Cao Minh Nhân CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A) Các kiến thức cơ bản cần nhớ 1) Tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu của y’. 2) Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. Các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số. 3) GTLN, GTNN của hàm số trên một tập số. 4) Các phép biến đổi đơn giản của đồ thị hàm số (Phép tịnh tiến song song với trục tọa độ, phép đối xứng qua trục tọa độ ) 5) Xác định đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (nếu có) 6) Quá trình khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số. 7) Dùng đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của 1 phương trình. 8) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó đi qua một điểm cho trước. 9) Sự tương giao của đồ thị hàm số. B) Các ví dụ luyện tập Bài 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) y = 2x 3 + 3x 2 +1 b) y = x 3 - x 2 + 2x c) y = x 4 + 2x 2 d) y = x 4 – 2x 2 – 3 e) y = 2 1 1 x x − + f) y = 1 1 x x − + g) y = 5 3 2x− Bài 2: a ) Cho hàm số 3 2 1 4 3 3 y x mx x= + + + (m tham số) Tìm m để hàm số đồng biến trên ¡ . Giải: y’= x 2 + 2mx + 4 Hàm số đồng biến trên ¡ ⇔ ' 0y ≥ x ∀ ∈ ¡ ⇔ 2 ' 4 0m= − ≤V ⇔ 2 2m− ≤ ≤ b) Cho hàm số: x m y x m + = − (m tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1, )+∞ Giải: TXĐ: D = ¡ \{m} Hàm số nghịch biến trên (1, )+∞ ⇔ ' 0y ≤ (1, )x∀ ∈ +∞ Ta có: ' 0y < (1, )∀∈ +∞ ⇔ 0 (1, ) m m >   ∉ +∞  ⇔ 0 1 m m >   ≤  ⇔ 0 1m< ≤ Cao Minh Nhân Bài 3: Cho 3 2 6 9y x x x= − + (C) a) Xác định tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C). b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x + m 2 – m đi qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Bài 4: Cho hàm số 3 2 2 1 ( 1) 1 3 y x mx m m x= − + − + + Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1 Giải: TXĐ: D = ¡ . 2 2 ' 2 1y x mx m m= − + − + " 2 2y x m= − Hàm số đạt cực đại tại x =1 ⇔ '(1) 0 "(1) 0 y y =   <  ⇔ 2 3 2 0 2 2 0 m m m  − + =  − <  ⇔ 1, 2 1 m m m = =   >  ⇔ m = 2 Kết luận: m = 2 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1. Bài 5: Cho hàm số: 3 2 6 3( 2) 6y x x m x m= − + + − − . Xác định m sao cho: a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu. Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số = − − + 4 3 2 ) 3 2 9 trªn [-2;2];a y x x x x = − + 2 ) (3 ) 1 trªn [0;2];d y x x − + 2 b)y=3x+ 10;x = = − 2 ) ( ) trªn [-1;0]. x e y f x x e = + − + 2 ) ( 2) 4;c y x x Giải: [ ] ∈ − ∈ − ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ = = − = − = −   = −   = = = − = − = − = = = = ± [ 2;2] [ 2;2] [0;2] )max 14 t¹i 2;min 7 t¹i 1; )TX§: 10, 10 ; max 10 t¹i 3;min 3 10 t¹i 10; )TX§: 2;2 ; max 3 3 t¹i 1;min 0 t¹i 2; )XÐt hµm sè trªn [0;2] max x x x D x D x D x D x a y x y x b D y x y x c D y x y x d y ∈ − ∈ ∈ = = = = = − = − = − − [0;2] 2 [-1;0] [-1;0] 3 t¹i 0;min 5 t¹i 2; 1 )max ln 2- t¹i ln 2;min 1 2 x x x x y x e y x y e Bài 7: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2x 3 – 9x 2 + 12x (C); b) Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị (C’): y = 2|x| 3 – 9x 2 + 12|x|. Đáp án: a) Học sinh tự giải; b) Nhận xét hàm số chẵn. Do đó, (C’) được suy ra từ (C) bằng cách: Cao Minh Nhân - Phần đồ thị (C) ở bên trái trục tung (x ≥ 0); - Lấy đỗi xứng đồ thị (C) với x ≥ 0 qua trục Oy; Kết luận: Hợp của 2 phần đồ thị nới trên là đồ thị (C’). Bài 8: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y= x 3 – 3x 2 (C) b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = |x 3 – 3x 2 | Bài 9: Cho hàm số: − = − 3 2 ( ) 1 x y C x . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Giải: • TXĐ: = ¡ \ {1};D • Chiều biến thiên = − < ∀ ∈ − 2 1 ' 0; ; ( 1) y x D x Hàm số nghịch biến trên −∞ +∞( ;1) vµ (1; ) ; • Giới hạn: →±∞ = − ⇒ → ±∞lim 2 TiÖm cËn ngang y = -2 (khi x ) x y + − + − → → = +∞ = −∞ ⇒ = → → 1 1 lim , lim 1 lµ tiÖm cËn ®øng (khi x 1 vµ khi 1 ) x x y y x x • Bảng biến thiên • Đồ thị cắt trục tung tại (0; -3) và cắt trục hoành tại    ÷   ;0 3 2 ; • Đồ thị nhận điểm I (1; -2) (Giao điểm của 2 tiệm cận) làm tâm đối xứng; • Đồ thị: HS tự vẽ. Cao Minh Nhân Bài 10: Cho hàm số: y= 2x 3 – 6x + 1 (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số; b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phân biệt của phương trình 2x 3 – 6x + 1 – m = 0 (*) Giải: a) Học sinh tự làm; b) Phương trình (*) ⇔ 2x 3 – 6x + 1 = m Do đó, số nghiệm phân biệt của phương trình (8) bằng số điểm chung của đường thẳng y = m và đồ thị (C). Dựa vào (C), ta được: • Nếu m > 5 hoặc m < -3 thì (*) có 1 nghiệm; • Nếu m = 5 hoặc m= -3 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt; • Nếu -3 < m < 5 thì (*) có 3 nghiệm phân biệt. Bài 11: Cho hàm số: + = − 2 3 2 x y x (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số; b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -7x; c) Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp tuyến của (C) tại 2 tiếp điểm đó song song với nhau. Giải: a) Học sinh tự giải; b) TXĐ: = ¡ \ {2};D ( ) = − − 2 7 ' 2 y x Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 7x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = -7. Gọi (x 0 ; y 0 ) là toạn độ tiếp điểm của tiếp tuyến và (C). Ta có: ( ) = = − − 0 2 0 7 '( ) =-7 2 k y x x ( ) − =  ⇔ − = ⇔  − = −  2 0 0 0 2 1 2 1 2 1 x x x = =  ⇔  = = −  0 0 0 0 3, 6 1, 5 x y x y Kết luận: Có 2 tiếp tuyến cần tìm và có phương trình là y = -7(x – 3) + 6 ⇔ y = -7x + 27 y = -7(x - 1) – 5 ⇔ y = -7x + 2f c) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2x + m là: + = + ≠ ⇔ + − − − = − 2 2 3 2 ,( 2) 2 ( 6) 2 3 0 (1) 2 x x m x x m x m x Cao Minh Nhân Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ≠ 1 2 , 2x x  ∆ = − + + > ⇔  + − − − ≠  2 2 ( 6) 8(2 3) 0 2.2 ( 6).2 2 3 0 m m m m  + + > ⇔ ∀ ∈  − ≠  ¡ 2 4 60 0 , . 7 0 m m m Vì tiếp tuyến tại giao điểm của đường thẳng và đồ thị (C) song song với nhau nên ta có: y’(x 1 ) = y’(x 2 ) ⇔ x 1 + x 2 =4 ⇔ m=-2. Kết luận: m = -2. Bài 12: Cho hàm số: 3 2 3 2y x x= − + (C) a)Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ∈ (C) có hoành độ x =2. b)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(0, 3) Bài 13: Cho hàm số: 4 2 3 3 2 y x x= − + (C) a) Khảo sát , vẽ đồ thị (C). b) Dùng (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4 2 6 3x x m+ − = c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua 3 (0, ) 2 A Bài 14: Cho hàm số: 3 1 x y x + = + (C). a) Khảo sát , vẽ đồ thị (C). b) Chứng minh với mọi m, đường thẳng y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. c) Xác định M để độ dài đoạn MN ngắn nhất. d) Tiếp tuyến tại điểm S bất kỳ thuộc (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại P, Q . Chứng minh S là trung điểm của PQ. Bài 15: Cho hàm số: 3 2 2 3 ( 2 3) 4y x mx m m x= − + + − + (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị (1) khi m=1. b) Viết phương trình parabol đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu của (1) và tiếp xúc với đường thẳng y = -2x +2. c) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực đại và cực tiểu ở hai phía của trục tung. . tuyến song song với đường thẳng y = -7x; c) Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt mà 2 tiếp tuyến của (C) tại 2 tiếp điểm đó song song. trị của hàm số. 3) GTLN, GTNN của hàm số trên một tập số. 4) Các phép biến đổi đơn giản của đồ thị hàm số (Phép tịnh tiến song song với trục tọa độ, phép