Chuyên đề phương trình lượng giác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11

40 512 2
Chuyên đề phương trình lượng giác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

www.thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC PHẦN Bài Giải phương trình: sin x   cos x   cos x.sin 2sin x  Hướng dẫn giải x 3 0 �  x �  k � � , k , l �� (*) Điều kiện: sin x � � � �x �5  l � Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin x   cos x   cos x.sin x 3  � sin x  sin x.cos x  cos x   cos x    �2 �      sin x  cos x  3sin x  sin x.cos x  cos x  � sin x  cos x  sin x  cos x   � � � sin x  cos x   sin x  cos x  � cot x  � x   k , k ��  � � � � sin x  cos x  � � sin x cos  cos x sin � � sin �x  � 6� � � 6� sin x  cos x TH1: TH2: � x     2   k 2 � x   k 2 , k �� Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình cho có họ nghiệm x 7 2  k 2 , x   k 2 , k �� Bài Tìm tất nghiệm x �(2009; 2011) phương trình : cos x  sin x  cos x  sin x  Bài Chứng minh rằng:  sin 2a � �  cot � a �  sin 2a � 4� x y Bài Cho: sin x  sin y  2sin  x  y  , với x  y �k , k �� Chứng minh rằng: tan  tan  2 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  cot x 2  2cos x  cos x  cot x A B B A Bài Cho tam giác ABC với kí hiệu thơng thường, biết: sin cos  sin cos Chứng minh 2 2 tam giác ABC cân Bài Giải phương trình sau: 2(sin x  cos x)  3cos x  sin x Bài Giải phương trình : tan x  Bài Tìm a để bất phương trình với x: 3sin x  2sin x.cosx  cos2 x  a �3 Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a , b , c , độ dài ba đường phân giác tương ứng với góc A , B , C l a , l b , l c l l l l l l Chứng minh rằng: a b  b c  c a �3 c a b Nhận dạng tam giác, biết: a  b  tan C (a tan a+btanb) � ax  a  y  cos x � Bài 10 Định a để hệ: � có nghiệm sin x  y  � cos x  sin x Bài 11 Chứng minh x  x thì:  16 sin x.cos2 x Bài 12 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm giải hệ phương trình tương ứng với � s inx.cos2 y  m  2m  � giá trị tìm m: � cos x.cos2 y  m3  � Bài 13 Cho hai phương trình sau: 2sin x  (1  sin  a).sin x  a.sin x (1) (a  1)(1  cos x)  2sin x  2sin x  2( a  1)3 (2) a Giải phương trình với a  b Tìm tất giá trị a để hai phương trình (1) (2) tương đương � 3 sin x  sin y  sin z  � � Bài 14 Giải hệ phương trình: � � cos x  cos y  cos z  � � Bài 15 Tìm tất giá trị x � 0; 2  cho: cos x �  sin x   sin x �2 Bài 16 Tìm số tự nhiên a nhỏ để phương trình sau có nghiệm: 3 x � x  � cos 2 (a  x )  2cos (a  x)  cos cos �  �  2a �2a � www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 17 Cho tam giác ABC có tan A  tan C  tan B Chứng minh rằng: cos A  cos C � BC AB  BC  Tính tổng số đo Bài 18 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: AB  BC AC góc: A  B  Bài 19 Xét tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max  A, B, C � Tìm giá trị lớn biểu thức: 2 P  sin A  sin B  sin C Bài 20 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2m  1)(sin x  cos x)  (sin x  cos x)  2m  2m   Bài 21 Chứng minh với x �� ta ln có sin x  cos x �1 Bài 22 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm m  sin x  cos x  1  sin x  sin x  cos x  Bài 23 Giải phương trình: cos x  cos3x  sin x  cos x  sin x 2x  2x  2x   sin  3co s  thỏa Bài 24 Tìm tổng nghịch đảo nghiệm phương trình sin x 3x 3x mãn điều kiện x � 10  5 Bài 25 Tìm m để phương trình mcosx  cos3x  cos2x  có nghiệm khoảng ( ; ) 2 Bài 26 Trong tất tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P  cos2A  cos2 B  cos2C lớn Bài 27 Giải phương trình : 8cos x.cos 2 x   cos3 x   sin A sin B sin C   Bài 28 Tính số đo góc tam giác ABC , biết 2 Bài 29 Giải phương trình 2cos x   cot x   2sin x   Bài 30 Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos A   cos B  cos 2C    Bài 31 Tìm số tự nhiên a bé để phương trình sau có nghiệm :  x  x    cos  (a  x )  cos  (a  x )  cos cos    0; 2a  2a  Bài 32 Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : cos A  cos C  ; Bài 33 Giải phương trình:  tan x.tan x  cos x Bài 34 Trong tam giác ABC biết số đo ba góc A, B, C lập thành cấp số cộng với A �B �C thỏa hệ thức cos A  cos B  cos C  1 Tính số đo góc A, B, C �  5x � 9x  2cos2 � �4 � Bài 35 Giải phương trình cos3x  sin7x  2sin �  www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 36 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt khoảng �  � : � ; � � 2� � 4x x� 4cos2 x  16m� sin  cos4 � 14m 1 4� � Bài 37 Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4 Hướng dẫn giải x=kπ nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa pt sin4x=sinx Suy x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5 x≠kπ nên pt có nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π Bài 38 Giải phương trình: (cos x  1)(2cos x  1)   sin x  2cos x sin x Bài 39 Cho phương trình: (m  3)sin x  ( m  1)cos x  cos x  ( m  2)sin x  a) Giải phương trình m  5 � 5 � , b) Xác định tham số m để phương trình có nghiệm x �� � 4� � Bài 40 Cho tam giác ABC có góc A, B, C thỏa mãn hệ thức: 1 1 1      A B C cos A cos B cos C sin sin sin 2 Chứng minh tam giác ABC tam giác  x 2sin (  )s inx - cos3 x Bài 41 Giải phương trình :  3 sin x  cos x 4x 2x  cos  m 0 có nghiệm Bài 42 Tìm m để phương trình cos x 1 x 1 ABC Bài 43 Tam giác có ba góc thỏa mãn hệ cos A sin B sin C  (sin A  cos B  cos C )  17 0 Hãy tính góc tam giác cos x  3cos x   1 Bài 44 Giải phương trình: sin x  Bài 45 Giải phương trình sau sin x   sin x  cos x  1  2sin x  cos x    Hướng dẫn giải PT �  sin x  cos x     sin x  cosx  1  2sin x  cos x  3  thức : �  sin x  cos x  1  sin x  cos x  1   sin x  cosx  1  2sin x  cos x    �  sin x  cos x  1   sin x  cos x    www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com x  k 2 � sin x  cos x  � �� ��  ,( k ��) � sin x  cos x  4(VN ) x   k 2 � � Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x  k 2 , x  Bài 46 Cho cos2     k 2 , (k ��) � �  với     Tính giá trị biểu thức: P    tan  cos�   � �4 � Hướng dẫn giải Do      nên sin  0,cos  Ta có: cos2    cos2 1  � cos   , 10 10 sin2    cos2   sin � sin  , tan   3 10 cos 10 Khi đó: P    tan  � �   � �  � 10 10 �  cos  sin     3 1  cot x cos x  Hướng dẫn giải  � � cos x � � �x ��  k 2 ,  k , l �� �� Điều kiện xác đònh � � � sin x �0 � �x �l Bài 47 Tìm tập xác định hàm số y  Bài 48 Tìm giá trị nhỏ hàm số y  cos x  tan x Hướng dẫn giải 1 * y  cos x  cos x * cos x  �2 cos x * y �1 � GTNN y = * y = � cos x  � cos x  � sin x  � x  k , k �� cos x Bài 49 Giải phương trình www.thuvienhoclieu.com cos x  sin x  Hướng dẫn giải Trang www.thuvienhoclieu.com cos x  sin x  � cos x  sin x  2    sin x.sin  6 � � � cos � x  � 6� �  � x   k 2  � x    k , k �� 12 � cos x.cos �� 0; �: Bài 50 Tìm tất giá trị thực m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc � � 2� cot x   m  1 cot x  3m   Hướng dẫn giải �� 0; �� t  * t = cotx , x �� � 2� * cot x   m  1 cot x  3m   (1) � t   m  1 t  3m   (2) �� 0; �� pt(2) có nghiệm dương phân biệt Pt(1) có nghiệm phân biệt x �� � 2� '  � � � �S  �P  � � kết : m < - v < m< 3 Bài 51 Giải phương trình (7  2) cos x  (17  12 2) cos x  cos x Hướng dẫn giải Tập xác định: D = R Phương trình cho tương đương với phương trình: (1  2)3cos x  (1  2) 4cos x  cos3 x  3cos x � (1  2)3cos x  3cos x  cos x  (1  2) 4cos www.thuvienhoclieu.com x Trang www.thuvienhoclieu.com Xét hàm số f(t) = (1  2) t  t , ta có f(t) đồng biến với t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x)  3cosx = 4cos3x  cos3x =  x =  k  ,kZ Bài 52 Tìm m để bất phương trình sau với x 1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – Hướng dẫn giải Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài toán trở thành: tìm m cho maxf(x)  2m – Ta có f2(x) = + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx Đặt t = sinx + cosx,  �t � Ta có: f2(x) = g(t) = + 4t + 22t2 + 2t – 1 với  �t � g (t )  4(  1) Xét biến thiên g(t) ta có: �max � 2; � � Vì f(x)  nên ta có: maxf(x) = max f ( x)  max g (t )  2(  1) 3 2 1    Bài 53 Rút gọn tổng S = n số tự cos x cos x cos x cos 3x cos nx cos(n  1) x Vậy ta có: 2( � 1) ۳2m m nhiên Bài 54 Biết sin2x + sin2y = Bài 55 Rút gọn : P = cos , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = tg2x + tg2y  2 3 n cos cos cos 2n  2n  2n  2n  tg  cos   Bài 56 Chứng minh ta có sin(3   ) 7 sin(   ) tg  sin  Bài 57 Trong tam giác ABC có A = 360, AB = AC = BC = x Giả sử x  p q , tìm cặp số nguyên (p, q) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 58 Cho sin x cos x sin x cos x   Chứng minh rằng: , (a > 0, b > 0)   3 a b ( a  b) a b a b Bài 59 Cho tg xtg y  tg ytg z  tg ztg x  2tg xtg ytg z 1 Tính giá trị biểu thức P sin x  sin y  sin z 1 Q    3 5 Bài 60 Tính giá trị biểu thức: cos cos cos 7 Bài 61 Cho tam giác ABC Tìm đặc điểm tam giác biểu thức M cos A B C đạt cos cos 2 giá trị lớn Bài 62 Cho số thực a, b, c thoả mãn a  b  c 4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu  thức T a  b sin x  c sin x , x  (0; ) x   ; ] Bài 63 Tìm giá trị lớn hàm số y  f ( x)   sin x với x  [ 2 n n     Bài 64 Tìm giá trị nhỏ hàm số y  f ( x) 1    1   với n số tự nhiên 2  sin x   cos x  Bài 65 Cho tam giác ABC thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC Chứng minh rằng:  a) B  , b) cosA+ cosC  Bài 66 Cho tam giác ABC thoả mãn: tg ABC vuông sin A B tg  Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác 2 A B C sin sin  2 10 Bài 67 Tính tổng S = sin 39  sin 69  sin 1830  sin 2130 Bài 68 Chứng minh rằng: cos www.thuvienhoclieu.com 2  cos 4  cos  33  6 Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 69 Cho x, y, z, t số thực nằm sin x  sin y  sin z  sin t 1    cos x  cos y  cos z  cos 2t 10    thoả mãn: 2  Chứng minh rằng: x, y, z, t  Bài 70 Tìm GTNN hàm số y  1   , x  (0; ) sin x cos x Bài 71 Tìm GTNN, GTLN hàm số: y sin Bài 72 Tìm GTLN, GTNN hàm số: y  2x 4x  cos 1 1 x 1 x2 cos x  cos x  cos x  Bài 73 Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A Gọi O, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác ABC Tính tỷ số OH R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R Bài 74 Cho tam giác ABC vng C Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ma , mb r2 độ dài đường trung tuyến tam giác kẻ từ A, B Tìm giá trị lớn của: ma  mb2 Bài 75 Giải phương trình sau: 1/ sin x  cos x  sin x cot gx  cos3 xtgx  sin x 2/ cos x  sin 10 x 3  cos 28 x sin x 3/ sin x sin x  4/ sin( x         ) cos( x  )  cos ( x  )   4sin x  cos(  x) cos(  x) 8 3   5/ sin x(16 sin x  20 sin x  5) 1 6/ (16 sin x  20 sin x  5)(16 sin x _ 20 sin x  1 Bài 76 Chứng minh rằng: 4cos36  cot g 30      www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 77 Cho 1 1    7 Tính sin 2 x 2 tg x cot g x sin x cos x Bài 78 Chứng minh rằng: cos  2  cos  5 Bài 79 Thu gọn tổng S = tga.tg 2a  tg 2a.tg 3a   tg (na).tg (n  1)a Bài 80 Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1) (2 cos n  a  1) Bài 81 Tính tổng: S= tg 2 sin  3 sin  6 , sin P = tg  5 7  tg  tg , 18 18 18 R=  5 7  tg  tg 18 18 18 Bài 82 Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x   ) k,  tham số thực Chứng minh rằng: M  m 2 Bài 83 Hãy xác định dạng tam giác ABC góc tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau: A B C tg tg 2    B C C A A B A B C  tg tg  tg tg  tg tg 4tg tg tg 2 2 2 2 tg PHẦN Câu 1: Giải phương trình sau đây: sin x  sin x  cos x Hướng dẫn giải: Ta có: sin x  sin x  cos x  cos x 1 �  sin x  sin x   cos x  cos x 4 2 1� � 1� � � � sin x  � � cos x  � 2� � 2� � www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com � � � cos � 2x- � cos x � 3� �  2x-  x  k 2 � ��  � 2x-   x  k 2 � � Bài Giải phương trình: 2sin x + = Hướng dẫn giải 2sin x + = � sin x   � � � sin x  sin �  � � 3�  � x    k2 � �� (k ��)  � x  k2 � � Bài 10 �cos2x sin x �  Giải phương trình:  cot x  � � cosx � �sinx Hướng dẫn giải �cos2x sin x �  cot x  �  � cosx � �sinx sin 2x Điều kiện : sin x.cos x �۹۹� PT �  cot x  �  cot x  �  cot x  � x  n , n � cos 2x cos x  sin 2x sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x  2  sin x sin x www.thuvienhoclieu.com Trang 26 www.thuvienhoclieu.com Đặt : t  , | t |  Ta có: sin x t  1(lo� i) � t2  3t   � � t � �  x   k2 � 1 t  �  � sin x  � (k �Z) � Với  sin x � x  k2 � � �  x   k 2 � ��  2 � x  k � �  k �� Bài 11 Hướng dẫn giải Xét phương trình: ( Sin x  sin x  4) cos x   (1) 2sin x  Điều kiện: sin x � Phương trình (1) � sin x.cos x  sin x  cos x   1� � 1� � � sin x � cos x  � � cos x  � 2� � 2� � 1� � � � cos x  �  sin x    2� �  � x  �  k 2 Đối chiếu với điều kiện: x    k 2 Vậy phương trình có nghiệm: x  www.thuvienhoclieu.com   k 2 Trang 27 www.thuvienhoclieu.com Bài 12    �x  x  y  y   (1) � Giải hệ: � �   x  x   y (2) �   ( x, y ��) Hướng dẫn giải Điều kiện: x �1, y �1  x x, y ��, ta có   x   x  x    y   y2   y  y2 1  2 � �y  y    x  x  (3) Kết hợp với  1 ta được: � 2 x  x    y  y  (4) � � Cộng  3   ta y   x , vào   ta được:    x2  x   x2  (5) �� 0; Đặt x  sin t , t �� , phương trình   trở thành � 2� �  cos t  sin t (1  cos t ) � cos � t t t � � t�  2sin cos � 1 �  2sin � � 2 � � 2� � 4 �  t  k � t  t t � sin  sin � � � 3sin  4sin   4 2 � t  k � � �  t � � x �� 0; �, ta � �� Với t �� �  � 2� � x 1 t � � � �1 � Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  � ;  �và  1; 1 �2 � Bài 13 Bài 14 Giải phương trình sau: cos x  5cos x www.thuvienhoclieu.com Trang 28 www.thuvienhoclieu.com Cho phương trình: cos x   m  1 sin x  m  a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0;  ] Tính góc tam giác ABC biết: cos A  cos 3B  cos 3C  1,5 � 3� Bài 15 Giải phương trình: 2cos �x  � 3cos x  s inx  � 4� Bài 16 Tìm giá trị nhỏ hàm số: f  x   cos x  sin x  cos x sin x Bài 17 Bài 18 Bài 19 �2 � Cho số thực x thỏa mãn sin x  sin �  x � �7 � � � tan �  x � �7 � Tính giá trị biểu thức P   tan (sin x  sin x  4) cos x  0 Giải phương trình 2sin x  PHẦN � 3 � �cos x  sin x � 2x  Bài Giải phương trình sau: 3tan2x  2sin� � 2� � � �cos x  sin x � cos2x � Hướng dẫn giải Điều kiện: cos2x �۹ �x   k  k � (*) Với điều kiện phương trình cho tương đương với: www.thuvienhoclieu.com Trang 29 www.thuvienhoclieu.com 2 cos x  sin x sin2x  2cos2x   � 3sin2x  2cos2 2x  2 cos x  sin x  cos2x cos x  sin x cos2x � sin2x  1 2 � � 3sin2x  1 sin 2x  2 1 sin2x  � 2sin 2x  sin2x  1 � � sin2x  � �  x    k � �  �� x   k  k �� � 12 � 5 � x  k � � 12   Kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình cho là: x   5  k x   k  k �� 12 12 sin4 2x  cos4 2x  cos4 4x � � � � Bài Giải phương trình: tan�  x� tan�  x� �4 � �4 � Hướng dẫn giải  Điều kiện: x ��  k  k �� (*) Với điều kiện phương trình cho tương đương với: 1   cos 4x  cos4 4x � 2cos4 4x  cos2 4x  1 � cos2 4x  1� x  k  k �� 2 Kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình cho là: x  k  k�� Bài Giải phương trình: s inx + 2sin x = cos x � p� � 2sin x + cos � x- � + � � Bài Giải phương trình: � 6� � = 1- cos x 1  cos x  cos x   cos x  cos x  16 2 Bài Giải phương trình: 16 p� 2� 2x + � Bài Giải phương trình: ( + 2cos x) sin x + sin x = 2sin � � � � � � 4� www.thuvienhoclieu.com Trang 30 www.thuvienhoclieu.com 3x �5 x  � �x  � sin �  � cos �  � cos �2 � �2 � Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: tan x +1 ( s inx + cos x ) = ( sin x + 3cos x)  (1  cot x.cot x)  48 Bài Giải phương trình: cos x sin x Bài 10.Giải phương trình: Bài 11 Giải phương trình: 2(sin x  cos x)  cos x  sin x 4sin 2 x  6sin x   3cos x  cos x Bài 12 Cho hàm số: f  x    sin x  cos4 x  cos x  Giải phương trình: a) f  x   2 b) f  x    Bài 13 Chứng minh với giá trị x, ta có: sin x   sin x �1 Bài 14 Giải phương trình: sin x   sin x  cos x  cos x Bài 15 Cho phương trình sau:  m  3 sin x   m  1 cos3 x  cos x   m   sin x  a) Giải phương trình m  5 b) Xác định tham số m để phương trình có nghiệm Bài 16 Cho phương trình sau:  2x 1 2x cos  sin  m  (với m tham số) x x 1� � 50;  �của phương trình a) Khi m  , tìm tất nghiệm x �� 2� � � 1� b) Xác định m để phương trình có nghiệm x �� ; � �2   � Bài 17 Tìm x thuộc khoảng  0;14 nghiệm phương trình: cos 3x  cos x  3cos x   � 3� Bài 18 Giải phương trình: sin �x  � sin x � 4� 6 Bài 19 Giải phương trình: 3cos x  4sin x  3cos x  4sin x  Bài 20 Cho phương trình: sin x   m  3 sin x  m   www.thuvienhoclieu.com Trang 31 www.thuvienhoclieu.com 3 � � Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc � ; 2 � �2 � � cos x  3cos x.sin x  a � v� � i a, b�� Bài 21 Cho � sin x  3sin x.cos2 x  b � Chứng minh rằng:  a  b   a  b  � Bài 22 Chứng minh rằng: 1   cos8x  2cos x,x�� 0; � � 8 � 8� 1 25 cos4 x  cos2 x  cos4 x   cos2 x  16 16 Bài 24 Giải phương trình: 1 sin3 x  cos3 x  sin2x 1 Bài 25 Giải phương trình:  cos4 x  cos2 x   cos4 x  cos2 x  16 16 2 2 2 Bài 26 Giải phương trình: cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  Bài 23 Giải phương trình: 1  Bài 27 Tìm a để phương trình: acos2x  a cos4x  cos6x  có nghiệm x ��  k , x  k , v� � i k �� có nghiệm Bài 28 Giải phương trình: sin2xsin4x  3sin x  4sin x     Bài 29 Giải phương trình: cos2x  cos3x  sin x  cos4x  sin6x sin4x Bài 30 Giải phương trình: 1 cos x  cos x cos2x  �3 � sin x   1 2k sin x  k  Bài 31 Cho phương trình: �  k � �4 � Tìm k để phương trình có nghiệm Bài 32 Tính tổng nghiệm phương trình: cos2 x  cos3 x  cos2x  tan2 x  v� � i x�� 1;70� � � cos2 x Bài 33 Giải phương trình: 1 10 cos x   sin x   cos x sin x  Bài 34 Giải phương trình sau:   sin x  cos x  tan5x  cot5x Bài 35 Giải phương trình sau: 3tan2x  www.thuvienhoclieu.com 1 cot x 2  2cos2x  cos2x 1 cot x Trang 32 www.thuvienhoclieu.com Bài 84   Giải phương trình:  cos x       cos x     sin x.cos x  sin x  cos x   Hướng dẫn giải   sin x.cos x  sin x  cos x    � cos x   sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  �  sin x  cos x    sin x  cos x   � � � sin �x  � � sin x  cos x  � � 4� �� �� � � � sin x  cos x  � sin �x  � � � � 6� �  x   k �  � x   k � � �   � � x    k 2 � � x  k 2 � 6 � 2 �  5 x  k 2 � � x   k 2 � � Bài 85  k �� Giải phương trình: 3tan2 x  cos x �0 cos x �0 � � � � sin x �۹� sin x ĐK � � � � cot x �1 cos x  sin x �0 � � Khi phương trình cho trở thành  cotx 2  cos x  cos x  cotx Hướng dẫn giải cos x �0 � � sin x �0 � 3sin x  sin x  cos x 2  cos x  cos x sin x  cos x 3sin x  cos x  sin x � 2  cos x   cos x  sin x   cos x  sin x  sin x  cos x www.thuvienhoclieu.com Trang 33 www.thuvienhoclieu.com 3sin x    cos x  sin x   cos 2 x    � 3sin x     sin x    sin 2 x  � 2sin 2 x  sin x   � sin x  1;sin x   +) sin x  � cos x  không thỏa mãn ĐK   � � x    k 2 x    k � � � � �� +) sin x   (thỏa mãn ĐK) � �  � �x  2  k x     k 2 � 3 � Bài 86  k �� Giải phương trình sau đây: 1) sin x  sin x  cos x 2) (1  t anx)sin2x=2tanx Bài 87 Giải phương trình: tan x  cot x  tan x  2 sin x Hướng dẫn giải +) Điều kiện +) Tìm đợc tanx = tanx =   k Bài 88 T×m m để phơng trình: 4(sin x cos x )  4(sin x  cos6 x )  sin x  m   cã nghiÖm x ( ; ) +) Giải loại nghiệm ĐS: x Hng dn gii +) §a PT vỊ d¹ng: 2cos x  cos x 2m (1) +) Đặt t = cos4x víi x �(   ; ) � t�(-1; 0) +) XÐt f(t) = 2t2 + t (-1; 0) có bảng biến thiên Và PT (1) có nghiệm đờng thẳng y = 2m +1 (song song trùng 0x )cắt f(t) (-1; 0) +) §S: m �(  ;1) www.thuvienhoclieu.com Trang 34 www.thuvienhoclieu.com Bài 89 Giải phương trình: 2sin x  6cos3 x  cos x  3sin x  Bài 90 Giải phương trình: (sinx  2cos x)cos2 x  sinx  (cos4 x  1)cos x  Bài 91 Giải phương trình: cos2 x 2sinx Hướng dẫn giải Dùng công thức hạ bậc ta được: Sử dụng ct nhân đơi giải được: sinx=0; sinx=1/2 Từ suy nghiệm pt: x 0 Bài 92 Giải phương tình : sin 2x  cos2x  sin x  cos Bài 93 3� � Cho hàm số y  cos x Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số � ; � 2� � Bài 94 Giải phương trình: cos3x  cos � � Bài 95 Giải phương trình: Bài 96 Bài 97 �9x � �4 � x x  cos x  cos x 2 sin sin(  ) 2    Giải phơng trình: sin( x ) sin( x  )  sin(5 x  ) 0 6 � � sin x  cos3x  2cos �x  �  � 4� Hướng dẫn giải Ta có: � � sin x  cos3 x  2cos �x  �  � 4� � sin 3x  cos3 x   cos x  sin x    www.thuvienhoclieu.com Trang 35 www.thuvienhoclieu.com � sin 3x  sin x  cos3x  cos x   cos x  sin x    � 2sin x cos x  2sin x sin x   cos x  sin x    � 2sin x  cos x  sin x    cos x  sin x    � � � cos �x  � ; t ��  2; � � � � Ta có: 2(1  t )t  t   � 2t  t   � t  x  k 2 � � � � � t  1: cos �x  � � cos �x  � ��  � x    k 2 � 4� � 4� � Đặt: t  cos x - sin x  Bài 98 Cho phương trình sau: với m tham số 1) Khi m = 0, tìm tất nghiệm phương trình 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Bài 99 Cho phương trình sau: 1) Giải phương trình 2) Xác định tham số m để phương trình có nghiệm Bài 100 Giải phương trình:  cos x  1  cos x  1   sin x  cos x s inx Tính gần nghiệm (độ, phút, giây) phương trình 4sin x  cos x  2sin2x  Bi 101 Hng dn gii Biến đổi phơng tr×nh www.thuvienhoclieu.com Trang 36 www.thuvienhoclieu.com 4sin x  cos x  2sin2x     �  4sin x   (1  cos x)   � 4sin x   cos x 4sin x   cos x  � �� � sin x  � Do phơng trình có họ nghiệm x k3600 � � x �33059'16'' k3600 � � x �14600'44'' k3600 � Bài 102 Cho tam giác ABC Có góc A,B nhọn thỏa điều kiện : Sin A  SinA.CosB  SinBCosA  Sin B 0 Chứng minh tam giác ABC vuông Hướng dẫn giải Từ gt có SinA(SinA-CosB) +SinB(SinB-CosA)=0  ( SinA  CosB)( SinB  CosA) 0 (1) (2đ) Lại có : Sin A  Cos B Sin B  Cos A  ( SinA  CosB)( SinB  CosA) 0 (2) (2đ) Vậy SinA=CosB SinB=CosB  A  B  a)    C   Tam giác cho vuông đỉnh C 2 (1đ) � � �  � 4� x Giải phương trình: sin x  cos3 x  2cos � Bài 103 Giải phương trình:  x x x    2 2 1) Sin sinx - cos sin x + = cos 2) cos x  x  2 x 10 Bài 104 Giải phương trình : 3tan2x - www.thuvienhoclieu.com  cot x   cos x = cos x  cot x Trang 37 www.thuvienhoclieu.com Bài 105   Giải phương trình:  cos x       cos x     sin x.cos x  sin x  cos x   Hướng dẫn giải   sin x.cos x  sin x  cos x    � cos x   sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  �  sin x  cos x    sin x  cos x   � � � sin �x  � � sin x  cos x  � � 4� �� �� � � � sin x  cos x  � sin �x  � � � � 6� �  x   k �  � x   k � � �   � � x    k 2 � � x  k 2 � 6 � 2 �   x  k 2 � � x   k 2 � � Bài 106 � �  k ��  tan x.tan Giải phương trình: sin x � x� � tan x   2� cos x Hướng dẫn giải x �0 Phương trình cho tương đương x x� � �cos x.cos  sin x.sin � sin x � � tan x    tan x x � � cos x.cos � � sin x �  tan x    tan x cosx � tan x  tan x   � tan x  tan x    tan x  � x   k  tan x   � x    k ĐKXĐ: cos x.cos www.thuvienhoclieu.com Trang 38 www.thuvienhoclieu.com Kiểm tra ĐK thỏa mãn Vậy nghiệm PT x     k ; x    k , k �� Tìm số tự nhiên a bé để phương trình sau có nghiệm cos  (a  x)  cos  ( a  x)  cos Bài 107 Bài 108 Bài 109 Giải phương trình: 3 x x  � � cos �  �  2a �2a �  cos x  1  cos x  1   sin x  cos x s inx  3 x    x     sin    Giải phương trình: sin   10   10  Giải phương trình: cos x  3 sin x cos x Hướng dẫn giải cos x  cos x  3 sin x 0  sin 3x sin x  3 sin x 0  sin x sin x(3  sin x)  3 sin x 0 sin x 0 (1)  sin x sin x(1  cos x)  3 0    sin x (1  cos x ) 3 (2) Giải (1) ta đợc x=k  víi k     Gi¶i (2): Ta cã (2)  sin x cos x sin x p dụng BĐT Côsi cho sè: sin 2 x, 3 3 (3)  sin x cos 2 x  sin x  2 cos 2 x cos 2 x ta có :  , 2 cos 2 x cos 2 x (sin x cos 2 x) sin x   3 2 2  sin x cos 2 x  sin x cos 2 x  1 < 3 Do ®ã sin x cos x  sin x  3 3 2 Suy (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm Kết luận: Phơng trình có nghiệm x=k  víi k   Bài 110 Giải phương trình:  sin x  cos x   2sin 2   x  sin x sin x   Hướng dẫn giải PT �  2sin x cos x   cos x  sin x  4sin x  sin x www.thuvienhoclieu.com Trang 39 www.thuvienhoclieu.com  �   4sin x    2sin x cos x  cos x   sin x  sin x  �   2sin x   cos x  2sin x  1  sin x  2sin x  1 �  2sin x  1 +)  2sin x   � sin x  cos x   � � � sin x  cos x    � � sin x  cos x   � sin �x  � 1 � 6� � x       k 2 � x    k 2 , k �� �  x   k 2 �  k �� +) 2sin x   � sin x  � � 5 � x  k 2 � � Vậy phương trình cho có nghiệm x   www.thuvienhoclieu.com   5  k 2 , x   k 2 , x   k 2  k �� 6 Trang 40 ... trình: Bài Giải phương trình: tan x +1 ( s inx + cos x ) = ( sin x + 3cos x)  (1  cot x.cot x)  48 Bài Giải phương trình: cos x sin x Bài 10.Giải phương trình: Bài 11 Giải phương trình: 2(sin... 638 Câu 8: Cho phương trình m sin x  cos x   m (1) ( m tham số) a Giải phương trình (1) với m  b Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải a Với m  Thay vào phương trình  1 ta được:... Câu 6: 1  Cho phương trình: cos x –  2m  1 cos x  m   a Giải phương trình m  � 3 � � �2 � b Tìm m để phương trình có nghiệm x �� ; Hướng dẫn giải a m  phương trình  cos x  cos

Ngày đăng: 23/02/2018, 16:31

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan