Đang tải... (xem toàn văn)
Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHỔNG THỊ THÚY HỒNG VỀ GIẢ THUYẾT ABC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHỔNG THỊ THÚY HỒNG VỀ GIẢ THUYẾT ABC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu Các 1.1 1.2 1.3 1.4 kiến thức chuẩn bị Ideal Radical Phép lấy đạo hàm Định lý Mason Một vài ứng dụng 4 13 15 Giả 2.1 2.2 2.3 2.4 thuyết abc số ứng dụng Giả thuyết abc Một số ứng dụng giả thuyết abc Giả thuyết abc đồng dư Một số hệ khác giả thuyết abc 2.4.1 Số lũy thừa hoàn hảo 2.4.2 Phương trình Fermat tổng quát 2.4.3 Gi thuyt Erdăos - Woods 2.4.4 Bài toán Warings 2.4.5 Bài toán ca P Erdăos 2.4.6 Mạnh giả thuyết abc Ước lượng 2.4.7 Giả thuyết abc dạng tường minh 21 21 21 29 37 37 39 40 41 42 43 44 định lý Mason tốt có thể? Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Từ xa xưa, nhà toán học biết chuyển kết số học sang giải đa thức từ toán giả thuyết cho đa thức, người ta phát biểu tương tự cho số học Điều hoàn toàn hợp lý, tập số nguyên tập đa thức có tương tự lớn Việc giải toán đa thức thường đơn giản đa thức có phép tính đạo hàm Vì định lý Mason cho đa thức phát biểu tương tự cho số nguyên giả thuyết abc Giả thuyết phát biểu vào năm 1985 J Oesterle’ kết đường cong Elliptic môn hình học đại số, sau D.R Mason phát biểu dựa vào tương tự số nguyên đa thức Giả thuyết abc kéo theo nhiều hệ giả thuyết liên quan Mục đích luận văn trình bày định lý Mason số ứng dụng định lý Từ định lý Mason cho đa thức ta có tương tự số học giả thuyết abc Từ nghiên cứu số hệ số nhiều hệ giả thuyết Bản luận văn "Về giả thuyết abc số ứng dụng" tiến hành chủ yếu dựa vào số tài liệu tham khảo Bài luận văn "Về giả thuyết abc số ứng dụng" gồm có: mở đầu, hai chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày định nghĩa ideal, radical, số tính chất ideal, radical Phép lấy đạo hàm vành tính chất phép lấy đạo hàm Định lý Mason số ứng dụng định lý Chương Giả thuyết abc số ứng dụng Trong chương trình bày giả thuyết abc số hệ giả thuyết Định lý tiệm cận Fermat, Định lý tiệm cận Catalan số hệ khác Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Nơng Quốc Chinh, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn tận tình thầy Em xin trân trọng cảm ơn thầy, cô Ban Giám hiệu, Khoa Tốn - Tin, phòng đào tạo trường Đại học Khoa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K7B Trường Đại học Khoa học, gia đình tơi động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tuy nhiên hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên chắn q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận dạy đóng góp thầy, bạn đồng nghiệp Tác giả Chương Các kiến thức chuẩn bị Mục đích tơi chương trình bày số kiến thức ideal, radical, phép lấy đạo hàm vành, định lý Mason vài ứng dụng định lý Trong chương ta quy ước vành R vành giao hốn, có phần tử đơn vị 1.1 Ideal Radical Định nghĩa 1.1 Một tập I vành R gọi ideal R nếu: i) I nhóm nhóm (R, +) ii) ax ∈ I, ∀a ∈ I, x ∈ R Ví dụ 1.1 i) R {0} ideal R ii) Tập số nguyên chẵn ideal vành Z iii) Tập đa thức có hạng tử tự ideal vành R [t], R [t] vành đa thức với hệ số vành R Mệnh đề 1.1 Giao họ ideal vành R cho trước ideal R Chứng minh Giả sử (Ai )i∈I họ ideal R Đặt A = ∩ Ai i∈I Khi A nhóm nhóm cộng giao hốn R Ta có ∀x ∈ R, ∀a ∈ A ⇒ a ∈ Ai ∀i ⇒ ax ∈ Ai ∀i ⇒ ax ∈ A ⇒ A ideal R Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 1.2 Nếu A tập khác rỗng vành R tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn có dạng a1 r1 + a2 r2 + + ak rk với ∈ A, ri ∈ R, i = 1, , k ideal R kí hiệu A gọi ideal sinh A Một ideal sinh phần tử a ∈ R gọi ideal kí hiệu a = aR = {ar : r ∈ R} Định nghĩa 1.3 Vành vành mà ideal ideal Ví dụ 1.2 i) Z vành ii) Z/mZ vành Định nghĩa 1.4 Một ideal I vành R gọi ideal nguyên tố nếu: i) I = R ii) ∀a, b ∈ R, ab ∈ I kéo theo a ∈ I b ∈ I Định nghĩa 1.5 Phổ vành R kí hiệu Spec(R), tập tất ideal nguyên tố R Định lí 1.1 Phổ vành số nguyên Spec(Z) = {pZ : p số nguyên tố p = 0} Chứng minh Vì Z vành nên ideal có dạng dZ với d số nguyên không âm Nếu d = dZ = {0}, ideal {0} ideal nguyên tố, ab = a = b = Giả sử d ≥ TH1 : d = p số nguyên tố ab ∈ pZ p ước ab Theo bổ đề Euclid, p ước a p ước b, a ∈ pZ b ∈ pZ Vậy pZ iđêan nguyên tố với số nguyên tố p TH2 : d hợp số, ta viết d = ab, < a ≤ b < d Nếu a ∈ dZ a = dk = abk với k nguyên dương, suy = bk , vơ lý Do a ∈ / dZ Tương tự b ∈ / dZ Vì d = ab ∈ dZ, suy dZ ideal nguyên tố Do vậy, ideal nguyên tố vành Z ideal có dạng pZ, với p nguyên tố p = Định lý chứng minh Định nghĩa 1.6 Một phần tử x vành R gọi lũy linh tồn số nguyên dương k cho xk = Ví dụ 1.3 i) Phần tử khơng vành phần tử lũy linh Phần tử đơn vị vành không phần tử lũy linh ii) Lớp đồng dư + 27Z phần tử lũy linh vành Z/27Z Định nghĩa 1.7 Ta gọi tập tất phần tử lũy linh R radical vành R kí hiệu N (R) Nhận xét N (R) ideal vành R Thật vậy: • ∀a, b ∈ N (R), tồn số nguyên k, h cho ak = 0, bh = Dùng khai triển Newton có hạng tử khai triển (a − b)k+h 0, suy (a − b)k+h = nên (a − b) ∈ N (R) • ∀a ∈ N (R), ∀x ∈ R, R vành giao hoán ta có (ax)k = ak xk = 0, suy ax ∈ N (R) Định nghĩa 1.8 Ta gọi tích ước nguyên tố khác số nguyên khác khơng m radical số m kí hiệu rad (m) Ta có rad (m) = p p|m Ví dụ 1.4 rad (72) = 2.3 = 6, rad (30) = 2.3.5 = 30, rad (−1) = rad (3n ) = 3, rad (n!) = p, p số nguyên tố 2≤p≤n n rad (a ) = rad a số nguyên a Định lí 1.2 Với m ≥ ta có: i) Z/mZ vành ideal Z/mZ ideal sinh lớp đồng dư d + mZ, với d ước m ii) Các ideal nguyên tố Z/mZ ideal sinh lớp đồng dư p + mZ, p ước số nguyên tố m iii) Radical Z/mZ ideal sinh lớp đồng dư rad (m) + mZ Chứng minh i) Giả sử J ideal vành Z/mZ Xét phép chiếu tắc p : Z → Z/mZ (p (x) = x + mZ) Ta có p đồng cấu vành p−1 (J) = I ideal Z Rõ ràng I = {a ∈ Z|p (a) = a + mZ ∈ J} Do Z vành nên I ideal chính, ta có I = dZ (d số nguyên dương nhỏ I ) Do p (m) = mZ ∈ J nên m ∈ I = dZ suy d ước m Mặt khác, d ∈ I nên p (d) = d + mZ ∈ J suy ideal Z/mZ sinh d + mZ chứa J Ngược lại, lấy a + mZ ∈ J ta có a ∈ I nên a = dr với r nguyên Suy a + mZ = dr + mZ = (d + mZ) (r + mZ) ∈ d + mZ Từ suy J = d + mZ a + mZ ∈ J d ước a ii) Gọi J ideal sinh d + mZ, d ước m, d ≥ Nếu d = p nguyên tố (a + mZ) (b + mZ) = ab + mZ ∈ J p ước ab p ước a b, tức a + mZ ∈ J b + mZ ∈ J suy J ideal nguyên tố Nếu d = ab hợp số, < a ≤ b < d a + mZ ∈ / J b + mZ ∈ / J (a + mZ) (b + mZ) = d + mZ ∈ J , nên J ideal nguyên tố Do đó, ideal nguyên tố vành Z/mZ ideal có dạng p + mZ, p ước nguyên tố m Do Spec (Z/mZ) = p + mZ | với p ước nguyên tố m iii) Lớp đồng dư a + mZ lũy linh R với k nguyên dương (a + mZ)k = ak + mZ = mZ Điều tương đương với a + mZ lũy linh m ước ak Suy rad (m) ước rad ak = rad (a) Từ ta có rad (m) ước a Vì a + mZ ∈ rad (m) + mZ Ta có N (Z/mZ) = rad (m) + mZ Định lý chứng minh Cho f (t) ∈ C [t] đa thức bậc n Nếu α1 , , αr nghiệm phân biệt f (t) ta phân tích f (t) thành tích số hạng tuyến tính dạng f (t) = cn ri=1 (t − αi )mi , hệ số cn = m1 + + mr = n Định nghĩa 1.9 Radical đa thức f (x) định nghĩa r (t − αi ) rad (f ) = i=1 Tập hợp nghiệm đa thức f (t) tập hữu hạn Z (f ) = {α ∈ C : f (α) = 0} = {α1 , , αr } ... Một vài ứng dụng 4 13 15 Giả 2.1 2.2 2.3 2.4 thuyết abc số ứng dụng Giả thuyết abc Một số ứng dụng giả thuyết abc Giả thuyết abc đồng dư Một số hệ khác giả. .. số học giả thuyết abc Từ nghiên cứu số hệ số nhiều hệ giả thuyết Bản luận văn "Về giả thuyết abc số ứng dụng" tiến hành chủ yếu dựa vào số tài liệu tham khảo Bài luận văn "Về giả thuyết abc số. .. radical Phép lấy đạo hàm vành tính chất phép lấy đạo hàm Định lý Mason số ứng dụng định lý Chương Giả thuyết abc số ứng dụng Trong chương trình bày giả thuyết abc số hệ giả thuyết Định lý tiệm cận