Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)

71 73 0
Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdós (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ SỰ TỒN TẠI LỤC GIÁC LỒI RỖNG ˝ TRONG BÀI TOÁN ERDOS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ SỰ TỒN TẠI LỤC GIÁC LỒI RỖNG ˝ TRONG BÀI TOÁN ERDOS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN-2015 Mục lục Mở đầu iii Tổng quan toán Erd˝ os đa giác lồi 1.1 Giới thiệu xây dựng kết 1.2 Phương pháp chứng minh 1.3 Định nghĩa kí hiệu 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Vị trí rỗng Chứng minh công thức đánh giá E(6) ≤ 463 2.1 Trường hợp đơn giản 2.2 Trường hợp với j = (1 ≤ i ≤ 5) 2.2.1 Cấu hình dạng (8,1,0) 2.2.2 Cấu hình dạng (8,2,0) 2.2.3 Cấu hình dạng (8,3,0) 2.2.4 Cấu hình dạng (8,4,0) 2.2.5 Cấu hình dạng (8,5,0) 2.3 Trường hợp với điểm 2.3.1 Cấu hình dạng (8,3,1) 2.3.2 Cấu hình dạng (8,4,1) 2.3.3 Cấu hình dạng (8,7,1) 2.4 Các trường hợp, sử dụng tính chất tối thiểu bát giác 2.4.1 Cấu hình dạng (8,3, ≥ 2) 2.4.2 Cấu hình dạng (8,4, ≥ 2) 2.4.3 Cấu hình dạng (8,5, ≥ 3) 2.4.4 Cấu hình dạng (8,6,5) 2.5 Các trường hợp áp dụng tính cực tiểu bát giác 2.5.1 Cấu hình dạng (8,6,4) i 1 14 14 14 15 15 16 17 18 18 19 19 20 21 22 23 24 26 27 28 2.6 2.7 2.5.2 Cấu hình dạng (8,5,2) 2.5.3 Cấu hình dạng (8,7,5) Trường hợp cá biệt 2.6.1 Cấu hình dạng (8,6,3) 2.6.2 Cấu hình dạng (8,7,4) Phần chứng minh: Các trường hợp đặc biệt 2.7.1 Cấu hình dạng (8,7,3) 2.7.2 Cấu hình dạng (8,6,2) 2.7.3 Cấu hình dạng (8,6,1) 2.7.4 Cấu hình dạng (8,5,1) Kết luận 33 34 35 35 38 42 42 47 52 58 63 ii Mở đầu Giả thuyết Erd˝os-Szekeres đề cập từ sớm (vào năm 1935): Mọi tập khơng 2n−2 + điểm mặt phẳng vị trí tổng quát (khơng có ba điểm thẳng hàng) chứa n điểm đỉnh đa giác lồi Bất chấp cố gắng hàng trăm nhà toán học nghiên cứu viết hàng trăm báo, giả thuyết Erd˝os-Szekeres chứng minh trọn vẹn cho trường hợp n = 3, 4, Gần đây, năm 2006, trường hợp n = chứng minh Szekeres Peters nhờ máy tính Sau đó, năm 2009, ba nhà toán học Knut Dehnhardt, Heiko Harboth Zsolt Lángi đưa chứng minh túy toán học cho trường hợp riêng trường hợp n = Năm 1978, Erd˝os phát biểu tốn mới, tốn Erd˝os đa giác lồi rỗng: Cho n số tự nhiên bất kỳ, tồn hay không số nguyên dương nhỏ E(n) cho từ tập chứa tối thiểu E(n) điểm vị trí tổng quát mặt phẳng chọn n điểm đỉnh đa giác lồi rỗng Bài toán thu hút nhiều nhà nghiên cứu hình học tổ hợp giới Ngay sau đó, vào năm 1978, Harborth chứng minh E(5) = 10 Năm 1983, với n, Horton xây dưng tập mà với n ≥ lấy đa giác lồi rỗng đỉnh Như vậy,chỉ lại trường hợp n = Năm 2003, Overmars chứng minh nếu, E(6) tồn E(6) ≥ 30 Năm 2008, Koselev Chứng minh định lý: tập với tối thiểu 463 điểm vị trí tổng quát mặt phẳng chứa điểm tạo thành lục giác lồi rỗng Luận văn có mục đích trình bày chứng minh cơng thức E(6) ≤ 463 theo báo Koselev [20] Để làm rõ tranh toàn cục, Luận văn trình bày tổng quan tốn Erd˝os đa giác lồi rỗng Luận văn gồm chương: iii Chương 1: Tổng quan toán Erd˝os đa giác lồi rỗng Chương 2: Chứng minh đánh giá E(6) ≤ 463 Koselev Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình tập dượt nghiên cứu viết luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô giáo trường Đại học Khoa học - Đạị học Thái Nguyên Viện Toán học Việt Nam tận tình giảng dạy giúp đỡ để tơi hồn thành khóa học Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ, khích lệ tạo điều kiện cho trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Nguyễn Thị Hằng iv Chương Tổng quan toán Erd˝ os đa giác lồi rỗng 1.1 Giới thiệu xây dựng kết Năm 1935 Erd˝ os-Szekeres phát biểu toán sau Bài toán 1(Erd˝ os-Szekeres) Cho số nguyên n ≥ 3, tìm số nguyên dương nhỏ g(n) cho từ tập hợp điểm mặt phẳng vị trí tổng quát chứa tối thiểu g(n) điểm chọn tập hợp có n điểm đỉnh đa giác lồi n cạnh Năm 1978 Erd˝ os phát biểu dạng khác toán Bài tốn (Erd˝ os-Szekeres) Cho số ngun n ≥ 3, tìm số nguyên dương nhỏ h(n) cho từ tập điểm X mặt phẳng vị trí tổng quát chứa tối thiểu h(n) điểm chọn tập hợp gồm n điểm mà phần tử đỉnh n giác lồi rỗng Nghĩa n giác lồi không chứa điểm bên X Ta nhắc lại tập đỉnh mặt phẳng vị trí tổng qt khơng có ba điểm nằm đường thẳng Cả hai toán tốn điển hình hình học tổ hợp lý thuyết Ramsey (xem [5], [6], [7]) Bài toán thứ Erd˝os-Szekeres xét báo [2] Erd˝os-Szekeres chứng minh tồn g(n) với n dựa đánh giá 2n − g(n) ≤ n − +1 đưa giả thuyết g(n) = 2n−2 +1 Giả thuyết khẳng định cho n ≤ Ở trường hợp g(n) = hiển nhiên Trường hợp g(4) = chứng minh Klein năm 1935 (xem Hình biểu thị tất khả phân bố điểm mặt phẳng) Mệnh đề g(5) = Ender Makai chứng minh Tuy nhiên, Makai phản ví dụ nói g(5) ≥ Mệnh đề g(5) = chứng minh Đoàn Hữu Dũng 1967 [1] Mệnh đề g(6) = 17 khẳng dịnh Szekeres Peter năm 2006 Ngoài năm 1961, Erd˝os-Szekeres chứng minh đánh giá g(n) ≥ 2n−2 +1 Hình 1: Mọi tập hợp từ năm điểm chứa tứ giác lồi 2n − + nhiều lần làm tốt lên n−2 Đã có ba kết liên tiếp vào năm 1998 Kết thuộc hai 2n − vợ chồng F.Chung R.Graham: g(n) ≤ n − (xem [9]) Kết 2n − thứ hai thuộc Kleitman Pachter g(n) ≤ + − 2n n−2 (xem [10]) Và cuối đánh giá tốt thứ ba thuộc Tóth Valtr 2n − g(n) ≤ n − +2 (xem [11]) Trong năm 2005 Tóth Vailtr thay 2n − đánh giá đánh giá g(n) ≤ n − + với (n ≥ 5) tốt đơn vị (xem [12]) đánh giá tốt Như giả thuyết Erd˝os-Szekeres chưa chứng minh chưa có phản ví dụ Bất đẳng thức g(n) ≤ Bài tốn nghiên cứu tương đối sâu Đẳng thức h(3) = h(4) = hiển nhiên (xem Hình 1) Đánh giá h(5) = 10 chứng minh Harborth 1978 (xem [13]) Năm 1983 Horton chứng minh h(n) không tồn n ≥ (xem [14]) Mãi đến năm 2006 Gerken chứng minh tồn h(6) chứng minh bất đẳng 13 thức h(6) ≤ g(9) ≤ + = 1717 (xem [15]) Và tất đánh giá cho h(6) chứng minh máy tính Đánh giá thuộc Overmars Scholten năm 1988, h(6) ≥ 27 (xem [16]) Đánh giá năm 2001 Overmars đánh giá tốt h(6) ≥ 30 (xem [17]) Sai khác đánh giá đánh giá lớn Làm giảm đánh giá tốn khó B.A.Koselev chứng minh định lý sau Định lí (Koselev, [20], 2008) Ta có bất đẳng thức h(6) ≤ max {g(8), 400} ≤ 463 Lịch sử tốn Erd˝os-Szekeres xem báo tổng quan Soltan [5] 1.2 Phương pháp chứng minh Ta nói tập hữu hạn điểm mặt phẳng chứa k-giác cho từ tập chọn tập hợp k điểm đỉnh k -giác Hình 2: Định nghĩa tập H, I, J, K Để chứng minh Định lý cần khẳng định tập hợp mặt phẳng vị trí tổng qt mà có số điểm lớn 463 phải tồn lục giác lồi rỗng Ta cố định tập điểm bất kì, ta nhận xét tập điểm X chứa tối thiểu X bát giác lồi Quan hệ bao hàm tập hợp tất bát giác lồi tạo nên tập hợp X quan hệ chặt Bởi ln ln nói bát giác nhỏ kể điểm từ X Chọn chúng kí hiệu tập đỉnh chúng tập H Kí hiệu I = (conv(H)\H) ∩ X tập tất điểm X nằm bên bao lồi H Hoặc I rỗng (khi ta có bát giác rỗng) Hoặc conv(I ) chứa đa giác lồi đoạn (2-giác) điểm (1-giác) Ta kí hiệu I tập tất đỉnh (I = ∂(conv(I )) ∩ X) Nếu |I| > xây dựng J = (conv(I)\I) ∩ X tập hợp tất điểm X mà nằm bên bao lồi I Nhận xét J = conv(J ) đa giác lồi (có thể 1-giác 2-giác), ta xây dựng J tập hợp tất đỉnh Tương tự xây dựng tập K, L trình kết thúc sau hữu hạn bước Hình 3: Tập hợp dạng (8,0,0, ) (8,3,0, ) Đặt i = |I| j = |J|, Ta nói tập X có dạng (8, i, j, ) Trong trường hợp suy biến xuất dạng (8, 0, 0, ), (8, i, 0, ), (xem Hình 3) ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HẰNG VỀ SỰ TỒN TẠI LỤC GIÁC LỒI RỖNG ˝ TRONG BÀI TỐN ERDOS Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học... thành lục giác lồi rỗng Luận văn có mục đích trình bày chứng minh cơng thức E(6) ≤ 463 theo báo Koselev [20] Để làm rõ tranh tồn cục, Luận văn trình bày tổng quan toán Erd˝os đa giác lồi rỗng. .. I = (conv(H)H) ∩ X tập tất điểm X nằm bên bao lồi H Hoặc I rỗng (khi ta có bát giác rỗng) Hoặc conv(I ) chứa đa giác lồi đoạn (2 -giác) điểm (1 -giác) Ta kí hiệu I tập tất đỉnh (I = ∂(conv(I ))

Ngày đăng: 17/03/2018, 17:07

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan