Bài tốn thực tế liên quan đến hình học A Nội dung kiến thức Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính tốn để đường ngắn nhất, tính tốn để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Cơng thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình * Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a = BC, b = CA, c = AB, h = AH Chu vi tam giác : P = a + b + c Diện tích tam giác : S 1 ah  ab.sin C  2 ( với p  p ( p  a)( p  b)( p  c) P ) * Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm  (tính theo radian) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Chu vi hình quạt : P  2 R  � P   R 2 Diện tích hình quạt : S  2 R  � S   R2 2 * Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường tròn đáy r có độ dài đường sinh l là: S xq   rl Diện tích tồn phần hình nón tròn xoay diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp   rl   r Thể tích khối nón tròn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: V   r h *Hình trụ, khối trụ: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl Diện tích tồn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp  2 rl  2 r Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V   r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h = l *Mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R Khối cầu bán kính R tích là: S   R Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau:  Cho hàm số y  ax  bx  c, a > hàm số cho đạt giá trị nhỏ �khi x  b 2a Cho hàm số y  ax  bx  c, a < hàm số cho đạt giá trị lớn � x b 2a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Với a , b số thực dương ta có: ab AM GM ab � ab (a  b) Đẳng thức xảy a = b  Vớia , b, c số thực dương ta có: abc AM  GM abc � abc ( a  b  c )3 27 Đẳng thức xảy a = b = c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay  Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a;b] diện tích S hình phẳng giới hạn b f ( x) dx đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b S  � a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x )  g ( x) liên tục b f ( x)  g ( x) dx đoạn [ a; b] hai đường thẳng x = a, x = b S  � a  Cho hàm số y = f(x) liên tục [a , b] Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường y  f ( x), y  0, x  a, x  b, : quay xung quanh trục b f ( x)dx hoành tính theo cơng thức : V   � a  Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường y  f ( x), y  g ( x), (0 �f ( x) �g ( x); f ; g liên tục đoạn [a;b]), x = a, x = b , quay b g ( x)  f ( x ) dx xung quanh trục Ox tính theo công thức : V   � a B Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3,25 km B km C km D 1,5 km Lời giải Giả sử AS  x,  x  � BS   x Tổng chi phí mắc đường dây điện : f ( x)  300 x  500  (4  x) Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn f ( x ) (0;4) Cách 1: Ta có: � 13 x � F '( x)  � 300  500  �  (4  x)  5(4  x) � ( x  4)  �� 19 16  (4  x )2 � x � (4  x) So sánh với điều kiện ta có x  13  3, 25 Đáp án A Cách 2: Ta có: Ta có: f (3,25) =1600; f (1) =1881,13883; f (2) =1718,033989; f (1,5) =1796,291202 Như ta tìm A đáp án Bình luận: Khơng bạn đọc cho cách giải thứ hai không khoa học làm vẻ đẹp toán học Quan điểm tác giả Cách Cách sau:   Cả hai cách phải tìm giá trị lớn f (x) (0;4) Cách 1: Chúng ta giải cách khảo sát hàm số f (x) khoảng (0;4) để tìm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word giá trị x mà f (x) đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết tìm với đáp án A, B, C, D để tìm câu trả lời cho câu hỏi  Cách 2: Sau lập hàm số f (x) Cách 1, tính f (3,25), f (1), f (2), f (1,5); số lớn bốn số tính giá trị lớn f (x) Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng tìm câu trả lời cho câu hỏi Có thể thấy, rõ ràng Cách giúp ta tìm đáp án nhanh cách Sự khác biệt Cách Cách nêu nằm quan niệm tình đặt Với Cách 1, ta coi phương án A, B, C, D liệu đưa để đối chiếu; với Cách 2, ta coi phương án A, B, C, D giả thiết tình đặt  Có lẽ tập trắc nghiệm làm theo Cách đôi phần hạn chế việc kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm, nhiên trình làm thi câu hỏi người đề ngầm ấn định khoảng thời gian làm bài, theo tác giả gặp câu hỏi phòng thi học sinh nên làm theo Cách Ví dụ Một sổ có dạng hình vẽ, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm cạnh hình chữ nhật Biết chu vi cho phép của sổ m Hỏi diện tích lớn cửa sổ A m  B m  C 2m D m2  3 Lời giải Gọi độ dài IA AB a b ( < a, b < 4) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vì chu vi cửa sổ 4m nên ta có:  a  (2a  2b)  � b    a  2a (1) Diện tích cửa sổ là: S (a )   a2   a  2a  a2 �  �2  2a � S (a)  4a  2a   � 2 � a  4a 2 � 2� Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn S(a) (0;4) Cách 1: Ta có: S '(a )  �  4a   a  � a  �4 Suy : max S (a)  S � 0 x  4  �4   � � � 4 Đáp án B Cách 2: Do S(a) hàm số bậc hai có hệ số a2 âm nên đạt giá trị lớn khi: a 4 �4 � �a � max S (a )  S � �  x  4 ��  � � �4   �   � � 2 � � �� � � Đáp án B Bình luận: Vì (1) khơng biểu diễn a theo b mà lại biểu diễn b theo a? Đâu có bạn đọc nghĩ việc biểu diễn a theo b hay biểu diễn b theo a bước làm không ảnh hưởng đến q trình làm Liệu điều có đúng? Câu trả lời không? Chúng ta biết cửa gồm hai phận (bộ phận hình chữ nhật phận có dạng nửa đường tròn), hai phận tính diện tích phải tính theo a Như biểu diễn a theo b việc tính tốn phức tạp biểu diễn b theo a Công việc tưởng chừng đơn giản giúp ích nhiều cho bạn đọc tính tốn Ví dụ Có hai cột dựng mặt đất cao m m, đỉnh hai cột cách m Người ta cần chọn vị trí mặt đất (nằm hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mơ hình bên Tính độ dài dây ngắn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 41m B 37 m C 29m D 5m Lời giải Kẻ AF  BE � DE  AF= 52  32  Đặt DC  x, (0  x  4) � CE   x Độ dài đoạn dây cần giăng : f ( x )   x  16  (4  x) � f ( x)   x  x  x  32 Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ f(x) (0;4) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có: f '( x )  � x  x2 x4  x  x  32 0 Dùng MTCT sử dụng tính nhẩm nghiệm ta tính được: f '( x )  � x  0,8 � f ( x)  f (0,8)  41 Đáp án A Ví dụ Một hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn ( góc nhìn) Hãy xác định độ dài AO để nhìn rõ BOC A AO = 2,4 m B AO = m C AO = 2,6 m D AO = m Lời giải Đặt : AO  x, ( x  0) � OB  x  3, 24, OC  x  10, 24 Ta có: cosBOC  OB  OC  BC x  3, 24  x  10, 24  1,96   2OB.OC x  3, 24 x  10, 24 x  5, 76 x  3, 24 x  10, 24 Góc nhìn BOC lớn bé cosBOC Cách 1: Đặt: t  x , t  Xét: f (t )  Ta có: t  5, 76 t  5, 76  t  3, 24 t  10, 24 t  13, 48t  33,1776 t  13, 48t  33,1776  t  13, 48t  33,1776 t  13, 48t  33,1776 f '(t )  f '(t )   t  6, 74 0,98t  5, 6448 t  13, 48t  33,1776  (t  5, 76) � f '(t )  � t  5, 76 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Suy cos BOC lớn x  5, 76  2, Đáp án A Cách 2: Ta thử xem đáp án cho đáp án làm nhỏ đáp án cần tìm cosBOC Đặt: f ( x)  f (2, 4)  x  5, 76 x  3, 24 x  10, 24 Ta có: 24  0,96; f (2)  0, 9612260675; f (2, 6)  0,960240166; f (3)  0,960240166 25 Từ suy A đáp án Ví dụ Mỗi trang giấy sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2 Lề lề 3cm, lề trái lề phải cm Hãy cho biết kích thước tối ưu trang giấy A Dài 24 cm; rộng 16 cm B Dài 23,5 cm; rộng 17 cm C Dài 25 cm; rộng 15,36 cm D Dài 25,6 cm; rộng 15 cm Lời giải Trang giấy có kích thước tối ưu diện tích phần trình bày nội dung lớn Gọi chiều dài trang giấy x, ( x  6), suy chiều rộng 384 x 2304 �384 �  408 Diện tích để trình bày nội dung là: f ( x)  ( x  6) �  � 4 x  x �x � Ta cần tìm giá trị lớn f ( x ) với x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 16800000 � 1200 �  5� 14000  x.28000  42000 x   70000 Suy tổng chi phí là: f ( x)  �x  x x � � Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: f ( x) �2 42000 x Đẳng thức xảy khi: 42000 x  16800000   1610000 x 16800000 � x  20 x � 600 � 20  Suy chu vi khu đất là: 2( x  y )  � � 100( m) 20 � � Bài 55 Gọi x y bán kính đáy chiều cao hình trụ Dải dây ruy băng thắt nơ là: 160 – 40 = 120 (cm) Ta có: (2 x  y ).4  120 � y  30  x Thể tích hộp quà là: V ( x)   x (30  x)    x.x(30  x)   x  x  (30  x) � 27 ۣ V ( x) 1000 Đẳng thức xảy khi: x  30  x � x  10(cm) Bài 56 Gọi chiều dài chiều rộng đáy khối gỗ lần luột x y Ta có: x  y  2r  x  y  Thể tích khối gỗ lớn diện tích đáy lớn nhất, tức là: xy lớn x2  y Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: xy �  2 Đẳng thức xảy khi: x  y  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Suy thể tích lớn khối gỗ sau cưa xong là: V   4( m ) Bài 57 Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Gọi parabol qua điểm I (P1) có phương trình: y  ax  bx  x Do ( P1 )đi qua gốc toạ độ nên ( P1 ) : y  ax  bx Sử dụng tiếp kiện (P1 ) qua I A ta suy ( P1 ) : y   Do parabol phía có phương trình ( P2 ) : y   2 x  x 625 25 2 x  x 625 25 Khi diện tích nhịp cầu là S  2S1 với S1 phần diện tích giới hạn parabol ( P1 ) ( P2 ) khoảng (0;25) 0,2 25 � � � 2 � S   x  x dx  dx � 9,9( m ) Suy ra: �� � � � 25 � 0,2 � �0 � 625 Thể tích nhịp cầu là: V1  S 0,  9,9.0,  1,98( m ) Suy lượng bê tông để xây dựng nhịp cầu là: 2.(1,98.10)  39, 6(m3 ) (*) Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần 40m3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Chú ý: Tại (*) nhân phải xây dựng hai bên cầu Bài 58 Gọi bán kính đáy hình nón R, (R > 0) Suy chiều cao hình nón 3R chiều cao hình trụ 2R r Gọi bán kính hình trụ r HB  Ta có: DC SD R   r  AH SH 16 16 �R � Do thể tích khối trụ  nên ta có:  � �.2 R   � R  9 �3 � Suy đường sinh hình nón là: l  SH  AH  62  22  10 Diện tích xuang quanh hình nón là:  Rl   2.2 10  10 (dm ) Bài 59 Gọi m số mảnh da ngũ giác, n số mảnh da lục giác (để cho thuận tiện tác giả gọi mảnh da ngũ giác mảnh da đen, mảnh da lục giác mảnh da trắng) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Số mảnh da bóng là: M = m + n Mỗi mảnh da đen tiếp xúc với mảnh da trắng nên số đường khâu ghép mảnh da đen mảnh da trắng 5m (1) Mỗi mảnh da trắng tiếp xúc với mảnh da đen nên số đường khâu ghép mảnh da trắng mảnh da đen 3n (2) Từ (1) (2) ta có: 5m  3n � m  3n Suy số mảnh da bóng là: m  n  3n 8n n  5 Số đường khâu ghép mảnh da trắng với 3n Vì mảnh da trắng lại tiếp xúc với mảnh da trắng khác đường khâu ghép ta đếm lần Tổng số đường khâu ghép bóng là: Số đường khâu mảnh da màu + Số đường khâu mảnh da khác màu  3n  3n 9n  2 Số đỉnh tất mảnh da 5m hay 3n (bằng tổng tất đỉnh mảnh da đen) Theo công thức Euler ta có: Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh + nên ta có: 3n  8n 9n 3.20  2� n  2�m   12 10 Bài 60 Gọi R h theo thứ tự bán kính chiều cao phễu Thiết diện song song với đáy phễu, qua tâm viên gạch hình tròn bán kính R1  Ta có: R1 h  h   R  (1) R h h Thiết diện song song với đáy phễu, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy phễu hình tròn có bán kính R2  http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Ta có: R2 h  h2   R  (2) R h h Từ (1) (2) suy ra: h 2   h  R   h2 2 Thể tích lại phễu là: V   R h   22, 27 Bài 61 V  50.20.10  10.20.1  49.20.1  8820 (lít) Bài 62 Gọi I tâm hình vng ABCD, H tâm hình vng A’B’C’D’, EF đường sinh qua hình vẽ bên Do hình lập phương tích nên ta có: AA '  HI  1, A ' H  AI  Đặt EH = x ta có: x A'H x 2 �x  �  �  � FI  ( r ) � � EI FI x  FI �x � 2 �x  �  ( x  1)3 Thể tích khối nón là:  r EI   � �( x  1)  �x � x2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Xét hàm số f ( x)  ( x  1)3 ( x  2)( x  1) x > ta có Do thể tích khối nón f '( x )  x2 x3 đạt giá trị nhỏ x = Thể tích khối nón là: 9 Bài 63 Diện tích hình thang nhỏ S  S AEH  SCGF  S DGH lớn Ta có: 2S  x  y  (6  x)(6  y )  xy  x  y  36 (1) Mà hai tam giác AEH CGF đồng dạng nên AE AH   xy  (2) CG CF 18 � 18 � x  � 2S lớn 4x  Thay (2) vào (1) ta có: S  42  � nhỏ x� x � Suy ra: x  18  x   y  2  x  y  x 2 Bài 64 Gọi điểm hình vẽ, kẻ PQ vng góc với CD Để N chạm đáy CQ MB > MC nên x > http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hai tam giác MNC NPQ đồng dạng nên ta có: MN NC x NC     NP PQ PB  y  x y  x2  x  (8  x) x3 x4 Ta ý thêm điều kiện PB �AB  12  y  x �12  18  �x �18  Suy ra: 18  �x �8 x0 � x ( x  6) x3 f '( x )  , f '( x)  � � Xét hàm số f ( x )  ta có: x6 ( x  4) x4 � Ta suy ra: y  f (6)  Bài 65 Gọi O tâm miếng bìa.Ta có: AOB  450 Suy ra: AB  A0.sin 22,50  40  cos 450  20  2 BE  AE  AB  402  (20  )  20  Chiều cao hộp gấp là: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word h ( BE  AB )  10(    )  h  10     2  2   10  2 Thể tích hộp gấp là: V  AB h  4000(2  2)  2 Bình luận: Nếu bạn đọc sử dụng định lý hàm số cos để tính AB đơn giản chút Bài 66 Gọi x bán kính viên bi Điều kiện:  x  10 �  x  Thể tích viên bi là: Vbi   x Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào là: � h� � � 416 V1   h �R  � 16 � 10  � � 3� � 3� Thể tích khối nước hình chỏm cầu thả viên bi vào là: � x � 4 x (30  x) V2   (2 x) �R  � � � Ta có phương trình: 4 x (30  x) 416    x � 4 x (30  x)  416  4 x 3 3 � x  30 x  104  0(1) V2  V1  Vbi � Giải phương trình (1) ba nghiệm sau so sánh với điều kiện làm tròn đến hàng đơn vị ta x = Bài 67 Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Thể tích chum thể tích hình giới hạn đường tròn có phương trình y  25  x đường thẳng x  �3 quay xung quanh trục Ox (25  x ) dx  132 Suy ra: V   � 3 Bài 68 Gọi h khoảng cách từ bóng đèn đến mặt bàn Ta có : sin   h h  l  l Suy cường độ sáng mép bàn là: Ta có: C (1)  C  C ( h)  c h  l3  ch h2   c 1, 2c 1,5c 2c ; C (1, 2)  ; C (1,5)  ; C (2)  3 ( 3) ( 3, 44) ( 4, 25) ( 6) Suy h = m cường độ sáng mép bàn lớn Bài 69 HD: Diện tích xung quanh hộp diện tích miếng bìa Bài 70 Bán kính đáy lọ là: R  r  2r  3r Diện tích đáy lọ là: s   R   (3r )  9 r Bài 71 Ta có: h   h  y y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Do thể tích hố ga nên ta có: xyh   xy y  � x  y2 Tổng diện tích mặt cần xây là: xy  xh  yh  Ta có: y  3 27 y  2 y  y.4 y    y2  y2  4y 4y 4y y 4y 27 27 27 AM GM 27 27  y2   � 33 y2  4y 8y 8y 8y 8y 2 Đẳng thức xảy khi: y  27 � y   x  8y a Bài 72 Gọi x độ dài cạnh bốn hình vng cắt bỏ (0  x  ) Thể tích hộp là: 3 AM GM a  2a  a  x  x � � 2a V  (a  x)(a  x) x   (a  x)(a  x).4 x  � � � 4� � 27 a Đẳng thức xảy khi: a  x  x � x  Bài 73 Gọi x độ dài cạnh góc vng ( x > ),thì độ dài cạnh huyền 120 - x độ dài cạnh góc vng lại 14400  240 x Diện tích miếng nhơm cắt là: f ( x)  Ta có: f ( x)  x 14400  240 x 2 x (14400  240 x)  120 x.120 x.(14400  240 x) 2.120 Suy f(x) lớn 120 x  14400  240 x � x  40 cạnh huyền 80 cm diện tích miếng nhơm lớn Bài 74 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi H giao điểm AB với tim cột cờ Ta cần tính chiều cao cột cờ tức tính HC ' '' Xét tam giác ABC ta có: C  A  B  601012 Theo định lý hàm sin tam giác ABC ta có: AB AC 10.sin 45039'   AC  ' '' sin C sin B sin 601012 ' '' Ta có: HC  AC.sin CAH  AC.sin 510 4912 � HC  ' '' 10sin 45039' sin 510 4912 �52,30(m) ' '' sin 601012 Bài 75 Đặt HM  x, (0 �x �4,1) Suy : AM  x  1, 44, BN  (4,1  x)2  2, 25 Gọi a số tiền để làm km đường bên bờ có điểm A Khơng tính tổng quát giả sử a = số tiền để làm đường là: f ( x)  x  1, 44  1,3 (4,1  x)  2, 25 Ta có: f '( x)  x x  1, 44  1,3 4,1  x (4,1  x )2  2, 25 Sử dụng MTCT ta tính f '( x)  x �2, 630356850  x0 Suy ra: HM = 2,630 (km) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 76 Diện tích mặt cắt ống là: S   R   r với r = 0,0075 (m) R = 0,0095 (m) Thể tích phần thép tạo nên ống là: V  S (m3 ) Khối lượng ống thép là: m = 7800.V(kg) Suy số ống thép tạo từ 10 thép nguyên liệu là: 2 Bài 77 Ta có: Stp  2 R  2 R.h � Stp  2 R  2 R Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Stp  2 R  Đẳng thức xảy khi: 2 R  10000 �2000 (ống) 7800V V 2V � Stp  2 R  R R V V V V  �3 2 R  Stp  3 2 V R R R R V V  R  R 2 Bài 78 Thể tích lon sữa là: V  10. 32  90 (cm3 ) Bán kính đáy lon sữa là: 8. R  90  R  45 (cm) Bài 79 Thể tích lượng vữa cần trát thêm vào cột là: � � �1 � V  400 �  21  � 20.20.sin 600 �  138203,8062(cm3 ) � �2 � � � Thể tích xi măng tương ứng là: V '  (10V ).80%  1105630, 449(cm3 ) Số lượng bao xi măng cần dùng là: Bài 80 Diện tích đáy hộp là: V'  17, 27547577 suy cần dùng 18 bao xi măng 64000 4800  400(cm ) 12 Suy cạnh đáy hộp là: 20 (cm) Cạnh bìa hình vng là: 20 + 2.12 =44 (cm) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 81 Số khối lập phương nhỏ sơn đỏ số mặt là: 8, 12 = 96 (khối) Bài 82 Gọi (DEF) thiết diện cắt viên đá Ta có: VS DEF  VS ABC SD SE SF SD �SD � Suy ra:   � � �  SA SB SC SA �SA � Do đó: DE a   DE  AB 2 Dễ thấy DEF tam giác nên: S DEF Bài 83 Ta có: 2 R  a � R  a a a2  sin 60  2 4 a 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp án A 11 D 21 B 31 D 41 A 51 D 61 A 71 C 81 D D 12 B 22 B 32 B 42 C 52 A 62 A 72 D 82 D A 13 A 23 B 33 C 43 D 53 B 63 C 73 C 83 C B 14 A 24 A 34 D 44 A 54 B 64 C 74 C C 15 A 25 D 35 D 45 C 55 B 65 C 75 B A 16 B 26 C 36 B 46 B 56 A 66 A 76 B A 17 B 27 C 37 D 47 A 57 C 67 A 77 A D 18 A 28 D 38 B 48 D 58 B 68 A 78 A A 19 A 29 B 39 B 49 C 59 A 69 C 79 B 10 C 20 C 30 A 40 B 50 A 60 A 70 C 80 C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... tài liệu file word Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl Diện tích tồn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ:... C C Bài tập đề nghị http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài Một sợi dây có chi u dài 6m chia thành hai phần Một phần uốn thành hình tam giác phần uốn thành hình. .. tài liệu file word án A, B, C, D số nguyên nên ta nhanh chóng so sánh đối chi u với giá trị máy tính  Theo tác giả cách giải thứ ba nhanh chóng khoa học nhất, làm tác giả giải chi tiết, tác