  � MA.MI  MC.MD (1) B O MC MI � chung;MAE �  IDM � (gntc� � c) Chứng minh MAE : MDI (M ng ch� n IE)) E D MA ME �  � MA.MI  MD.ME (2) MD MI Từ (1) (2) suy MC = ME , nên tam giác MCE cân M AM tia phân giác đường cao �  900 Do quĩ tích F đường tròn đường kính AC hay AM  CE C, A cố định CFA d) AM trung trực CE suy AC = AE = AD AC = AD khơng đổi E nằm đường tròn tâm A bán kính AC Giới hạn: Do M di chuyển cung nhỏ BC nên Khi M �C th�E �C ; M �B th�E �D � đường tròn (A, AC) Vậy E nằm cung CED Bài 33: Cho tam giác ABC vuông C, đường cao CH Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh: CH2  AH2  2AH.CI b) Đường thẳng vuông góc với CI C cắt AB G, cắt tiếp tuyến Ax, By đường tròn (I, IC) F E Chứng minh AF + BE = EF HA GA E  c) Chứng minh: HB GB C d) Khi AB = 2R , số đo cung AC 60o Tính thể tích hình nón F có đường cao GB, bán kính BE tam giác vuông GBE quay quanh GB Hướng dẫn: G B H A I a) Tam giác ACH vng có : AC2  AH2  HC2 Tam giác ACB có: AC  AH.AB m�AB =2CI Vậy CH2  AH2  2AH.CI b) Vận dụng tính chất tiếp tuyến Ta có AF + BE = FC + CE = EF HA CF AF GA AF HA GA   m�  �  c) Từ AF // BE // HC � HB CE BE GB BE HB GB �  600 � AC  R ; BC  BE  R ; GE  2R ; GB  3R d) Từ AB = 2R s�AC 1 2 Thể tích hình nón: V  BE GB  3R 3R  3R 3 Bài 34: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) M điểm di động cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MC a) Chứng minh tam giác DMC b) Chứng minh: MB + MC = MA A c) Chứng minh tam giác ADOC nội tiếp d) Khi M di động cung nhỏ BC D di động đường tròn cố định nào? D Hướng dẫn: � �  600 � DMC a) Tam giác DMC có MD = MC ; AMC  ABC 60 � � B AC  CB ; C1  C2 ; MC  MD � ADC  BMC (c  g  c) � MB  DA b) n� nMB +MC =MD +DA =MA M � � c) chứng minh AOC  ADC  120 � ADOC nội tiếp C �  1200 AC cố định � M di động cung nhỏ BC D di động cung chứa góc d) ADC 120 dượng đường thẳng AC phần nằm tam giác ABC Bài 35: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm I cố định trên đoạn AB( I �A ;I �B) M điểm di động đường tròn (O) (M �A ;M �B) Qua I kẻ đường thẳng d vng góc với AB Gọi giao điểm đường thẳng MA, MB với d C, D a) Chứng minh: IA.IB = IC.ID b) Gọi E điểm đối xứng B qua I Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp c) Chứng minh tâm K đường tròn (ACD) di động đường cố định M di động Hướng dẫn: a) Chứng minh IAC : IDB C IA IC �  � IA.IB  IC.ID ID IB �  DEB(c� � � b) Ta chứng minh C ng ph�v� i A) M suy tứ giác ACDE nội tiếp D c) Chứng minh tâm K đường tròn(ACD) A di động đường cố định: B E O I - Tứ giác ACDE nội tiếp K tâm đường tròn(ACD) suy K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDE d nên KA = KE ; Mà A, E cố định nên K di động đường trung trực đoạn thẳng AE Bài 36: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M điểm di động nửa đường tròn Tia BM cắt tiếp tuyến A nửa đường tròn tâm O D a) Chứng minh: DA  DM.DB b) Gọi I trung điểm AD Chứng minh MI tiếp tuyến đường tròn đường kính AB D c) Trên tia AM lấy điểm C cho AC = BM Khi M di động nửa đường tròn đường kính AB C di động đường cố định nào? E Hướng dẫn: a) Tam giác ABD vuông A I �  90o g.n.t.ch� có AM đường cao( AMB n n� a� � � ng tr� n) M Theo HTL ta có: DA  DM.DB C ng, MI l�trung tuyến b) AMDvu� � MI  AI Chứng minh OMI  OAI(c.c.c) A B O �  IAO �  90o hay MI  MO suy IMO Vậy MI tiếp tuyến đường tròn đường kính AB c)Qua C vẽ đường thẳng vng góc với AC cắt AD E Ta chứng minh AMB  ECA(g  c  g) � AB  AE độ dài AB không đổi suy AE không đổi A cố định AD cố định nên E cố định �  90o suy C di động đường tròn đường kính AE AE cố định ACE Bài 37: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, C trung điểm đoạn OA, D điểm đường tròn cho BD = R Đường trung trực OA cắt AD E BD F a) Tính đoạn thẳng AE, CE ED theo R b) Chứng tỏ hai tam giác ADB FCB đồng dạng Tính FB FC theo R; c) Chứng tỏ BE vng góc với AF; d) Một điểm M lưu động nửa đường tròn khơng chứa điểm D, tìm quĩ tích trung điểm I đoạn DM Hướng dẫn: a) Tính đoạn AE, CE, ED Sử dụng hệ thức lượng tam giác vưông nửa tam giác có góc F R AC R R �  30 AC = , Tính AE = CE =  DAB cos300 D AD  2R.cos300  2R R A' B' E R 2R DE  AD  AE  R   I A B 3 C O �  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) b) Ta có ADB Các tam giác vng ADB FCB có góc B chung nên chúng đồng dạng M Do đó: 3R 2R DB AB AB.CB  3R  � FB   CB FB DB R 3R FC  FB2  BC2  c) Do E trực tâm tam giác AFB nên BE  AF d) I trung điểm DM nên OI  DM , I nằm đường tròn đường kính DO Giới hạn: M chạy nửa đường tròn AMB, M trùng A I trìng với trung điểm A’ AD Khi M trùng với B, I trùng với trung điểm B’ DB Vậy I nằm nửa đường tròn A’OB’ đường kính A’B’ - Ngược lại: giả sử có I’ thuộc nửa đường tròn A’OB’ đường kính A’B’ ta nhận thấy A’B’ = OD (vì nửa AB), nên OD đường kính OI  DI hay OI  DM � I trung điểm DM Vậy M lưu động nửa đường tròn AB khơng chứa điểm D, quĩ tích I nửa đường tròn A’OB’ đường kính DO Bài 38: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) A Lấy d điểm C cho AC = R vẽ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) a) Tứ giác ACDO hình ? D C b) Chứng minh CO // DB Tính độ dài CO, DB I c) OC cắt đường tròn (O) I K (I cung nhỏ AD) Tính độ dài AI, AK R R theo R B A d) Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây AI cung nhỏ AI H O Hướng dẫn: a) Ta có: CA = CD = AO = DO = R K ACDO hình thoi có góc vng hình vng b) ACDO hình vng nên DO  OB tam giác DOB, DOC �  ODB �  450 CO // DB: tam giác vuông nên: COD CO = DB = R c) Kẻ đường vuông góc IH từ I đến AB Tam giác IHO vng cân: IH = HO R Ta có: IH2  HO2  2HO2  OI  R2 � OH  HI  2 � R � �R � AI  AH  IH  � R � � AI   R ; AK  IK  AI   R � � � � � � � �2 � � d) Diện tích hình viên phân giới hạn bới AI: S 2 .R2.45 R2 2 R (   2)R  SAIO    360 8 ... PJC �  90 0  A ) M Ta chứng minh tứ giác APCJ nội tiếp( PAC �  90 0 � JCP �  90 0 hayQCP �  90 0 ta có PAJ �  90 0 Chứng minh tương tự ta có tứ giác AQBJ nội tiếp suy QBP �  QBP �  90 0 tứ giác... IFC �  90 0 đường tròn Do đó: BMC Nếu M nằm đoạn EF kết khơng thay đổi �  90 0 Suy BMC �  BNC � Do B, C, M, N, nằm Chứng minh tương tự ta được: BNC đường tròn Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A... BDC  90 tứ giác nội tiếp S � v�ACS � góc BDA D D b) ta chứng minh BCA S Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm cạnh AC (D không trùng với A C) Đường tròn đường kính CD cắt BC E; Các đường