Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Mã số: ĐH2015-TN08-09 Chủ nhiệm đề tài: ThS NGÔ THỊ KIM QUY THÁI NGUYÊN, NĂM 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD s BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Mã số: ĐH2015-TN08-09 Xác nhận quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài ThS Ngô Thị Kim Quy THÁI NGUYÊN, NĂM 2018 i DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI Họ tên Đơn vị công tác Nội dung nghiên cứu ThS Ngô Thị Kim Quy ĐH Kinh tế QTKD-ĐHTN Chủ nhiệm đề tài TS Nguyễn Thị Ngân ĐH Sư phạm-ĐHTN Thành viên nghiên cứu ThS Nguyễn Thanh Hường ĐH Khoa học-ĐHTN Thành viên nghiên cứu ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Tên đơn vị Họ tên người đại diện Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ VN GS.TS Đặng Quang Á Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên TS Nguyễn Thị Ngân ii Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý cực đại số phương trình eliptic 1.2 Phương pháp sai phân hữu hạn nguyên lý cực đại phương trình sai phân 12 1.2.1 Dạng tắc phương trình sai phân 1.2.2 Nguyên lý cực đại 13 16 1.3 Một số định lý điểm bất động 18 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 Định lý điểm bất động Banach Định lý điểm bất động Brouwer Định lý điểm bất động Schauder Nhận xét 18 19 20 21 1.4 Hàm Green số toán 22 Chương Phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp bốn 25 2.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải số tốn biên phương trình vi phân thường cấp bốn 26 2.2 Nghiên cứu hội tụ tính đơn điệu lời giải số tốn biên phương trình vi phân thường cấp bốn 40 Chương Phương pháp lặp giải số tốn biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 49 3.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải số tốn biên phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 50 3.1.1 Bài tốn tuyến tính phương trình đạo hàm riêng 50 iii 3.1.2 Bài tốn phi tuyến phương trình đạo hàm riêng 58 3.2 Nghiên cứu hội tụ lời giải số 67 Kết luận chung 73 Tài liệu tham khảo 74 iv Danh sách hình vẽ 2.1 2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.1 46 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.2 47 v THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung Tên đề tài: Phương pháp lặp đơn điệu giải số toán biên phi tuyến Mã số: ĐH2015–TN08–09 Chủ nhiệm đề tài: ThS Ngơ Thị Kim Quy Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Kinh tế QTKD - Đại học Thái Nguyên Thời gian thực hiện: 24 tháng (từ tháng 9/2015 đến tháng 9/2017) Mục tiêu Mục tiêu đề tài sử dụng phương pháp lặp đơn điệu kết hợp với phương pháp khác để thiết lập định tính đặc biệt phương pháp giải số số tốn phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng cấp bốn phát sinh từ lĩnh vực học, vật lý Tính sáng tạo Trong đề tài đưa phương pháp khác nghiên cứu tính giải phương pháp lặp giải tốn biên phi tuyến, đó, thiết lập tồn nghiệm số tính chất nghiệm toán điều kiện dễ kiểm tra; đề xuất phương pháp lặp giải toán chứng minh hội tụ phương pháp; đưa số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết Kết nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp lặp giải số phương trình vi phân thường phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn - Thiết lập tồn nghiệm xây dựng phương pháp số hữu hiệu giải số tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn Các điều kiện đặt để đảm bảo tồn tại, nghiệm hội tụ phương pháp số dễ kiểm tra Các kết thu có khả ứng dụng vi tính toán dầm đàn hồi đàn hồi tác động tải trọng phi tuyến với điều kiện phức tạp hai đầu mút Sản phẩm 5.1 Sản phẩm khoa học 01 báo quốc tế ISI, 03 báo khoa học nước Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36 , pp 56-68 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Phạm Thị Linh (2015), "Sai số hội tụ phương pháp đơn điệu toán giá trị biên elliptic nửa tuyến tính cấp bốn", Tạp chí Khoa học Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 143, số 13/3, tr 93-97 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường (2015), "Phương pháp nghiệm nghiệm giải toán giá trị biên bốn điểm cấp bốn", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 144, số 14, tr 187-191 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Đồng Thị Hồng Ngọc, Hoàng Thanh Hải (2016), "Sự tồn nghiệm toán giá trị biên phi tuyến cấp 4”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 159, số 14, tr 197-200 5.2 Sản phẩm đào tạo 02 luận văn thạc sĩ + Tên luận văn “Phương trình tích phân" , bảo vệ năm 2016 Học viên cao học: Lienphone Cheuchouthor Giáo viên Hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Ngân – Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên + Tên luận văn: “Tính giải hệ phương trình cặp tích phân Fourier”, bảo vệ năm 2016 Học viên cao học: Lê Thị Tuyết Nhung Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Ngân – Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên vii 01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học Tên đề tài “Bài toán Dirichlet phương trình elliptic” Sinh viên: Ngơ Mai Anh Giáo viên Hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Ngân Bảo vệ năm 2016, Xếp loại: Xuất sắc Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu phương pháp lặp giải số toán phát sinh từ học vật lý - Kết nghiên cứu ứng dụng giảng dạy nghiên cứu khoa học cho sinh viên ngành Toán viii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General infomations Project title: Monotone iterative method for solving some nonlinear boundary value problems Code number: ĐH2015–TN08–09 Coordinator: Ngo Thi Kim Quy Implementing institution: TN-University of Economics and Business Administation Duration: from 9/2015 to 9/2017 Objective(s) The objectives of the project are the development of efficient methods for solving some problems for the fourth order elliptic problems arising from mechanics, physics and other fields of science and technology These problems include: The problems for the biharmonic equations in bounded domains and the boundary value problems for nonlinear fourth order differential equations Creativeness and innovativeness In this project, we propose a novel method for investigating the solvability and iterative method for nonlinear boundary value problems Research results - We study methods for solving some nonlinear fourth order differential equations and partial differential equations - The existence and uniqueness of solution and effective numerical methods for solving some boundary problems for the fourth order nonlinear differential equations The conditions required to ensure the existence, uniqueness and convergence of the numerical method should be easy to test The obtained results are applicable to the calculation of elastic beams on elastic foundation under the influence of nonlinear loads with complex conditions at the ends 65 Khi hàm chưa biết ϕ phải thỏa mãn phương trình Aϕ = ϕ (3.30) Bổ đề 3.1 Nghiệm toán −∆u = f (x), x ∈ Ω, u = 0, x ∈ Γ (3.31) thỏa mãn đánh giá u ≤ CΩ f , u = maxx∈Ω¯ |u(x)|, CΩ = R2 (3.32) R bán kính hình tròn chứa miền Ω Nếu Ω hình vng đơn vị u ≤ f (3.33) Chứng minh Để chứng minh Bổ đề, ta sử dụng nguyên lý cực đại so sánh u với hàm v(x) = f (R2 − x21 − x22 ), R bán kính hình cầu tâm O chứa miền Ω √ Khi miền Ω hình vng đơn vị ta chọn R = 2, ta thu (3.33) Trở lại với phương trình tốn tử (3.30) Với số thực M > 0, ký hiệu DM = {(x, u, v)| x ∈ Ω, |u| ≤ CΩ2 M, |v| ≤ CΩ M } (3.34) ¯ , tức ký hiệu B[0, M ] hình cầu đóng bán kính M C(Ω) ¯ B[0, M ] = {ϕ ∈ C(Ω)| ϕ ≤ M } Định lý 3.8 Giả sử tồn số M, L1 , L2 ≥ cho (i) |f (x, u, v)| ≤ M với (x, u, v) ∈ DM (3.35) (3.36) 66 (ii) |f (x, u2 , v2 ) − f (x, v1 , u1 )| ≤ L1 |u2 − u1 | + L2 |v2 − v1 | với (x, ui , vi ) ∈ DM , i = 1, (iii) q := (L2 + CΩ L1 )CΩ < (3.37) (3.38) ¯ , thỏa mãn đánh Khi tốn (3.25) có nghiệm u(x) ∈ C(Ω) giá u ≤ CΩ2 M Chứng minh Để chứng minh định lý, trước tiên ta toán tử A ánh xạ từ B[0, M ] vào nó, tức là, ϕ ≤ M Aϕ ≤ M Ta chứng minh với ϕ1 , ϕ2 ∈ B[0, M ] , ta có Aϕ2 − Aϕ1 | ≤ q ϕ1 − ϕ2 Nếu q < A toán tử co B[0, M ] Theo nguyên lý ánh xạ co, phương trình tốn tử (3.30) có nghiệm ϕ ∈ B[0, M ] Do vậy, tốn (3.25) có nghiệm u(x) thỏa mãn đánh giá u ≤ CΩ2 M Tính dương nghiệm Xét trường hợp đặc biệt Định lý 3.8 Ký hiệu + DM = {(x, u, v)| x ∈ Ω, ≤ u ≤ CΩ2 M, −CΩ M ≤ v ≤ 0} Định lý 3.9 Giả sử tồn số M, L1 , L2 ≥ cho (i) + ≤ f (x, u, v) ≤ M với (x, u, v) ∈ DM , (3.39) (3.40) (ii) |f (x, u2 , v2 ) − f (x, v1 , u1 )| ≤ L1 |u2 − u1 | + L2 |v2 − v1 | + với (x, ui , vi ) ∈ DM , i = 1, (iii) q := (L2 + CΩ L1 )CΩ < (3.41) (3.42) 67 ¯ , thỏa mãn Khi tốn (3.25) có nghiệm dương u(x) ∈ C(Ω) đánh giá ≤ u(x) ≤ CΩ2 M 3.2 Nghiên cứu hội tụ lời giải số Phát triển kỹ thuật Pao, từ năm 2005 Y M Wang [44], [45], [46], [47] nghiên cứu phương pháp giải toán (3.19) mức sâu sắc thu đánh giá sai số lời giải số lý thuyết thực nghiệm Năm 2006, Wang [45] phân tích hội tụ phương pháp đơn điệu với toán giá trị biên elliptic nửa tuyến tính cấp bốn ∆(k(x)∆u) = f (x, u, ∆u), (x ∈ Ω), (3.43) B[u] = g1 (x), B[k∆u] = g2 (x), (x ∈ ∂Ω), Ω miền giới nội Rd với biên ∂Ω, ∆ toán tử Laplace, B toán tử biên tuyến tính, k(x) ∈ C (Ω), k(x) ≥ k0 > Cặp hàm u, u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω) gọi cặp nghiệm nghiệm toán (3.43) u ≥ u, ∆u ≤ ∆u ∆(k(x)∆u) ≥ f (x, u, ∆u), ∆(k(x)∆u) ≤ f (x, u, ∆u), x ∈ Ω, u ≤ u ≤ u, B[u] ≥ g (x) ≥ B[u], B[k∆u] ≤ g2 (x) ≤ B[k∆u], x ∈ ∂Ω Ta đặt v = −k∆u viết (3.43) tương đương với −∆u = v/k, −∆v = f (x, u, −v/k), (x ∈ Ω), B[u] = g1 (x), B[v] = −g2 (x), (3.44) (x ∈ ∂Ω) Đặt v = −k∆u, v = −k∆u, u = (u, v), u = (u, v) Định nghĩa S(u, u) = (u, v); u, v ∈ C (Ω), (u, ∆u) ≤ (u, v) ≤ (u, ∆u) , < u, u >= (u, v); u, v ∈ C (Ω), u ≤ (u, v) ≤ u Phương pháp đơn điệu giải (3.44) phụ thuộc vào tính chất đơn điệu hàm f 68 cặp số không âm (γ1∗ , γ2∗ ) Đặc biệt, ta có (i) Nếu f (x, u, v) không giảm đơn điệu theo u với ∀(x, u, v) ∈ Ω × S(u, u), ta đặt (u(0) , v (0) ) = (u, v)(tương ứng(u(0) , v (0) ) = (u, v)) (3.45) kí hiệu (u(m) , v (m) ) (tương ứng (u(m) , v (m) )), (m = 1, 2, ) phép lặp tương ứng xác định x ∈ Ω, (γ1∗ − ∆)u(m) = γ1∗ u(m−1) + v (m−1) /k, (γ2∗ − ∆)v (m) = γ2∗ v (m−1) + f (x, u(m−1) , −v (m−1) /k), x ∈ Ω, B[u(m) ] = g1 (x), B[v (m) ] = −g2 (x), x ∈ ∂Ω (3.46) (ii) Nếu f (x, u, v) không tăng đơn điệu theo u với ∀(x, u, v) ∈ Ω × S(u, u), ta đặt (u(0) , v (0) ) = (u, v)(tương ứng(u(0) , v (0) ) = (u, v)) (3.47) kí hiệu (u(m) , v (m) ) (tương ứng (u(m) , v (m) )), (m = 1, 2, ) phép lặp tương ứng xác định x ∈ Ω, (γ1∗ − ∆)u(m) = γ1∗ u(m−1) + v (m−1) /k, (γ2∗ − ∆)v (m) = γ2∗ v (m−1) + f (x, u(m−1) , −v (m−1) /k), x ∈ Ω, x ∈ Ω, (γ1∗ − ∆)u(m) = γ1∗ u(m−1) + v (m−1) /k, (γ2∗ − ∆)v (m) = γ2∗ v (m−1) + f (x, u(m−1) , −v (m−1) /k), x ∈ Ω, B[u(m) ] = B[u(m) ] = g1 (x), B[v (m) ] = B[v (m) ] = −g2 (x), x ∈ ∂Ω (3.48) Giả sử γ1 , γ2 cặp số cho gv (x, u, v) ≥ −γ2 , ∀(x, u, v) ∈ Ω× < u, u > γi ≥ 0(i = 1, 2), (3.49) 69 g(x, u, v) = f (x, u, −v/k), gv ≡ ∂g/∂v Hơn nữa, ta ký hiệu: λ0 giá trị riêng nhỏ toán giá trị riêng ∆φ + λφ = Ω B[φ] = ∂Ω k = max k(x), k = k(x), x∈Ω x∈Ω M1 = max |fu (x, u, v)|, m1 = (x,u,v)∈Q M2 = max [−k −1 (x)fv (x, u, v)], m2 = (x,u,v)∈Q |fu (x, u, v)|, (x,u,v)∈Q [−k −1 (x)fv (x, u, v)], (x,u,v)∈Q Q = Ω × S(u, u) Ta có định lý hội tụ sau Định lý 3.10 Giả sử u, u cặp nghiệm nghiệm (3.43) giả thiết (3.49) thỏa mãn Với loại đơn điệu f, dãy (u(m) , v (m) ) (u(m) , v (m) ) mô tả (3.45)- (3.48) với (γ1∗ , γ2∗ ) = (γ1 , γ2 ) thỏa mãn tính chất đơn điệu (u, v) ≤ (u(m) , v (m) ) ≤ (u(m+1) , v (m+1) ) ≤ (u(m+1) , v (m+1) ) ≤ (u(m) , v (m) ) ≤ (u, v) với m = 0, 1, 2, , tồn hàm (u, v) (u, v) thỏa mãn (u, v) ≤ (u, v) cho dãy (u(m) , v (m) ) (u(m) , v (m) ) tương ứng hội tụ tới (u, v) (u, v) thỏa mãn (u, v) ≤ (u, v) ≤ (u, v) Hơn nữa, ta có: (i) Nếu f (x, u, v) khơng giảm đơn điệu theo u với (x, u, v) ∈ Ω × S(u, u) (u, v) (u, v) nghiệm (3.44) < u, u > λ0 (λ0 − M2 ) > M1 /k λ0 (λ0 − m2 ) < m1 /k (3.50) (u, v) = (u, v)(= (u∗ , v ∗ )) (u∗ , v ∗ ) nghiệm toán (3.44) < u, u > (ii) Nếu f (x, u, v) không tăng đơn điệu theo u với (x, u, v) ∈ Ω × S(u, u) thỏa mãn điều kiện (3.50) (u, v) = (u, v)(= (u∗ , v ∗ )) (u∗ , v ∗ ) nghiệm toán (3.44) < u, u > 70 Định lý 3.11 Giả sử điều kiện Định lý 3.10 thỏa mãn Gọi (γ1 , γ2 ) cặp số thỏa mãn γ1 ≥ γ1 γ2 ≥ γ2 Ký hiệu u(m) , v (m) , u(m) , v (m) u (m) , v (m) , u (m) , v (m) dãy từ (3.45)- (3.48) với tương ứng (γ1∗ , γ2∗ ) = (γ1 , γ2 ) (γ1∗ , γ2∗ ) = (γ1 , γ2 ) ta có (u (m) , v (m) ) ≤ (u(m) , v (m) ), (u (m) , v (m) ) ≥ (u(m) , v (m) ), m = 1, 2, (3.51) Kết so sánh (3.51) tốc độ hội tụ phép lặp đánh giá sai số phương pháp Năm 2007, Wang [46] nghiên cứu tương tự rời rạc toán (3.43) phương pháp sai phân hữu hạn Giả sử xi điểm lưới Ω Ký hiệu ui = u(xi ), vi = v(xi ), ki = (j) k(xi ), Fi (ui , vi ) = f (xi , u(xi ), −v(xi )/k(xi )), gi = g j (xi ) Áp dụng xấp xỉ sai phân trung tâm cấp hai toán tử ∆ sử dụng xấp xỉ phù hợp với toán tử biên B , ta xấp xỉ sai phân hữu hạn toán (3.43) dạng AU = BV + G(1) , (3.52) AV = F (U, V ) + G(2) , U = (u1 , u2 , , uN )T V = (v1 , v2 , , vN )T F (U, V ) = (F1 (u1 , v1 ), F2 (u2 , v2 ), , FN (uN , vN ))T với A ma trận cấp N × N liên quan tới toán tử biên elliptic tốn (3.43), B ma trận đường chéo khơng âm xác định B = diag(k1−1 , k2−1 , , kn−1 ) Bài báo phân tích sai số tốc độ hội tụ phương pháp toán (3.52) tương tự toán (3.43) 71 Trở lại báo [10], xét toán giá trị biên (3.25) Xét trình lặp tìm ϕ đồng thời tìm u: Cho ϕ0 ∈ B[0, M ], chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0), x ∈ Ω (3.53) Biết ϕk in Ω (k = 0, 1, ) giải liên tiếp hai toán ∆vk = ϕk , vk = 0, ∆uk = vk , uk = 0, x ∈ Ω, (3.54) x ∈ Γ, x ∈ Ω, (3.55) x ∈ Γ Cập nhật ϕk+1 = f (x, uk , vk ) (3.56) Định lý 3.12 Với giả thiết Định lý 3.8 (hoặc Định lý 3.9) phương pháp lặp hội tụ với tốc độ cấp số nhân có đánh giá sai số ||uk − u|| ≤ CΩ2 qk ϕ1 − ϕ , (1 − q) (3.57) u nghiệm xác tốn (3.25) q định nghĩa (3.38) Thực nghiệm số phương pháp lặp trên, sử dụng lược đồ sai phân tốn tử Laplace ∆ thay xấp xỉ sai phân trung tâm cấp hai Λ Ký hiệu ωh γh tập điểm tập điểm biên lưới miền Ω Xét phiên rời rạc phương pháp lặp (3.53)-(3.56) Cho ϕh0 (x) = f (x, 0, 0), x ∈ ωh (3.58) 72 Biết ϕhk in ωh (k = 0, 1, ) giải liên tiếp hai toán Λvkh = ϕhk , vkh = 0, Λuhk = vkh , uhk = 0, x ∈ ωh , (3.59) x ∈ γh , x ∈ ωh , (3.60) x ∈ γh Cập nhật ϕhk+1 = f (x, uhk , vkh ), x ∈ ωh , (3.61) Các kết lý thuyết minh họa qua số ví dụ cho thấy phương pháp tốc độ hội tụ nhanh phương pháp Wang [46], [47] Kết luận chương Trong chương 3, chúng tơi trình bày phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, nhất) nghiệm phương trình đạo hàm riêng, vấn đề tồn tại, tính dương nghiệm thiết lập cho số dạng phương trình phi tuyến cụ thể cơng cụ giải tích phi tuyến Cách tiếp cận chương áp dụng thành cơng nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng Trong đó, phương pháp lặp tìm nghiệm đánh giá hội tụ phương pháp 73 KẾT LUẬN CHUNG Đề tài nghiên cứu số phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn Đặc biệt, cách tiếp cận khác đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm vế phải, xét miền giới nội, không cần đến điều kiện tăng trưởng vô hàm vế phải, điều kiện Nagumo Các kết đề tài bao gồm: • Thiết lập tồn nghiệm số tính chất nghiệm tốn điều kiện dễ kiểm tra • Xây dựng phương pháp lặp giải toán chứng minh hội tụ phương pháp • Đưa số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết Hướng phát triển • Nghiên cứu giải tốn biên phi tuyến phương trình vi phân cấp cao với điều kiện biên phong phú khác • Nghiên cứu giải tốn biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn cấp cao với số loại điều kiện biên • Ứng dụng phương pháp số mơ hình tốn học vật lý 74 Tài liệu tham khảo [1] Dang Quang A (2006), "Iterative method for solving the Neumann boundary value problem for biharmonic type equation", J Comput Appl Math., 196, pp 634–643 [2] Dang Quang A, Dang Quang Long, Ngo Thi Kim Quy (2017), "A novel efficient method for fourth order nonlinear boundary value problems", Nu- merical Algorithms, 76(2), pp 427-439 [3] Dang Quang A, Ngo Thi Kim Quy (2018), "New fixed point approach for a fully nonlinear fourth order boundary value problem", Boletim da So- ciedade Paranaense de Matemática, v 36(4), pp 209-223 [4] Dang Quang A (1999), "Comparison of the solutions of elliptic equation with various boundary conditions", Proceedings of the NCST of Vietnam, 11(2), pp 15-22 [5] Dang Quang A (1994), "Boundary operator method for approximate solution of biharminic type equation", Vietnam Journal of Mathematics, 22, pp 114-120 [6] Dang Quang A (1998), "Mixed boundary-domain operator in approximate solution of Biharmonic type equation", Vietnam Journal ò Mathematics, 26(3), pp 243-252 75 [7] Dang Quang A, Le Tung Son (2007), "Iterative method for solving a mixed boundary value problem for biharmonic type equation", In book: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis, Eds N.M Chuong et al , World Scientific, pp 103-113 [8] Dang Quang A, Le Tung Son (2009), "Iterative method for solving a problem with mixed boundary conditions for biharmonic equation", Advances in Applied Mathematics and Mechanics, 1(5), pp 683-698 [9] Dang Quang A, Mai Xuan Thao (2013), "Iterative method for solving a problem with mixed boundary conditions for biharmonic equation arising in fracture mechanics", Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, 31(1), pp 65-78 [10] Dang Quang A, Truong Ha Hai (2016), "Computational method for a fourth order nonlinear elliptic boundary value problem", 3rd Na- tional Foundation for Science and Technology Development Conference on Information and Computer Science (NICS), 62-67, DOI: 10.1109/NICS.2016.7725669 [11] Abramov A A., Ulijanova V I (1992), "A method for solving biharmonictype equations with a singularly occurring small parameter", J of Comp Math and Math Phys., 32(4), pp 481 - 487 [12] Aftabizadeh A R (1986), "Existence and uniqueness theorems for fourthorder boundary value problems", J Math Anal Appl., 116, pp 415–426 [13] Alves E., Ma T F., Pelicer M L (2009), "Monotone positive solutions for a fourth order equation with nonlinear boundary conditions", Nonlin Anal., 71, pp 3834–3841 76 [14] An Y., Liu R (2008), "Existence of nontrivial solutions of an asymptotically linear fourth-order elliptic equation", Nonlinear Analysis, 68, pp 33253331 [15] Bai Z., Ge W., Wang Y (2004), "The method of lower and upper solutions for some fourth-order equations", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 5(1), pages [16] Bai Z (2007), "The upper and lower solution method for some fourth-order boundary value problems", Nonlin Anal., 67, pp 1704-1709 [17] Dunninger D R (1972), "Maximum principles for solutions of some fourthorder elliptic equations", J Math Anal Appl., 37, pp 655-658 [18] Ehme J., Eloe P W., Henderson J (2002), "Upper and lower solution methods for fully nonlinear boundary value problems", J Differential Equa- tions, 180, pp 51–64 [19] Feng H., Ji D., Ge W., (2009), "Existence and uniqueness of solutions for a fourth-order boundary value problem", Nonlinear Anal., 70, pp 3561–3566 [20] Gilbarg D., Trudinger N S (1983), Elliptic partial differential equations of second order, Spinger-Verlag, Berlin [21] Glowinski R., Pironneau O (1979), "Numerical methods for the first biharmonic equation and for the two-dimensional Stokes problem", SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics, 21(2), pp 167-212 [22] Hu S., Wang L (2014), "Existence of nontrivial solutions for fourth-order asymptically linear elliptic equations", Nonlinear Analysis, 94, pp 120132 77 [23] Kang P., Wei Z (2012), "Existence of positive solutions for systems of bending elastic beam equations", Electron J Differential Equations, 19, pp 1-9 [24] Li Y (2010), "A monotone iterative technique for solving the bending elastic beam equations", Applied Mathematics and Computational, 217, pp 2200-2208 [25] Li Y (2013), "Existence results for a fully fourth-order boundary value problem", Journal of Function Spaces and Applications, Article ID 641617, pages [26] Li Y (2016), "Existence of positive solutions for the cantilever beam equations with fully nonlinear terms", Nonlinear Anal Real World Appl., 27, pp 221–237 [27] Liu X., Huang Y (2010), "On sign-changing solution for a fourth-order asymptotically linear elliptic problem", Nonlinear Analysis, 72, pp 22712276 [28] Liu Y., Wang Z P (2007), "Biharmonic equations with asymptotically linear nonlinearities", Acta Math Sci 27B(3), pp 549-560 [29] Ma R., Zhang J., Fu S (1997), "The method of lower and upper solutions for fourth-order two-point boundary value problems", J Math Anal Appl., 215, pp 415–422 [30] Ma T F (2003), "Existence results and numerical solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions", Appl Numer Math., 47, pp 189–196 78 [31] Ma D X., Yang X Z (2009), "Upper and lower solution method for fourthorder four-point boundary value problems", Journal of Computational and Applied Mathematics, 223, pp 543-551 [32] Meller N., Dorodnitsyn A (1971), "Application of the small parameter method to the solution of Navier-Stokes equations", Fluid Dynamics Trans 5(2), pp 67–82 [33] Minhós F., Gyulov T., Santos A I (2009), "Lower and upper solutions for a fully nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 71, pp 281–292 [34] Palsev B V (1966), "On the expansion of the Dirichlet problem and a mixed problem for biharmonic equation into series of decomposed problems", J of Comp and Math Phys., 6(1), pp 43-51,(Russian) [35] Pao C V (1992), Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum Press, New York [36] Pao C V (2000), On fourth-order elliptic boundary value problems, Proc Amer Math Soc 128, 1023-1030 [37] C.V Pao, (2001), "Numerical methods for fourth order nonlinear elliptic boundary value problems" Numer Methods Partial Differential Equa- tions, 17, pp 347-368 [38] Pei M., Chang S.K (2011), "Existence of solutions for a fully nonlinear fourth-order two-point boundary value problem", J Appl Math Comput 37, pp 287-295 [39] Protter M H., Weinberger, (1968), Maximum principles in diffefential equations, Prentice- Hall 79 [40] Samarskii A (2001), The theory of difference schemes, Marcel Dekker, Inc [41] Samarskii A., Nicolaev E (1989), Numerical methods for grid equations, vol 1: Direct Methods, Birkhauser, Basel [42] Samarskii A., Nicolaev E (1989), Numerical methods for grid equations, vol 2: Iterative Methods, Birkhauser, Basel [43] O.A Teterina, (2013), The Green’s Function Method for Solutions of Fourth Order Nonlinear Boundary Value Problem, A Thesis Presented for the Master of Science Degree The University of Tennessee, Knoxville [44] Wang Y M (2005), "On fourth-order elliptic boundary value problems with nonmonotone nonlinear function", J Math Anal Appl 307, pp 1-11 [45] Wang Y M (2006), "Convergence analysis of a monotone method for fourth-order semilinear elliptic boundary value problems", Applied Math- ematics Letters, 19, pp 332-339 [46] Wang Y M (2007), "Error and stability of monotone method for numerical solution of fourth-order semilinear elliptic boundary value problems", Journal of Computational and Applied Mathematics, 200, pp 503-519 [47] Wang Y M (2007), "Monotone iterative technique for numerical solutions of fourth-order nonlinear elliptic boundary value problems", Applied Nu- merical Mathematics, 57, pp 1081-1096 [48] Zeidler E (1986), Nonlinear functional analysis and its applications, I: Fixed-Point Theorems", Springer ... chọn đề tài: "Phương pháp lặp đơn điệu giải số toán biên phi tuyến" Mục tiêu phạm vi nghiên cứu đề tài Mục tiêu chung đề tài đưa phương pháp lặp đơn điệu giải số tốn biên phi tuyến phương trình... bày phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp bốn 7 Chương trình bày phương pháp lặp giải số toán biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 8 Chương Một. .. Green số toán 22 Chương Phương pháp lặp giải số tốn biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp bốn 25 2.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải số toán biên phương