ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— TRẦN VIỆT ANH CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT VÀI LỚP BÀI TỐN CÂN BẰNG CĨ TÍNH LỒI VÀ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62460102 DỰ THẢO TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 MỞ ĐẦU Trong thực tế, bên cạnh mơ hình tốn học đòi hỏi phải tìm nghiệm chung hai tốn khơng gian, có mơ hình, chẳng hạn mơ hình IMRT (Intensity-Modulated Radiation Therapy) xạ trị liệu u cầu tìm nghiệm tốn khơng gian cho ảnh qua tốn tử tuyến tính bị chặn nghiệm tốn khơng gian khác Bài tốn chấp nhận tách (SFP - Split Feasibility Problem) phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q, (SF P ) C, Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 , H2 A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế tốn xử lý tín hiệu khôi phục ảnh, liệu pháp xạ trị với cường độ điều chỉnh (intensitymodulated radiation therapy) toán khác Bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert hữu hạn chiều giới thiệu lần Censor Elfving Để giải toán chấp nhận tách không gian hữu hạn chiều, Byrne đề xuất thuật toán CQ cách xét dãy, với k ≥ 0, xk+1 = PC (xk + γAT (PQ − I)Axk ), C, Q hai tập lồi đóng khác rỗng Rn Rm , A ma trận thực m × n, L giá trị riêng lớn ma trận AT A γ ∈ 0, L Gần đây, Xu giải toán chấp nhận tách khơng gian Hilbert vơ hạn chiều thuật tốn CQ có dạng xk+1 = PC (xk + γA∗ (PQ − I)Axk ), A∗ toán tử liên hợp A Tác giả chứng minh dãy A {xk } hội tụ yếu đến nghiệm toán chấp nhận tách với điều kiện toán chấp nhận tách có nghiệm Thuật tốn CQ để giải tốn chấp nhận tách đòi hỏi phải tìm hình chiếu tập C Q, nhiên trường hợp tập C, Q cho dạng ẩn, ví dụ tập điểm bất động ánh xạ, tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân, tập nghiệm toán cân bằng, ta khơng thể tìm hình chiếu Bài tốn chấp nhận tách trường hợp gọi toán chấp nhận tách suy rộng Một số dạng toán chấp nhận tách suy rộng nghiên cứu luận án tốn điểm bất động tách, tốn bất đẳng thức biến phân tách, toán cân tách, với γ ∈ 0, toán chấp nhận tách đa tập hợp Tất dạng giả thiết có nghiệm Luận án nghiên cứu đề xuất phương pháp giải vài lớp toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách suy rộng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận án chia thành bốn chương, kết luận án nằm Chương 2, Chương Chương Bố cục luận án Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc bất đẳng thức biến phân tách chấp nhận tách đa tập hợp Chương Bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán cân tách Kết luận Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kết sử dụng chương luận án 1.1 Hàm lồi vi phân hàm lồi Cho H không gian Hilbert thực f : H −→ R ∪ {±∞} Tập dom f := {x ∈ H : f (x) < +∞} gọi miền hữu hiệu hàm f Ta nói f hàm thường dom f = ∅ f (x) > −∞ với x ∈ H Định nghĩa 1.1 f : H −→ R ∪ {+∞} gọi hàm lồi f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) với x, y ∈ dom f λ ∈ (0, 1) Định nghĩa 1.2 Cho f : H −→ R ∪ {+∞} hàm lồi thường Ta nói p ∈ H đạo hàm f x0 ∈ H p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ H Tập hợp tất đạo hàm f x0 gọi vi phân f x0 ký hiệu ∂f (x0 ) Như ∂f (x0 ) = {p ∈ H : p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ H} Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f (x0 ) = ∅ Định lý 1.1 (Định lý Moreau-Rockafellar) Cho f1 , f2 : H −→ R ∪ {+∞} hai hàm lồi thường Khi ∂(f1 + f2 )(x) ⊃ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) ∀x ∈ H Ngoài ra, hai hàm f1 , f2 liên tục điểm thuộc miền hữu hiệu hàm ∂(f1 + f2 )(x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x) ∀x ∈ H 1.2 Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert Định lý 1.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Khi với x ∈ H, tồn y ∈ C cho x − y = x − z z∈C Khi điểm y ∈ C gọi hình chiếu x C ký hiệu PC (x) Định nghĩa 1.3 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, ánh xạ PC : H −→ C xác định x − PC (x) = x − z z∈C gọi toán tử chiếu C Bổ đề 1.1 1.3 Bài toán điểm bất động Định nghĩa 1.4 Cho C tập khác rỗng H T : C −→ C ánh xạ Điểm x ∈ C gọi điểm bất động ánh xạ T T (x) = x Ta ký hiệu Fix(T ) tập điểm bất động T , tức Fix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x} Định nghĩa 1.5 Bổ đề 1.2 Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H T : C −→ C ánh xạ không giãn Nếu T có điểm bất động Fix(T ) tập lồi đóng 1.4 Bài tốn bất đẳng thức biến phân Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H, F ánh xạ từ Ω vào H, Ω tập H chứa C Bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (1.1) Tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) ký hiệu Sol(C, F ) Bổ đề 1.3 Cho x∗ ∈ C λ > Khi x∗ ∈ Sol(C, F ) ⇐⇒ x∗ ∈ Fix(T ) Định lý 1.3 Nếu C tập lồi compact F liên tục C V IP (C, F ) có nghiệm Định nghĩa 1.6 Định lý 1.4 Nếu F : Ω −→ H β-đơn điệu mạnh C L-liên tục Lipschitz C V IP (C, F ) có nghiệm Bổ đề 1.4 Cho ánh xạ F : Ω −→ H η-đơn điệu mạnh ngược C µ ∈ (0, 2η] Xét ánh xạ T : C −→ C cho T (x) = PC (x − µF (x)) ∀x ∈ C Khi ánh xạ T không giãn Fix(T ) = Sol(C, F ) Bổ đề 1.5 Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Ω tập H chứa C Cho ánh xạ F : Ω −→ H giả đơn điệu C hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) lim sup F (xk ), y ≤ F (x), y với y ∈ H dãy {xk } ⊂ C hội tụ k−→∞ yếu đến x (ii) F liên tục Lipschitz C với hệ số L > Giả sử tập nghiệm Sol(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) khác rỗng, Sol(C, F ) tập lồi đóng 1.5 Bài tốn cân Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, f : C×C −→ R song hàm cho f (x, x) = với x ∈ C Bài toán cân (EP Equilibrium Problem) cho song hàm f C tốn Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ với y ∈ C (1.2) Ta ký hiệu toán cân (1.2) tập nghiệm EP (C, f ), Sol(C, f ) Định nghĩa 1.7 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Song hàm f : C × C −→ R ∪ {+∞} gọi là: (i) đơn điệu C f (x, y) + f (y, x) ≤ với x, y ∈ C; (ii) giả đơn điệu C từ f (x, y) ≥ 0, ta suy f (y, x) ≤ với x, y ∈ C; (iii) liên tục kiểu Lipschitz C với số c1 > c2 > f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1 x − y − c2 y − z ∀x, y, z ∈ C; (iv) liên tục yếu đồng thời C × C với hai dãy {xk }, {y k } ⊂ C hội tụ yếu đến x, y ∈ C f (xk , y k ) −→ f (x, y) k −→ ∞ Bổ đề 1.6 Cho f : C × C −→ R thỏa mãn đồng thời điều kiện: (A1 ) f (x, x) = với x ∈ C; (A2 ) f đơn điệu; (A3 ) với x, y, z ∈ C lim sup f (λz + (1 − λ)x, y) ≤ f (x, y); λ−→0+ (A4 ) với x ∈ C, hàm y −→ f (x, y) lồi nửa liên tục C Khi với r > x ∈ H, tồn z ∈ C cho f (z, y) + y − z, z − x ≥ ∀y ∈ C r Bổ đề 1.7 Cho f : C × C −→ R thỏa mãn điều kiện (A1 ) − (A4 ) Với r > 0, ta xác định ánh xạ Trf : H −→ C Trf (x) = z ∈ C : f (z, y) + y − z, z − x ≥ ∀y ∈ C r với x ∈ H Khi ta có (i) Trf đơn trị; (ii) Trf (x) − Trf (y) ≤ Trf (x) − Trf (y), x − y ∀x, y ∈ H; (iii) Fix(Trf ) = Sol(C, f ); (iv) Sol(C, f ) lồi đóng Mệnh đề 1.1 Cho song hàm f : H × H −→ R ∪ {+∞} Giả sử điều kiện (A0 ) − (A4 ) thỏa mãn đồng thời (A0 ) hai điều kiện int C = ∅ điều kiện với x ∈ C hàm f (x, ·) liên tục điểm thuộc C thỏa mãn; (A1 ) với x ∈ C hàm f (x, ·) lồi, nửa liên tục H khả vi phân C; (A2 ) f giả đơn điệu C C ⊂ dom f (x, ·), f (x, x) = với x ∈ C; (A3 ) f liên tục kiểu Lipschitz C với số c1 > c2 > Xét ánh xạ Tf : C −→ C cho Tf (x) := argmin λf (s(x), y) + y−x 2 :y∈C , với x ∈ C, λ > s(x) := argmin λf (x, y) + y−x 2 :y∈C Khi với x∗ ∈ Sol(C, f ), ta có λ[f (x, y) − f (x, s(x))] ≥ s(x) − x, s(x) − y ∀y ∈ C, Tf (x) − x∗ ≤ x − x∗ − (1 − 2λc1 ) x − s(x) − (1 − 2λc2 ) s(x) − Tf (x) Mệnh đề 1.2 Dưới giả thiết (A0 ) − (A3 ) Mệnh đề 1.1 < λ < 1 , tập điểm bất động ánh xạ Tf trùng với tập nghiệm 2c1 2c2 toán cân EP (C, f ), với điều kiện tập nghiệm Sol(C, f ) EP (C, f ) khác rỗng Mệnh đề 1.3 Giả sử song hàm f thỏa mãn điều kiện (A0 ) − (A3 ) Mệnh đề 1.1 điều kiện (A4 ) f liên tục yếu đồng thời C × C; (A5 ) tập nghiệm Sol(C, f ) toán cân EP (C, f ) khác rỗng 1 Khi ánh xạ Tf tựa không giãn C với < λ < , bán 2c1 2c2 đóng ∈ H Bổ đề 1.8 Cho {an } dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện an+1 ≤ (1 − αn )an + αn ξn , ∀n ≥ 0, {αn }, {ξn } hai dãy số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện ∞ αn = ∞ (i) {αn } ⊂ (0, 1) n=0 (ii) lim sup ξn ≤ n−→∞ Khi lim an = n−→∞ Bổ đề 1.9 Cho {an } dãy số thực không âm Giả sử với số tự nhiên m, tồn số tự nhiên p ≥ m cho ap ≤ ap+1 Gọi n0 số tự nhiên cho an0 ≤ an0 +1 Với n ≥ n0 , ta đặt τ (n) = max{k ∈ N : n0 ≤ k ≤ n, ak ≤ ak+1 } Khi dãy {τ (n)}n≥n0 dãy khơng giảm thỏa mãn lim τ (n) = ∞ n−→∞ aτ (n) ≤ aτ (n)+1 , an ≤ aτ (n)+1 ∀n ≥ n0 Kết luận chương Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách Trong chương này, nghiên cứu đề xuất thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử F : C −→ H1 ánh xạ đơn điệu mạnh, A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn, T : C −→ C, S : Q −→ Q ánh xạ khơng giãn Xét tốn bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách sau: Tìm x∗ ∈ Ω cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω, (V ISF P P ) Ω tập nghiệm tốn điểm bất động tách (SFPP - Split Fixed Point Problem) Tìm x∗ ∈ Fix(T ) cho Ax∗ ∈ Fix(S), (SF P P ) với Fix(T ), Fix(S) tập điểm bất động T, S 2.1 Định lý hội tụ Trong mục phát biểu chứng minh định lý hội tụ cho VISFPP Kỹ thuật để chứng minh kết hợp phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân kỹ thuật lặp Krasnoselskii-Mann để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Định lý 2.1 Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 −→ H2 toán tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ Giả sử ánh xạ F : C −→ H1 β-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz C, T : C −→ C, S : Q −→ Q ánh xạ không giãn Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy {xk }, {uk }, {y k } {z k } sau   uk = PQ (Axk ),     y k = P (xk + δA∗ (Suk − Axk )), C   z k = PC (y k − λk µF (y k )),     k+1 x = αk xk + (1 − αk )T (z k ) ∀k ≥ 0, 2β , {λk } {αk } hai dãy số nằm A +1 L2 khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (a) lim λk = 0, δ ∈ 0, ,0 0, r2 > 0, < µ < k−→∞ ∞ λk (1 − αk ) = ∞, (b) k=0 (c) lim αk = α ∈ (0, 1) k−→∞ Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ toán bất đẳng thức biến phân V IP (Ω, F ) với giả thiết tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} toán cân tách khác rỗng Hệ 2.3 Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ , F1 : C −→ H1 ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược C F2 : Q −→ H2 ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} toán bất đẳng thức biến phân tách khác rỗng Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy {xk }, {uk }, {v k }, {y k }, {z k } {tk } sau   uk = PQ (Axk ),       v k = PQ (uk − ξ2 F2 (uk )),     y k = P (xk + δA∗ (v k − Axk )), C   z k = PC (y k − λk y k ),      tk = PC (z k − ξ1 F1 (z k )),      k+1 x = αk xk + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0, δ ∈ 0, , < ξ1 ≤ 2η1 , < ξ2 ≤ 2η2 , {λk } {αk } hai dãy A 2+1 số khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời điều kiện (a), (b), (c) Định lý 2.1 Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, x∗ = min{ x : x ∈ Ω} 10 Hệ 2.4 Giả sử f : C × C −→ R g : Q × Q −→ R hai song hàm thỏa mãn điều kiện (A1 )−(A4 ) Bổ đề 1.6 tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} toán cân tách khác rỗng Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy {xk }, {uk }, {y k } {z k } cho   uk = PQ (Axk ),     y k = P (xk + δA∗ (T g (uk ) − Axk )), C k r2 k k   z = PC (y − λk y ),     k+1 x = αk xk + (1 − αk )Trf1 (z k ) ∀k ≥ 0, δ ∈ 0, , r1 > 0, r2 > 0, {λk } {αk } hai dãy khoảng A 2+1 (0, 1) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (a) lim λk = 0, k−→∞ ∞ λk (1 − αk ) = ∞, (b) k=0 (c) lim αk = α ∈ (0, 1) k−→∞ Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, x∗ = min{ x : x ∈ Ω} 2.3 Thử nghiệm số Kết luận chương 11 Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc bất đẳng thức biến phân tách chấp nhận tách đa tập hợp Trong phần đầu chương, chúng tơi trình bày thuật tốn giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân) Mục thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách) Ở phần cuối chương, đề xuất thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập hợp 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H hai ánh xạ F : H −→ H, G : H −→ H, ta xét toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (BVIP - Bilevel Variational Inequality Problem) Tìm x∗ ∈ Sol(C, G) cho F (x∗ ), y − x∗ ≥ ∀y ∈ Sol(C, G), (BV IP ) Sol(C, G) = {y ∗ ∈ C : G(y ∗ ), z − y ∗ ≥ ∀z ∈ C} tập nghiệm V IP (C, G) Trong trường hợp G ánh xạ khơng tập nghiệm Sol(C, G) V IP (C, G) C Khi đó, BVIP trở thành toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) Khi F ánh xạ đồng BVIP trở thành tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ V IP (C, G) Ta xét ánh xạ F, G : H −→ H thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (A1 ): F β-đơn điệu mạnh H L-liên tục Lipschitz H (A2 ): G giả đơn điệu C γ-liên tục Lipschitz H (A3 ): lim sup G(xk ), y − y k ≤ G(x), y − y với y ∈ H dãy {xk }, k−→∞ {y k } nằm H hội tụ yếu đến x, y ∈ H 12 3.1.1 Thuật toán định lý hội tụ Thuật toán 3.1 Chọn x0 ∈ H bất kỳ, < µ < 2β dãy số {αk } ⊂ (0, 1), L2 {ηk }, {λk } thỏa mãn đồng thời điều kiện  ∞    lim αk = 0, αk = ∞,   k−→∞   k=0 ≤ ηk ≤ − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1,   k−→∞     {λk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, γ Với k ≥ 0, ta tính y k = PC (xk − λk G(xk )), z k = PTk (xk − λk G(y k )), xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )z k − αk µF (z k ), Tk = {ω ∈ H : xk − λk G(xk ) − y k , ω − y k ≤ 0} Nhận xét 3.1 Bổ đề 3.1 Giả sử F : H −→ H β-đơn điệu mạnh H L-liên tục Lipschitz 2β H, < α < 1, ≤ η ≤ − α, < µ < Khi L (1 − η)x − αµφ(x) − [(1 − η)y − αµφ(y)] ≤ (1 − η − ατ ) x − y ∀x, y ∈ H, τ =1− − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1] Bổ đề 3.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H, G : H −→ H giả đơn điệu C, L-liên tục Lipschitz H Sol(C, G) = ∅ Xét x ∈ H, λ > xác định y = PC (x − λG(x)), z = PT (x − λG(y)), T = {ω ∈ H : x − λG(x) − y, ω − y ≤ 0} Khi với x∗ ∈ Sol(C, G), ta có z − x∗ ≤ x − x∗ − (1 − λL) x − y − (1 − λL) y − z Định lý 3.1 Giả sử Sol(C, G) = ∅ điều kiện (A1 ) − (A3 ) thỏa mãn Khi dãy {xk } Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh đến nghiệm BVIP Nhận xét 3.2 • Vì G γ-liên tục Lipschitz H nên G liên tục Do khơng gian Hilbert H hữu hạn chiều điều kiện (A3 ) ln thỏa mãn • Nếu điều kiện G giả đơn điệu C thay điều kiện G đơn điệu H điều kiện (A3 ) bỏ 13 3.1.2 Một số hệ Hệ 3.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H, G : H −→ H giả đơn điệu C L-liên tục Lipschitz H Giả sử Sol(C, G) = ∅ lim sup G(xk ), y − y k ≤ G(x), y − y với dãy {xk }, {y k } k−→∞ nằm H hội tụ yếu tới x y Xét dãy {xk } cho   x0 ∈ H,     y k = P (xk − λ G(xk )), C k   Tk = {ω ∈ H : xk − λk G(xk ) − y k , ω − y k ≤ 0},     k+1 x = αk x0 + (1 − αk )PTk (xk − λk G(y k )) ∀k ≥ 0, (3.1) ∞ dãy số {αk } ⊂ (0, 1) thỏa mãn lim αk = 0, k−→∞ αk = ∞ {λk } ⊂ k=0 [a, b] ⊂ 0, Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến PSol(C,G) (x0 ) L Hệ 3.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H, G : H −→ H đơn điệu H L-liên tục Lipschitz H cho Sol(C, G) = ∅ Xét dãy {xk } cho   x0 ∈ H,     y k = P (xk − λ G(xk )), C k   Tk = {ω ∈ H : xk − λk G(xk ) − y k , ω − y k ≤ 0},     k+1 x = αk x0 + (1 − αk )PTk (xk − λk G(y k )) ∀k ≥ 0, (3.2) ∞ {αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0, k−→∞ αk = ∞ {λk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, k=0 L k Khi dãy {x } cho (3.2) hội tụ mạnh đến PSol(C,G) (x0 ) 3.1.3 3.2 Thử nghiệm số Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn ánh xạ F1 : H1 −→ H1 F2 : H2 −→ H2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách (SVIP - Split Variational Inequality Problem) mơ tả sau Tìm x∗ ∈ C : F1 (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C 14 (3.3) cho y ∗ = Ax∗ ∈ Q : F2 (y ∗ ), y − y ∗ ≥ ∀y ∈ Q (3.4) Nếu tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (3.3) (3.4) ký hiệu Sol(C, F1 ) Sol(Q, F2 ) tốn bất đẳng thức biến phân tách tốn tìm x∗ ∈ Sol(C, F1 ) cho Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 ) Ta xét toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (BSVIP - Bilevel Split Variational Inequality Problem) Tìm x∗ ∈ Ω cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω, (BSV IP ) F : H1 −→ H1 Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} tập nghiệm SVIP Ta giả thiết ánh xạ F, F1 : H1 −→ H1 , F2 : H2 −→ H2 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (B1 ): F : H1 −→ H1 β-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz H1 (B2 ): F1 : H1 −→ H1 giả đơn điệu C L1 -liên tục Lipschitz H1 (B3 ): lim sup F1 (xk ), y − y k ≤ F1 (x), y − y với y ∈ H1 dãy {xk }, k−→∞ {y k } nằm H1 hội tụ yếu đến x, y ∈ H1 (B4 ): F2 : H2 −→ H2 giả đơn điệu Q L2 -liên tục Lipschitz H2 (B5 ): lim sup F2 (uk ), v − v k ≤ F2 (u), v − v với v ∈ H2 dãy {uk }, k−→∞ k {v } nằm H2 hội tụ yếu đến u, v ∈ H1 Từ điều kiện (B2 ), (B3 ), (B4 ), (B5 ) Bổ đề 1.5, ta có Sol(C, F1 ) Sol(Q, F2 ) tập lồi đóng Do Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} tập lồi đóng 3.2.1 Thuật tốn định lý hội tụ 2β dãy số {αk } ⊂ (0, 1), {ηk }, L2 {δk }, {λk }, {µk } thỏa mãn đồng thời điều kiện  ∞    lim αk = 0, αk = ∞,   k−→∞   k=0     ≤ ηk ≤ − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1,   k−→∞  {δk } ⊂ [a, b] với a, b ∈ 0, ,  A 2+1       {λk } ⊂ [c, d] với c, d ∈ 0, ,   L     {µk } ⊂ [e, f ] với e, f ∈ 0, L2 Thuật toán 3.2 Chọn x0 ∈ H1 , < µ < Với k ≥ 0, ta tính uk = Axk , v k = PQ (uk − µk F2 (uk )), wk = PQk (uk − µk F2 (v k )), 15 Qk = {ω2 ∈ H2 : uk − µk F2 (uk ) − v k , ω2 − v k ≤ 0} Tiếp theo, ta tính y k = xk + δk A∗ (wk − uk ), tk = PC (y k − λk F1 (y k )), z k = PCk (y k − λk F1 (tk )), A∗ toán tử liên hợp A, Ck = {ω1 ∈ H1 : y k − λk F1 (y k ) − tk , ω1 − tk ≤ 0}, xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) Định lý 3.2 Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} SVIP khác rỗng điều kiện (B1 ) − (B5 ) thỏa mãn Khi dãy {xk } Thuật tốn 3.2 hội tụ mạnh đến nghiệm BSVIP 3.2.2 Một số hệ Hệ 3.3 Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 −→ H2 toán tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ , F1 : H1 −→ H1 , F2 : H2 −→ H2 thỏa mãn điều kiện (B2 ) − (B5 ) Xét dãy số {αk }, {ηk }, {δk }, {λk }, {µk } thỏa mãn đồng thời điều kiện Thuật toán 3.2 Xét dãy {xk } cho x0 ∈ H1 tùy ý xk+1 = ηk xk + (1 − ηk − αk )z k ∀k ≥ 0, z k xác định Định lý 3.2 Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F1 ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, F2 )} SVIP khác rỗng Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, x∗ = min{ x : x ∈ Ω} Hệ 3.4 Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ , F : H1 −→ H1 β-đơn điệu mạnh L-liên tục 2β Lipschitz H1 Giả sử < µ < dãy số {αk }, {ηk }, {δk } thỏa mãn L đồng thời điều kiện  ∞    {αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0, αk = ∞,   k−→∞   k=0 ≤ ηk ≤ − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1,   k−→∞     {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, A 2+1 16 Xét dãy {xk } cho x0 ∈ H1 tùy ý  y k = P (xk + δ A∗ (P (Axk ) − Axk )), C k Q xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )y k − αk µF (y k ) ∀k ≥ 0, Giả sử tập nghiệm Γ = {x∗ ∈ C : Ax∗ ∈ Q} SFP khác rỗng Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Tìm x∗ ∈ Γ cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Γ Hệ 3.5 Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 toán tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ Giả sử dãy số dương {αk }, {δk } thỏa mãn đồng thời điều kiện  ∞    αk = ∞, {αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0, k−→∞    {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, A k=0 +1 Xét dãy {xk } cho x0 ∈ H1 tùy ý xk+1 = (1 − αk )PC (xk + δk A∗ (PQ (Axk ) − Axk )) ∀k ≥ (3.5) Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ SFP với điều kiện tập nghiệm Γ = {x∗ ∈ C : Ax∗ ∈ Q} SFP khác rỗng 3.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc chấp nhận tách đa tập hợp Bài toán chấp nhận tách đa tập hợp (MSSFP - Multiple-Sets Split Feasibility Problem) mô tả sau: M ∗ N ∗ Tìm x ∈ Ci cho Ax ∈ i=1 Qj j=1 Ci , i = 1, 2, , M tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 Qj , j = 1, 2, , N tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H2 , A : H1 −→ H2 toán tử tuyến tính bị chặn Trong mục này, trình bày thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm MSSFP Cụ thể, ta giả sử F : H1 −→ H1 β-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz H1 , C1 , C2 , , CM M tập lồi 17 đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 Q1 , Q2 , ., QN N tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H2 Ta xét tốn bất đẳng thức biến phân với ràng buộc chấp nhận tách đa tập hợp (VIMSSFP) Tìm x∗ ∈ Ω cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω, (V IM SSF P ) Ω tập nghiệm MSSFP M ∗ N ∗ Tìm x ∈ Ci cho Ax ∈ i=1 3.3.1 Qj (M SSF P ) j=1 Thuật toán định lý hội tụ Thuật toán 3.3 Bước Chọn < µ < 2β , < δ ≤ δk ≤ δ < L2 A +1 , {αk } ⊂ (0, 1) ∞ αk = ∞, {ηk } ⊂ [0, 1) cho ≤ ηk ≤ − αk ∀k ≥ 0, cho lim αk = 0, k−→∞ k=0 lim ηk = η < k−→∞ Bước Chọn x0 ∈ H1 Đặt k := Bước Tính uk = A(xk ) PQj (uk ), j = 1, 2, , N Bước Tìm phần tử PQj (uk ), j = 1, 2, , N có khoảng cách đến uk xa nhất, tức jk = argmax{ PQj (uk ) − uk : j = 1, 2, , N }, v k := PQjk (uk ) Bước Tính y k = xk − δk A∗ (uk − v k ), A∗ toán tử liên hợp A Bước Tính PCi (y k ), i = 1, 2, , M Bước Tìm phần tử PCi (y k ), i = 1, 2, , M có khoảng cách đến y k xa nhất, tức ik = argmax{ PCi (y k ) − y k : i = 1, 2, , M }, z k := PCik (y k ) Bước Tính xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )z k − αk µF (z k ) Bước Gán k := k + quay trở lại Bước Định lý 3.3 Giả sử Ci , i = 1, 2, , M tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 Qj , j = 1, 2, , N tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H2 Cho F : H1 −→ H1 β-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz H1 Khi dãy {xk } Thuật toán 3.3 hội tụ mạnh đến nghiệm VIMSSFP, với điều kiện tập nghiệm Ω MSSFP khác rỗng 3.3.2 Một số hệ Hệ 3.6 Giả sử tập nghiệm Ω MSSFP khác rỗng Chọn x0 ∈ H1 , ∞ < δ ≤ δk ≤ δ < , {αk } ⊂ (0, 1) cho lim αk = 0, αk = ∞, k−→∞ A 2+1 k=0 18 {ηk } ⊂ [0, 1) cho ≤ ηk ≤ − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < k−→∞ Với k ≥ 0, tính uk = A(xk ), v k := PQjk (uk ), jk = argmax{ PQj (uk ) − uk : j = 1, 2, , N } Tiếp theo, ta tính y k = xk − δk A∗ (uk − v k ), z k := PCik (y k ), A∗ tốn tử liên hợp A, ik = argmax{ PCi (y k ) − y k : i = 1, 2, , M } xk+1 = ηk xk + (1 − ηk − αk )z k Khi đó dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ MSSFP Hệ 3.7 Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , F : H1 −→ H1 β-đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz H1 Giả sử A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ Xét dãy {xk } cho     x ∈ H1 chọn bất kỳ, y k = PC (xk − δk A∗ (Axk − PQ (Axk ))),    xk+1 = ηk xk + (1 − ηk )y k − αk µF (y k ) ∀k ≥ 0, < µ < kiện 2β dãy số {ηk }, {λk }, {δk } thỏa mãn đồng thời điều L2  ∞    {αk } ⊂ (0, 1), lim αk = 0, αk = ∞,   k−→∞   k=0 {ηk } ⊂ [0, 1), ≤ ηk ≤ − αk ∀k ≥ 0, lim ηk = η < 1,   k−→∞     {δk } ⊂ [δ, δ] ⊂ 0, A 2+1 Giả sử tập nghiệm Γ = {x∗ ∈ C : Ax∗ ∈ Q} SFP khác rỗng Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Γ, nghiệm bất đẳng thức biến phân F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Γ 3.3.3 Thử nghiệm số Kết luận chương 19 Chương Bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn cân tách Trong chương này, trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường để giải toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn cân tách Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn song hàm f : C × C −→ R g : Q × Q −→ R Khi tốn cân tách (SEP - Split Equilibrium Problem) tốn Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , x) ≥ ∀x ∈ C (4.1) y ∗ = Ax∗ ∈ Q : g(y ∗ , y) ≥ ∀y ∈ Q (4.2) cho Bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ SEP mơ tả sau: Tìm x∗ ∈ Ω cho x∗ ≤ x ∀x ∈ Ω, (M N SEP ) Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} tập nghiệm SEP 4.1 Thuật toán định lý hội tụ Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử song hàm f : H1 × H1 −→ R ∪ {+∞}, g : H2 × H2 −→ R ∪ {+∞} thỏa mãn đồng thời điều kiện: (A) Ít hai điều kiện int C = ∅ điều kiện với x ∈ C hàm f (x, ·) liên tục điểm thuộc C thỏa mãn; f giả đơn điệu C, liên tục yếu đồng thời C × C liên tục kiểu Lipschitz C với số c1 > 0, c2 > 0; với x ∈ C hàm f (x, ·) lồi, nửa liên tục H1 khả vi phân C; với x ∈ C C ⊂ dom f (x, ·) f (x, x) = (B) Ít hai điều kiện int Q = ∅ điều kiện với u ∈ Q hàm g(u, ·) liên tục điểm thuộc Q thỏa mãn; g giả đơn điệu Q, 20 liên tục yếu đồng thời Q × Q liên tục kiểu Lipschitz Q với số L1 > 0, L2 > 0; với u ∈ Q hàm g(u, ·) lồi, nửa liên tục H2 khả vi phân Q; với u ∈ Q Q ⊂ dom g(u, ·) g(u, u) = Thuật toán 4.1 Chọn x0 ∈ C dãy số {λk } ⊂ (0, 1), {δk }, {βk }, {µk } thỏa mãn đồng thời điều kiện  ∞    lim λk = 0, λk = ∞,   k−→∞   k=0    {δ } ⊂ [a, b] ⊂ 0, , k A 2+1  1   , , {βk } ⊂ [c, d] ⊂ 0,    2c1 2c2   1   {µk } ⊂ [e, f ] ⊂ 0, , 2L1 2L2 Với k ≥ 0, ta tính    uk = argmin µk g(PQ (Axk ), u) + u − PQ (Axk ) : u ∈ Q ,      k k  v = argmin µk g(u , u) + u − PQ (Axk ) : u ∈ Q ,    k k ∗ k y = PC (x + δk A (v − Axk )),      tk = argmin βk f (y k , y) + y − y k : y ∈ C ,      k k z = argmin βk f (t , y) + y − y k : y ∈ C , xk+1 = PC (z k − λk z k ), A∗ toán tử liên hợp A Định lý 4.1 Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, f ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, g)} SEP khác rỗng điều kiện (A), (B) thỏa mãn Khi dãy {xk } Thuật tốn 4.1 hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ SEP 4.2 Một số hệ Ta giả thiết điều kiện sau thỏa mãn ánh xạ F : H1 −→ H1 G : H2 −→ H2 (C): lim sup F (xk ), y − y k ≤ F (x), y − y với y ∈ C dãy {xk } ⊂ C, k−→∞ k x, y k y {y } ⊂ C thỏa mãn xk k k (D): lim sup G(u ), v −v ≤ G(u), v −v với v ∈ Q dãy {uk } ⊂ Q, k−→∞ k {v } ⊂ Q thỏa mãn uk u, v k v Hệ 4.1 Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 toán tử tuyến tính bị 21 chặn với tốn tử liên hợp A∗ Giả sử ánh xạ F : H1 −→ H1 giả đơn điệu C, K1 -liên tục Lipschitz C thỏa mãn điều kiện (C), ánh xạ G : H2 −→ H2 giả đơn điệu Q, K2 -liên tục Lipschitz Q thỏa mãn điều kiện (D) Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy {xk }, {wk }, {uk }, {v k }, {y k }, {tk }, {z k } sau   k k   w = PQ (Ax ), uk = PQ (wk − µk G(wk )),    v k = PQ (wk − µk G(uk )) Hơn nữa, ta tính   k k ∗ k k   y = PC (x + δk A (v − Ax )), tk = PC (y k − βk F (y k )),    z k = PC (y k − βk F (tk )), xk+1 = PC (z k − λk z k ), {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, 0, A +1 , {βk } ⊂ [c, d] ⊂ 1 , {µk } ⊂ [e, f ] ⊂ 0, , {λk } dãy số nằm (0, 1) thỏa mãn K1 K2 ∞ λk = ∞ Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đồng thời điều kiện lim λk = 0, k−→∞ k=0 đến nghiệm có chuẩn nhỏ toán bất đẳng thức biến phân tách, với điều kiện tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ Sol(C, F ) : Ax∗ ∈ Sol(Q, G)} toán bất đẳng thức biến phân tách khác rỗng Hệ 4.2 Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy {xk } xác định   k k   w = PQ (Ax ), y k = PC (xk + δk A∗ (wk − Axk )),    xk+1 = PC (y k − λk y k ) ∀k ≥ 0, {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, A +1 , {λk } dãy số nằm (0, 1) thỏa ∞ λk = ∞ Khi dãy {xk } hội tụ mãn đồng thời điều kiện lim λk = 0, k−→∞ k=0 mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ SFP, với điều kiện tập nghiệm SFP khác rỗng 4.3 Thử nghiệm số Kết luận chương 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận án, đề xuất phương pháp giải vài lớp toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách ẩn Các kết mà luận án thu sau: Đề xuất ánh xạ tựa không giãn Tf : C −→ C với tập điểm bất động Tf trùng với tập nghiệm toán cân EP (C, f ) với song hàm cân f giả đơn điệu Thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz với tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách với ánh xạ không giãn Thuật toán đạo hàm tăng cường để giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp Thuật toán song song để giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz với tập ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập hợp Thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn cân tách Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Mở rộng kết Chương cho lớp ánh xạ tựa khơng giãn Nghiên cứu thuật tốn giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm tốn tìm nghiệm chung tách họ toán bất đẳng thức biến phân Nghiên cứu thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán cân tách 23 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Anh P.K., Anh T.V., Muu L.D (2017), "On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications", Acta Math Vietnam., 42 (3), pp 413-429 (SCOPUS) Anh T.V (2017), "A strongly convergent subgradient Extragradient-Halpern method for solving a class of bilevel pseudomonotone variational inequalities", Vietnam J Math., 45 (3), pp 317-332 (SCOPUS) Anh T.V (2017), "An extragradient method for finding minimum-norm solution of the split equilibrium problem", Acta Math Vietnam., 42 (4), pp 587-604 (SCOPUS) Anh T.V (2017), "A parallel method for variational inequalities with the multiple-sets split feasibility problem constraints", J Fixed Point Theory Appl., 19 (4), pp 2681-2696 (SCIE) Anh T.V., Muu L.D (2016), "A projection-fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Optimization 65 (6), pp 1229-1243 (SCIE) Anh T.V., Muu L.D (2018), "Quasi-nonexpansive mappings involving pseudomonotone bifunctions on convex sets", Journal of Convex Analysis 25 (4) (SCIE) 24 ... động tách, toán bất đẳng thức biến phân tách, toán cân tách, với γ ∈ 0, toán chấp nhận tách đa tập hợp Tất dạng giả thiết có nghiệm Luận án nghiên cứu đề xuất phương pháp giải vài lớp toán bất... nghiệm toán bất đẳng thức biến phân, tập nghiệm tốn cân bằng, ta khơng thể tìm hình chiếu Bài tốn chấp nhận tách trường hợp gọi toán chấp nhận tách suy rộng Một số dạng toán chấp nhận tách suy rộng. .. chương 19 Chương Bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán cân tách Trong chương này, trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường để giải tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán cân tách Cho C Q tập lồi đóng khác