Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Mã số: ĐH2015-TN08-09 Chủ nhiệm đề tài: ThS NGÔ THỊ KIM QUY THÁI NGUYÊN, NĂM 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD s BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Mã số: ĐH2015-TN08-09 Xác nhận quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài ThS Ngô Thị Kim Quy THÁI NGUYÊN, NĂM 2018 i DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI Họ tên Đơn vị công tác Nội dung nghiên cứu ThS Ngô Thị Kim Quy ĐH Kinh tế QTKD-ĐHTN Chủ nhiệm đề tài TS Nguyễn Thị Ngân ĐH Sư phạm-ĐHTN Thành viên nghiên cứu ThS Nguyễn Thanh Hường ĐH Khoa học-ĐHTN Thành viên nghiên cứu ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Tên đơn vị Họ tên người đại diện Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ VN GS.TS Đặng Quang Á Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên TS Nguyễn Thị Ngân ii Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý cực đại số phương trình eliptic 1.2 Phương pháp sai phân hữu hạn nguyên lý cực đại phương trình sai phân 1.3 Một số định lý điểm bất động 1.4 Hàm Green số toán Chương Phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp bốn 2.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải số tốn biên phương trình vi phân thường cấp bốn 2.2 Nghiên cứu hội tụ tính đơn điệu lời giải số Chương Phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 10 3.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải số tốn biên phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 11 3.1.1 Bài tốn tuyến tính phương trình đạo hàm riêng 11 3.1.2 Bài tốn phi tuyến phương trình đạo hàm riêng 12 3.2 Nghiên cứu hội tụ lời giải số 14 Kết luận chung 15 iii THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung Tên đề tài: Phương pháp lặp đơn điệu giải số toán biên phi tuyến Mã số: ĐH2015–TN08–09 Chủ nhiệm đề tài: ThS Ngô Thị Kim Quy Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Kinh tế QTKD - Đại học Thái Nguyên Thời gian thực hiện: 24 tháng (từ tháng 9/2015 đến tháng 9/2017) Mục tiêu Mục tiêu đề tài sử dụng phương pháp lặp đơn điệu kết hợp với phương pháp khác để thiết lập định tính đặc biệt phương pháp giải số số toán phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng cấp bốn phát sinh từ lĩnh vực học, vật lý Tính sáng tạo Trong đề tài đưa phương pháp khác nghiên cứu tính giải phương pháp lặp giải tốn biên phi tuyến, đó, thiết lập tồn nghiệm số tính chất nghiệm tốn điều kiện dễ kiểm tra; đề xuất phương pháp lặp giải toán chứng minh hội tụ phương pháp; đưa số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết Kết nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp lặp giải số phương trình vi phân thường phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn - Thiết lập tồn nghiệm xây dựng phương pháp số hữu hiệu giải số tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn Các điều kiện đặt để đảm bảo tồn tại, nghiệm hội tụ phương pháp số dễ kiểm tra Các kết thu có khả ứng dụng tính tốn dầm đàn hồi đàn hồi tác động tải trọng phi tuyến với điều kiện phức tạp hai đầu mút iv Sản phẩm 5.1 Sản phẩm khoa học 01 báo quốc tế ISI, 03 báo khoa học nước Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36 , pp 56-68 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Phạm Thị Linh (2015), "Sai số hội tụ phương pháp đơn điệu tốn giá trị biên elliptic nửa tuyến tính cấp bốn", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 143, số 13/3, tr 93-97 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường (2015), "Phương pháp nghiệm nghiệm giải toán giá trị biên bốn điểm cấp bốn", Tạp chí Khoa học Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 144, số 14, tr 187-191 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Đồng Thị Hồng Ngọc, Hoàng Thanh Hải (2016), "Sự tồn nghiệm toán giá trị biên phi tuyến cấp 4”, Tạp chí Khoa học Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 159, số 14, tr 197-200 5.2 Sản phẩm đào tạo 02 luận văn thạc sĩ + Tên luận văn “Phương trình tích phân" , bảo vệ năm 2016 Học viên cao học: Lienphone Cheuchouthor Giáo viên Hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Ngân – Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên + Tên luận văn: “Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier”, bảo vệ năm 2016 Học viên cao học: Lê Thị Tuyết Nhung Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Ngân – Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên 01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học Tên đề tài “Bài toán Dirichlet phương trình elliptic” Sinh viên: Ngơ Mai Anh Giáo viên Hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Ngân v Bảo vệ năm 2016, Xếp loại: Xuất sắc Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu phương pháp lặp giải số toán phát sinh từ học vật lý - Kết nghiên cứu ứng dụng giảng dạy nghiên cứu khoa học cho sinh viên ngành Toán vi INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General infomations Project title: Monotone iterative method for solving some nonlinear boundary value problems Code number: ĐH2015–TN08–09 Coordinator: Ngo Thi Kim Quy Implementing institution: TN-University of Economics and Business Administation Duration: from 9/2015 to 9/2017 Objective(s) The objectives of the project are the development of efficient methods for solving some problems for the fourth order elliptic problems arising from mechanics, physics and other fields of science and technology These problems include: The problems for the biharmonic equations in bounded domains and the boundary value problems for nonlinear fourth order differential equations Creativeness and innovativeness In this project, we propose a novel method for investigating the solvability and iterative method for nonlinear boundary value problems Research results - We study methods for solving some nonlinear fourth order differential equations and partial differential equations - The existence and uniqueness of solution and effective numerical methods for solving some boundary problems for the fourth order nonlinear differential equations The conditions required to ensure the existence, uniqueness and convergence of the numerical method should be easy to test The obtained results are applicable to the calculation of elastic beams on elastic foundation under the influence of nonlinear loads with complex conditions at the ends Products - Scientific producst: 04 articles published scientific journals vii - Training products: 01 master thesis, 01 research project of undergraduate students 5.1 Scienctific products Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36 , pp 56-68 Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Pham Thi Linh (2015), "Error and convergence of a monotone method for fourth-order semilinear elliptic boundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyen University, 143(13/3), pp 93-97 Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong (2015), "The method of upper and lower solutions for fourth-order four-point boundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyen University, 144(14), pp 187-191 Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Dong Thi Hong Ngoc, Hoang Thanh Hai (2016), "Existence and uniqueness of solutions of fourth order nonlinear boundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyen University, 159(14), pp 197-200 5.2 Training results 02 master thesis, 01 research project of undergraduate students Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of the study findings - The project study iterative method for solving some problems arising from mechanics and physics - The project can be applied in teaching and scientific research at universities, colleges, vocational school training in mathematics 1 Mở đầu Tính cấp thiết đề tài Nhiều toán vật lý, học số lĩnh vực khác thông qua mơ hình hóa tốn học dẫn đến việc giải tốn biên phương trình vi phân (thường đạo hàm riêng) với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên Neumann, điều kiện biên Robin hay điều kiện biên hỗn hợp Trong năm gần đây, người ta quan tâm nhiều đến toán biên phi tuyến nhu cầu phát triển lĩnh vực vật lý, học, sinh học, Một phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính nghiệm phương pháp sử dụng định lý điểm bất động phương pháp đơn điệu Các tốn giá trị biên phương trình phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên khác nghiên cứu số cơng trình năm gần Sự tồn nghiệm toán thiết lập nhờ sử dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder định lý điểm bất động Schauder sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm nghiệm trên, giải tích Fourier Trong tất cơng trình nêu cơng cụ để nghiên cứu tính đơn điệu dãy hàm hội tụ chúng nguyên lý cực đại thích hợp cho loại tốn Trong cơng trình điều kiện tính bị chặn hàm vế phải bậc tăng trưởng vơ khơng thể thiếu Khác với cách tiếp cận tác giả khác báo nêu trên, đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm vế phải ϕ = f Xét miền bị chặn xác định, chúng tơi chứng minh tốn tử ϕ số điều kiện dễ kiểm tra hàm f miền bị chặn toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co, ta toán ban đầu có nghiệm hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ Tính dương nghiệm tính đơn điệu dãy lặp Các ví dụ đưa ra, nghiệm xác tốn biết chưa biết để minh họa cho kết lý thuyết thu Phương pháp áp dụng với số phương trình đạo hàm riêng Mặc dù nhiều thành tựu quan trọng đạt việc nghiên cứu tìm lời giải tốn biên phi tuyến, song phát triển lĩnh vực ứng dụng học, vật lý, sinh học, ln đặt bài tốn với phức tạp phương trình điều kiện biên Chính mục đích đề tài sử dụng phương pháp đơn điệu kết hợp với phương pháp khác chẳng hạn phương pháp sử dụng định lý điểm bất động để thiết lập định tính đặc biệt phương pháp giải số số tốn phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng cấp nảy sinh lý thuyết uốn dầm (1 chiều) (2 chiều) Đó lí chọn đề tài: "Phương pháp lặp đơn điệu giải số toán biên phi tuyến" Mục tiêu phạm vi nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài xây dựng phương pháp lặp đơn điệu giải số toán biên phi tuyến phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng cấp bốn Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu số toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 3 3.2 Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu tồn tại, nghiệm phương pháp giải số toán biên phi tuyến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 3.3 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng cách tiếp cận đưa tốn biên phi tuyến phương trình toán tử hàm vế phải, với cơng cụ tốn giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, chúng tơi nghiên cứu tồn tại, số tính chất nghiệm số tốn biên Các tính tốn số minh họa cho tính hữu hiệu phương pháp đề xuất thực ngôn ngữ lập trình Matlab Cấu trúc đề tài Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị kết bổ trợ bao gồm số kiến thức phương pháp đơn điệu, nguyên lý cực đại, định lý điểm bất động cách tìm hàm Green Các kiến thức kết thu chương đóng vai trò quan trọng, làm tảng cho kết trình bày chương chương Chương trình bày phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp bốn Chương trình bày phương pháp lặp giải số tốn biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 4 Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý cực đại số phương trình eliptic Một phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính nghiệm xây dựng nghiệm gần toán phương pháp đơn điệu Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm nghiệm toán biên phi tuyến thu hút ý nhà nghiên cứu năm gần Phương pháp phổ biến khơng đưa cách chứng minh định lý tồn mà dẫn đến kết so sánh khác nhau, kĩ thuật hiệu để nghiên cứu tính chất định tính nghiệm Ý tưởng chung phương pháp xuất phát từ hai hàm α β tương ứng gọi nghiệm (lower solution) nghiệm (upper solution) toán, người ta xây dựng nhờ trình lặp hai dãy hàm αk βk hội tụ đơn điệu từ hai phía tới hàm u u thỏa mãn điều kiện α ≤ α1 ≤ α2 ≤ ≤ αk ≤ ≤ u ≤ u ≤ ≤ βk ≤ ≤ β2 ≤ β1 ≤ β Trong trường hợp u = u toán có nghiệm dải < α, β >, khác, tốn có nghiệm cực trị nghiệm cực trị 1.2 Phương pháp sai phân hữu hạn nguyên lý cực đại phương trình sai phân Một phương pháp số phổ biến sử dụng rộng rãi xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân hữu hạn Các phương pháp sai phân hữu hạn tìm nghiệm xấp xỉ phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng nút lưới cách thay đạo hàm cơng thức sai phân Khi phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng rời rạc thành hệ phương trình đại số tuyến tính Trong chương chúng tơi trình bày phương pháp sai phân cho phương trình elliptic cấp hai Các đánh giá phân tích dựa nguyên lý cực đại 1.3 Một số định lý điểm bất động Phần trình bày ba định lý điểm bất động tảng sử dụng phổ biến toán ứng dụng là: Định lý điểm bất động Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder 1.4 Hàm Green số tốn Hàm Green có ứng dụng rộng rãi nghiên cứu toán giá trị biên Đặc biệt, tồn nghiệm lớp toán giá trị biên cấp bốn thiết lập Các kĩ thuật không gian Banach sử dụng, tồn hàm Green công cụ tồn nghiệm Kết luận Chương Chương trình bày số kiến thức phương pháp đơn điệu, nguyên lý cực đại, định lý điểm bất động cách tìm hàm Green số toán Đây kiến thức kết quan trọng làm tảng cho nghiên cứu trình bày Chương Chương đề tài 6 Chương Phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp bốn Các tốn giá trị biên phương trình phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên khác nghiên cứu số cơng trình năm gần Sự tồn nghiệm toán thiết lập nhờ sử dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder định lý điểm bất động Schauder sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm nghiệm giải tích Fourier Trong cơng trình điều kiện tính bị chặn hàm vế phải bậc tăng trưởng vơ thiếu Nhận thấy điều kiện nặng nề phức tạp cho tồn nghiệm Khác với cách tiếp cận tác giả khác, chúng tơi đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm vế phải ϕ = f Xét miền bị chặn xác định, chúng tơi giải phóng điều kiện hạn chế báo 2.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải số toán biên phương trình vi phân thường cấp bốn Các định lý điểm bất động phương pháp đơn điệu sử dụng nghiên cứu định tính phương pháp giải cho nhiều toán phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên khác Xét tốn giá trị biên phương trình vi phân thường cấp bốn u(4) (x) = f (x, u(x), u (x)), < x < 1, (2.1) u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = f : [0, 1] × R2 hàm liên tục Bài tốn mơ tả uốn dầm đàn hồi với hai đầu mút gối-tựa đơn giản trạng thái cân Bài toán thu hút quan tâm nhiều tác giả có ý nghĩa quan trọng học Sau đây, chúng tơi trình bày số cơng trình quan trọng liên quan đến toán Đầu tiên, đề cập đến báo Aftabizadeh năm 1986 Trong báo này, tác giả thiết lập tồn nghiệm với giả thiết giới nội hàm f (x, u, v) toàn miền [0, 1] × R2 Tính nghiệm chứng minh thêm giả thiết liên quan đến đạo hàm riêng f theo u v Tiếp theo, năm 1997, Ma et al phương pháp đơn điệu, biết trước nghiệm nghiệm xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới nghiệm cực trị tốn Ở tác giả thu nhận kết với giả thiết hàm f (x, u, v) đơn điệu tăng theo biến u đơn điệu giảm theo biến v dải xác định nghiệm nghiệm Sau đó, vào năm 2004, nghiên cứu toán (2.1), Bai et al độc lập với Ma et al xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới nghiệm cực trị toán cách xét phương trình tương đương u(4) (x) − au (x) + bu(x) = f (x, u(x), u (x)) − au (x) + bu(x) a, b số dương chọn phù hợp Ý tưởng sử dụng báo gần Li (2010) Tác giả sử dụng nguyên lý cực đại phát triển phương pháp lặp đơn điệu với có mặt nghiệm nghiệm dưới, thiết lập tồn nghiệm nhờ giới hạn dãy xấp xỉ từ hai phía Cần nhấn mạnh rằng, phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm nghiệm nghiệm luôn cần thiết việc tìm chúng nói chung khơng dễ dàng Cơng trình Li et al năm 2013, xét toán giá trị biên phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ u(4) (t) = f (t, u(t), u (t), u (t), u (t)), < t < 1, (2.2) u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0, f : [0, 1] × R4 → R liên tục 8 Bài báo thiết lập tồn nghiệm toán hạn chế điều kiện tăng trưởng hàm f (x, u, y, v, z) theo biến ∞ Năm 2016, Li xét toán giá trị biên cấp bốn đầy đủ u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), < x < 1, (2.3) u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = Bài tốn mơ hình dầm cơngxơn (cố định bên trái tự bên phải), f : [0, 1] × R4 → R liên tục Một vài điều kiện f đặt đảm bảo tồn nghiệm dương toán Điều kiện đưa hàm f (x, u, y, v, z) tăng trưởng siêu tuyến tính tuyến tính theo biến u, y, v, z Trong trường hợp siêu tuyến tính, điều kiện Nagumo hạn chế điều kiện tăng trưởng f theo y z Kết chứng minh việc sử dụng lý thuyết số điểm bất động nón phức tạp Khác với cách tiếp cận tác giả khác cơng trình nêu trên, chúng tơi đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm vế phải ϕ(x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)) Xét miền bị chặn xác định, giải phóng điều kiện hạn chế báo Chúng tơi chứng minh tốn tử ϕ số điều kiện dễ kiểm tra hàm f miền bị chặn toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co, ta tốn ban đầu có nghiệm hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ Tính dương nghiệm tính đơn điệu dãy lặp Trong báo chúng tơi đưa nhiều thí dụ, nghiệm xác tốn biết chưa biết để minh họa cho kết lý thuyết thu Trong báo đăng tạp chí Nonlinear Anal RWA gần (2017), xét toán (2.3) theo phương pháp đưa toán phương trình tốn tử hàm vế phải xét miền bị chặn chúng tơi giải phóng điều kiện tăng trưởng có điều kiện Nagumo Chúng tơi thí dụ mà không thỏa mãn điều kiện báo Li (2016) đưa theo lý thuyết đưa khẳng định nghiệm tốn Hơn nữa, điều kiện chúng tơi đưa đơn giản dễ kiểm tra 2.2 Nghiên cứu hội tụ tính đơn điệu lời giải số Chúng đưa phương pháp lặp chứng minh hội tụ phương pháp Bài toán giá trị biên ban đầu đưa toán tìm nghiệm dãy tốn giá trị đầu tốn giá trị cuối với phương trình vi phân thường cấp hai Chú ý hàm vế phải hai toán phụ thuộc vào biến x, nên nghiệm xấp xỉ toán thực chất xấp xỉ tích phân xác định Do xây dựng lược đồ sai phân với độ xác cấp cao hàm vế phải toán hàm rời rạc xác định lưới điểm Để thực nghiệm số phương pháp lặp sử dụng công thức Simpson với độ xác cấp bốn cho tốn giá trị đầu tốn giá trị cuối với phương trình vi phân thường cấp hai lưới ω h = {xi = ih, i = 0, 1, , N ; h = 1/N } Với hàm lưới ω h ta sử dụng chuẩn u ωh = max |u(xi )| Các ví dụ đưa 0≤i≤N minh họa cho hiệu phương pháp Kết luận Chương Trong Chương chúng tơi trình bày áp dụng số phương pháp Chương nghiên cứu tốn biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp bốn, vấn đề tồn tại, tính dương nghiệm thiết lập cho số dạng phương trình phi tuyến cụ thể cơng cụ giải tích phi tuyến, ý tưởng đưa tốn phương trình cấp bốn phi tuyến dãy tốn cấp hai tuyến tính dễ giải ý tưởng tự nhiên Đặc biệt, đưa cách tiếp cận khác nghiên cứu định tính tốn biên mà khơng cần đến điều kiện tăng trưởng vô cùng, điều kiện Nagumo, hàm vế phải Các ví dụ đưa minh họa cho hiệu phương pháp 10 Chương Phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn Trong khoảng hai chục năm trở lại toán biên phương trình elliptic cấp bốn phi tuyến mà tiêu biểu phương trình song điều hòa phi tuyến quan tâm lớn nhà toán học lý thuyết ứng dụng, nhà học tin học Lý đơn giản chúng mơ hình tốn học nhiều tượng học vật lý uốn tác động tải trọng phi tuyến đàn hồi phi tuyến Trước đó, lý thuyết phương pháp tính tốn cho tốn tuyến tính phát triển đầy đủ Nhiều phần mềm tính tốn cho vỏ xây dựng đưa vào sử dụng Tuy nhiên, toán elliptic cấp bốn phi tuyến nghiên cứu chưa nhiều định tính lẫn định lượng Một phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, nhất) nghiệm phương pháp sử dụng định lý điểm bất động, phương pháp đơn điệu, phương pháp lặp Trong vấn đề tồn tại, tính dương nghiệm thiết lập cho số dạng phương trình phi tuyến cụ thể cơng cụ giải tích phi tuyến 11 3.1 3.1.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải số tốn biên phương trình đạo hàm riêng cấp bốn Bài tốn tuyến tính phương trình đạo hàm riêng Giả sử Ω miền mở, liên thông, bị chặn Rn (n ≥ 2) giả thiết ∂Ω biên Lipschitz Toán tử Laplace ∆u hàm trơn u : Ω → R có dạng n ∆u := i=1 ∂ 2u ∂x2i Tốn tử đa điều hòa Định nghĩa đệ quy ∆m u = ∆(∆m−1 u), m = 2, 3, Với m = 2, ta có ∆2 u = ∆(∆u) (Tốn tử song điều hòa) Với m = 3, ta có ∆3 u = ∆(∆2 u) (Tốn tử tam điều hòa) Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu phương trình song điều hòa phương trình kiểu song điều hòa lớp phương trình mơ tả nhiều tốn học, vật lý, kỹ thuật, Nhiều toán học, chẳng hạn toán độ võng mỏng tác động tỉ trọng, toán lý thuyết đàn hồi phẳng, tốn dòng chảy, dẫn đến việc giải phương trình song điều hòa ∆2 u = f, (3.1) ∆ tốn tử Laplace miền với điều kiện biên Gần đây, nhiều phương pháp hữu hiệu cho việc giải phương trình (3.1) nghiên cứu phát triển cơng trình nhiều nhà toán học phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân, phương pháp phương trình tích phân biên phần tử biên Các phương pháp rời rạc hóa phương trình vi phân dẫn đến việc giải hệ đại số tuyến tính Một số nhà nghiên cứu rời rạc hóa tốn Dirichlet phương trình (3.1) phương pháp phổ Galerkin sử dụng hàm sở đa thức đặc biệt Các phương pháp gần giải tích tác giả sử dụng để giải phương trình song điều hòa phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp nghiệm 12 Các phương trình kiểu song điều hòa ∆2 u + bu = f, ∆2 u − a∆u + bu = f, (b > 0) (3.2) (a > 0, b > 0) (3.3) mô tả uốn đàn hồi Benzine (1988) giải phương pháp tích phân biên, Bjorstad Bjorn (1997) sau rời rạc hóa (3.3) với điều kiện biên u = ∂u = phương pháp phổ Galerkin dựa đa thức ∂n Phải nói ý tưởng đưa tốn phương trình cấp hai phức tạp dãy toán cấp hai đơn giản đưa toán phương trình cấp bốn dãy tốn phương trình cấp hai ý tưởng chung tự nhiên phát triển nhiều tác Abramov, Glowinski, Palsev, Đặng Quang Á Một phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, nhất) nghiệm xây dựng nghiệm gần phương pháp đơn điệu Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm nghiệm toán biên phi tuyến thu hút ý nhà nghiên cứu năm gần Phương pháp phổ biến khơng đưa cách chứng minh định lý tồn mà dẫn đến kết so sánh khác nhau, kĩ thuật hiệu để nghiên cứu tính chất định tính nghiệm Tính đơn điệu dãy lặp hữu dụng nghiên cứu nghiệm số toán giá trị đầu giá trị biên 3.1.2 Bài toán phi tuyến phương trình đạo hàm riêng Xét tốn giá trị biên elliptic nửa tuyến tính cấp bốn dạng ∆(k(x)∆u) = f (x, u, ∆u), (x ∈ Ω), (3.4) B[u] = g1 (x), B[k∆u] = g2 (x), (x ∈ ∂Ω) ∆ tốn tử Laplace B tốn tử biên tuyến tính cho B[w] = w (loại Dirichlet) 13 B[w] = ∂w + β(.)w, ∂ν β(x) ≥ ∂Ω, (loại Neumann Robin) với ∂/∂ν ký hiệu đạo hàm theo hướng pháp tuyến ∂Ω Tác giả Wang sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm trên, nghiêm tồn nghiệm toán Tác giả nghiên cứu hội tụ phương pháp đơn điệu, đánh giá sai số phân tích tính ổn định phương pháp lặp đưa Với trường hợp đơn giản phương trình (3.4), xét tốn ∆2 u = f (x, u, ∆u), x ∈ Ω, (3.5) u = 0, ∆u = 0, x ∈ Γ, Ω miền bị chặn đơn giản R2 , với biên trơn Γ, ∆ toán tử Laplace, ∂/∂ν ký hiệu đạo hàm theo hướng pháp tuyến Γ Trường hợp đặc biệt phương trình (3.5), tức là, toán ∆2 u + c∆u = f (x, u), x ∈ Ω, (3.6) u = 0, ∆u = 0, x ∈ Γ, nghiên cứu nhiều tác giả Cần nhấn mạnh kết tồn nghiệm toán (3.6) hai trường hợp c = c = thiết lập phương pháp biến phân Những kết có tính chất lý thuyết túy khơng có thí dụ tồn nghiệm Ngồi phương pháp biến phân nghiên cứu tồn nghiệm tốn giá trị biên phi tuyến có phương pháp hiệu khác thiết lập tồn nghiệm Đó phương pháp nghiệm trên, nghiệm Phương pháp Pao sử dụng với toán giá trị biên elliptic cấp bốn Xét toán ∆(a(x)∆u) = f (x, u, ∆u), x ∈ Ω, ∂(a∆u) ∂u + β1 (x)u = h1 (x), α2 (x) + β2 (x)(a∆u) = h2 (x), α1 (x) ∂ν ∂ν (3.7) x∈Γ phương pháp nghiệm dưới, Pao chứng minh tồn nghiệm toán với giả thiết hàm f (x, u, v) thỏa mãn điều kiện Lipschitz 14 theo u, v đơn điệu theo u dải định nghĩa nghiệm nghiệm số điều kiện khác liên quan đến a(x) đạo hàm riêng f (x, u, v) 3.2 Nghiên cứu hội tụ lời giải số Để giải số toán (3.7), Pao (2011) đưa toán ban đầu cặp toán u v = −a∆u sau áp dụng xấp xỉ sai phân cho cặp toán Một số sơ đồ lặp đơn điệu Picard, Gauss-Seidel lặp Jacobi hội tụ đơn điệu tới nghiệm hệ phương trình sai phân đưa Kỹ thuật đơn điệu phát triển cơng trình Wang có số thí dụ minh họa cho hiệu sơ đồ lặp Khác với phương pháp trên, năm 2016, tác giả Đặng Quang Á đề xuất cách tiếp cận khác nghiên cứu tính giải nghiệm số toán (3.5) Cụ thể, tác giả đưa tốn phương trình tốn tử hàm vế phải chứng minh tốn tử có tính chất co Điều đảm bảo tồn nghiệm toán hội tụ phương pháp lặp đề xuất Phương pháp lặp đưa toán ban đầu dãy tốn giá trị biên với phương trình Poisson mà dễ dàng giải thuật toán số hiệu sẵn có Tính ứng dụng cách tiếp cận hiệu phương pháp lặp minh họa qua số thí dụ, lợi tốc độ hội tụ phương pháp tác giả đưa so với phương pháp gần Wang Kết luận Chương Trong chương 3, chúng tơi trình bày phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, nhất) nghiệm phương trình đạo hàm riêng, vấn đề tồn tại, tính dương nghiệm thiết lập cho số dạng phương trình phi tuyến cụ thể cơng cụ giải tích phi tuyến Cách tiếp cận chương áp dụng thành công nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng Trong đó, phương pháp lặp tìm nghiệm đánh giá hội tụ phương pháp 15 KẾT LUẬN CHUNG Đề tài nghiên cứu số phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn Đặc biệt, cách tiếp cận khác đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm vế phải, xét miền giới nội, không cần đến điều kiện tăng trưởng vô hàm vế phải, điều kiện Nagumo Các kết đề tài bao gồm: • Thiết lập tồn nghiệm số tính chất nghiệm tốn điều kiện dễ kiểm tra • Xây dựng phương pháp lặp giải toán chứng minh hội tụ phương pháp • Đưa số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết Hướng phát triển • Nghiên cứu giải toán biên phi tuyến phương trình vi phân cấp cao với điều kiện biên phong phú khác • Nghiên cứu giải tốn biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn cấp cao với số loại điều kiện biên • Ứng dụng phương pháp số mơ hình tốn học vật lý ... chọn đề tài: "Phương pháp lặp đơn điệu giải số toán biên phi tuyến" Mục tiêu phạm vi nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài xây dựng phương pháp lặp đơn điệu giải số tốn biên phi tuyến phương trình... phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp bốn Chương trình bày phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 4 Chương Một số. .. Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý cực đại số phương trình eliptic Một phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính nghiệm xây dựng nghiệm gần toán phương pháp đơn điệu Phương pháp đơn điệu