BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC Bài Ba xạ thủ độc lập bắn vào mục tiêu Xác suất bắn trúng tương ứng 0,7; 0,8; 0,5, xạ thủ bắn viên a) lập luật phân phối số viên trúng b) Tìm số viên trúng mục tiêu tin nhất, số viên trúng mục tiêu trung bình phương sai số viên trúng c) Tính xác suất có viên trúng Bài Có lơ sản phầm, lơ có 10 sản phẩm Lơ thứ i có i sản phẩm hỏng (i = 1,3) Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm Gọi X số sản phẩm hỏng sản phẩm lấy a) lập luật phân phối X b) tìm Mode X, trung bình X phương sai X c) tìm P[3X20] Bài Trong nhà ni gà Xác suất đẻ trứng tương ứng là: 0,6; 0,5; 0,8 Gọi X số trứng thu ngày Hãy lập luật phân phối X Bài Có bóng đèn lắp mạch hình 12 xác suất để bóng thứ i hỏng thời điểm i% (i=1,4) Gọi X số bóng đèn phát sáng lúc quan sát Lập luật phân phối X 11 22 Bài Xác suất để gà đẻ ngày 0,6 Trong chuồng có 10 Tính xác suất để ngày có: a) 10 đẻ b) đẻ c) Tất không đẻ d) Họ phải ni để ngày thu khơng 30 trứng Bài Một sách dày biết trung bình trang có chữ có lỗi Tính xác suất mở trang thấy có chữ có lỗi Bài Quản lí tòa cao ốc cho thuê văn phòng ghi nhận trung bình phút có 10 người chờ thang máy tiền sảnh tòa nhà khoảng thời gian 8g đến 9g sáng a) tìm xác suất để phút khoảng thời gian tối đa chờ b) tính lại xác suất xấp xỉ tình cách dùng phân phối bình thường so sánh hai kết tìm Bài Tuổi thọ máy điện tử đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 4,2 năm độ lệch tiêu chuẩn trung bình 1,5 năm Bán máy lãi 140 ngàn đồng song máy phải bảo hành lỗ 300 ngàn đồng Vậy để tiền lãi trung bình bán máy 30 ngàn phải qui định thời gian bảo hành bao lâu? Bài Một kiện hàng có sản phẩm Mọi giả thiết số sản phẩm tốt có kiện đồng khả Lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm để kiểm tra thấy hai sản phẩm tốt tìm qui luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt có sản phẩm lại kiện Bài 10 Gọi Z biến ngẫu nhiên có phân phối bình thường chuẩn hóa Hãy tính xác suất sau đây: a) P (0  Z  2.5) b) P (-1.5  Z  2.5) c) P (Z ≥ -2.5) d) P (-2.5  Z  1.5) e) P (Z = 4) f) P (Z ≥ 0) Bài 11 Cho Z biến số bình thường chuẩn hóa, tìm C để a) P (Z ≥ C) = 0,025 b) P (Z  C) = 0,02872 c) P (-C  Z  C) = 0,95 Bài 12 Trọng lượng trẻ em vườn trẻ xem biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối normal với X  N (8,6;0,62) Chọn trẻ a) tính xác suất để em bé chọn có trọng lượng từ đến 9,8 kg b) tính xác suất để em bé chọn có trọng lượng 7,8kg c) tính xác suất để em bé lấy có trọng lượng 8,5kg Bài 13 Xác suất để sinh viên nhập học cao học tốt nghiệp 0,4 (gọi xác suất thành) Tìm xác suất suất để sinh viên nhập học a) khơng có người tốt nghiệp b) có người tốt nghiệp c) có người tốt nghiệp Bài 14 Tại khúc sông, số cá câu mỗi người câu phân phối theo qui luật Poisson với trung bình 1,2 con/h Nếu người ngồi câu nơi 1,5 cho biết khả để người câu a) cá b) cá Bài 15 Trong chuyến bay đường dài hãng hàng không P phục vụ loại đồ ăn tráng miệng kem, bánh táo nướng bánh socola Kinh nghiệm lâu nữ tiếp viên cho thấy hành khách máy bay ưa thích ba loại đồ tráng miệng a) Nếu mẫu ngẫu nhiên hành khách chọn, tính xác suất để có hai khách chọn kem để tráng miệng? b) Nếu mẫu 21 khách chọn, cho biết xác suất để có hai khách chọn kem để tráng miệng? Bài 16 Khách hàng đến tiệm rửa xe gắn máy ông An với cường độ xe nửa a) tính xác suất để có xe đến tiệm nửa b) cho biết xác suất để sau khách vừa đến, khách đến vòng phút {P(X = 2)} c) cho biết xác suất xấp xỉ để có xe đến tiệm nửa dùng phân phối bình thường d) so sánh kết câu a câu c Bài 17 Căn liệu khứ người ta thấy 40% khách hàng siêu thị D sử dụng thẻ tín dụng để toán cho hàng mua Nếu mẫu ngẫu nhiên khách hàng chọn, tìm xác suất sau a) khơng có khách hàng tốn thẻ b) có khách hàng thành tốn thẻ c) có khách hàng tốn thẻ d) có khơng q khách hàng thành tốn thẻ mẫu ngẫu nhiên 200 khách hàng chọn, tìm xác để e) có 75 khách tốn thẻ f) khơng q 70 khách tốn thẻ g) có từ 70 đến 75 khách tốn thẻ Bài 18 Tồn số liệu thống kê số lượng xe đạp bán hàng tháng cửa hàng Thuận Phát qua năm cho thấy số lượng xe bán hàng tháng dao động khoảng 100 đến 400 Bảng phân phối tần suất cho sau: a Lập bảng phân phối xác suất lượng xe đạp bán cửa hàng b Tìm kỳ vọng số xe đạp bán tháng c Tìm phương sai độ lệch chuẩn lượng xe đạp bán tháng d Tìm P(300 ≤ x ≤ 350) e Tìm P(100 ≤ x < 310) b 246 c Phương sai = 5904 Độ lệch chuẩn = 76,8375 d 0,25 c 0,7 Bài 19 Nhân viên tiếp thị công ty Tiềm Năng thực đợt khảo sát thị trường cho sản phẩm công ty Trong 236 người hỏi ngẫu nhiên có 194 người trả lời khơng thích sản phẩm Chọn mẫu ngẫu nhiên 16 người để hỏi a Tìm kỳ vọng số người trả lời thích sản phẩm b Tìm xác suất để có 15 người trả lời khơng thích sản phẩm c Tìm xác suất để có từ đến 10 người trả lời thích sản phẩm d Giả sử số người thích sản phẩm, nửa có nhu cầu mua sản phẩm, với quy mơ thị trường có 5.698.325 người dân kỳ vọng có người có nhu cầu mua sản phẩm a b c d e Kỳ vọng 2,85 ≈ = 0,1505 0,0033 1.014.109 người 507.055 Bài tập PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CHỌN MẪU Bài Dây chuyền sản xuất nhà máy chuyên sản xuất loại linh kiện dùng cho máy tính cá nhân hoạt động theo tiêu chuẩn kỹ thuật với quy định đường kính linh kiện sản xuất có phân phối bình thường với trung bình 1,5 inches độ lệch tiêu chuẩn 0,05 inches Trước xuất xưởng lô linh kiện vừa sản xuất sau tiến hành sửa chữa số lỗi kỹ thuật dây chuyền, phận kiểm sóat chất lượng nhà máy chọn ngẫu nhiên mẫu gồm linh kiện đo đường kính chúng Dữ liệu sau : 1,57 ; 1,59 ; 1,48 ; 1,60 ; 1,59 ; 1,62 ; 1,55 ; 1,52 Bạn thay phận kiểm soát chất lượng nhà máy sử dụng kết đo lường để phân tích xem dây chuyền sản xuất có vấn đề bất thường khơng? Bài H cơng ty chun sản xuất đồ trang trí giáng sinh, sản phẩm họ cung cấp cho nhà bán lẻ toàn quốc Qua quan sát, ban giám đốc H tổng kết khoảng 15% sản phẩm (ngay đóng gói kỹ) bị hỏng trình chuyên chở trước đến tay người bán lẻ; khơng có dạng cụ thể kiểu hư hỏng, đồ hư hỏng theo kiểu hồn tồn độc lập với Có nhà bán lẻ phản ánh với công ty số 500 đồ trang trí người đặt mua chuyến hàng vừa có đến 90 bị hư hỏng Giả sử tỷ lệ hư hỏng tổng thể đồ vận chuyển xác định chung 15%, ban giám đốc để xác định khả mẫu gồm 500 đơn vị có bị hỏng 18% số đơn vị? ĐS 0,0301 Bài Giả sử biến X tuân theo luật phân phối chuẩn có giá trị trung bình độ lệch chuẩn 2, tìm giá trị k phát biểu sau a P(X ≤ k) = 0,6443 b P(X ≤ -k X ≥ k) = 0,61 c P(k ≤ X ≤ 6,5) = 0,6524 d P(-2,11 ≤ X ≤ k) = 0,1526 a k = 5.074 b k = 1,02 c k = 2,66 d k = 2,95 Bài Đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối tam giác cân sau (giả sử AB = BC) a Xác định giá trị h giá trị điểm M b Tìm P(38 ≤ X ≤ 62) c Tìm P(26 < X < 58) d Tìm a để P(X ≥ a) = 0,85 a h = 0,4167 M = 50 b = 0,75 c = 0,7778 d = 39,14534 Bài Giả sử tuổi học viên lớp Fulbright năm tuân theo luật phân phối chuẩn với độ tuổi trung bình 29 tuổi độ lệch chuẩn 2,5 tuổi a Chọn ngẫu nhiên người từ lớp học hỏi tuổi Tìm xác suất để người chọn có số tuổi lớn 32 b Chọn ngẫu nhiên 16 người để hỏi tuổi Tìm xác suất để trung bình độ tuổi mẫu đạt 28 tuổi c Với cỡ mẫu xác suất giá trị trung bình mẫu chọn có giá trị lớn 30 2,5% d Với cỡ mẫu 4, tìm giá trị k để P(26 < X < X +2k) = 25% Bài Sở Du lịch Thành phố muốn đánh giá mức chi tiêu bình quân ngày khách du lịch đến tham quan Thành phố Một nhóm khách du lịch gồm 20 người chọn ngẫu nhiên để theo dõi thống kê lại số tiền mà họ chi tiêu ngày (đơn vị: ngàn đồng) Kết cho sau: a Tính tốn mức chi tiêu trung bình ngày khách du lịch đến thăm thành phố b Tìm phương sai độ lệch chuẩn mức chi tiêu khách du lịch c Giả sử mức chi tiêu du khách ngày tuân theo luật phân phối chuẩn với giá trị kỳ vọng độ lệch chuẩn giống kết câu a b, tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên du khách có mức chi tiêu 300 ngàn đồng a 332 ngàn đồng b Var(X) = S2 = 3132,632 S = 55,970 ≈ 56 ngàn đồng c 0,2843 Bài Trong 1000 banh tennis sản xuất nhà máy Tuấn Sport thường có khoảng 80 không đạt chất lượng Để kiểm định chất lượng lô banh tennis vừa sản xuất ra, phòng quản lý chất lượng ông ty tiến hành chọn ngẫu nhiên 25 banh để kiểm tra a Tính kỳ vọng độ lệch chuẩn số banh không đạt chất lượng thu từ mẫu lựa chọn b Tính xác suất để mẫu lựa chọn có 23 sản phẩm có chất lượng tốt c Tính xác suất để mẫu lựa chọn có từ đến sản phẩm không đạt chất lượng a Kỳ vọng = Độ lệch chuẩn = 1,3565 b = 0,282 c = 0,323 Bài Công ty Đay Ấn chuyên sản xuất bao tải đay loại thường gộp chung 100 sản phẩm đóng thành bao đay để giao cho khách hàng Trong bao đay loại tốt thường có lẫn từ đến 10 sản phẩm loại Số liệu thống kê khứ cho thấy phân phối xác suất sản phẩm loại bao đay trình bày bảng sau: a Tìm giá trị t b Tìm kỳ vọng phương sai số bao loại c Tìm P(5 ≤ x < 10) d Tìm P(6 < x ≤ 9) a t =2,5 b Kỳ vọng = 7; phương sai = 2,08 c c = 0,95 d d = 0,54 Bài Giả sử biến X tuân theo luật phân phối chuẩn N(0, 1) Tìm giá trị b phát biểu sau a P(X ≤ b) = 0,4013 b P(X ≥ b) = 0,1977 c P(b ≤ X ≤ 1,5) = 0,6140 d P(X ≤ -b X ≥ b) = 0,1902 e P(1,32 ≤ X ≤ b) = 0,0627 a b = -0,25 b b = 0,85 c b = -0,47 d b = 1,31 e b = 1,87 Bài 10 KCS cơng ty sản xuất mì ăn liền Hương Vị theo dõi trọng lượng gói mì thành phẩm quy trình sản xuất nhà máy Biết trọng lượng gói mì tn theo quy luật phân phối chuẩn với mức trung bình 85g độ lệch chuẩn a Nếu chọn mẫu kiểm tra cách lần chọn ngẫu nhiên 25 gói mì ăn liền thành phẩm để cân trọng trọng lượng giá trị kỳ vọng phương sai trung bình mẫu bao nhiêu? b Chọn ngẫu nhiên 36 gói mì để kiểm tra Tìm xác suất để trung bình mẫu đạt 84g c Với cỡ mẫu 25 giá trị a để xác suất cho giá trị trung bình mẫu rơi vào khoảng cộng trừ a 95% d Với cỡ mẫu để xác suất cho giá trị trung bình mẫu nằm khoảng [84, 86] 95% a Kỳ vọng = 85 PHƯƠNG SAI = 0,16 b 0,00135 c a = 0,784 d cỡ mẫu 16 Bài 11 Tìm hiểu kết trồng lúa hộ nông dân Đồng Sông Cửu Long cho vụ lúa hè thu năm 2006 cho thấy suất lúa hộ tuân theo luật phân phối tam giác cân đỉnh A hình bên Hộ có suất thấp đạt giá trị B = 3,6 tấn/ha, hộ có suất cao đạt giá trị C = 5,4 tấn/ha Hỏi: a Giá trị h bao nhiêu? b Năng suất lúa bình quân vụ lúa hè thu bao nhiêu? c Tìm xác suất để chọn hộ có suất lúa nằm khoảng 4,2 đến 4,8 tấn/ha d Nếu chọn ngẫu nhiên 120 hộ để điều tra khả có hộ có suất 4,2 tấn/ha a h = 1,111 b = 4,5 tấn/ha c = 0,556 d 27 Bài 12 Thống kê số người đến đăng ký tìm việc làm trung tâm giới thiệu việc làm nhận thấy số người đến đăng ký tìm việc tuân theo luật phân phối xác suất sau: a Hãy tìm giá trị a bảng b Xác định giá trị kỳ vọng độ lệch chuẩn số người đến đăng ký tìm việc trung tâm c Tìm xác suất để có 12 người đến tìm việc trung tâm d Tìm xác suất để có từ đến 13 người đến đăng ký tìm việc ngày a a = 0,2 b kỳ vọng = 11 phương sai = 5,6; độ lệch chuẩn = 2,366 c 0,4 d 0,8 Bài 13 Phân xưởng chế biến hạt điều công ty NIDOFOOD thường phân loại sản phẩm cách đếm số lượng hạt điều có bao kg hạt điều thành phẩm Kinh nghiệm cho thấy số lượng hạt điều có bao hạt điều thành phẩm loại A tuân theo luật phân phối chuẩn với mức trung bình 340 hạt độ lệch chuẩn 20 hạt Chọn ngẫu nhiên bao hạt điều loại A đếm số lượng a Tìm xác suất để số hạt có bao thấp 310 hạt ? b Tìm xác suất để bao hạt điều chọn có số hạt nằm khoảng từ 345 đến 365 ? c Xác suất để bao hạt điều chọn có số hạt lớn a 10% Tìm giá trị a a = 0,0668 b = 0,2957 c a = 1,282 Bài 14 Tuổi thọ loại bóng đèn đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Normal với thổi thọ trung bình 1500 giờ, độ lệch tiêu chuẩn 150 Nếu thời gian sử dụng khơng q 1251 phải bảo hành miễn phí a) tìm tỉ lệ bóng phải bảo hành b) phải qui định thời gian bảo hành để tỉ lệ bóng phải bảo hành 1% Bài 15 Nhà máy S chuyên sx dây đai an toàn cho xe hơi, nhân viên thống kê cho biết loại linh kiện đàn hồi để làm dây đai an toàn đủ sx vòng Nhân viên vật tư ước lượng linh kiện cung cấp vòng từ 1-4 kể từ đặt hàng Vì khơng có thêm thơng tin khác tiến trình hàng cung cấp nên thời gian cần thiết để cung cấp thêm linh kiện cho có phân phối khoảng từ 1-4 giờ, cho biết khả nhà máy bị hết linh kiện để sx Bài 16 Biến X có phân phối hai giá trị từ -0,4 đến 1,7 a) mô tả phân phối hình ảnh b) tìm xác suất để giá trị X nhận lớn c) tìm xác suất để giá trị chọn ngẫu nhiên nằm 1,7 d) tìm P(X1,7) Bài 17 Một khảo sát đời sống dân cư cho thấy số xem tivi trung bình hàng ngày hộ gia đình Một hãng sx tivi muốn tăng khả cạnh tranh với công ty khác đưa chế độ bảo hành cho bóng đèn hình năm thay 18 tháng trước Hãy xác định khả sản phẩm bị hỏng bóng đèn hình thời gian bảo hành? Biết tuổi thọ bóng đèn có phân phối chuẩn với trung bình 12000 độ lệch chuẩn 1000 b) Nếu sản phẩm lấy sản phẩm tốt khách hàng đồng ý mua kiện hàng Tính xác suất để kiểm tra 100 kiện có 60 kiện mua Bài 17 Xác suất trúng số 1% Mỗi tuần mua vé số Hỏi phải mua vé số liên tiếp tối thiểu tuần để có khơng 95% hy vọng trúng số lần  cho lg 99  1, 9956; lg5  0, 6990 Bài 18 Bưu điện dùng máy tự động đọc địa bì thư để phân loại khu vực gởi đi, máy có khả đọc 5000 bì thư phút Khả đọc sai địa bì thư 0,04% (xem việc đọc 5000 bì thư 5000 phép thử độc lập) a) Tính số bì thư trung bình phút máy đọc sai b) Tính số bì thư tin phút máy đọc sai c) Tính xác suất để phút máy đọc sai bì thư Bài 19 Xác suất để máy sản xuất phế phẩm 0.001 Tính xác suất để 4000 sản phẩm máy sản xuất có khơng phế phẩm Bài 20 Tại điểm bán vé máy bay, trung bình 10 phút có người đến mua vé Tính xác suất để: a) Trong 10 phút có người đến mua vé b) Trong 10 phút có khơng q người đến mua vé Bài 21 Lãi suất (%) đầu tư vào dự án năm 2000 coi đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn Theo đánh giá uỷ ban đầu tư lãi suất cao 20% có xác suất 0,1587, lãi suất cao 25% có xác suất 0,0228 Vậy khả đầu tư mà không bị thua lỗ bao nhiêu? Bài 22 Độ dài chi tiết máy tiện có phân phối chuẩn N( cm;(0, 2cm)2 ) Sản phẩm coi đạt độ dài sai lệch so với độ dài trung bình khơng q 0,3cm a) Tính xác suất chọn ngẫu nhiên sản phẩm sản phẩm yêu cầu b) Chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất có sản phẩm đạt yêu cầu Bài 23 Trọng lượng loại trái có quy luật phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 250g, độ lệch chuẩn trọng lượng 5g Một người lấy trái từ sọt trái a) Tính xác suất người lấy trái loại (trái loại trái có trọng lượng > 260g) b) Nếu lấy trái loại người mua sọt Người kiểm tra 100 sọt, tính xác suất mua sọt Bài 24 Một công ty kinh doanh mặt hàng A dự định áp dụng phương án kinh doanh Ký hiệu X lợi nhuận thu áp dụng phương án thứ 1, X lợi nhuận thu áp dụng phương án thứ X , X tính theo đơn vị triệu đồng/ tháng) X : N  140, 2500 , X : N  200, 3600 Nếu biết rằng, để cơng ty tồn phát triển lợi nhuận thu từ mặt hàng kinh doanh A phải đạt 80 triệu đồng/tháng Hãy cho biết cơng ty nên áp dụng phương án để kinh doanh mặt hàng A? Vì sao? Bài 25 Có hai thị trường A B, lãi suất cổ phiếu hai thị trường biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn, độc lập với nhau, có kỳ vọng phương sai cho bảng đây: Thị trường A Trung bình 19% Phương sai 36 Thị trường B 22% 100 Nếu mục đích đạt lãi suất tối thiểu 10% nên đầu tư vào loại cổ phiếu nào? Bài 26 Nghiên cứu chiều cao người trưởng thành, người ta nhận thấy chiều cao tuân theo quy luật phân bố chuẩn với trung bình 175cm độ lệch tiêu chuẩn 4cm Hãy xác định : a) tỷ lệ người trưởng thành có tầm vóc 180cm, b) tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166cm đến 177cm, c) Tìm h , biết 33% người trưởng thành có tầm vóc mức h , d) giới hạn biến động chiều cao 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung bình Bài 27 Chiều dài chi tiết gia công máy tự động biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 0.01mm Chi tiết coi đạt tiêu chuẩn kích thước thực tế sai lệch so với kích thước trung bình khơng vượt q 0.02mm a) Tìm tỷ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn b) Xác định độ đồng (phương sai) cần thiết sản phẩm để tỷ lệ chi tiết khơng đạt tiêu chuẩn 1% Bài 28 Trọng lượng X loại trái nơng trường biết có kỳ vọng 250gr phương sai 81  gr  Trái đóng thành sọt, sọt 100 trái Mỗi sọt gọi loại A trọng lượng không 25kg Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sọt Tính xác suất : a) có nhiều 30 sọt loại A, ĐÁP ÁN Bài 0.282 Bài a) 0.6247 b) 0.8664 Bài a) 0.18 b) 0.595 Bài a) 0.857 b) 0.1429 c) 0.0527 d) e) Bài a) 0.1563 b) 0.3679 c) 0.284 Bài a)  X  12 ,  X  2.191 , Mod  X   12 b) 0.245 c) 0.416 d) 0.16 Bài a) 0.98 b) Số phế phẩm trung bình = 5, số phế phẩm tin = Bài 0.6103 Bài 0.0936 Bài 10 0.0062 Bài 11 a) 0.033 b) 0.5 c) 0.83 d) 0.967 Bài 12 a) 0.9564 b) 0.9525 Bài 13 a) 0.0233 b) 0.9525 Bài 14 a) X+Y P 64 125 48 125 12 125 125 16 50 24 50 50 50 b) Z P Bài 15 1) a) 0.01024 , b) 0.07776 , c) 0.98976 , d) 0.91296 2) 167 Bài 16 a) Gọi X số sản phẩm tốt sản phẩm lấy ra, X : H  10;8;3 , X P 0.066 0.467 0.467 b) 0.0038 Bài 17 296 tuần Bài 18 a) b) c) 0.3233 Bài 19 0.7851 Bài 20 a) 0.0596 b) 0.4335 Bài 21 0.5 Bài 22 a) 0.8664 b) 0.9512 Bài 23 a) 0.1587 b) 0.0029 Bài 24 P  X �80  0.8849 , P  X �80  0.9772 , nên ta chọn phương án thứ Bài 25 Nên đầu tư vào loại cổ phiếu thị trường A Bài 26 a) 0.1056 b) 0.6793 c) 173.24 d) 6.6 Bài 27 a) 0.9544 b) 0.032 Bài 28 a) 0.8413 b) 0.9987 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC Bài Ba xạ thủ độc lập bắn vào mục tiêu Xác suất bắn trúng tương ứng 0,7; 0,8; 0,5, xạ thủ bắn viên d) lập luật phân phối số viên trúng e) Tìm số viên trúng mục tiêu tin nhất, số viên trúng mục tiêu trung bình phương sai số viên trúng f) Tính xác suất có viên trúng Bài Có lơ sản phầm, lơ có 10 sản phẩm Lơ thứ i có i sản phẩm hỏng (i = 1,3) Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm Gọi X số sản phẩm hỏng sản phẩm lấy d) lập luật phân phối X e) tìm Mode X, trung bình X phương sai X f) tìm P[3X20] Bài Trong nhà ni gà Xác suất đẻ trứng tương ứng là: 0,6; 0,5; 0,8 Gọi X số trứng thu ngày Hãy lập luật phân phối X Bài Có bóng đèn lắp mạch hình 12 xác suất để bóng thứ i hỏng thời điểm i% (i=1,4) Gọi X số bóng đèn phát sáng lúc quan sát Lập luật phân phối X 11 22 Bài Xác suất để gà đẻ ngày 0,6 Trong chuồng có 10 Tính xác suất để ngày có: e) 10 đẻ f) đẻ g) Tất không đẻ h) Họ phải ni để ngày thu khơng 30 trứng Bài Một sách dày biết trung bình trang có chữ có lỗi Tính xác suất mở trang thấy có chữ có lỗi Bài Quản lí tòa cao ốc cho thuê văn phòng ghi nhận trung bình phút có 10 người chờ thang máy tiền sảnh tòa nhà khoảng thời gian 8g đến 9g sáng c) tìm xác suất để phút khoảng thời gian tối đa chờ d) tính lại xác suất xấp xỉ tình cách dùng phân phối bình thường so sánh hai kết tìm Bài Tuổi thọ máy điện tử đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 4,2 năm độ lệch tiêu chuẩn trung bình 1,5 năm Bán máy lãi 140 ngàn đồng song máy phải bảo hành lỗ 300 ngàn đồng Vậy để tiền lãi trung bình bán máy 30 ngàn phải qui định thời gian bảo hành bao lâu? Bài Một kiện hàng có sản phẩm Mọi giả thiết số sản phẩm tốt có kiện đồng khả Lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm để kiểm tra thấy hai sản phẩm tốt tìm qui luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt có sản phẩm lại kiện Bài 10 Gọi Z biến ngẫu nhiên có phân phối bình thường chuẩn hóa Hãy tính xác suất sau đây: g) h) i) j) k) l) P (0  Z  2.5) P (-1.5  Z  2.5) P (Z ≥ -2.5) P (-2.5  Z  1.5) P (Z = 4) P (Z ≥ 0) Bài 11 Cho Z biến số bình thường chuẩn hóa, tìm C để d) P (Z ≥ C) = 0,025 e) P (Z  C) = 0,02872 f) P (-C  Z  C) = 0,95 Bài 12 Trọng lượng trẻ em vườn trẻ xem biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối normal với X  N (8,6;0,62) Chọn trẻ d) tính xác suất để em bé chọn có trọng lượng từ đến 9,8 kg e) tính xác suất để em bé chọn có trọng lượng 7,8kg f) tính xác suất để em bé lấy có trọng lượng 8,5kg Bài 13 Xác suất để sinh viên nhập học cao học tốt nghiệp 0,4 (gọi xác suất thành) Tìm xác suất suất để sinh viên nhập học d) người tốt nghiệp e) có người tốt nghiệp f) có người tốt nghiệp Bài 14 Tại khúc sông, số cá câu mỗi người câu phân phối theo qui luật Poisson với trung bình 1,2 con/h Nếu người ngồi câu nơi 1,5 cho biết khả để người câu c) cá d) cá Bài 15 Trong chuyến bay đường dài hãng hàng không P phục vụ loại đồ ăn tráng miệng kem, bánh táo nướng bánh socola Kinh nghiệm lâu nữ tiếp viên cho thấy hành khách máy bay ưa thích ba loại đồ tráng miệng c) Nếu mẫu ngẫu nhiên hành khách chọn, tính xác suất để có hai khách chọn kem để tráng miệng? d) Nếu mẫu 21 khách chọn, cho biết xác suất để có hai khách chọn kem để tráng miệng? Bài 16 Khách hàng đến tiệm rửa xe gắn máy ông An với cường độ xe nửa e) tính xác suất để có xe đến tiệm nửa f) cho biết xác suất để sau khách vừa đến, khách đến vòng phút {P(X = 2)} g) cho biết xác suất xấp xỉ để có xe đến tiệm nửa dùng phân phối bình thường h) so sánh kết câu a câu c Bài 17 Căn liệu khứ người ta thấy 40% khách hàng siêu thị D sử dụng thẻ tín dụng để toán cho hàng mua Nếu mẫu ngẫu nhiên khách hàng chọn, tìm xác suất sau h) khơng có khách hàng tốn thẻ i) có khách hàng thành tốn thẻ j) có khách hàng tốn thẻ k) có khơng q khách hàng thành toán thẻ mẫu ngẫu nhiên 200 khách hàng chọn, tìm xác để l) có 75 khách tốn thẻ m) khơng q 70 khách tốn thẻ n) có từ 70 đến 75 khách tốn thẻ Bài 18 Tồn số liệu thống kê số lượng xe đạp bán hàng tháng cửa hàng Thuận Phát qua năm cho thấy số lượng xe bán hàng tháng dao động khoảng 100 đến 400 Bảng phân phối tần suất cho sau: a Lập bảng phân phối xác suất lượng xe đạp bán cửa hàng b Tìm kỳ vọng số xe đạp bán tháng c Tìm phương sai độ lệch chuẩn lượng xe đạp bán tháng d Tìm P(300 ≤ x ≤ 350) e Tìm P(100 ≤ x < 310) b 246 c Phương sai = 5904 Độ lệch chuẩn = 76,8375 d 0,25 c 0,7 Bài 19 Nhân viên tiếp thị công ty Tiềm Năng thực đợt khảo sát thị trường cho sản phẩm công ty Trong 236 người hỏi ngẫu nhiên có 194 người trả lời khơng thích sản phẩm Chọn mẫu ngẫu nhiên 16 người để hỏi a Tìm kỳ vọng số người trả lời thích sản phẩm b Tìm xác suất để có 15 người trả lời khơng thích sản phẩm c Tìm xác suất để có từ đến 10 người trả lời thích sản phẩm d Giả sử số người thích sản phẩm, nửa có nhu cầu mua sản phẩm, với quy mơ thị trường có 5.698.325 người dân kỳ vọng có người có nhu cầu mua sản phẩm f g h i j Kỳ vọng 2,85 ≈ = 0,1505 0,0033 1.014.109 người 507.055 BT BIẾN NGẪU NHIÊN Xác định biến ngẫu nhiên Bài Cho hàm mật độ biến ngẫu nhiên X có dạng �Ax x � 0,1 a) f (x)  � �0 x � 0,1 x � 0,  x � 0,  �A sin x b) f (x)  � � �A cos x � c) f (x)  � � � �A d) f (x)  � x4 � �0 x � 0, 12  x � 0, 12  x �1 x1 Hãy xác định A Tìm hàm phân phối xác suất X Tính  X , 2X , có Bài Tuổi thọ loại bóng đèn biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với hàm mật độ sau �kx2 (4  x) �x �4 f (x)  � x �[0, 4] � a) Tìm k vẽ đồ thị f(x) b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước năm tuổi Bài Trọng lượng vịt tháng tuổi biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính Kg) có hàm mật độ �k(x2  1) �x �3 f (x)  � x �[1, 3] � a) Tìm k b) Với k tìm được, tìm (i) trọng lượng trung bình vịt tháng tuổi, (ii) hàm phân phối xác suất X, (iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt tháng tuổi chậm lớn vịt có trọng lượng nhỏ 2Kg Bài Cho hàm mật độ biến ngẫu nhiên X có dạng � a cos x x ��  2 , 2 � � � � f (x)  �   x ��  , 2� � � � a) Tìm a xác định hàm phân phối xác suất F(x) X � � b) Tính xác suất để X nhận giá trị khoảng � ,  � �4 � Bài Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối  � x , � �   � F (x)  � a  bsin x  �x � , 2 �  � x � � với a, b số a) Tìm a b b) Với a b tìm câu a), tính hàm mật độ f(x) X; Mod  x ; Me x ; � � P� X  � � 4� Vectơ ngẫu nhiên Bài Số trẻ em sinh tuần làng A đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất X P 0,4 0,3 0,2 0,1 Số người chết tuần làng A đại lượng ngẫu nhiên Y có phân bố xác suất Y P 0,1 Giả sử X Y độc lập 0,3 0,4 0,15 0,05 a) Tìm phân phối xác suất đồng thời X Y b) Tính P(X > Y) Bài Cho bảng phân phối xác suất đồng thời X, Y sau : Y X 0,1 0,06 0,3 0,18 0,2 0,16 a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần X Y b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện X Y c) Tính covariance hệ số tương quan X Y Tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên Bài Các đại lượng ngẫu nhiên X Y có bảng phân phối xác suất đồng thời sau Y X 2 0,12 0,28 0,15 0,35 0,03 0,07 a) Chứng minh X Y độc lập b) Lập bảng phân phối xác suất Z = XY Từ tính E(Z) kiểm tra E(Z)  E(X)E(Y ) Bài Cho X, Y hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời sau -1 X -1 Y 1 1 6 8 Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) (X, Y ) Bài 10 Cho X,Y hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời sau Y X -1 -1 15 15 0 15 15 15 15 15 a) Tìm  X ,  Y , cov(X,Y) (X, Y ) b) X Y có độc lập khơng ? Bài 11 Có hai hộp, hộp đựng bi Trong hộp có : bi mang số 1, bi mang số 2, bi mang số Trong hộp hai có : bi mang số 1, bi mang số 2, bi mang số Rút từ hộp bi Gọi X số ghi bi rút từ hộp một, Y số ghi bi rút từ hộp hai a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời V   X, Y  b) Bảng phân phối xác suất lề X , Y c) Kỳ vọng, phương sai X , Y d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan Bài 12 Tung ba lần độc lập xúc xắc Gọi X số lần mặt chẵn xuất Y số lần mặt lẻ xuất a) Lập bảng phân phối xác suất X Y b) Tính hệ số tương quan (X, Y ) Nhận xét? ĐÁP ÁN Bài 2 ,  X  0.055 , �x �1 x0 x1 a) A  ,  X  �x2 � F  x  �0 �1 � b) A  0.5 ,  X   2 ,   2, X �1 �2   cos x �x � � F  x  � x0 � x � � 1 3 c) A   ,  X   , 2X  ,  2 � sin  x �x � � � F  x  � x0 � � x � 3 d) A  3,  X  ,  X  , � 1 x �1 � F  x  � x3 � x  � Bài a) k  , 64 0.4 0.3 0.2 0.1 b) 0.0508 Bài 3 20 b) (i)  X  2.4 kg (ii) �x3  3x  �x �3 � 20 � � F  x  � x1 � x3 � � 0.2 (iii) a) k  Bài ,   �sin x   �x � � 2 �  � F  x  � x �  � x � � b) 0.1465 a) a  Bài a) a  1 , b 2 � � X  0.1465 , b) Mod  x  , M e x  , P � � 4� � �1 �  �  , � �2 cos x x �� � � 2� f  x  � �  � � x ��  , � � � 2� � Vectơ ngẫu nhiên Bài a) Y X 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02 0.03 0.09 0.12 0.045 0.015 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01 0.01 0.03 0.04 0.015 0.005 b) 0.19 Bài a) X PX 0.16 0.48 Y PY 0.6 0.4 0.36 b) Y X X Y 0.17 0.5 0.33 0.15 0.45 0.4 0.625 0.625 0.56 0.375 0.375 0.44 c) cov(X, Y )  0.02 , (X, Y )  0.059 Tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên Bài b) Z P 0.12 0.43 0.03 E  Z  2.89 , E  X   1.7 , E  Y   1.7 0.35 0.07 Bài X   ,  Y  , cov(X, Y )  0.125 , (X, Y )  0.1502 Bài 10 a)  X  0.467 ,  Y  , cov(X, Y )  , (X, Y )  b) X Y độc lập Bài 11 a) Y X 36 36 36 36 36 36 b) X PX 36 Y PY 36 3 36 36 36 2 36 36 3 36 36 2 c)  X  2.33 ,  Y  1.83 ,  X  0.555 ,  Y  0.472 d) cov(X, Y )  0.0139 , (X, Y )  0.027 Bài 12 a) X PX 0.125 0.375 0.375 0.125 Y PY 0.125 0.375 0.375 0.125 b) (X, Y )  1 , X Y phụ thuộc chặt, nghịch biến ... bình 1,2 con/h Nếu người ngồi câu nơi 1,5 cho biết khả để người câu a) cá b) cá Bài 15 Trong chuyến bay đường dài hãng hàng không P phục vụ loại đồ ăn tráng miệng kem, bánh táo nướng bánh socola... trị k để P(26 < X < X +2k) = 25% Bài Sở Du lịch Thành phố muốn đánh giá mức chi tiêu bình quân ngày khách du lịch đến tham quan Thành phố Một nhóm khách du lịch gồm 20 người chọn ngẫu nhiên để... Tính tốn mức chi tiêu trung bình ngày khách du lịch đến thăm thành phố b Tìm phương sai độ lệch chuẩn mức chi tiêu khách du lịch c Giả sử mức chi tiêu du khách ngày tuân theo luật phân phối chuẩn