Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU TIẾT 7-12: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I MỤC TIÊU BÀI DẠY: Về kiến thức: Giúp học sinh - Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm phương trình lượng giác (sử dụng đường trịn lượng giác, trục sin, cơsin, tang, cơtang tính tuần hồn hàm số lượng giác) - Nắm vững công thức nghiệm phương trình lượng giác Về kĩ năng: - Giúp học sinhBiết vận dụng thành thạo công thức nghiệm phương trình lượng giác bản; - Biết cách biểu diễn nghiệm phương trình lượng giác đường tròn lượng giác Về thái độ, tư duy: II CHUẨN BỊ: Về phía thầy:: Đồ dùng dạy học thước kẻ, com pa,.bảng in đồ thị HSLG Về phía trị:: Đồ dùng học tập thước kẻ, com pa, , III GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP: Gợi mở ,vấn đáp IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY: TIẾT Kiểm tra cũ: Hoạt động thầy Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, biến thiên HSLG Hoạt động trò Học sinh làm theo yêu cầu gv Nội dung mới: Hoạt động thầy Hoạt động trò Phương trình sinx = m H1: Tìm nghiệm phương trình (1) Để tìm tất nghiệm (1), ta làm ? a Để làm ví dụ, ta xét phương trình cụ thể, chẳng hạn: sinx = (1) Để tìm tất nghiệm (1), ta Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO làm sau: B M2 1/2 K A' x M1 /6 trôc sin VŨ MINH THU A B' Xét đường tròn lượng giác gốc A Trên trục sin, ta lấy điểm K cho OK  Đường thẳng qua K vng góc với trục sin cắt đường tròn lượng giác điểm M1 M2; điểm đối xứng với qua trục sin (h 1.19) Ta có : sin(OA, OM1)= Dễ thấy, số đo (rađian) góc lượng giác sin(OA, OM2) = OK  (OM, OM1) (OA, OM2) tất nghiệm (1) Lấy nghiệm tuỳ ý (1), chẳng  Vậy : sinx  � x   k2  hạn x = Khi góc (OA, OM1) có số đo  x     k2 (k  Z)   k2 ; góc (OA, OM 2) có số đo Sử dụng kí hiệu "[" thay cho từ "hoặc", ta  viết lại kết sau    k2 , (k  Z) Hiển nhiên phương trình (I) xác định với x  R �  x   k2 � sinx  � �  k �Z  � x     k2 � � Ta biết, sinx  với x Do đó, phương trình (I) vơ nghiệm m > Mặt khác, x b Giả sử m số cho Xét phương (I) thay đổi, sinx nhận giá trị từ -1 đến nên trình: sinx = m Làm tương tự phương trình (1), ta phương trình (I) ln có nghiệm m  có Kể từ đây, gọn, ta quy ước biểu thức nghiệm phương trình Nếu  nghiệm lượng giác có chứa k mà khơng giải thích phương trình (I), thêm ta hiểu k nhận giá trị thuộc Z nghĩa sin = m Chẳng hạn x =  + k2 có nghĩa x lấy giá x    k2 � trị thuộc tập hợp sinx  m � �  k �Z (Ia) {,   2,   4,   6, } Giải phương trình x      k2 � Ta nói x =  + k2 x =  -  + k2 họ nghiệm phương trình (I) Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Trêng THPT Lê Q Đơn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU 1) sinx =  ; 2) sinx = Giải � � 1) Do sin� �  nên � 3�  � x    k2 � 3 � � � sinx   � sinx  sin�  �� � � � 3� � x     � k2 � � � 3� �  2 � x    k2  nên có số  để sin = Do � 3 �� 4 � x    k2 � x  k2 sinx  � sinx  sin � � � � 3 x      k2 � 2) Vì H2: Giải phương trình sinx  2 H3: Trên đồ thị hàm số y = sinx (h 1.20), điểm có hồnh độ khoảng (0; 5) nghiệm phương trình sinx = Trong mặt phẳng toạ độ, vẽ đồ thị (G) hàm số y = sinx đường thẳng (d): y = m hồnh độ giao điểm (d) (G) (nếu có) nghiệm phương trình sinx = m CHÚ Ý:  Khi m  [0; 1], cơng thức (Ia) Ví dụ 2: Tìm số x thoả mãn phương trình viết gọn sau: � � � � sin� 2x  � sin�  x � 5� � �5 � Giải   k2  sinx  1 � x    k2 sinx  � x  k sinx  � x  Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU  Dễ thấy với m cho trước mà m �   2x    x  k2 � 5 �  1, phương trình sinx = m có � � � sin� 2x  � sin�  x �� �  � � �  � 5� � �5 � � 2x      x  k2   ; � Người ta nghiệm nằm đoạn � � � � �5 � � 2� � � x � 2 � x  k2 � � �� � � 3x    k2 x � � � 2  k2  2 k 3 2 Vậy số x phải tìm x   k2 x  2  k ,k �Z 3 H4: Giải phương trình sin2x = sinx thường kí hiệu nghiệm arcsinm (đọc ác-sin m) Khi x  arcsinm k2 � sinx  m � � x    arcsinm k2 � Vậy ví dụ 1, câu 2) viết � x  arcsin  k2 � sinx  � � � x    arcsin  k2 � �  Từ (Ia) ta thấy rằng: Nếu   số thực sin = sin có số nguyên k để  =  + k2  =  -  + k2, k  Z 3.Củng cố:Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm tập Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU TIẾT Kiểm tra cũ: Hoạt động thầy Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m Hoạt động trò Học sinh làm theo yêu cầu gv Làm tập Nội dung mới: Hoạt động thầy Hoạt động trò (l) B + M1 A' trôc cosin m H A M2 Phương trình cosx = m Xét phương trình: cosx = m (II) m số cho trước Hiển nhiên phương trình (II) xác định với x  R Dễ thấy Do m  nên đường thẳng (l) cắt đường rằng: tròn lượng giác điểm M M2 Hai Khi m > 1, phương trình (II) vơ nghiệm điểm đối xứng qua trục cơsin Khi m  1, phương trình (II) ln có nghiệm Để (chúng trùng m = 1) Ta thấy số đo góc lượng giác (OA, OM 1) tìm tất nghiệm (II), trục côsin ta lấy (OA, OM2) tất nghiệm (II) điểm H cho OH = m Gọi (l) đường thẳng Nếu  số đo góc chúng qua H vng góc với trục cơsin (h 1.12) B' nói cách khác,  nghiệm (II) góc có số đo  + k2 - + k2 H5: Giải phương trình sau : cosx =  2 Vậy ta có: Nếu  nghiệm phương trình (II), nghĩa cos = m x    k2 � cosx  m � � x    k2 � CHÚ Ý H6: Hãy giải phương trình  Đặc biệt, m  {0; 1}, (IIa) Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO cos (2x + 1) = cos (2x - 1) VŨ MINH THU công thức (IIa) viết gọn sau: cosx  1� x  k2 cosx  1� x    k2  cosx  � x   k  Dễ thấy với số m cho trước mà m  1, phương trình cosx = m có nghiệm nằm đoạn [0; ] Người ta thường kí hiệu nghiệm arccos m (đọc ác-cơsin m) Khi đó: x  arccosm k2 � cosx  m � � x   arccosm k2 � mà thường viết x =  arccos m + k2  Từ (IIa) ta thấy rằng: Nếu   số thực cos = cos có số nguyên k để  =  + k2, k  Z 3.Củng cố:Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m., cosx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm tập Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU TIẾT Kiểm tra cũ: Hoạt động thầy Hoạt động trị Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, biến thiên HSLG Học sinh làm theo yêu cầu gv Nội dung mới: Hoạt động thầy Hoạt động trị Phương trình tan x = m Cho m số tuỳ ý B A' M2 T m M1 A trôc tang + Xét phương trình tanx = m (III) Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình (III) cos x  Ta biết, x thay đổi, tan x nhận giá trị từ - —> + Do đó, phương trình (III) ln có B' Ta có tan (OA, OM 1) = tan (OA, OM 2) nghiệm Để tìm tất nghiệm (III), trục tang, = AT = m Gọi số đo góc lượng giác (OA, OM 1) (OA, ta lấy điểm T cho AT = m Đường thẳng OT cắt OM2) ; nói cách khác,  đường trịn lượng giác điểm M1 M2 (h 1.22) nghiệm phương trình (III) Khi đó, góc lượng giác (OA, OM 1) (OA, OM2) có số đo  + k Đó tất nghiệm phương trình (III) (hiển nhiên chúng thoả mãn ĐKXĐ (III)) Vậy ta có: Nếu  nghiệm phương trình (III), nghĩa tan = m tanx = m  x =  + k (IIIa) Giải � � � �  -1  x =   k 1) Vì -1 = tan� �nên tanx = Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 2) Gọi  số mà tan = Khi x x tan  �    k � x  3  k3 3 1) tanx = -1 x 2) tan =3 Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU (Có thể tìm số  thoả mãn tan = cách tra bảng số dùng máy tính bỏ túi Cụ thể   1,249) H7 : Giải phương trình tan2x = tanx CHÚ Ý :  Dễ thấy với số m cho trước, phương trình tanx = m có nghiệm nằm khoảng �  �  ; � Người ta thường kí hiệu nghiệm � � 2� arctan m (đọc ác-tang m) Khi : tanx = m  x = arctan m + k  Từ (IIIa) ta thấy : Nếu   số thực mà tan , tan  xác địnhb tan = tan có số nguyên k để  =  + k 3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m., cosx = m, tanx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm tập Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU TIẾT 10 Kiểm tra cũ: Hoạt động thầy Hoạt động trị Nhắc lại cơng thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m., cosx = m ; tanx = m Học sinh làm theo yêu cầu gv Làm tập Nội dung mới: Hoạt động thầy Hoạt động trị Phương trình cotx = m Cho m số tuỳ ý, xét phương trình cotx = m (IV) ĐKXĐ phương trình (IV) sinx  Tương tự phương trình tanx = m, ta có: Nếu  nghiệm phương trình (IV), nghĩa cot = m cotx = m  x =  + k (IVa) Ví dụ 4: Giải phương trình sau: Giải: 1 1) cotx =  1.Gọi  số mà cot =  , tức tan = -3 (chẳng hạn, số máy tính bỏ túi, ta tìm   -1,249) Khi cotx =   x =  + k 2.cot3x =   cot3x = cot  3x = x=   k 12  + k 2) cot3x = Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO H8: Giải phương trình CHÚ Ý: �2x  1� = tan � � � cot � H9: Giải phương trình sau: 1) cos(3x – 150) =  2) 2) tan5x = tan 250 VŨ MINH THU 2  Dễ thấy với số m cho trước, phương trình cotx = m có nghiệm nằm khoảng (0; ) Người ta thường kí hiệu nghiệm arccot m (đọc ác-cơtang m) Khi cotx = m  x = arccot m + k Một số điều cần lưu ý + Khi cho số m, ta tính giá trị arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m máy tính bỏ túi với phím sin-1, cos-1, tan-1 + Arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m arccot m có giá trị số thực + Khi xét phương trình lượng giác ta coi ẩn số x số đo rađian góc lượng giác Trên thực tế, ta cịn gặp tốn u cầu tìm số đo độ góc (cung) lượng giác cho sin (côsin, tang côtang) chúng số m cho trước chẳng hạn sin (x + 200) = Khi giải phương trình (mà lạm dụng ngôn ngữ, ta gọi giải phương trình lượng giác), ta áp dụng công thức nêu lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ “cơng thức nghiệm” cho thống nhất, chẳng hạn viết x = 300 + k3600 không viết x = 300 + k2 Tuy nhiên, ta quy ước khơng có giải thích thêm phương trình lượng khơng sử dụng đơn vị đo góc độ ẩn số số đo rađian góc lượng giác Ví dụ 5: Giải phương trình sin (x + 200) = Giải Vì = sin 600 Trêng THPT Lê Quý Đôn nên sin (x + 200) = ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU  sin (x + 200) = sin 600  � � x  200  600  k3600 x  400  k3600 � � � x  200  1800  600  k3600 x  1000  k3600 � � 3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác sinx = m., cosx = m ,tanx = m, cotx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm tập ... } Giải phương trình x      k2 � Ta nói x =  + k2 x =  -  + k2 họ nghiệm phương trình (I) Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Trêng THPT Lê Q Đơn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU 1) sinx... k3 3 1) tanx = -1 x 2) tan =3 Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO VŨ MINH THU (Có thể tìm số  thoả mãn tan = cách tra bảng số dùng máy tính bỏ túi Cụ thể   1, 249) H7 : Giải phương trình. .. 3x = x=   k 12  + k 2) cot3x = Trêng THPT Lê Quý Đôn ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO H8: Giải phương trình CHÚ Ý: �2x  1? ?? = tan � � � cot � H9: Giải phương trình sau: 1) cos(3x – 15 0) =  2) 2) tan5x