B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I HỒNG TH± VÂN M®T SO бNH LÝ VE GIAO KHÁC RONG CÚA HO T¾P LONG NHAU VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN GIÁI TÍCH B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I HỒNG TH± VÂN M®T SO бNH LÝ VE GIAO KHÁC RONG CÚA HO T¾P LONG NHAU VÀ ÚNG DUNG Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN GIÁI TÍCH Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS TS Nguyen Năng Tâm LèI CÁM ƠN Trưóc trình bày n®i dung cna khóa lu¾n, tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS.TS Nguyen Năng Tâm ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành khóa lu¾n Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng Sau đai hoc, thay cô giáo giáng day chuyên ngành Tốn giái tích trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bố, ong nghiắp ó đng viờn v tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thành bán lu¾n văn Hà N®i, tháng 07 năm 2012 Hồng Th% Vân LèI CAM ĐOAN Dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Năng Tâm, lu¾n văn Thac sĩ chuyên ngành Tốn giái tích vói đe tài “M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cúa ho t¾p long Nng dnng” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân, khơng trùng vói bat cú lu¾n văn khác Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 07 năm 2012 Hồng Th% Vân Mnc lnc Báng kí hi¾u Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Nguyên lý Cantor ve dãy hình cau that dan 1.1.1 1.2 1.3 1.4 Nguyên lý Cantor ve dãy hình cau that dan T¾p loi, hàm loi 11 1.2.1 T¾p loi 11 1.2.2 Hàm loi 17 Bài toán toi ưu, Đ%nh lý Frank-Wolfe 23 1.3.1 Bài toán toi ưu .23 1.3.2 Các loai toán toi ưu .24 1.3.3 Sn ton tai lòi giái toi ưu .25 1.3.4 Đ%nh lý Frank- Wolfe co đien 27 Ket lu¾n 28 Chương M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cúa ho t¾p long 2.1 2.2 29 Giao khác rong cna m®t so ho t¾p long .29 2.1.1 Bài tốn .29 2.1.2 Bài toán .29 2.1.3 Bài toán .30 Phương ti¾m c¾n phương co lai đưoc 32 2.2.1 Phương ti¾m c¾n cna t¾p đóng .36 2.3 Phương ngang đ%nh lý t¾p giao liên quan 41 2.3.1 2.4 Phương tói han .46 Ket lu¾n 58 Chương Úng dnng 59 3.1 Nghiên cúu sn ton tai nghi¾m cna tốn toi ưu 59 3.2 Tong quát hóa đ%nh lý Frank-Wolfe .63 3.3 Ket lu¾n 66 Ket lu¾n .67 Tài li¾u tham kháo 68 BÁNG KÍ HIfiU R đưòng thang thnc R đưòng thang thnc mó r®ng Rn khơng gian Euclid n - chieu (x, y) "x" tích vơ hưóng cna x y chuan cna x conv C bao loi cna t¾p C af C bao affine cna t¾p C pos C bao dương cna t¾p C intC phan cna t¾p C C ri C ext C extray C bao đóng cna t¾p C phan tương đoi cna t¾p C t¾p điem biên cna t¾p C t¾p tia cnc biên cna t¾p C σC hàm giá cna t¾p C δC hàm chí cna t¾p C γC hàm cõ cna t¾p C K∗ nón cnc cna K M⊥ phan bù trnc giao cna M f ∗ , f ∗∗ lev(f, λ) inf f sup f liên hop, liên hop b¾c hai cna f t¾p múc cna hàm f c¾n dưói cna hàm f c¾n cna hàm f f giá tr% nhó nhat cna hàm f max f giá tr% lón nhat cna hàm f Ker f hat nhân, hach cna hàm f rge f ánh cna hàm f dom f epi f ∂f mien huu hi¾u cna hàm f đo th% cna hàm f đao hàm riêng cna hàm f theo bien xi ∂xi ∇f (x) gradient cna f C∞ nón ti¾m c¾n cna t¾p C f∞ Cf Kf hàm ti¾m c¾n cna hàm f khơng gian hang cna f nón ti¾m c¾n cna f Lf khơng gian tuyen tính cna f adc als hang so theo phương ti¾m c¾n hàm on đ%nh múc ti¾m c¾n Mé ĐAU Lí chon đe tài Van đe ve giao khỏc rong cna mđt ho úng long m®t chn đe bán nhung chn đe quan trong lý thuyet toi ưu, bao gom sn ton tai nghi¾m toi ưu, sn thóa mãn cna bat thúc minimax lý thuyet trò chơi tong zero sn tri¾t tiêu khống cách đoi ngau toi ưu có ràng bu®c Do đó, sau hoc xong chương trình cao hoc giái tích, đưoc sn goi ý cna thay giáng day chun ngành Tốn giái tích vói sn giúp đõ cna thay Nguyen Năng Tâm, vói mong muon hieu sâu ve nhung kien thúc hoc úng dung cna nó, tơi chon đe tài “M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cúa ho t¾p long Nng dnng” đe nghiên cúu Mnc đích nghiên cNu Nam đưoc khái ni¾m, đ%nh lý úng dung ve giao khác rong cna ho t¾p long nham cnng co, hieu biet sâu ve Tốn giái tích úng dung cna Nhiắm nghiờn cNu Tỡm hieu "Mđt so %nh lý ve giao khác rong cna ho t¾p long úng dung" Đoi tưang pham vi nghiên cNu M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cna ho t¾p long khơng gian Euclid úng dung Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu tài li¾u tham kháo có liên quan Sú dung phương pháp cna giái tích, đai so tuyen tính toi ưu hóa Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu NhĐng đóng góp mái cúa đe tài Nghiên cúu, tong hop, h¾ thong làm rõ m®t so đ%nh lý ve giao khác rong cna ho t¾p long úng dung thnc te lay m®t véctơ khác khơng bat kỳ d m®t y cho < y, Qy > + < c, d >> ta se chúng minh đưoc rang vói k đn lón dãy véctơ √ xk = kd + ky l mđt dóy tiắm cắn S tng ỳng vói d Xin lưu ý "xk" → ∞ xk/"xk" → d/"d" Hơn nua ta có < xk, Qxk > + < c, xk > +b = √ = k < d, Qd > +2k k < y, Qd > √ +k < y, Qy > +k < c, d > + k < c, y > (2.10) +b neu dr Qd > rõ ràng ta có xk ∈ S vói k đn lón M¾t khác neu dr Qd = (tương đương Qd = 0, Q bán xác đ%nh dương) phương trình (2.10) tương đương √ k < c, y > < xk, Qxk > + < c, xk > +b = k(< y, Qy > + < c, +b d >)+ < y, Qy > + < c, d >> ta lai có xk ∈ S vói k đn lón Do vói m®t so ngun to k, dãy {xk/ ≥ k} thóa mãn u cau ve dãy ti¾m c¾n S tương úng vói d d phương ti¾m c¾n Ta biet rang m¾nh đe 2.2.4 nói rang tat cá phương ti¾m c¾n S đeu co lai đưoc Nhưng m®t so phương có the tói han chúng khơng phái phương ngang đ%a phương Ví du cho S = {(x1, x2) : x1 ≤ x2} véctơ (1; 0) có phương ti¾m c¾n co lai đưoc (theo phân tích trưóc) khơng phái phương ngang đ%a phương Khái quát t¾p phương ti¾m c¾n S khơng phái phương ngang đ%a phương t¾p A = {d : Qd = 0, < c, d >< 0, d ƒ= 0} (2.11) đe thay đưoc đieu này, lưu ý rang chúng minh nói trưòng hop Q = AS = {d : d ƒ= 0} A = ∅ Trong trưòng hop Q ƒ= 0, ý rang cho moi x ∈ S, d ∈ AS α ≥ ta có < (x + αd), Q(x + αd) > + < c, (x + αd) > +b = =< x, Qx > + < c, x > +b + α2 < d, Qd > +α < (2Qx + c), d > ta có x + αd ∈ S vói α đn lón chí < d, Qd >> ho¾c Qd = < c, d >≥ Đieu chúng minh phương trình (2.11) Giò ta xột dóy {Sk} oc xỏc %nh bang mđt so bat thúc loi j Sk = P ∩ {x : < x, Qj x > + < cj , x > +bj ≥ γ , j = 1, 2, , k r} j {γ } dãy vơ hưóng vói j γ k ↑ 0, P mđt a diắn, Qj l ma k trắn n × n bán xác đ%nh dương khác không, cj véctơ Rn bj vơ hưóng Phân tích mó rđng ú phan trúc chỳng minh oc cỏc phng tiắm c¾n {Sk} tao thành t¾p cna véctơ khác khơng nón vơ hưóng RP tat cá co lai oc Mđt ieu kiắn thúa ỏng cho cỏc phng ti¾m c¾n phương ngang đ%a phương khơng tói han {Sk} RP ∩ N (Qj ) = {0} vói moi j = 1, 2, , r N (Qj ) không gian không hach cna Qj Đieu vói moi ma tr¾n Qj xỏc %nh dng Chỳng ta oc giúi thiắu mđt loai hàm khơng loi mà t¾p giá tr% cna hàm có tính chat can thiet đe áp dung m¾nh đe 2.3.1 2.3.2, cho hàm có the đưoc sú dung hàm bet song phương giá tr% thnc ho¾c hàm b¾c hai loi đe xác đ%nh tính chat khác rong cna t¾p giao Ví dn 2.3.8 Cho {Sk} l mđt dóy Sk = {x : f (x) ≤ γk} xác đ%nh bang hàm f cna phương trình (2.3) ú A l mđt ma trắn m ì n, c m®t véctơ, b vơ hưóng h : Rm −→ R hàm đóng thóa mãn phương trình (2.4) Ta giá sú rang {γk} m®t dãy dương vơ hưóng vói γk ↓ {x : f (x) ≤ 0} k= = Sk khác rong Ta có T∞ f (x + αd) = h(Ax + αAd)+ < c, (x + αd) > +b m®t véctơ khác không d phương ngang đ%a phương chí vói moi x có f (x) ≤ ton tai α ≥ cho vói moi α ≥ α ta có f (x + αd) ≤ Trên só xem xét tính chat kháng tù cna h, đieu chí Ad = crd ≤ Véctơ khác không d phương ngang đ%a phương chí vói moi x ∈ Rn ton tai α ≥ cho vói moi α ≥ α ta có f (x + αd) ≤ Đieu chí Ad = crd < Do moi phương ti¾m c¾n cna {Sk} phương ngang đ%a phương ho¾c phương ngang đ%a phương co lai đưoc, phương ngang khơng tói han vói Rn Do neu ta có hàm f1, f2, , fr, moi dang f nói {x : fj (x) ≤ 0} khác rong cho j = 1, 2, , r {x : f1(x) ≤ γk, , fr(x) ≤ γk} khác rong vói k = 0, 1, áp dung m¾nh đe 2.3.1 (vói = {x k j S : fj (x) ≤ γk}) đe ket lu¾n rang {x : f1(x) ≤ 0, , fr(x) ≤ 0} khác rong 2.4 Ket lu¾n Chương trình bày ve: giao khỏc rong cna mđt so ho long nhau, phng ti¾m c¾n phương co lai đưoc, phương ngang đ%nh lý t¾p giao liên quan, phương tói han Chương Úng dnng N®i dung chương trình bày ve úng dung cna nhung kien thúc đưoc đưa ó chương Nhung ket tham kháo ó [8] 3.1 Nghiên cNu sN ton tai nghi¾m cúa tốn toi ưu Trong muc ta xem xét tốn cnc tieu hóa m®t hàm đóng f : Rn −→ (−∞; ∞] m®t hàm đóng X ⊂ Rn Cho {γk } m®t dãy vơ hưóng vói γk ↓ infx∈X f (x) xét t¾p khơng rong Vk = {x : f (x) ≤ γk} t¾p véctơ cnc tieu hóa f so vói X t¾p giao X ∗ ∞ =\ (X ∩ Vk) k=0 đe chúng minh sn ton tai cna m®t lòi giái toi ưu có the sú dung phương ti¾m c¾n ket ó phan 2.2, 2.3 Cu the ta có the chí rang tat cá phương ti¾m c¾n cna dãy {X ∩ Vk} kéo lai (xem m¾nh đe 2.2.1) Tương tn neu X t¾p đa di¾n ho¾c khái quát hn neu X l mđt tong vộct cna mđt compact v mđt nún a diắn N ta cú the chúng minh rang tat cá phương ti¾m c¾n cna {Vk} thuđc N kộo lai (xem mắnh e 2.2.2) au tiên xét trưòng hop hàm loi đóng f : Rn −→ (−∞; ∞] 79 hàm loi elliptic vói nghĩa rang tat cá t¾p cna {x : f (x) ≤ γ} đeu loi Quan sát trưóc vói m¾nh đe 2.2.6(b) ta có m¾nh đe sau (là m¾nh đe mói) Lưu ý rang trưòng hop f loi, RΓ LΓ m¾nh đe sau tương úng m®t nón vơ han Rf m®t t¾p tuyen tính Lf ho¾c f M¾nh đe 3.1.1 (Hàm giá tna loi) Cho f : Rn −→ (−∞; ∞] hàm loi elliptic đóng cho X l mđt úng cỳa Rn cho X ∩ dom(f ) = ∅ Cho Γ t¾p cúa tat cá γ > infx∈X f (x) \ \ RΓ = Rγ , LΓ = γ∈Γ Lγ γ∈Γ Rγ Lγ nón vơ han t¾p tuyen tính cúa {x : f (x) ≤ γ} tương úng Khi f giu giá tr% toi thieu so vúi X dúi mđt hai ieu kiắn sau (1) AX ∩ RΓ ⊂ LX ∩ Lτ (2) X kéo lai AX ∩ Rτ ⊂ Lτ Chúng minh Cho Vk = {x : f (x) ≤ γk} {γk} dãy vơ hưóng cho γk ↓ infx∈X f (x) Ta chúng minh T ∞ đưoc rang vúi mđt hai ieu kiắn giao k= (X Vk) (l hop mđt so iem cnc tieu) khác rong Giu nguyên đieu ki¾n (1), t¾p X ∩ Vk khác rong, đóng, loi long nhau, cú cựng mđt cỏc phng tiắm cắn AX ∩ RΓ t¾p tuyen tính LX ∩ LΓ bang giá thiet AX ∩ RΓ ⊂ LX ∩ LΓ Ket cú vào m¾nh đe 2.2.6(a) Giu nguyên đieu ki¾n (2) t¾p Vk long t¾p giao X ∩ Vk khác rong cho moi k Thêm nua t¾p Vk có nón vơ hưóng, RΓ t¾p tuyen tính, LΓ bang giá thiet AX ∩ RΓ ⊂ LΓ , ket cú m¾nh đe 2.2.6(b) Bây giò đưa ket ve hàm bet song phương loi (xem ví du 2.3.4), dna vi¾c sú dung phương ngang M¾nh đe sau mó r®ng ket q ket q cna Belousov đen năm 1977 giái quyet trưòng hop hàm liên quan hàm đa thúc loi (mđt trũng hop ắc biắt cna hm bet song phương, ví du 2.3.4) Trưòng hop b¾c hai cna ket (X = Rn fi bắc hai loi) oc a đc lắp búi Terlaky [17], xem Lou Zhang [14] nhung ngưòi chúng minh ket q ve hàm b¾c hai khơng loi M®t ket ve sn ton tai liên quan đưoc cung cap bói Bank Mandel [9] ve hàm đa thúc elliptic mà t¾p có phương vơ han chung đưoc tao co đ%nh vói m®t vài bien thiên khơng đoi giá tr% ngun M¾nh đe 3.1.2 (Hàm bet song phương) Cho j = 0, 1, , r fi : Rn −→ (−∞; ∞] hàm loi đóng bet song phương cho X mđt úng v cỏc phng tiắm cắn cỳa nú phương ngang kéo lai Giá sú rang (X ∩ dom(f0)) j= ⊂ dom(fj ) Tr Khi đó:   Min f0 (x)  x ∈ X : fj (x) ≤ có nhat m®t lòi giá toi ưu chí giá tr% toi ưu huu han Chúng minh Giá sú f ∗ giá tr% toi ưu huu han {γk} dãy vô hưóng cho γk ↓ Xét dãy t¾p {Sk} Sk = Xk ∩ S ∩ S ∩ ∩ S r Xk = X ∩ S0 , S0 = {x : f0(x) − f ∗ ≤ γk}, k = 0, 1, k k S j = {x : fj (x) ≤ 0}, j = 1, 2, , r T sú dung m¾nh đe 2.3.3 ta có ∞ k= Sk t¾p lòi giái toi ưu khác rong Chúng ta biet rang Belousov [8] chúng minh ket đe ton tai cnc tieu hóa mđt hm a thỳc loi trờn mđt X l tong vộct cna mđt compact loi v mđt nún đa di¾n Ta thay rang t¾p thóa mãn giá thiet cna m¾nh đe trưóc, ket q l mđt trũng hop ắc biắt Trong sỏch cna Belousov Andronov [9] chúng tó m®t ket q ton tai khác khác rong vói m¾nh đe trưóc vói X = Rn fj : Rn → R có tính chat vói moi d ∈ Rn có lim fj (x + αd) α→∞ α = ∞, ∀x ∈ Rn (3.1) hoắc vúi àj R (tựy thuđc vo d) fj (x + αd) = fj (x) + µj α, ∀α ∈ R, ∀x ∈ Rn (3.2) ket lai l mđt trũng hop ắc biắt cna mắnh e 3.1.2 có the làm rõ ràng moi fj (gom đa thúc loi) hàm bet song phương Ngưoc lai không Hàm euclidean hàm bet song phương khơng có tính chat Bây giò ta xét m®t loai phương khác mà sú dung vói cỏc phng ngang se cho mđt so ieu kiắn giúp cnng co đieu ki¾n cna m¾nh đe 3.1.1 Cho f : Rn −→ (−∞; ∞] hàm loi đóng Ff t¾p cna phương doc y cho vói moi x ∈ dom(f ) li m f (x + αy) ton tai huu han Bang trnc giác, Ff t¾p α→∞ phương doc f bet Xin lưu ý Lf ⊂ Ff ⊂ Rf có bien thiên tiep theo cna m¾nh đe 3.1.1 sau M¾nh đe 3.1.3 (Hàm giá tr% loi) Cho f : Rn −→ (−∞; ∞] m®t hm loi úng v cho X l mđt úng có hưóng ti¾m c¾n phương ngang đ%a phương kéo lai Giá sú rang A X ∩ Ff ⊂ L f f đat giá tr% cnc tieu cúa X chí giá tr% toi ưu infx∈X f (x) huu han Chúng minh Giá sú rang giá tr% toi ưu huu han Khi X ∩ dom(f ) ƒ= ∅ Cho d ∈ AX ∩ Rf , neu d ∈/ Ff ta phái có f (x + αd) = lim α →∞ −∞ vói moi x ∈ dom(f ) ∩ X Vì d m®t phương ngang đ%a phương cna X, ta có x + αd ∈ X vói moi x ∈ X α đn lón Do mâu thuan vói infx∈X f (x) = −∞ Vì v¾y ta phái có AX ∩ Ff = AX ∩ Rf Sú dung giá thiet ta có AX ∩ Rf ⊂ Lf Tù m¾nh đe 3.1.1 ta thay ton tai nhat m®t điem cnc tieu Giá thiet sau mó r®ng ket q cna đ%nh lý Frank-Wolfe nói rang tốn phng trỡnh bắc hai (cú the khụng loi) cú mđt lòi giái toi ưu chí có m®t giá tr% toi ưu huu han Dan chúng cho ket q the hi¾n ó [12,15] phan mú rđng khỏc [9,10,11,12,14] Mắnh e sau õy trú thành đ%nh lý Frank - Wolfe trưòng hop đ¾c bi¾t f hàm b¾c hai t¾p khơng đoi X t¾p đa di¾n 3.2 Tong qt hóa đ%nh lý Frank-Wolfe M¾nh đe 3.2.1 Cho f : Rn −→ (−∞; ∞] m®t hàm đóng cho X m®t hàm đóng cho X ∩ dom(f ) = ∅ Giá sú rang (1) Các phương ti¾m c¾n cúa X phương ngang đ%a phương kéo lai (2) Vói moi dãy vơ hưóng giám {γk} cho t¾p Sk = X ∩ {x : f (x) ≤ γk }, k = 0, 1, 2, khác rong cho moi phương ti¾m c¾n d cúa {Sk} cho moi x ∈ X ta có li m f (x + αd) = −∞ ho¾c f (x − d) ≤ f (x) Khi f có giá tr% α→∞ cnc tieu so vói X chí infx∈X f (x) huu han Chúng minh Giá sú rang f ∗ = infx∈X f (x), giá tr% toi ưu huu han Cho {γk} m®t dãy vơ hưóng vói γk ↓ f ∗ Vk = {x : f (x) ≤ γk} Sk = X ∩ Vk Có the chúng minh rang moi phương ti¾m c¾n d cna {Sk} kéo lai cho {Vk} (vì d kéo lai cho X đieu chúng minh rang d kéo lai cho {Sk}, áp dung m¾nh đe 2.2.1) Thnc te neu d l mđt phng tiắm cắn cna {Sk}, ú d phương ngang đ%a phương cna X cho moi x ∈ X α đn lón, x + αd ∈ X v¾y f (x + αd) ≤ f ∗ Do có lim α→∞ f (x + αd) = −∞ tù giá thiet f (x − d) ≤ f (x) vói moi x ∈ X Bây giò ta xét dãy ti¾m c¾n {xk} tưóng úng vói phương ti¾m c¾n d cna {Sk}, vói moi k, f (xk − d) ≤ f (xk) Vì xk ∈ Vk chúng tó xk − d ∈ Vk d kéo lai cho {Vk} Vì d l mđt phng tiắm cắn cna X v ú kéo lai cho X, d kéo lai cho {Sk} Ket trưóc có the đưoc sú dung đe chúng minh ket cna giá thiet không may chac chan rang chí phương ti¾m c¾n cna X đong thòi phương ti¾m c¾n cna t¾p f (khơng phái tat cá phương ti¾m c¾n cna X) phương ngang đ%a phương kéo lai cna X Giá thiet (2) ó m¾nh đe 13 đưoc thóa mãn neu f hàm loi giá tr% thnc, có the xác minh rõ ràng Nó đưoc thóa mãn neu f l mđt hm bắc hai f (x) =< x, Qx > + < c, x >, ∀x ∈ Rn ú Q l ma trắn nì n, c l véctơ Rn Thnc chat moi phương ti¾m c¾n d cna {x : f (x) ≤ γk}, {γk} chuoi giám vơ hưóng neu < d, Qd >≤ Do vói moi x ∈ Rn, có < (c + 2Qx), d >< f (x+αd) = f (x)+α < (c+2Qx), d > +α2 < d, Qd >→ −∞ α→∞ ho¾c < (c + 2Qx), d >≥ f (x − d) = f (x)− < (c + 2Qx), d > + < d, Qd >≤ f (x) trưòng hop X = X1 ∩ X2 ∩ ∩ Xm, vói moi Xi l tong vộct cna mđt compact v mđt nún a diắn Ni (vớ du X l mđt a di¾n), moi phương ti¾m c¾n cna X phương ngang đ%a phương kéo lai (xem ví du 2.3.3) Do giá sú X cna m¾nh đe trưóc đưoc thóa mãn ton tai m®t ket toi ưu giá tr% toi ưu huu han Ket q mó r®ng đ%nh lý Frank-Wolfe đưoc chuyen tói Kummer [15] bói Belousov Klatte [10] trưòng hop f b¾c hai tói Belousov [17] Ket q mó r®ng khác đưoc cung cap bói Perold, X t¾p đa di¾n v f thuđc lúp G khỏi quỏt húa hm bắc hai, hàm loi, hàm cưõng búc Đ%nh lý Frank-Wolfe mó r®ng đưoc cung cap ó mang tính khái qt Ví du áp dung cho m®t so trưòng hop t¾p khơng đoi đưoc huu han bat thúc lõm (xem m¾nh đe 2.2.4, ví du 2.3.1) Cu the mđt hm bắc hai hay hm loi trờn mđt X oc huu han bang bat ang thúc b¾c hai lõm X = {x :< x, Qj x > + < cj , x > +bj ≤ 0, j = 1, 2, , r} Qj ma tr¾n huu han dương khác khơng (xem ví du 2.3.7) Ngồi hàm b¾c hai hàm loi có hàm khác thóa mãn giá thiet (2) cna m¾nh đe 3.2.1 chưa tùng có trưóc M®t hàm có dang f (x) = p(< x, Qx >)+ < c, x > +b Q ma tr¾n bán huu han dương, c véctơ, b vơ hưóng p(.) đa thúc Thnc te giá thiet (2) giu nguyên neu p không đoi Neu p khơng phái hàm khơng đoi, vói moi phương ti¾m c¾n d cna {Sk} có hai trưòng hop (1) Qd ƒ= so hang cao nhat p(.) có h¾ so âm v¾y li m f (x + αd) = −∞ α→∞ (2) Qd = f (x + αd) = −∞ ho¾c f (x + αd) hàm lim α→∞ giám cna α tùy thu®c vào crd < hay crd ≥ Do giá thiet (2) đưoc giu nguyên lan nua M®t ví du khác hàm đa thúc f loi elliptic so vói X t¾p giao X vói moi t¾p múc f loi Thnc te vói moi phương ti¾m c¾n d cna {Sk} moi x ∈ X ta có x ∈ S {xk} ⊂ S Sk đưoc huu han giá thiet (2), {xk} l mđt dóy tiắm cắn tng ỳng vúi d, S = X ∩ {y : f (y) ≤ max{f (x), γ0}} S loi, d phương vơ han cna S x + αd ∈ S vói moi α > Khi f (x + αd) ≤ max{f (x), γ0} vói moi α > Do f (x + αd) m®t hàm đa thúc α, chúng tó lim α→∞ f (x + αd) = −∞ ho¾c f (x + αd) hàm khơng đoi α Do giá thiet (2) giu ngun khơng đoi Lưu ý rang đ%nh lý Frank-Wolfe mó r®ng đưoc chúng minh đe giái quyet toán cnc tieu hm lắp phng trờn mđt a diắn Phan mú r®ng khác cna đ%nh lý Frank-Wolfe dang Hessian cna hm bắc hai v ma trắn rng buđc bờn trái huu tí m®t so bien thiên khơng đoi giá tr% nguyên to M®t ket khác giá sú giu li¾u tốn huu tí đưoc chúng minh trưóc bói Mandel Các ket liên quan có the đưoc chúng minh bang cách sú dung ý kien tài li¾u khơng? Đây chn đe đưoc quan tâm nhieu nhung nghiên cúu khác 3.3 Ket lu¾n Chương trình bày m®t so nhung úng dung cna nhung ket nghiên cúu ó chương vào vi¾c nghiên cúu sn ton tai nghi¾m cna tốn toi ưu tong qt hóa đ%nh lý Frank-Wolfe KET LU¾N Lu¾n văn trình bày m®t so đ%nh lý ve giao khác rong cna ho long cựng mđt so ỳng dung cna chỳng Cu the: Chng 1: Giúi thiắu mđt so khái ni¾m ket quan ve đ%nh lý Cantor, t¾p loi, hàm loi, tốn toi ưu đ%nh lý Frank-Wolfe se đưoc sú dung lu¾n văn Chương 2: Vói muc tiêu tâm nghiên cúu ve m®t so đ%nh lý ve giao khác rong cna ho long nhau, chng ny trỡnh by mđt cách có h¾ thong ket q ve phương ti¾m c¾n, phương lùi xa, phương tói han, phương kéo lai, phương ngang, m®t so ví du đưoc đưa đe minh hoa cho khái ni¾m Chương 3: Trên só xây dnng khái ni¾m, đ%nh lý tính chat cna n®i dung chương dan đen vi¾c nghiên cúu sn ton tai cna lòi giái toi ưu tong qt hố đ%nh lý Frank-Wolfe Vói pham vi lu¾n văn thòi gian han che, vi¾c nghiên cúu úng dung cna m®t so đ%nh lý ve giao khác rong cna ho t¾p long úng dung can đưoc nghiên cúu sâu đe tìm đưoc nhieu ket úng dung giái tích loi toi ưu hóa Tài li¾u tham kháo A Tài li¾u Tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy (2005), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc v K thuắt H Nđi [2] o Văn Lưu, Phan Huy Khái (2000), Giái tích loi, NXB Khoa hoc v K thuắt H Nđi [3] Hunh The Phùng (2005), Giái tích loi, Giáo trình trưòng Đai hoc Khoa hoc Hue [4] Hoàng Tuy (2006), Lý thuyet toi u, Viắn Toỏn hoc, H Nđi B Ti liắu Tieng Anh [5] A Auslender, M Teboull (2003), Asymptotic Cones and Functions in Optimization and Variational Inequalities, SpringerVerlag, New York, Inc [6] A Auslender (1996), Non coercive optimization problems, Math, Oper, Res 21, 769-782 [7] A Auslender (2000), Existence of optimal solution and duality results under weak conditions, Math, Program, Study 21, 45-59 [8] D.B Bertsekas, P.Tseng (2007), Set intersection theorems and existence of optimal solutions, Math, Program, Ser, A 110, 287-314 [9] D.P Bertsekas, A Nedic, A.E Ozdaglar (2003), Conver Analysis and Optimization, Athena Scientific, Belmont [10] J.P Dedieu (1977), Cone asymptotiques d’un ensemble non convexe, application a l’optimization, C.R Acad Sci, 287, 91-103 [11] J.P Dedieu (1979), Cone asymptotiques d’un ensemble non convexe, Bulletin Societe Mathematiques de France, Analyse Non Convexe, Memoire 60, 31-44 [12] W Fenchel (1951), Convex Cones, Sets and Functions, Mimeographed Notes, Princeton University, Princeton [13] E.Helly (1921), Uber Systeme Linearer Gleichungen mit Unendlich Vielen Unbekannten, Monatschr, Math, Phys, 31, 60-91 [14] G.M.Lee, N.N.Tam, N.D.Yen, (2005), Quadratic programming and Ane Variational Inequalities: A Quadratic Study, Series: Nonconver Optimization and Its Applications, Vol.78, Springer Verlag, New York [15] Z.Q Lou, S.Z Zhang (1999), On the extension of Frank-Wolfe theorem, Comput, Optim, Appl, 13, 87-110 [16] R.T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton [17] R.T Rockafellar, R.J.B Wets (1998), Variational Analysis, Springer, Berlin Heidelberg New York [18] P Tseng, A.E Ozdaglar (2004), Existence of global minima for con- strained optimization, J Optim, Theory Appl, 128 ...B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I HỒNG TH± VÂN M®T SO бNH LÝ VE GIAO KHÁC RONG CÚA HO T¾P LONG NHAU VÀ ÚNG DUNG Chun ngành: Tốn giái tích Mã so:... nó, tơi chon đe tài “M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cúa ho t¾p long Nng dnng” đe nghiên cúu Mnc đích nghiên cNu Nam đưoc khái ni¾m, đ%nh lý úng dung ve giao khác rong cna ho t¾p long nham cnng... dung cna Nhiắm nghiờn cNu Tỡm hieu "Mđt so %nh lý ve giao khác rong cna ho t¾p long úng dung" Đoi tưang pham vi nghiên cNu M®t so đ%nh lý ve giao khác rong cna ho t¾p long khơng gian Euclid úng