BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - PHẠM KHẮC HƯNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI CÁC BÀI TOÁN DẦM NHIỀU NHỊP CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG TĨNH Chun ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY CƯƠNG Hải Phòng, 2017 MỞ ĐẦU Bài tốn học kết cấu nói chung xây dựng theo bốn đường lối là: Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân phân tố; Phương pháp lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo Phương pháp sử dụng trực tiếp phương trình Lagrange Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp coi xác như, phương pháp lực; Phương pháp chuyển vị; Phương pháp hỗn hợp; Phương pháp liên hợp phương pháp gần như, phương pháp phần tử hữu hạn; phương pháp sai phân hữu hạn; phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đặc biệt có hiệu để tìm dạng gần hàm chưa biết miền xác định V Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn khơng tìm dạng xấp xỉ hàm cần tìm tồn miền V mà miền Ve (phần tử) thuộc miền xác định V Do phương pháp thích hợp với hàng loạt tốn vật lý kỹ thuật hàm cần tìm xác định miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu điều kiện biên khác Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp Phần tử hữu hạn nói để xây dựng giải số toán dầm nhiều nhịp, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Do cần thiết việc nghiên cứu nội lực chuyển vị kết cấu, mục đích nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: Mục đích nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu nội lực chuyển vị dầm nhiều nhịp chịu tác dụng tải trọng tĩnh” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp xây dựng phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày Phương pháp Phần tử hữu hạn toán học kết cấu Áp dụng Phương pháp Phần tử hữu hạn để xây dựng giải toán dầm nhiều nhịp, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Lập chương trình máy tính điện tử cho toán nêu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Việc tìm hiểu ứng dụng phương pháp Phương pháp Phần tử hữu hạn có ý nghĩa mặt khoa học thực tiễn tính tốn cơng trình CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CƠ HỌC KẾT CẤU Trong chương trình bày phương pháp truyền thống để xây dựng tốn học nói chung; giới thiệu tốn học kết cấu (bài toán tĩnh) phương pháp giải thường dùng Phương pháp xây dựng toán học Bốn phương pháp chung để xây dựng tốn học kết cấu trình bày Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa 1.1 Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân phân tố Phương trình vi phân cân xây dựng trực tiếp từ việc xét điều kiện cân lực phân tố tách khỏi kết cấu Trong sức bền vật liệu nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng giả thiết sau: - Trục dầm không bị biến dạng nên ứng suất - Mặt cắt thẳng góc với trục dầm sau biến dạng phẳng thẳng góc với trục dầm (giả thiết Euler–Bernoulli) - Không xét lực nén thớ theo chiều cao dầm Với giả thiết thứ ba có ứng suất pháp σx ứng suất tiếp σxz, σzx tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp σ z không Hai giả thiết thứ ba thứ dẫn đến trục dầm có chuyển vị thẳng đứng y(x) gọi đường độ võng hay đường đàn hồi dầm Giả thiết thứ xem chiều dài trục dầm không thay đổi bị võng đòi hỏi độ võng dầm nhỏ so với chiều cao dầm, ymax / h 1/5 Với giả thiết thứ hai biến dạng trượt ứng suất tiếp gây khơng xét tính độ võng dầm trình bày Gỉả thiết tỉ lệ h/l 1/5 Chuyển vị ngang u điểm nằm độ cao z so với trục dầm Biến dạng ứng suất xác định sau d2y d2y ;    Ez xx dx dx TTH -h/2 Momen tác dụng lên trục dầm: Z u h/2  x  z d2y Ebh3 d y M    Ebz dz   dx 12 dx h / h/2 hay M  EJ đó: EJ  Hình 1.2 Phân tố dầm (1.7) Ebh3 d2y ,   dx 12 EJ gọi độ cứng uốn dầm;  độ cong đường đàn hồi gọi biến dạng uốn; b chiều rộng dầm Để đơn giản trình bày, dùng trường hợp dầm có tiết diên chữ nhật Cách tính nội lực momen khơng xét đến biến dạng trượt ứng suất tiếp gây Tổng ứng suất tiếp σzx mặt cắt cho ta lực cắt Q tác dụng Q lên trục dầm: h/2  zx dz h / Biểu thức ứng suất tiếp σzx tích phân trình bày sau Nhờ giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất dầm, ta cần nghiên cứu phương trình cân nội lực M Q tác dụng lên trục dầm Xét phân tố dx trục dầm chịu tác dụng lực M,Q ngoại lực phân bố q, hình 1.3 Chiều dương M, Q q hình vẽ tương ứng với chiều dương độ võng hướng xuống Q q(x) M M + dM o2 Q + dQ dx Hình 1.3 Xét cân phân tố Lấy tổng momen điểm O2, bỏ qua vơ bé bậc cao ta có dM Q  dx Lấy tổng hình chiếu lực lên trục thẳng đứng: (1.8) dQ q 0 dx (1.9) Phương trình (1.8) phương trình liên hệ momen uốn lực cắt, phương trình (1.9) phương trình cân lực cắt Q ngoại lực phân bố q Đó hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) phương pháp cân phân tố Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d 2M q0 dx (1.10) Thay M xác định theo (1.7) vào (1.10) nhận phương trình vi phân xác định đường đàn hồi d4y EJ  q dx (1.11) Phương trình (1.11) giải với điều kiện biên y đạo hàm đến bậc ba y (4 điều kiện), hai điều kiện biên đầu cuối Các điều kiện biên thường dùng sau a) Liên kết khớp x=0: d2y Chuyển vị không, y x 0  , momen uốn M  , suy dx 0 x 0 b) Liên kết ngàm x=0: Chuyển vị không, y x 0  , góc xoay khơng, dy 0 dx x 0 c) khơng có gối tựa x=0: d2y Momen uốn M  , suy dx x 0 d3y  ; lực cắt Q=0, suy dx 0 x 0 Các điều kiện x=l lấy tương tự Bây tìm hiểu phân bố ứng suất tiếp σ zx chiều dày h dầm Trước tiên viết phương trình cân ứng suất trục x sau   xz  xx   hay x z  xz  xx d3y    Ez z x dx Tích phân phương trình theo z:  xz   Ez d y  C x  dx Hàm C x  xác định từ điều kiện ứng suất tiếp không mặt mặt Eh d y C x   dx h dầm, z   Ta có: Ứng suất tiếp phân bố mặt cắt dầm có dạng E d3y 4 z  h   dx  xz Đó hàm parabol bậc hai.Ứng suất tiếp lớn trục dầm (z=0) có giá trị  xz z 0  Eh d y dx3 Tích phân hàm ứng suất chiều cao dầm nhân với chiều rộng b ta có lực cắt Q tác dụng lên phần trái dầm Q Ebh3 d y 12 dx Ứng suất tiếp trung bình chiều cao dầm bằng:  xztb  Eh d y 12 dx Tỉ lệ ứng suất tiếp max trục dầm ứng suất trung bình α=1.5 1.2 Phương pháp lượng Năng lượng hệ bao gồm động T П Động xác định theo khối lượng vận tốc chuyển động, П bao gồm biến dạng công trường lực, phụ thuộc vào chuyển vị Trường lực lực lực trọng trường Các lực ngồi tác dụng lên hệ lực khơng Đối với hệ bảo tồn, lượng khơng đổi T+ П = const (1.12) Do tốc độ thay đổi lượng phải khơng Ta xét tốn tĩnh, T=0, П = const (1.14) Thế П biểu thị qua ứng suất nội lực biểu thị qua chuyển vị biến dạng Vì ta có hai ngun lý biến phân lượng sau: Nguyên lý biến dạng cực tiểu Khi phương trình cân biểu thị qua ứng suất nội lực biến dạng biểu thị qua ứng suất nội lực ta có nguyên lý biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884) Nguyên lý phát biểu sau: Trong tất trạng thái cân lực trạng thái cân thực xảy biến dạng cực tiểu Trạng thái cân lực trạng thái mà lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn phương trình cân Ta viết nguyên lý dạng sau: F   Với ràng buộc phương trình cân viết dạng lực Đối với dầm ta có: Nội lực cần tìm mơmen uốn hàm phân bố theo chiều dài dầm M(x) phải thỏa mãn điều kiện liên kết hai đầu (được xác định hai đầu thanh) Đây tốn cực trị có ràng buộc Bằng cách dùng thừa số Lagrange đưa tốn khơng ràng buộc sau: thừa số Lagrange ẩn tốn Theo phép tính biến phân từ phiếm hàm (1.17) ta nhận hai phương trình sau (phương trình Euler– Lagrange) có thứ nguyên chuyển vị phương trình (1.18) biểu thị quan hệ M chuyển vị Thế (1.18) vào (1.19) ta có độ võng dầm phương trình (1.20) phương trình vi phân cân dầm viết theo chuyển vị nhận Nguyên lý công bù cực đại Khi dùng ẩn chuyển vị biến dạng có ngun lý cơng bù cực đại Trong tất chuyển vị động học (khả dĩ) chuyển vị thực chuyển vị có cơng bù cực đại Chuyển vị động học chuyển vị thỏa mãn phương trình liên hệ chuyển vị biến dạng thỏa mãn điều kiện biên Cơng bù tích ngoại lực chuyển vị trừ lượng biến dạng [Công ngoại lực – biến dạng]→max Với ràng buộc phương trình liên hệ chuyển vị biến dạng Lấy ví dụ dầm chịu uốn, ta có Với ràng buộc: biến dạng uốn độ cong đường độ võng Tích phân thứ (1.21) cơng tồn phần ngoại lực (khơng có hệ số ½), tích phân thứ hai biến dạng biểu thị qua biến dạng uốn Thay từ (1.22) vào (1.21), ta có Thay dấu (1.23) ta có Khi y có giá trị xác định hai đầu mút dầm điều kiện cần để biểu thức (1.24) cực tiểu phương trình Euler sau Phương trình (1.25) phương trình vi phân cân dầm chịu uốn Nguyên lý công bù cực đại dạng biểu thức (1.24) sử dụng rộng rãi tính tốn cơng trình theo phương pháp phần tử hữu hạn 1.3 Nguyên lý công ảo Nguyên lý công ảo sử dụng rộng rãi học Theo K.F Gauss (1777-1855) nguyên lý học trực tiếp gián tiếp rút từ nguyên lý chuyển vị ảo Xét hệ chất điểm trạng thái cân ta có X  0,  Y  0,  Z  0, (1.26)  X ;  Y ;  Z : tổng hình chiếu tất lực tác dụng lên ba trục hệ toạ độ Đề Ta viết biểu thức sau:  XU  YV  ZW  0, (1.27) xem U ; V ; W ; thừa số Từ (1.26) ta có (1.27) ngược lại từ (1.27) ta nhận (1.26) U ; V ; W ; thừa số Bây ta xem U ; V ; W ; biến phân chuyển vị ảo theo ba chiều hệ toạ độ vng góc Chuyển vị ảo chuyển vị bé nguyên nhân bên gây Các chuyển vị ảo phải thoả mãn điều kiện liên kết hệ Khi có chuyển vị ảo vị trí lực tác dụng hệ thay đổi phương chiều độ lớn giữ ngun khơng đổi Như vậy, chuyển vị ảo U ; V ; W đại lượng độc lập với lực tác dụng từ hai biểu thức (1.26) (1.27) ta có ngun lý cơng ảo: Nếu tổng cơng lực tác dụng hệ thực chuyển vị ảo khơng hệ trạng thái cân Đối với hệ đàn hồi (hệ biến dạng) ngồi ngoại lực có nội lực Vấn đề đặt cách tính cơng nội lực  0.2500   1.0000                    F                          Giải phương trình (e) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:   K  \ F  Kết chuyển vị, góc xoay nút: 1   0.0033    0.0033 W2   0.0008         W   W3    0.0000 x ql ;        - 0.0037 x ql W  - 0.0001    0.0010   4   4      - 0.0001 Mômen uốn dầm:  M1   0.0000  M   0.0510    M   M   - 0.0458  M  - 0.0083  4   M   0.0000     x ql    x 10 -4 X: Y: 6.51e-005 -2 -4 -6 -8 X: Y: -0.0008247 -10 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.8a Đường độ võng 0.06 X: Y: 0.04583 0.04 0.02 X: Y: -0.008333 -0.02 -0.04 -0.06 X: Y: -0.05104 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.8b Biểu đồ M Nhận xét kết trên: Khi chia cột dầm thành phần ta nhận kết trên, so sánh với kết theo lời giải giải tích có ta nhận sai số theo bảng sau: BẢNG SO SÁNH MÔMEN UỐN TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Các tiết diện cột dầm Lời giải số theo phương pháp PTHH Lời giải xác Sai số % Giữa nhịp 0,0510 0,0937 45,57 Gối trung gian -0,0458 -0,0625 26,72 Giữa nhịp 0,0083 0,0000 0,83 Ta thấy chia dầm thành phần tử, sai số lớn so với kết xác tiết diện nhịp gối trung gian, 45,57% 26,72%, sai số nhỏ tiết diện nhịp (0,83%) Muốn tăng độ xác ta cần rời rạc hóa dầm thành nhiều phần tử Chẳng hạn ví dụ ta rời rạc hóa kết cấu dầm thành 32 phần tử ta nhận kết trùng khớp với lời giải xác Khi chia dầm thành 32 phần tử nhận kết sau: x 10 -4 X: 24 Y: 0.000164 -5 -10 -15 X: Y: -0.001627 -20 10 15 20 25 Hình 3.9a Đường độ võng 30 35 0.08 X: 16 Y: 0.06242 0.06 0.04 0.02 X: 24 Y: 0 -0.02 -0.04 -0.06 X: Y: -0.09379 -0.08 -0.1 10 15 20 25 30 35 Hình 3.9b Biểu đồ M Ví dụ Dầm nhiều nhịp (hình 3.10) Cho dầm chịu lực hình 3.10 Độ cứng uốn dầm EJ =const Yêu cầu xác định chuyển vị SO DO DAM nội lực cho dầm Rời rạc hóa kết cấu dầm thành n pt phần tử Các nút phần 2 10 nút SO DO NUT DAM 1 tử phải trùng với vị trí đặt lực tập trung, hay vị trí thay đổi tiết diện, 0 nw1 SO DO AN CHUYEN VI nwx1 SO DO AN GOC XOAY chiều dài phần tử khác Mỗi phần tử có ẩn Hình 3.10 Sơ đồ rời rạc hóa dầm Vậy npt phần tử rời rạc tổng cộng có 4xnpt ẩn Nhưng cần đảm bảo liên tục chuyển vị chuyển vị nút cuối phần tử thứ e chuyển vị nút đầu phần tử thứ  e  1 nên số bậc tự nhỏ 4npt Khi giải ta cần đảm bảo điều kiện liên tục chuyển vị thẳng, điều kiện liên tục góc xoay xét cách cách đưa vào điều kiện ràng buộc Ví dụ dầm (ví dụ 3.7a) ta chia thành phần tử (hình 3.7b) Như vậy, tổng cộng số ẩn 10 ẩn < 4x4=16 ẩn Gọi ma trận nw1 ma trận chuyển vị có kích thước nw1(npt, 2) ma trận có npt hàng cột chứa ẩn số chuyển vị nút phần tử (hình 3.7c) nw1(1, :)  0 nw1( 2, :)  1 nw1(3, :)  0 nw1( 4, :)  2 1; 0 ; 2; 0 0 1 nw1   0  2 1 0  2  0 Gọi ma trận nwx1 ma trận chuyển vị góc có kích thước nwx1(npt, 2) ma trận có npt hàng cột chứa ẩn số góc xoay nút phần tử (hình 3.7d) nwx1(1, :)  3 nwx1( 2, :)  5 nwx1(3, :)  7 nwx1( 4, :)  9 4; 6 ; 8; 10 3 5 nwx1   7  9      10 Sau biết ẩn số thực ta xây dựng độ cứng tổng thể (có nhiều cách ghép nối phần tử khác nhau, tùy vào trình độ lập trình người nên tác giả khơng trình bày chi tiết cách ghép nối phần tử lại để ma trận độ cứng toàn dầm xem code mơ đun chương trình tác giả) Nếu tốn có nw1 ẩn số chuyển vị nwx1 ẩn số góc xoay ma trận độ cứng dầm K có kích thước (nxn), K  n,n  với n=(nw1+nwx1) Như ví dụ 3.5, n=10 Bây xét điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện liên tục góc xoay phần tử viết sau: dyi dx  nut      nut nut1     dy  dy 2     0  dx nut dx nut1     dy  dy 3     0   dx nut dx nut1   dy1  dx 1  hay: dyi 1 0 dx nut1  (a) dy2 dx (b) Gọi k góc xoay nút phần tử trước, k góc xoay nút phần tử sau ta có hệ số ma trận độ cứng K: k  n  i,k1   2 (i   k) ; k  n  i,k    x x (c) k  k1 ,n  i   2 ; k  k ,n  i    (i   k) x x (d) Nếu có hai phần tử có điều kiện góc xoay, có npt phần tử có (2npt-1) điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện biên dầm viết sau: - Đầu trái dầm khớp nên có mơmen khơng:  d y11 4   dx  0 nut1  (e) - Đầu phải dầm khớp nên có mơ men không:  d y14 5   dx  0 nut  (f) Trong k(k=1:5) ẩn số tốn (có k ẩn số), tổng số ẩn số tốn lúc (n+k) ma trận độ cứng phần tử lúc phải thêm k dòng k cột kích thước ma trận độ cứng K  n  k,n  k  Như vậy, tổng số ẩn toán (n+k=10+5=15) ẩn ma trận độ cứng tổng thể dầm K[15x15] Như cuối ta thiết lập phương trình: K   F   F1      so  hang  n     Fn   đó: F   ;      so  hang  k        1     1         n  ẩn số toán 1  2      k  (g) Trong ví dụ 3.5 chia thành phần tử, ta có: - Ma trận độ cứng phần tử [Ke], sau: - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu sau: K    1536  1536  - 96  - 96  96   96  - 96  - 96   96  96   0   0    0  96    - 96 - 96 0 16 8 16 0 0 0 0 0 0 0 0 -8 - 16 - Véc tơ lực nút : 96 0 16 0 0 -1 0 0 96 0 - 96 0 0 16 0 16 0 0 0 -1 0 0 0 - 96 0 0 16 0 0 0 96 0 0 0 16 0 -1 0 96 0 0 0 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 0  0 0  0  0                  F                0.2500                      Giải phương trình (e) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:   K  \ F  Khi chia dầm thành 160 phần tử nhận biểu đồ đường độ võng biểu đồ mômen trùng khớp với kết giải tích sau: x 10 -3 X: 26 Y: 0.002901 2.5 1.5 X: 104 Y: 0.0005005 0.5 -0.5 -1 X: 59 Y: -0.0008858 20 40 60 80 100 120 140 160 140 160 Hình 3.8a Đường độ võng X: 39 Y: 0.5256 0.6 0.4 0.2 X: 80 Y: 0.07812 -0.2 -0.4 X: 41 Y: -0.4475 -0.6 -0.8 20 40 60 80 100 120 Hình 3.8b Biểu đồ M Nhận xét kết trên: Ta thấy trường hợp dầm có mơmen tập trung kết hội tụ kết xác chậm, phải chia dầm tới 160 phần tử nhận kết xác KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Với nội dung nghiên cứu từ chương đến chương tác giả rút kết luận sau: - Đã trình bày phương pháp xây dựng phương pháp giải toán học kết cấu - Đã trình bày nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị - Đã áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn số toán dầm nhịp, nhiều nhịp chịu tác dụng tải trọng tĩnh Kết nhận tiệm cận với kết giải phương pháp có - Đối với dầm nhịp chịu tải trọng phân bố ta cần rời rạc hóa dầm thành phần tử kết trùng khớp với kết xác nhận phương pháp giải tích - Đối với dầm hai nhịp chịu tải trọng tập trung tải trọng phân bố đều, ta thấy chia dầm thành phần tử, sai số lớn so với kết xác tiết diện nhịp gối trung gian, 45,57% 26,72%, sai số nhỏ tiết diện nhịp (0,83%) Muốn tăng độ xác ta cần rời rạc hóa dầm thành nhiều phần tử Chẳng hạn ví dụ ta rời rạc hóa kết cấu dầm thành 32 phần tử ta nhận kết trùng khớp với lời giải xác - Trong trường hợp dầm hai nhịp có mơmen tập trung kết hội tụ kết xác chậm, phải chia dầm tới 160 phần tử nhận kết xác KẾT LUẬN Đây phương pháp phổ biến phù hợp với tốn có số ẩn lớn cần lập trình máy tính, nên dùng phương pháp phần tử hữu hạn đối toán kết cấu Dầm, dàn, khung, vỏ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Nguyễn Xuân Bảo, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Nguyễn Văn Lệ, Phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng để tính tốn cơng trình thuỷ lợi, Nhà xuất Nông nghiệp, Hà Nội,1983 2 Vũ Như Cầu, Dạng ma trận phương pháp tính kết cấu, Nhà xuất Nông nghiệp, Hà Nội, 1992 3 Vũ Như Cầu, Bài giảng lý thuyết tối ưu học kết cấu, Trường Đại học Xây dựng, Hà Nội, 1992 4 Hà Huy Cương, Nguyễn Thị Dân, Trường vận tốc dòng chảy quanh vật nổi, Tuyển tập báo cáo hội nghị kết cấu công nghệ Xây dựng, Hà Nội, 2001, Tr.486 5 Hà Huy Cương, Phạm Cao Thăng, Tính tốn kết cấu đất có cốt xây dựng cơng trình, Khoa học Kỹ thuật , Học viện Kỹ thật Quân sự, Số 76 (III/1996), Tr.1  6 Hà Huy Cương, Võ Văn Thảo, Hồng Đình Đạm, Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng mặt đường có cốt mềm năm ngang, Khoa học Kỹ thuật, Giao thông vận tải , 8/1998, Tr, 15  18 7 Hà Huy Cương, Đặng Huy Tú, Bài toán truyền sóng chấn động mơi trường đất ứng dụng tính tốn móc cọc, Nhà xuất Xây dựng , số 1/1999, Tr 33  35 8 Hoàng Đình Đạm, Đất có cốt mềm đướng tô sân bay, Khoa học Kỹ thuật , Học viện Kỹ thuật Quân Sự, Số 74 (I/1996) , Tr 18  26 9 Nguyễn Văn Đạo, Cơ học giải tích, Nhà xuất đạihọc quốc gia Hà Nội , Hà Nội, 2001 10 Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyết, Nhà xuất Xây dựng , Hà Nội, 1999 11 Nguỹen Văn Khang, Dao động kỹ thuật, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1998 12 Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi, Sức bền vật liệu , Nhà xuất giao thông vận tải, Hà Nội, 2002 13 Nguyễn Thị Ngọc Lan, Phân tích số phương pháp số học kết cấu , Luận văn tạc sỹ kỹ thuật, Hà Nội, 1999 14 Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Xử lý giữ liệu động để xác định dao động cơng trình, tạp chí xây dựng, 11/2001 Tr.48  56 15 Hồng Văn Nhất, Tính tốn nội lực bê tơng mặt đường sân bay có thép truyền lực, Khoa học Kỹ thuật , Học viện kỹ thuật Quân sự, số 86 (1/1999), Tr 37  42 16 Hồng Nam Nhất, Phân tích tải trọng để đánh giá sức chịu tải mặt đường cứng sân bay ô tô , Khoa học Kỹ thuật , Học viện kỹ thuật Quân sự, Số 86 (I/1999) , Tr 43  48 17 Hồng Như Sáu, Tính tốn kết cấu xây dựng phương pháp sai phân hữu hạn, biến phân hỗn hợp sai phân hữu hạn- biến phân, Nhà xuất Xây dựng , Hà Nội , 1982 18 Dương Tất Sinh, Đánh giá khả chịu tải mặt đường sân bay, Nhà xuất giao thông vận tải, 7/1998, Tr 19  21 19 Ngô Hà Sơn, ứng suất nhiệt bê tông xi măng mặt đường sân bay, Khoa học kỹ thuật , Học việ kỹ thuật Quân sự, Số 86(I/1999), Tr 31  36 20 Nguyễn Phương Thành, Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sỹ khoa học, Hà Nội, 2002 21 Nguyễn Phương Thành, Nghiên cứu phản ứng động nhiều lớp có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Tạp chí Khoa Học Cơng nghệ , Trung tâm khoa học tự nhiên công nghệ quốc gia, Tập XXXI- 2001-2 , Tr 48  56 22 Nguyễn Trâm, Phương pháp số, Tập I- Phương pháp phần tử hữu hạn dải hữu hạn, Trường đại học Xây dựng , Hà Nội, 1996 23 Lều Thọ Trình, Bài tập học kết cấu, Tập II- Hệ tĩnh định, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2003 24 Lều Thọ Trình, Cơ học kết cấu , Tập II - Hệ siêu tĩnh, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2003 25 Lều Thọ Trình, Bài tập học kết cấu, Tập II - Hệ siêu tĩnh , nhà xuất khoa học kỹ thuật , Hà Nội , 1991 26 Hồ Anh Tuấn , Trần Bình,, Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học - Kỹ Thuật, Hà Nội, 1978.\ 27 Nguyễn Văn Vượng,, Lý thuyết đàn hồi ứng dụng , Nhà xuất Giáo dục , Hà Nội, 1999 28 Nguyễn Mạnh Yên, Phương pháp số học kết cấu, Nhà xuất Khoa Học - Kỹ thuật, Hà Nội 1996 29 Tuyển tập công trình khoa học - Khoa xây dựng, Trường đại học kiến trúc Hà Nội, 2004 Ha Huy Cuong, Nguyen Phuong Thanh, Application du principe d' obligation minimale dans la resolution des problems de la mécanique dé fluids , structues and interactiens, Nha Trang, Vietnam August 14-18.2000, P.693-702 ... suất phần tử Hiện nay, áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán học thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị Sau luận văn trình nội dung phương pháp phần tử hữu hạn. .. vị dầm nhiều nhịp chịu tác dụng tải trọng tĩnh Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp xây dựng phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày Phương pháp Phần tử hữu hạn toán. .. hữu hạn toán học kết cấu 3 Áp dụng Phương pháp Phần tử hữu hạn để xây dựng giải toán dầm nhiều nhịp, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Lập chương trình máy tính điện tử cho tốn nêu Ý nghĩa khoa học