Thầy Hồng Trí Quang   Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn)  ĐỀ SỐ Bài 1 Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng:  bc ca a b 2        (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a  b b  c c  a Bài a)  Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1)                                 B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1)                                  C = 666…….666 (m chữ số 6)              Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương      abc  n  b) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số  abc  sao cho:    với n là số nguyên lớn hơn 2  cba   n   Bài 3: Cho đường thẳng d có phương trình:  x ( m  2)  ( m  3) y  m    a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).  b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) ln ln đi qua một điểm cố định.  c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất?  Bài 4: (4,0 điểm)     a) Cho x > 0, y > 0 và x + y    1. Chứng minh bất đẳng thức      b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A  1     x  xy y  xy 2x x  , với  x     x 1 Bài 5 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường tròn  tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vng góc với AB tại I.  Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.  a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’)? Giải thích.  b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.    Bài 6: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   S       a b c     (b  c  a ) (a  c  b) (a  b  c)     1  Thầy Hồng Trí Quang   Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn)  ĐỀ SỐ Bài Tìm phần dư của phép chia đa thức  p(x)  cho  (x  1)(x  1) biết  p(x)  chia cho  x   thì dư 1,  p(x)  chia cho  x   thì dư  x  x  Bài Cho phương trình  x  2mx  m   (1) Tìm các giá trị của  m  để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  x1  và  x2  thoả mãn hệ thức  x13  x23   .  2 Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm khơng âm. Tìm giá trị của  m  để  nghiệm dương của  phương trình đạt giá trị lớn nhất.  Bài ( x  3)( y  1)  10 xy   a) Giải hệ phương trình   x   y     2  x  y  20   b) Giải phương trình         2 x  x   (5 x  4) x    Bài  Cho nửa đường tròn (O) đường kính  AB  R và C, D là 2 điểm di động trên nửa đường tròn  sao cho C thuộc cung AD và góc COD = 600  ( C khác A và  D khác B). Gọi M là giao điểm của tia  AC và BD, N là giao điểm của dây AD và BC  a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường tròn  và tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng CD  khơng đổi .  b) Gọi H và I lần lượt là trung điểm CD và MN . Chứng minh H , I, O thẳng hàngvà  DI  R   c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MCD theo R  Bài 1) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn  Chứng minh rằng:      1      x y yz zx 1      3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z       2  Thầy Hồng Trí Quang   Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn)  3m2 2) Cho các số thực m, n, p thoả mãn:  n   np    p   1    Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu  2 thức S = m + n + p.  ĐỀ SỐ Bài 1.  a) Cho x là số thực dương thỏa mãn  x  1   Tính  x12  12   x x b) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tính:   1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y    T =  x 2 1 x2 2 1 y2 1 z2 x2 Bài 2: a) Giải phương trình:  ( x   1)  x4  x  y  z  b) Tìm nghiệm nguyên của hệ:      xy  yz  zx  Bài 3:    a) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :  M  1    x y b) Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2  ≤ a3 ; b1 ≤ b2 ≤ b3  Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)  a 2005  b 2005  c 2005  Áp dụng chứng minh rằng : với   a  b  c  thì  2006          2006 2006 abc a b c   Câu 4: Cho   ABC (AB = AC). Vẽ một đường tròn có tâm(O) nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh  AB, AC lần lượt tại D; E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE ( I  D; E ). Tiếp tuyến của  đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N  a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi.  b) Chứng minh hệ thức  4.BM CN  BC   c) Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để   AMN có diện tích lớn nhất.  Câu 5: Cho   ABC đều điểm M nằm trong   ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC?  ĐỀ SỐ           3  Thầy Hồng Trí Quang   Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn)  Câu 1. (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn  a  b2  c  ab  bc  ca   a 22 b c2011 Tính giá trị biểu thức:  P = 22 + + 2011    b c a 2) Cho  x = 3 - +1 ;y =      Chứng minh rằng x + y là một số tự nhiên.  + + 16 Câu 2. (2,0 điểm)  1) Giải phương trình:  x    x  11x  x  24    2)   2  Giải hệ phương trình :   2x  y 3x  y   4x  12y   2x  y  3x  y   Câu 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho  A   n  2010  n  2011 n  2012   là một số  chính phương.  Câu 4. (3,0 điểm)    Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi D là điểm thay đổi trên cung   nhỏ AB của đường tròn (O), (D khơng trùng với A, B).  1) Trong trường hợp ACBD là tứ giác ngoại tiếp một đường tròn, chứng minh rằng    AC + BD = AD + BC.    2) Trong trường hợp ABC là tam giác đều, chứng minh rằng DA + DB = DC.    3) Trong trường hợp tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất, trên cạnh AC và BC lấy    Các điểm M, N tương ứng sao cho AM = BD và BN = AD. Chứng minh rằng khi D   thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trung điểm I của đoạn thẳng MN  ln thuộc một đường tròn cố định.  Câu 5. (1,0 điểm)    Cho a, b, c là số thực dương, chứng minh rằng:        2ab 3bc 3ca a  2b  3c      3a  8b  6c 3b  6c  a 9c  4a  4b           4  Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn)  Thầy Hồng Trí Quang   -Hết ĐỀ SỐ Bài Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức:  a2 b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 a2           Thì  | a |  | b |  | c |   ab bc ca ab bc ca ab bc ca Bài 1) Giải phương trình 3x2 + 4x + 10 = 2 14 x     x4   y 2) Giải hệ phương trình    y   4x Bài Xác định hình vng có độ dài cạnh là số ngun và diện tích cũng là số ngun gồm 4 chữ số, trong đó  các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau.  Bài 4  1) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngồi đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng  d   OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA  lần lượt tại H và K.  a) Chứng minh rằng OA.OK khơng đổi, từ đó suy ra BC ln đi qua một điểm cố định.  b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.  c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tìm  giá trị nhỏ nhất đó.  2) Từ một điểm A ở ngồi đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là  các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ  tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA ./.  Bài A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và  người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác  giới tính và C khơng phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai  người kia ? ĐỀ SỐ           5  Thầy Hồng Trí Quang   Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn)  Bài 1) Cho a, b, c là các số khác nhau thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a4 b4 c4      2 2 2 a  (b  c ) b  (c  a ) c  (a  b ) 2) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết  f(5)  f(3)  2010  Chứng  minh rằng:  f(7)  f(1) là hợp số.  Bài 2 1) Giải phương trình:  ( x + 5 -  x + 2)(1 +  x  + 7x + 10) = 3.   x   y   2) Giải hpt:   x   y   Bài 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 32 x  16 y  z  t 2) Cho biểu thức  A  x  y  y  x  với  x; y  0; x  y  2012  Tìm GTNN của A  Bài Cho đường tròn đường kính AB. Trên đoạn thẳng OA lấy điểm H bất kỳ khơng trùng A và O, kẻ  đường thẳng d vng góc với AB tại H, trên d lấy điểm C nằm ngồi đường tròn, từ C kẻ 2 tiếp tuyến  CM và CN với (O) với M và N là các tiếp điểm (M thuộc nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A) Gọi P,  Q lần lượt là giao điểm của CM, CN với AB 1.Chứng minh HC là tia phân giác góc MHN  2.Đường thẳng đi qua O vng góc với AB cắt MN tại K và đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại  I. CM I là trung điểm PQ  3.Chứng minh PN, QM, CH đồng quy  Bài Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ  nhất.  ĐỀ SỐ Bài Cho biểu thức  P  x2 x x x 1  x 1 x x x x   2x  x x2  x  Tìm tất cả các giá trị của  x  sao  cho giá trị của P là một số nguyên           6  Thầy Hồng Trí Quang   Tuyển tập 20 đề thi hsg lớp 9 (Sưu tầm và biên soạn)  Bài   a) Giải phương trình:  x  x   2 x  3 x  x     xy  2  x  y  x  y  16 b) Giải hệ phương trình:      x  12  x  y  3x  x   Bài a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A(-1;1), B(3; 9) nằm trên (P). Gọi M  là điểm thay đổi trên (P) và có hồnh độ là m ( -1