GIÁO ÁN TỐN 11 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Tiết 11 đến 17 I MỤC TIÊU Kiến thức : Học sinh nắm được: - Cách giải phương trình bậc hàm số lượng giác Một số dạng phương trình đưa dạng bậc - Cách giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác Một số dạng phương trình đưa dạng bậc hai - Cách giải phương trình bậc sinx cosx Kĩ - HS giải thành thạo phương trình lượng giác khác ngồi phương trình lượng giác - Giải phương trình lượng giác dạng bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác - Giải biến đổi thành thạo phương trình bậc sinx cosx Thái độ - Tự giác tích cực học tập - Biết phân biệt rõ khái niệm vận dụng trường hợp cụ thể - Tư vấn đề tốn học cách lơgic hệ thống II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Chuẩn bị giáo viên - Chuẩn bị câu hỏi gợi mở - Chuẩn bị phấn mầu đồ dùng khác Chuẩn bị học sinh - Ôn tập lại kiến thức học lượng giác lớp 10 cơng thức lượng giác - Ơn tập lại phương trình lượng giác III TIẾN TRÌNH ổn định tổ chức lớp Kiểm tra cũ Câu hỏi 1: Cho phương trình lượng giác 2sinx = m a, Giải phương trình với m = b, Với gía trị m phương trình có nghiệm Câu hỏi 2: Phương trình tanx = k ln có nghiệm với k, hay sai? Câu hỏi 3: Khi biết nghiệm phương trình lượng giác biết tất nghiệm Đúng hay sai? Bài HOẠT ĐỘNG CỦA GV I.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HOẠT ĐỘNG CỦA HS 11 GIÁO ÁN TOÁN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Định nghĩa - Hãy nêu định nghĩa cách giải - Là phương trình bậc chứa ẩn x phương trình bậc ẩn x cú dạng: ax +b = 0, a �0 - pt ax +b = 0, a �0 � x   b a - Giới thiệu phương trình bậc hàm số lượng giác.Yêu cầu HS - Đọc theo yờu cầu đọc định nghĩa SGK - T29 - Nêu ví dụ phương trình bậc đối - Lấy vớ dụ: 5cos x - = 0; cot x   , với hàm số lượng giác - Cho HS làm hoạt động - SGK - T29 a) Giải phương trình: 2sin x - = phương trỡnh a) 2sinx -3 = � sin x  � b) Giải phương trình: tan x + 1= vụ nghiệm  b) Điều kiện: x   k tan x + 1=  � � � tan x  tan �  �� x    k, k �� � 6� Cách giải: - Qua hoạt động 1, nêu cách giải - ghi nhớ SGK - T30 phương trình bậc hàm số lượng giác? - Phương trình at + b = � t   b đưa a giải phương trình lượng giác Ví dụ 2: Giải phương trình: a) 5cos x+1=0 - Gọi HS chuyển phương trình dạng a) 5cos x+1=0 � 1� cosx = a � cos x   � x  �arccos �  � k2, k �� 5� � - Yêu cầu HS giải phương trình b) 3cot x    Gọi HS lên bảng làm  cot b) 3cot x   � cot x  � x   k, k �� 3 Phương trình đưa phương trình bậc hàm số lượng giác Ví dụ 3: Giải phương trình: - Cú: sin2x = 2sinxcosx a) 5cos x - 2sin 2x = - Pt � 5cos x - sin x cosx = - Yêu cầu HS sử dụng công thức nhân đôi sin 2x = ? 12 GIÁO ÁN TOÁN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS cos x  - Biến đổi phương trình tích � � cos x   4sin x   � � - Gọi HS giải phương trình :  4sin x  � cos x(5 – 4cos x) =  + cos x = � x   k, k �� b) 8sin x cos x cos 2x = -1 � sin x  � - pt vụ nghiệm + 4sin x = - Yêu cầu HS sử dụng liên tiếp công thức nhân đôi sin 2x để biến đổi pt - 8sin x cos x cos 2x = -1 � 4sin 2x cos 2x  1 - Gọi HS giải phương trình sin 4x   II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  � 4x    k2 � � �  sin 4x    sin �  �� �  � � � 4x   k2 � �   � x  k � 24 k �� ��   7  � x k � 24 � 2sin 4x  1 � sin 4x   1.Định nghĩa trình bậc hai ẩn x pt cú dạng: -Hãy nêu định nghĩa cách giải phương - Phương ax +bx+c=0,a �0 trình bậc hai ẩn x? ' ' - Cỏch giải: Tớnh   b  4ac   b  ac   : Phương trỡnh vụ nghiệm + Nếu �   :Pt +Nếu cú nghiệm kộp x0   - Phương trình bậc hai hàm số lượng giác gì? - u cầu HS đọc ví dụ SGK - Yêu cầu HS lấy ví dụ khác - Cho HS làm hoạt động - SGK - T31 Giải phương trình: a) 3cos x  5cox   - Đặt cos x = t,  t �1 , chuyển pt cho pt bậc ẩn t - Gọi HS giải pt: 3t2-5t+2=0 - Gọi HS giải pt: cos x = cosx = b � b' � x   �0 � 2a � a� + x1,2  Nếu � : x1,2 b � b  4ac (  2a  b' �  ' ) a - Trả lời SGK - Đọc theo yờu cầu - pt � 3t2-5t+2=0 � t  1; t  - thoả điều kiện + cos x = � x  k2, k �� + cosx = 13 2 � x  �arc cos  k2, k �� 3 GIÁO ÁN TOÁN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV b) tan x  tan x   HOẠT ĐỘNG CỦA HS Yêu cầu HS làm tương tự ý a Cách giải - Đặt tan x = t, pt � 3t  t   - pt vụ - Qua hoạt động nêu cách giải nghiệm  '  6� phương trình bậc hai hàm số lượng giác? - Cỏch giải: Ba bước + Bước 1: Đặt hàm số lượng giỏc làm ẩn phụ t đặt điều kiện cho t (nếu cú) + Bước 2:Giải phương trỡnh bậc theo t kiểm tra điều kiện để chọn nghiệm t - Cho HS làm ví dụ 5: Giải pt + Bước 3: Giải pt lượng giỏc theo a) 2sin2 x +5sin x - = nghiệm t nhận - Đặt sin x = t,  t �1 Pt � 2t  5t   Gọi HS làm 1  � t  � sin x   sin �� 2 � t  3  loai � b) cot 3x  cot 3x   Gọi HS làm �  x   k2 � ��  k �� 5 � x  k2 � � - Điều kiện: sin 3x �0 t  1 � t2 � - Đặt cot 3x = t, pt � t  t   � � � 3 cot 3x  1 � 3x   k � �� � � cot 3x  � 3x  arc cot  k �  �  x  k � ��  k ��  � x  arc cot  k � � 3 Phương trình đưa dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác Cho HS làm hoạt động - SGK - T32 - Yêu cầu HS nhắc lại: - Thực theo yờu cầu + Các đẳng thức lượng giác + Công thức cộng + Công thức nhân đôi + Công thức biến đổi tích thành tổng tổng thành tích - Kết luận bổ xung cần Ví dụ 6: Giải phương trình: 14 GIÁO ÁN TỐN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS cos x + sin x + = - Hãy đưa phương trình bậc hai đối - Sử dụng cụng thức: cos2 x = 1- sin2x với sinx? Pt � sin2x - sin x - = - Hãy giải phương trình: - Đặt sin x = t,  t �1 Pt � t  t   sin2x - sin x - =  � t  1 � sin x  1 � x    k2  k �� � � � t   loai � Ví dụ 7: Giải pt: a) 2cos 2x +2cos x - =0 �  cos x  1  2cos x  2)  Pt - Hãy dùng công thức nhân đôi đưa pt � cos x  2cos x      bậc hai cos x? - Gọi HS giải pt: - Đặt cos x = t,  t �1   cos x  cos x    � t � 2 � Pt � 4t  2t    � � 1 t  loai � �   � cos x   cos � x  �  k2, k �� 4  b) 5tan x - 2cot x - = - Hãy nêu điều kiện phương trình? -Hãy dùng công thức cot x = tan x đưa pt bậc hai tan x? - Hãy giải pt: 5tan2x - 3tan x - = Cho HS làm hoạt động - SGK - T34 Giải pt: 3cos26x+8sin 3x cos 3x - = - Yêu cầu HS cho biết: + sin 3x cos 3x = ? + cos2 6x = ? - Hãy biến đổi phương trình dạng phương trình bậc hai sin 6x? - Giải pt: 3sin 6x  4sin 6x   ?  - Điều kiện: cos x �0,sin x �0 3  tan x - Pt � tan x  tan x   - Đặt tan x = t, pt � 5t2 - 3t - = �  x   k t 1 tan x  � � � �� 2�� 2�� � � � 2� t tan x   � x  arc tan �  � k 5 � � � � 5� �  k �� � tan x  - Cú: sin 3x cos 3x = sin 6x; cos 6x = 1sin26x - Pt �   sin 6x   4sin 6x   � 3sin 6x  4sin 6x   - Đặt sin6x = t,  t �1 , pt � 3t2 – 4t + = t 1 sin 6x  � � � �� 1� � sin 6x  �t  3 � 15 GIÁO ÁN TOÁN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV Ví dụ 8: Giải pt: sin2x - 2sin x cos x - 2cos2x = HOẠT ĐỘNG CỦA HS  �  x  k � 12 � 1  �� x  arcsin  k � 3 �  1  � x   arcsin  k � 6 3  k �� - Hãy xét xem cos x = có nghiệm - Nếu cos x  � sin x  , pt cú dạng: = phương trình? Do đú, cos x �0 - Hãy chia hai vế pt cho cos 2x �0 , - Chia hai vế phương trỡnh cho đưa pt bậc tan x? cos2x ta được: cos x � tan x  tan x    tan x tan x  tan   - Hãy giải pt: tan2x +4tan x -5 = * Pt gọi pt đẳng cấp bậc hai sin x cos x � tan x  tan x   �  x   k � tan x  �� ��  k �� � � tan x  5 x  art tan  5  � III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1.Cơng thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx Cho HS làm hoạt động - SGK - T35 - Hãy nhắc lại công thức cộng? - Chứng minh  a) sin x  cos x  cos x    b) sin x  cos x  sin x     4   4 - CM công thức: a sin x  b cos x  a  b sin  x    (1) a b Với cos   2 , sin   2 a b a b - Nhắc lại theo yờu cầu �2 � a) sin x  cos x  � sin x  cos x � �2 � � �  � �  2� cos x cos  sin x sin � 4� � � �  cos �x  � � 4� �2 � b) sin x  cos x  � �2 sin x  cos x � � � �  � � � �  2� sin x cos  cos x sin � 2sin � x � 4� � � 4� - Ta cú 16 GIÁO ÁN TOÁN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS a sin x  b cos x    a b a  b  sin x  cos x  2 a2  b2  a b  Mà  a   2  a b 2    b    1   2    a b  Nờn cú gúc  : a b  cos  ;  sin  a  b2 a  b2 Khi đú: Phương trình asinx + bcosx = c a sin x  b cos x  a  b  sin x cos   cos x sin  * Xét pt: asinx + bcosx = c (2) với a, b, c  a  b sin  x    �� a  b �0 - Yêu cầu HS nêu cách giải - Kết luận: + Nếu a = 0, b �0 a �0 , b = 0: pt - Nờu cỏch giải (2) pt lượng giác + Nếu a �0 , b �0 : Áp dụng công thức (1) đưa giải pt: sin  x     c a  b2 *Ví dụ 9: Giải pt: sin x  cos x  - Hãy xác định a, b tính a  b2 ? - Hãy sử dụng công thức (1) để biến đổi vế trái pt? - Hãy giải pt: sin x  cos x  Cho HS làm hoạt động 6- SGK - T36 Giải pt: sin 3x  cos 3x  - Cú: a = 3; b  1; a  b2  �3 � * sin x  cos x  � sin x  cos x � �2 � 2 � �  � � � �  2� sin x cos  cos x sin � 2sin � x � 6� � � 6�  � � � � *2sin �x  � � sin �x  �  sin � 6� � 6� �   x    k2 �  � x   k2 6 �� ��  k �� �  5 � x    k2 x   k2 � � � 6 �3 � * sin 3x  cos 3x  � sin 3x  cos 3x � �2 � � �  � � � �  2� sin 3x cos  cos 3x sin � 2sin � 3x  � 6� � � 6� 17 GIÁO ÁN TOÁN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV - Yêu cầu HS nêu điều kiện để phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm IV BÀI TÂP Bài 1- T36 - SGK - Hãy nêu dạng pt? - Gọi HS giải pt Bài - T36 - SGK Gọi HS lên bảng giải pt: a) 2cos2x - 3cos x + = b) 2sin 2x + sin 4x = HOẠT ĐỘNG CỦA HS � � * sin 3x  cos 3x  � 2sin � 3x  � � 6�  � � � sin � 3x  �  sin � 6� 2 �   � 5 3x    k2 x k � � 16 �� ��  3 11 2 � � 3x    k2 x k � 6 � 16 � �  k �� - Pt asinx + bcosx = c cú nghiệm � c a  b2 a) sin x x  cos   2 c2 a b2 - Pt: sin2x - sin x = pt bậc sin x x  k � sin x  � ��   k �� - Pt � � � sin x  x   k2 � � cos x  � a, 2cos2x - 3cos x + = � � � cos x  � x  k2 � ��  k ��  � x  �  k2 � b, 2sin 2x + sin 4x = sin 2x  � � 2sin 2x  cos 2x  � �  � cos 2x   � xk � ��  k �� 3 � x  �  k �  Bài - T37 - SGK Gọi HS lên bảng giải pt:  �1 a) �  cos 18  sin x x  cos   2 x x  cos   2 GIÁO ÁN TOÁN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV b)8cos2x + 2sin x - = HOẠT ĐỘNG CỦA HS � x cos  � x x � cos  2cos   � � x 2 � cos  3  loai � � x  k4  k �� b) 8cos2x + 2sin x - =   �  sin x  2sin x   c) tan2x + tan x + = d) tan x - cot x + = �  x   k2  � � 5 � x  k2 � ��  k �� �1� � x  arcsin �  � k2 � � 4� � �1� � x    arcsin �  � k2  � � 4� � c, * Điều kiện: cos x �0 tan x  1 � *2 tan x + tan x + = � � � tan x    � x    k � ��  k �� �1� � x  arctan �  � k � � 2� � d)* Điều kiện: cos x �0 , sin x �0 * tan � tan x  Bài - T37 - SGK Gọi HS giải pt: a) 2sin2x + sin x cos x - cos2x = x - cot x + = 1  tan x � tan x  � tan x  tan x   � � � tan x  2 �  x   k ��  k �� � x  arctan  2   k � - Nếu cos x  � sin x  , pt cỳ dạng: = Do đú, cos x �0 - Chia hai vế phương trỡnh cho cos2x 0 ta phương trỡnh: 2tan2x + tanx – 19 GIÁO ÁN TOÁN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS 3=0 2 b) 3sin x - sin x cos x + cos x =  tan x  � x   k � �� �� �  k �� tan x   � �3 � � x  arctan � � k �2 � - Nếu cos x  � sin x  , pt cú dạng: = Do đú, cos x �0 - Chia hai vế phương trỡnh cho cos2x 0 ta phương trỡnh: 3tan2x tanx +5 = - Yêu cầu HS nhà làm câu c d Bài - T37 - SGK Gọi HS giải pt: a) cos x - sin x  b) 3sin 3x - cos 3x =   tan x cos x   tan x  � � tan x  tan x   � � tan x  � �  x   k ��  k �� � x  arctan  k � a) cos x - sin x  �1 � � 2� cos x  sin x � �2 � 2 � �   � cos cos x  sin sin x  3 - Yêu cầu HS nhà làm câu c d b) 3sin 3x - cos 3x = �3 � � � sin 3x  cos x � � sin  3x     �5 �    2 � 3x     k2 � x    k  k �� 3   ;sin   cơng thức cung (góc) với cos 5 Bài - T37 - SGK Giải pt: a) tan (2x+1) tan (3x - 1) = - Hướng dẫn HS sử dụng công thức: cot x = tan x phụ để chuyển phương trình dạng: tan f(x) = tan g(x) - Gọi HS giải pt: a, ta cú: 20 GIÁO ÁN TOÁN 11 HOẠT ĐỘNG CỦA GV � � tan  2x  1  tan �  3x  1� �2 �  b) tan x + tan (x + ) = - Hướng dẫn HS sử dụng công thức cộng:    4 HOẠT ĐỘNG CỦA HS tan  2x  1   cot  3x  1 tan  3x  1  � �  ta n �  3x  1�� 2x    3x  �2 �   � x   k  k �� 10 tan  x   = ? - Hãy biến đổi pt đa dạng pt bậc   tan x   b, tan  x = tan x giải pt ®ã?   tan x  - Ta pt: tan x + tan x  =1  tan x � tan x  tan x  � tanx(tanx - 3) = tan x  x  k � � �� ��  k �� tan x  x  arctan  k � � IV CỦNG CỐ – HDVN: Củng cố: Một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan Hãy điền vào ô trống sau Câu Cho phương trình: asinx + b = a, Phương trình có nghiệm với a b b, Phương trình có nghiệm với a > b c, Phương trình có nghiệm với a > - b d, Phương trình có nghiệm với a  b (đ) Câu2: Cho phương trình: 2sinx + 3cosx = a a, Điều kiện xác định phương trình là: Với a b, Điều kiện xác định phương trình là: Với a  13 c, Điều kiện xác định phương trình là: Với a   13 d, Điều kiện xác định phương trình là: Với a  13 (đ) Hãy chọn khẳng định câu sau Câu3: Cho phương trình:- 2sinx = Trong số sau số nghiệm phương trình: a, 2 b, 13 c, 15 d, 17 (đ) Câu 4: Cho phương trình:- 2cosx = Trong số sau số nghiệm phương trình: a, 2 b, 14 (đ) c, 21 15 d, 17 GIÁO ÁN TỐN 11 Câu 5: Cho phương trình: - 3tanx = Trong số sau số nghiệm phương trình: a,  b,  c,   k (d)  d,  k 2 Câu 6: Cho phương trình : 3cotx = Nghiệm phương trình là: a,  b,  c,   k 2 (đ) d,   k 2 Câu 7: Cho phương trình : sinx + cosx = -1 Nghiệm phương trình là:   c,   k 2 , x   k 2 (đ) a,  b,  d,   k 2 HDVN: - Nắm dạng, cách giải số phương trình lượng giác thường gặp - Hồn thành tập lại 22 ... trình: - 2cosx = Trong số sau số nghiệm phương trình: a, 2 b, 14  (đ) c, 21 15 d, 17  GIÁO ÁN TOÁN 11 Câu 5: Cho phương trình: - 3tanx = Trong số sau số nghiệm phương trình: a,  b,  c, ... xác định phương trình là: Với a  13 (đ) Hãy chọn khẳng định câu sau Câu3: Cho phương trình: - 2sinx = Trong số sau số nghiệm phương trình: a, 2 b, 13  c, 15  d, 17  (đ) Câu 4: Cho phương trình: -... động 1, nêu cách giải - ghi nhớ SGK - T30 phương trình bậc hàm số lượng giác? - Phương trình at + b = � t   b đưa a giải phương trình lượng giác Ví dụ 2: Giải phương trình: a) 5cos x +1= 0 -