Nhóm Casio - Latex biên tập TUYỂN TẬP CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN DÙNG CASIO Biên tập: Nguyễn Bình Nguyên Tháng 02 - 2018 Mục lục Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng 1.1 Phương pháp bấm máy 1.2 Các ví dụ Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức 2.1 Cơ sở lí thuyết giải nguyên hàm hữu tỷ 2.2 Thực phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm 12 Nguyên hàm dạng cho f (x) F (a) Tính F (b) - Thầy Học Tốn 20 Tích phân dạng đặc biệt- Thầy Huỳnh Văn Quy 28 Tích phân hàm hữu tỉ- Thầy Triệu Minh Hà 36 Tích phân hàm lượng giác- Thầy Nguyễn Hữu Nhanh Tiến 41 Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường 47 Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ 52 10 Tích phân phần - Thầy Trần Hiếu 58 Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng 1.1 PHƯƠNG PHÁP BẤM MÁY Phương pháp tìm nguyên hàm Như biết, nếu: f (x)dx = F (x) + C ta có ngay: F (x) = f (x) hay nói f (x) − F (x) = 0, ∀x Từ ta có cách để tính nguyên hàm máy tính casio sau: d Ta nhập vào máy sau: f (X) − (F (X)) |x=X , F (X) đáp án đề dx d để bấm (F (X)) |x=X ta bấm tổ hợp phím sau: qy dx Sau nhập xong bấm = để lưu biểu thức vừa nhập Tiếp tục bấm r để tính tốn với số giá trị khác Nếu kết sấp xỉ chọn đáp án Lưu ý: dùng chế độ fix - để dò đáp án cách bấm: qw69 Xác định nguyên hàm hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = C Cú pháp máy casio: X F (X) − C − f (X)dx x0 Trong đó: x0 C số cho trước Chú ý: Cần chuyển đơn vị từ DEG sang RAD cách bấm: qw4 1.2 CÁC VÍ DỤ √ Câu Tìm ngun hàm hàm số f (x) = x + x2 ä ä3 Ä 2√ Ä 2√ A x + x2 + C B x + x2 + C ä3 ä Ä 2√ Ä√ C + x + C D x + x2 + C 3 Lời giải Chọn đáp án C Phân tích: Theo định nghĩa nguyên hàm ta có: f (x) dx = F (x) + C, suy F (x) = f (x) Thao tác bấm máy sau: d Nhập vào hình F (X) − f (x), với F (X) kết x=X dx Tiếp tục bấm r cho X giá trị tùy ý thuộc tập xác định Nếu kết chọn Giả sử ta thử đáp án A Bấm máy: Kết quả: qy1a2$(Q)ds1+Q )d$)$Q)$pQ)s1+ Q)dr5= Làm tương tự với đáp án lại x2 − Câu Nguyên hàm dx x(x2 + 1) 1 A ln x − + C B ln x − + C x x C ln x + + C x D ln x2 − + C x Các ví dụ Lời giải Chọn đáp án C Thử đáp án A Nhập vào hình Ç d ln x − dx x å x=X − X2 − X(X + 1) bấm r nhập vào bấm = kết quả: −0.549, suy loại đáp án A Tương tự thử lại cho đáp án khác A F (x) = ex + ln(ex + 1) + C e2x ? ex + x B F (x) = e + − ln(ex + 1) + C C F (x) = ex − ln |x| + C D F (x) = ex + ln |x| + C Câu Hàm số sau nguyên hàm hàm số y = Lời giải Chọn đáp án B Ç å ex d(ex + 1) e2x dx = = 1− x d(ex + 1) = ex + − ln(ex + 1) + C Ta có x x e +1 e +1 e +1 Cách bấm máy: Ta thử với đáp án B ä d Ä X e2X Nhập vào e + − ln(eX + 1) − X bấm r2= kết x=X dx e +1 4x + Câu Cho F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = F (−2) = ln 81 Tính x +x+1 F (2) A F (2) = ln B F (2) = ln − ln C F (2) = ln − ln D F (2) = (ln + ln 3) Lời giải Chọn đáp án D Đặt t = x2 + x + 1, ta F (x) = ln |x2 + x + 1| + C Ta có F (−2) = ln 81 =⇒ C = ln Do F (2) = (ln + ln 3) Cách bấm máy: Ta có −2 4x + dx = F (2)−F (−2), suy F (2) = x +x+1 −2 4x + dx+F (−2) +x+1 x2 Sử dụng MTCT so sánh với phương án ta F (2) = (ln + ln 3) x Câu Tìm nguyên hàm hàm số y = √ + x4 √ √ ä ä Ä Ä A f (x) dx = ln x2 − + x4 + C B f (x) dx = ln x2 + + x4 + C 2 √ ä √ Ä C f (x) dx = ln + x4 + C D f (x) dx = ln x − + x4 + C 4 Lời giải Chọn đáp án B Ta có: √ ä x dx d(x2 ) dt 1 Ä √ +C = + C √ √ √ = = = ln t + + t ln + x x + 2 + x4 + x4 + t2 Dùng máy tính: Thử đáp án A, bấm: Ç å √ d x ln(x − + x ) −√ x=X dx + x4 Bấm r3= kết Math ERROR, suy đáp án A sai Sửa biểu thức để thử đáp án B thử với r3= kết −1, 606 · 10−12 ≈ 0, suy chọn B x Câu Biết F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = f (1) = ln Tính F (2) 1+x 1 5 A F (2) = ln B F (2) = ln C F (2) = ln D F (2) = ln 2 4 Lời giải Chọn đáp án A Các ví dụ Bấm máy X + ln bấm = 1+X Đối chiếu với kết ta F (2) = ln 1 , biết F (1) = − ln + + 5) 10 x2 ln B F (x) = − 10 + x2 x2 D F (x) = − ln − 10 + x2 Câu Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = x(x2 x2 ln + 10 + x2 x2 + C F (x) = − ln 10 + x2 Lời giải Chọn đáp án A x2 + − x2 x = = − Ta có: f (x) = 2 x(x + 5) 5x(x + 5) 5x 5(x + 5) d(x2 + 5) x2 dx − = ln + C Do đó: f (x) dx = 5x 10(x2 + 5) 10 x2 + 1 1 F (1) = − ln + ⇔ − ln + = ln + C ⇔ C = 10 10 10 x2 Vậy F (x) = ln + 10 + x2 Cách dùng máy tính: A F (x) = Thử đáp án A Nhập vào máy sau: X Ç å x2 1 ln + − − ln + − dx 10 + x 10 X(X + 5) Bấm r3= thấy kết √ x4 − 1 Câu Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = , biết F ( 3) = − √ ln x +1 √ √ x2 − 3x + 1 x2 − 3x + 1 + B − √ ln √ − A √ ln √ x +√ 3x + x +√ 3x + 1 x2 − 3x + 1 x2 − 3x + C √ ln √ + D − √ ln √ − x + 3x + x + 3x + Lời giải Chọn đáp án A (x2 − 1)(x2 + 1) x2 − f (x) = = (x + 1)(x4 − x2 + 1) x4 − x2 + Do đó: Ä ä √ d x + x1 − x12 x + x1 − x2 − 1 √ +C dx = dx = Ä dx = √ ln ä2 x4 − x2 + x2 + x12 − x + x1 + x + x1 − √ x2 − 3x + = √ ln √ + C x + 3x + √ √ 1 x2 − 3x + F ( 3) = − √ ⇔ C = Do đó: F (x) = √ ln √ + 3 x + 3x + Cách dùng máy casio: Nhập √ X Ç å X − 3X + 1 X4 − √ ln √ √ ln − + − − dx X + 3X + √ X +1 bấm r3=, kết 0, suy đáp án A Câu Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = x(2x50 + 7) , biết F (1) = − ln − 350 Các ví dụ x50 x50 A F (x) = ln − B F (x) = ln + 350 2x50 + 350 2x50 + 50 50 x x C F (x) = ln 50 − D F (x) = − ln 50 − 50 2x + 50 2x + Lời giải Chọn đáp án A (2x50 + 7) − 2x50 2x49 Ta có f (x) = = − Suy ra: 50 + 7) 50 + 7) 7x(2x 7x 7(2x Ç å Ç å 1 1 2x49 x50 50 f (x) dx = − dx = ln |x| − ln(2x + 7) + C = ln + C x 2x50 + 7 50 350 2x50 + 1 x50 Với F (1) = − ln − ⇒ C = −6, nên F (x) = ln 50 − 350 350 2x + Bấm máy tính: Thử với đáp án A Nhập X 50 ln −6− − ln − − 50 350 2X + 350 Ç bấm r2=, kết å X 1 X(2x50 + 7) dx Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức 2.1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT GIẢI NGUYÊN HÀM HỮU TỶ P (x) dx Q(x) I= a) Nếu bậc P (x) ≥ bậc Q(x) ta chia đa thức: TS Dư = Thương + MS MS b) Nếu bậc P (x) < bậc Q(x):    x1 , x2 , , xn     nghiệm đơn 1) Tìm nghiệm Q(x) = 0: giả sử  x0 nghiệm bội k      ax2 + bx + c bậc hai vơ nghiệm P (x) theo tình sau: Q(x) B1 B2 Bn • Với nghiệm đơn viết dạng + + + x − x1 x − x2 x − xn A1 A2 Ak • Với nghiệm bội x0 (bội k) ta viết dạng + + + x − x0 (x − x0 ) (x − x0 )k Ax + B • Với tam thức bậc hai ax2 + bx + c ta phân tích dạng ax + bx + c 3) Tìm hệ số Ai , Bi phương pháp đồng thức 2) Phân tích 2.2 THỰC HIỆN PHÉP CHIA ĐA THỨC- SỬ DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570 ES PLUS II Trường hợp nghiệm đơn 2x2 − x + x+2 B 2x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C x2 D − 5x + 13 ln |x + 2| + C Câu (2D3B1) Tìm nguyên hàm biểu thức f (x) = A x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C C x2 − 13x + ln |x + 2| + C Lời giải Chọn đáp án A • Ta thực phép chia đa thức q612[dp[+3q) [+2)r10 • Kết quả: – Thương 195 = 200 − = 2x − – Dư 13 • Nguyên hàm 2x2 − x + dx = x+2 Câu (2D3B1) Tính nguyên hàm A x − ln |x + 1| + C C x + ln |x + 1| + C Lời giải Chọn đáp án A Ç å 13 2x − + dx = x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C x+2 x−3 dx x+1 B x − ln |x + 1| + C D −x + ln |x + 1| + C Thực phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II Ta thấy tử số mẫu số có bậc nhau, nhiên tử số nhỏ mẫu số nên thực phép chia ta có kết (sai) sau • Ta thực phép chia đa thức q61[p3 q) [+1)r100 • Kết quả: – Thương = 0x – Dư 97 Muốn thực phép chia trường hợp tử số nhỏ mẫu số, ta phải thêm giá trị vào tử số cho tử số lớn mẫu số (giả sử ta thêm 10) • Ta thực phép chia đa thức q6110+[p3q)[+1)r100 • Kết quả: – Thương – Dư 6: ta thêm 10 vào tử số nên dư phải bớt 10, tức phần dư phép chia − 10 = −4 • Nguyên hàm x−3 dx = x+1 å Ç dx = x − ln |x + 1| + C 1− x+1 Chú ý: Trong trường hợp tử số nhỏ mẫu số (cùng bậc), ta thường phải cộng thêm số vào tử số để thực phép chia cho xác, số cần cộng thêm vào tử hiệu mẫu số tử số Câu (2D3B1) Tính nguyên hàm A ln |x − 1| + ln |x + 2| + C 3 C ln |x − 1| − ln |x + 2| + C 3 Lời giải Chọn đáp án A 2x − dx +x−2 B ln |x + 2| + ln |x − 1| + C 3 D − ln |x + 2| + ln |x + 2| + C 3 x2 Ta thấy mẫu số có hai nghiệm đơn −2 nên ta phân tích 2x − A B = + +x−2 x−1 x+2 x2 • Tìm A: – Ta nhập a2[p1R[+2r1 1 – Kết ⇒ A = 3 • Tìm B: – Ta nhập a2[p1R[p1rp2 5 – Kết ⇒ B = 3 Như 2x − dx = x +x−2 Ç å 5 + dx = ln |x − 1| + ln |x + 2| + C 3(x − 1) 3(x + 2) 3 Thực phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II B1 B2 Bn + + + , x − x1 x − x2 x − xn muốn tìm hệ số Bi ta làm sau: nhập biểu thức cần tính nguyên hàm (bỏ biểu thức x − xi ) Chú ý: Khi tách phân thức trường hợp nghiệm đơn dạng sử dụng chức r, thay giá trị xi vào ta tìm Bi x2 + x − dx Câu (2D3K1) Tính nguyên hàm (x − 1)(x + 2)(x − 3) A ln |x − 1| + ln |x + 2| + ln |x − 3| + C 15 B − ln |x − 1| + ln |x + 2| + ln |x − 3| + C 15 ln |x + 2| + ln |x − 3| + C C ln |x − 1| + 15 D ln |x − 1| + ln |x + 2| − ln |x − 3| + C 15 Lời giải Chọn đáp án A a) Thực phép tách x2 + x − A B C = + + (x − 1)(x + 2)(x − 3) x−1 x+2 x−3 • Tìm A: – Ta nhập a[d+[p4R([+2)([p3)r1 1 – Kết ⇒ A = 3 • Tìm B: – Ta nhập a[d+[p4R([p1)([p3)rp2 2 ⇒B= – Kết 15 15 • Tìm C: – Ta nhập a[d+[p4R([p1)([+2)r3 4 – Kết ⇒ C = 5 x2 + x − 4 b) Vậy dx = + + dx (x − 1)(x + 2)(x − 3) 3(x − 1) 15(x + 2) 5(x − 3) = ln |x − 1| + ln |x + 2| + ln |x − 3| + C 15 Ç Câu (2D3B1) Tính nguyên hàm A − x2 − x + ln |x| + C x2 + x + ln |x| + C Lời giải Chọn đáp án A C å x3 − 2x + dx x − x2 x2 B − x + ln |x| + C x2 D − − 2x + ln |x| + C Nhận thấy hệ số x2 (ở mẫu) −1 nên ta phải đảo dấu phân thức để hệ số x2 trở x3 − 2x + thành 1, tức − x2 − x a) Phép chia đa thức q61[Dp2[+1q)[dp[)r1000 • Thương 1000 • Dư 998001 ⇒ ta phải điều chỉnh phép chia để dư nhỏ 1000 (số chia) Thực phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II b) Điều chỉnh phép chia đa thức q612[+[Dp2[+1q)[dp[)r1000 • Thương 1001 ⇒ thương x + • Dư 1001 ⇒ dư x+1−2x = −x+1 ⇒ c) Thực phép tách x3 − 2x + dx = x − x2 x−1 dx −x − + x −x Ç å x−1 A B = + x −x x−1 x • Tìm A: – Ta nhập a[p1R[r1 – Kết ⇒ A = • Tìm B: – Ta nhập a[p1R[p1r0 – Kết ⇒ B = d) Vậy x3 − 2x + dx = x − x2 x2 −x − + dx = − − x + ln |x| + C x Ç å Chú ý: Trường hợp hệ số bậc cao mẫu số âm ta phải đổi dấu biểu thức mẫu để đảm bảo phép chia đa thức xác x3 + 2x2 + x + Câu (2D3K1) Tính nguyên hàm dx 3x2 + 4x + 23 x2 2x 23 x2 2x + − ln |x + 1| + ln |3x + 1| + C B + − ln |x + 1| + ln |3x + 1| + C A 54 54 x2 2x 23 x2 2x 23 C − − ln |x + 1| + ln |3x + 1| + C D + − ln |x + 1| + ln |3x + 1| + C 54 54 Lời giải Chọn đáp án A Vì mẫu số bậc hai (ta phải chia hai lần) hệ số x2 nên ta nhân thêm vào tử số để thực phép chia cho đơn giản a) Phép chia q619([D+2[d+[+1)q)3[d+4[+1 r1000 • Thương 3001 • Dư 3002008 ⇒ mẫu số bậc hai (bằng với bậc số chia) nên ta phải điều chỉnh phép chia để dư thành bậc Nhận thấy mẫu số 3004001 nên phần dư thiếu 2000 = 2x ⇒ ta thêm 2x vào tử số b) Điều chỉnh phép chia đa thức q619(2[+[D+2[d+[+1)q) 3[d+4[+1)r1000 • Thương 3002 ⇒ thương 3x + Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường 47 Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường ln Câu Tính I = ex dx +1 A I = ln B I = ln Lời giải Chọn đáp án A C I = ln D I = ln Bước 1: Nhập vào máy nhấn = Bước 2: Nhập kết phương án A, B, C, D để tìm kết gần đến trùng kết ta chọn phương án đó: Vậy I = ln ln Câu Tính ex √ ex − dx √ √0 233 332 A I = − B I = Lời giải Chọn đáp án D √ 333 C I = √ 332 D I = Bước 1: Nhập vào máy nhấn = Bước 2: Nhập kết phương án A, B, C, D để tìm kết gần đến trùng kết q ta chọn phương án đó: √ Vậy I = Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường (ln 2)2 √ e Câu Tính x 48 dx B I = ln − A I = ln + C I = ln − D I = ln − Lời giải Chọn đáp án B Bước 1: Nhập vào máy nhấn = Bước 2: Nhập kết phương án A, B, C, D để tìm kết gần đến trùng kết ta chọn phương án đó: Vậy I = ln − ln e Câu Biết A a = x √ ex √ 842 , a số nguyên Tìm a − dx = a B a = C a = D a = Lời giải Chọn đáp án C Bước 1: Nhập vào máy nhấn = √ 842 Bước 2: Ta có a = Nhập tiếp ta I Vậy a = ln Câu Cho a số nguyên dương cho A a = B a = Lời giải Chọn đáp án B Bước 1: Nhập vào máy nhấn = ex 1 dx = ln Tìm a +2 a a C a = D a = Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường Bước 2: Ta có a nghiệm phương trình I = 49 ln Nhập phương trình bấm phím Shift a a CALC ta kết Vậy a = ln Câu Cho a, b hai số nguyên dương cho A T = 10 B T = 11 ln b Tính T = a + b dx = x 5−e a C a = 13 D a = 14 Lời giải Chọn đáp án B Bước 1: Nhập vào máy nhấn = Bước 2: Lưu kết tích phân vào A cách liên tiếp phím AC-Ans-SHIFT-RCL-(-) ln b Bước 3: Tư a = thay b = X A ln X Start End 15 Step Bước 3: Dùng chức Table: Mod nhập hàm f (X) = A Quan sát Table có cặp số a = 5, b = Vậy T = 11 ln 1 dx = + ln Tính T = ab x +e a b C T = 12 D T = Câu Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn A T = B T = 10 Lời giải Chọn đáp án D Bước 1: Nhập vào máy nhấn = e2x Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường 50 Bước 2: Lưu kết tích phân vào A cách liên tiếp phím AC-Ans-SHIFT-RCL-(-) Bước 3: Tư a = thay b = X A − ln 3b Bước 3: Dùng chức Table: Mod nhập hàm f (X) = Start End 15 Step A − ln X3 Quan sát Table có cặp số a = 2, b = Vậy T = ln √ Câu Cho A a > b π Khi b B a < b ex − dx = a − C a = b D a.b = Lời giải Chọn đáp án C Hướng dẫn: Bước 1: Lưu kết tích phân vào A qJz π Bước 2: Tư a = A + thay b = X b Bước 3: Chọn cặp số có tổng đáp án a = 0.5, b = −2.Dùng chức Table w7 π nhập hàm f (X) = A + Start p9= End 9= Step 1= X Quan sát Table có cặp số a = b = Chọn phương án C Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường 51 ĐÁP ÁN A D B C B B D C Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ 52 Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ e Câu Tính tích phân Tính tích phân I = 1 e2 + A I = e2 − B I = 2 Lời giải Chọn đáp án B e Tính tích phân I = x2 + ln x dx x C I = e2 + D I = e2 x2 + ln x e2 + dx = 4.1945 = ⇒ Đáp số xác B x yaQ)d+2hQ))RQ)R1EQK= √ m ln(1 + x) Câu Cho Tính m dx = ln x2 √ A B C D Lời giải Chọn đáp án A √ M ln(1 + x) Ta nhập ln − dx x2 3ha2s3R3$ )pyah1+Q))RQ) dR1EQm sau ta ấn r thử đáp án x tùy ý, thử m đáp án, kết toán đáp án Đáp án m = Câu (Câu 26 đề minh họa thi THPT Quốc Gia lần 2) Biết dx = a ln 2+b ln 3+ +x x2 c ln với a, b, c số nguyên Tính S = a + b + c A S = B S = C S = −2 Lời giải Chọn đáp án B Tính tích phân dx lưu vào A +x x2 ya1RQ)d+Q)R3E4= qJz Thao tác lệnh D S = Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ Ä 53 ä Khi A = a ln + b ln + c ln ⇔ A = ln 2a 3b 5c ⇔ 2a 3b 5c = eA = Dễ thấy 16 15 16 2.2.2.2 = = 24 3−1 5−1 = 2a 3b 5c ⇒ a = 4; b = −1; c = −1 ⇒ S = 15 3.5 e Câu (THPT Hai Bà Trưng - Lần 2-17) Đặt Ik = Ik < e − A k ∈ {1; 2} k dx, với k nguyên dương Ta có x ln B k ∈ {2; 3} C k ∈ {1; 4} D k ∈ {3; 4} Lời giải Chọn đáp án A Phương pháp ta nhập Ik − e + thức chức r từ đáp án ta đáp án k ∈ {1; 2} Câu (THPT Ngơ Quyền - Lần (Hải Phòng), 2017) Biết 2x + dx = a ln + b (với 2−x a, b ∈ Q) Khi a + 2b bao nhiêu? A B C D Lời giải Chọn đáp án C + Trước hết tính tích phân 2x + dx lưu vào A theo thao tác qJz 2−x + Theo ta có phương trình a ln + b = A kết hợp với phương trình a + 2b = m m kết đáp án + Sử dụng chức giải hệ tìm kết a, b ∈ Q e x ln xdx = a e2 + b Tính giá trị Câu (Đề thi HKII, Sở GD&ĐT Lâm Đồng) Cho I = biểu thức A = a − b B A = Lời giải Chọn đáp án A A A = C A = − e D A = − e − Bài toán tương tự toán e x ln xdx lưu vào A theo thao tác qJz + Trước hết tính tích phân + Theo ta có phương trình a e2 + b = A kết hợp với phương trình a − b = m m kết đáp án + Sử dụng chức giải hệ tìm kết a, b ∈ Q Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ 54 ln (2x + 1) ex dx = a ln + b, với a, b số nguyên Tính tổng S = a + b Câu Biết A S = −2 B S = C S = D S = Lời giải Chọn đáp án B ln (2x + 1) ex dx lưu vào A theo thao tác qJz + Trước hết tính tích phân + Theo ta có phương trình a ln + b = A kết hợp với phương trình a + 2b = m m kết đáp án + Sử dụng chức giải hệ tìm kết a, b ∈ Q Câu Biết A S = −1 x2 5x + dx = a ln + b ln 3, với a, b số nguyên Tính S = a − b + 3x + B S = C S = D S = Lời giải Chọn đáp án B + Trước hết tính tích phân 5x + dx lưu vào A theo thao tác qJz x2 + 3x + + Theo ta có phương trình a ln + b ln = A kết hợp với phương trình S = a − b S kết đáp án + Sử dụng chức giải hệ tìm kết a, b ∈ Z Câu (Chuyên KHTN Hà Nội, lần 4, 2017) Với số nguyên a, b thỏa mãn (2x + 1) ln x dx = + ln b, tính tổng P = a + b A P = 27 B P = 60 a+ C P = 28 D P = 61 Lời giải Chọn đáp án B (2x + 1) ln x dx lưu vào A theo thao tác qJz + Trước hết tính tích phân + Theo ta có phương trình a + 3 + ln b = A ⇔ a + ln b = A − kết hợp với phương 2 trình P =a+b P kết đáp án + Sử dụng chức giải hệ tìm kết a ∈ Z Câu 10 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, lần 2) Biết I = 2|x − 2| + dx = + x a ln + b ln với a, b ∈ Z Tính S = a − b A S = B S = 11 Lời giải Chọn đáp án B C S = −3 D S = Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ + Trước hết tính tích phân 55 2|x − 2| + dx lưu vào A theo thao tác qJz lưu ý x trị tuyệt đối tích phân f (x) ta ấn qc + Theo ta có + a ln + b ln = A ⇔ 2a 5b = eA−4 = 256 = 28 5−3 Do a = 8, b = −3 125 e Câu 11 (Sở GD ĐT Cần Thơ (HK2)) Tính tích phân I = A I = e − C I = 2e − B I = ln x dx D I = 2e + Lời giải Chọn đáp án B e ln x dx vào máy tính trừ đáp án, kết đáp án Nhập tích phân ln(x + 1) dx = a ln + b ln + c (với a, b, c Câu 12 (Sở GDDT Nam Định) Biết số nguyên) Tính S = a + b + c A S = B S = C S = D S = −2 Lời giải Chọn đáp án A • Trước hết tính tính phân ln(x + 1) dx lưu vào A • Khi theo có A = a ln + b ln + c ⇔ 3a 2b = eA−C • Vì a, b nguyên nên 3a 2b nguyên Ta coi C biến, dùng chức w7 với giá trị bắt đầu −9 đến Step Suy 3a 2b = Câu 13 Biết A S = 27 ⇒ a = 3, b = −2 Vậy S = x2 dx = a + b ln + c ln (a, b, c số hữu tỉ) Tính S = 2a − b + c x+1 B S = C S = D S = Lời giải Chọn đáp án C Tương tự toán e (x − 1) ln xdx Câu 14 Tích phân I = e2 + e2 − A I = B I = 4 Lời giải Chọn đáp án D C I = e2 + Nhập trừ đáp án tìm kết toán D I = e2 − Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ Câu 15 Tích phân 56 ln2 x − ln x dx sau đổi biến t = ln x trở thành tích phân x tích phân cho đây? A ln Ä ä t − t dt Ä t − t dt B ä C ln ln t2 − t dt t D ln t −t dt t Lời giải Chọn đáp án B Ta nhập tích phân ln2 x − ln x dx trừ tích phân đáp án, phép tính cho kết x băng đáp án ( Lưu ý giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào kí hiệu biến) Câu 16 (THPT CHUN THÁI BÌNH 2016-2017-LẦN 5) Giá trị tích phân I = e x + ln x dx x e2 − C 2 A e + B e e2 + D Lời giải Chọn đáp án D e Nhập x2 + ln x dx trừ kết đáp án x Câu 17 (THPT Tân Yên (Bắc Giang), lần 1, 2017) Biết a 100 27 B 100 Lời giải Chọn đáp án C C a = A + Trước hết ta tính tích phân x2 100 27 x2 5x + 18 dx = ln a Tính + 7x + 12 D 100 5x + 18 dx lưu vào A a = eA Suy đáp án + 7x + 12 e 3ea + (a, b ∈ Z) Mệnh đề đúng? b B ab = 64 C a − b = 20 D a − b = 12 x3 ln x dx = Câu 18 Biết A ab = 48 Lời giải Chọn đáp án B e x3 ln x dx lưu vào A + Trước hết ta tính + Theo giả thiết ta có b = đáp án dúng 3ea + dùng chức bảng giá trị để tìm b ngun w7 ta tìm A Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ 57 ĐÁP ÁN B B C B B 11 B 13 C 15 B 17 C A A A B 10 B 12 A 14 D 16 D 18 B Tích phân phần - Thầy Trần Hiếu 10 58 Tích phân phần - Thầy Trần Hiếu e Câu Tính tích phân I = x ln x dx 1 e2 − A I = B I = 2 Lời giải Chọn đáp án C Bước 1: Tính kết máy tính I C I = e2 + D I = e2 − 2.097264 Bước 2: Nhập phương án trắc nghiệm xem phương án giống với kết ln √ Câu Cho A a > b π Khi b B a < b ex − dx = a − C a = b D a.b = Hướng dẫn: Bước 1: Lưu kết tích phân vào A qJz π Bước 2: Tư a = A + thay b = X b Bước 3: Chọn cặp số có tổng đáp án a = 0.5, b = −2.Dùng chức Table w7 π nhập hàm f (X) = A + Start p14= End 15= Step 1= X Quan sát Table có cặp số a = 2, b = Chọn phương án C π √ √ π 2+ x sin x √ (a, b ∈ Z) dx = − ln Câu Cho tích phân: cos2 x a b 2− Tính giá trị biểu thức A = a + b A -3 B C D Lời giải Chọn đáp án B Bước 1: Lưu kết tích phân √ vào A qJz π √ Thay a = f (X), b = X Bước 2: Tư duy: a = 2+ √ A + ln b 2− √ π √ Bước 3: Dùng chức Table w7 nhập hàm f (X) = 2+ √ A + ln X 2− Start p14= End 15= Step 1= Quan sát Table có cặp số a = 4, b = ⇒ P = a + b = + = e 3ea + (a, b ∈ Z b C a + b = 25 D a + 2b = −10 Câu Khẳng định sau kết A a.b = 64 B a − b = 12 x3 ln x dx = Lời giải Chọn đáp án A Bước 1: Lưu kết tích phân vào A qJz 3ea + Bước 2: Tư duy: b = Thay b = f (X), a = X A 3eX + Bước 3: Dùng chức Table w7 nhập hàm f (X) = A Start p14= End 15= Step 1= Tích phân phần - Thầy Trần Hiếu 59 Quan sát Table có cặp số a = X = 4, b = f (X) = 16 ⇒ a.b = 64 Câu Giả sử I = A ln x + dx = a ln2 + b ln 2, với a, b số hữu tỉ Tính tổng 4a + b x B C D Lời giải Chọn đáp án D Bước 1: Lưu kết tích phân vào A qJz Bước 2: Tư duy: Ta xem a, b hai ẩn hệ phương trình:   a ln + b ln = A  với X thay phương án đề 4a + b = X Bước 3: Dùng chức  Giải hệ phương trình w51 nhập hệ phương trình   a ln2 + b ln = A Ta với hệ  có nghiệm a = 2, b =  4a + b = π Câu Giả sử tích phân I = π 5 A B Lời giải Chọn đáp án D π sin6 x + cos6 x dx = a + b, a, b ∈ Q Tính 8a + 3b x + 1968 − C 32 D Bước 1: Lưu kết tích phân vào A qJz Bước  π 2: Tư duy: Ta xem a, b hai ẩn hệ phương trình:  a + b = A với X thay phương án đề   8a + 3b = X Bước 3: Dùng chức Giải hệ phương trình w51 nhập hệ phương trình ( chọn nghiệm hữu tỷ). π +b=A Ta với hệ  có nghiệm a = , b =  8a + 3b =  a n Câu Có số nguyên dương n cho n ln n − 2016 A 2018 ln x dx có giá trị không vượt B 2017 C 2019 D 2020 Lời giải Chọn đáp án B Bước 1: Tư duy: Nếu n thỏa u cầu tốn ta có n số nguyên dương.Thay n = Y với Y phương án đề cho Y Bước 3: Nhập vào máy tính Y ln Y − ln Y dX Bấm =2018=0 đáp án 2017 không thỏa Bấm r2017=0 đáp án 2016 thỏa yêu cầu tốn Tích phân phần - Thầy Trần Hiếu Câu Biết 60 x cos 2x dx = (a sin + b cos + c) với a, b, c ∈ Z Mệnh đề sau đúng? A 2a + b + c = −1 B a + b + c = C a + 2b + c = D a − b + c = Lời giải Chọn đáp án D Bước 1: Lưu kết tích phân nhân với vào A qJz A − a sin − c Bước 2: Tư duy: b = cos Thay b = f (X), a = X thử c giá trị nguyên Ví dụ cho c = −1 A − a sin − c Bước 3: Dùng chức Table w7 nhập hàm f (X) = cos Start p14= End 15= Step 1= Quan sát Table có cặp số a = X = 2, b = f (X) = ⇒ a − b + c = Tích phân phần - Thầy Trần Hiếu 61 ĐÁP ÁN C C B A D D B D ... 47 Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ 52 10 Tích phân phần - Thầy Trần Hiếu 58 Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng Nguyên hàm hàm... + ln b Phân tích: Xét hàm F (x) nguyên hàm hàm f (x) đoạn [a; b], f (x) dx = a b = F (b) − F (a) Từ đề cho F (a) (hoặc F (b)) ta tính F (b) (hoặc F (x) a F (a)) CASIO Bước Lưu kết tích phân 2x... VÍ DỤ √ Câu Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x + x2 ä ä3 Ä 2√ Ä 2√ A x + x2 + C B x + x2 + C ä3 ä Ä 2√ Ä√ C + x + C D x + x2 + C 3 Lời giải Chọn đáp án C Phân tích: Theo định nghĩa nguyên hàm ta