Đang tải... (xem toàn văn)
Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)Một số chứng minh định ký Fermat nhỏ và định lý Wilson (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ MINH HẢI MỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ ĐỊNH LÝ WILSON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ MINH HẢI MỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ ĐỊNH LÝ WILSON Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH THÁI NGUYÊN - 2017 iii Mục lục Lời mở đầu 1 3 Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson 1.1 Một số kết đồng dư 1.2 1.3 Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ Chứng minh ban đầu Định lý Wilson 15 1.4 Ứng dụng giải số tập 28 Mở rộng Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson 35 2.1 2.2 Một dạng tổng quát Định lý Fermat nhỏ Một dạng tổng quát Gauss Định lý Wilson 35 39 2.3 2.4 Một số chứng minh tổ hợp Ứng dụng 44 50 Lời mở đầu Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson hai định lý hữu ích, tiếng toán học Chúng ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhau, nhiên luận văn này, tác giả tập trung vào trình bày chứng minh ban đầu hai định lý mở rộng chúng, chứng minh tổ hợp gần hai Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Thông qua việc chứng minh tổ hợp, tác giả muốn thể gần nhà toán học tiếp tục nghiên cứu tìm cách khác chứng minh hai định lý suốt hai kỷ qua Mục đích nghiên cứu Trình bày chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson dạng mở rộng chúng, sau trình bày thêm số chứng minh tổ hợp gần Đồng thời trình bày số ứng dụng hai định lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sơ lược lịch sử chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson - Trình bày mở rộng Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson - Một số ứng dụng hai định lý Dự kiến đóng góp Từ lịch sử chứng minh ban đầu hai định lý mở rộng chúng, chứng minh tổ hợp gần hai Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Thông qua việc chứng minh tổ hợp, muốn thể nhà toán học tiếp tục nghiên cứu tìm cách khác chứng minh hai định lý suốt hai kỷ qua Đây nét so với kiến thức học bậc Đại học Ngoài phần mở đầu kết luận, bố cục Luận văn dự kiến có 02 chương Chương Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Trình bày sơ lược lịch sử chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Chương Mở rộng Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Trình bày mở rộng Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson, ứng dụng hai định lý Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Đình Bình Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K9B2 (khóa 2015–2017); Nhà trường phòng chức Trường; Khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi học tập nghiên cứu Do hạn chế nhiều mặt nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bảo, góp ý thầy bạn Tác giả Bùi Thị Minh Hải Chương Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Mục đích chương trình bày sơ lược lịch sử chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Trong suốt luận văn, nhiều khái niệm kết lý thuyết số tổ hợp sử dụng chứng minh Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Những chứng minh định lý sử dụng tìm thấy hầu hết sách lý thuyết số tổ hợp Những bổ đề quan trọng trình bày chương 1.1 Một số kết đồng dư Trong mục này, tác giả trình bày số kết đồng dư, làm sở để chứng minh Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Những kết mục tác giả tham khảo từ [1],[2] Định nghĩa 1.1.1 Cho a, b m số nguyên, m > Nếu m|(a − b) ta nói a đồng dư với b (mod m) ta viết a≡b (mod m) Các khái niệm đồng dư lần thức giới thiệu Gauss chương thứ Disquisitiones Aritmeticae Ơng chọn kí hiệu ≡ gần gũi với đại số [5, p.65] Bổ đề 1.1.2 Nếu ac ≡ bc (mod m) gcd (c, m) = 1, a ≡ b (mod m) Bổ đề 1.1.3 (Định lý Nhị thức) Nếu n số nguyên dương n n (x + y) = ∑ k=0 với n k = n k xn−k yk , n! số tổ hợp chập k n phần tử k!(n − k)! Bổ đề 1.1.4 (Định lý đa thức) Nếu k1 , k2 , , km n số nguyên không âm cho với n ≥ k1 + k2 + + km = n, (x1 + x2 + + xm )n = ∑ n k1 +k2 + +km =n với n k1 , k2 , , km = k1 , k2 , , km km x1k1 x2k2 xm , n! số hoán vị lặp n phần tử k1 !k2 ! km ! Bổ đề 1.1.5 (Định lý phần dư Trung Hoa) Cho m1 , m2 , , mr với r ≥ số tự nhiên cho chúng nguyên tố đơi có tích m Khi hệ r phương trình đồng dư tuyến tính: x ≡ a1 (mod m1 ) x ≡ a2 (mod m2 ) x ≡ ar (mod mr ) có nghiệm (mod m) Bổ đề 1.1.6 Nếu a b số nguyên cho a ≥ b > 0, tồn số nguyên q, r cho a = qb + r ≤ r < b Bổ đề 1.1.7 Cho v bậc x (mod N) Nghĩa v số nguyên dương nhỏ cho xv ≡ (mod N) Khi hệ {1, x, x2 , , xv−1 } phân biệt (mod N) nguyên tố với N Bổ đề 1.1.8 Cho d = gcd(a, m) Nếu d|b, ax ≡ b (mod m) có xác d nghiệm (mod m) Bổ đề 1.1.9 Nếu a2 ≡ 1(mod p) gcd(a, p) = a ≡ (mod p) a ≡ p − 1(mod p) Bổ đề 1.1.10 Nếu p số nguyên tố < j < p p ước Chứng minh Ta có = p! , < j < p nên khơng có p mẫu j!(p − j)! p , có nhân tử p tử số j thức Do p j p j p j ≡ (mod p) nên suy p| p j Bổ đề 1.1.11 Nếu p số nguyên tố ≤ k ≤ p − p−1 (−1)k (mod p) Sử dụng phương pháp quy nạp p−1 Đặt S = {k| ≡ (−1)k (mod p)} k Ta có ∈ S Khi p−1 k−1 p−1 = p − ≡ −1 (mod p) Giả sử k − ∈ S ≡ (−1)k−1 (mod p) Theo đẳng thức Pascal, p−1 k = p p−1 − k k−1 k ≡ Do ta có p−1 ≡− k p−1 k−1 ≡ (−1)(−1)k−1 (mod p) ≡ (−1)k (mod p) Do k ∈ S Bổ đề 1.1.12 Cho gcd(r, n) = r1 , r2 , , rϕ(n) số nguyên dương bé n nguyên tố với n Nếu r nguyên thủy n, r, r2 , , rϕ(n) đồng dư mođun n với r1 , r2 , , rϕ(n) theo thứ tự, với ϕ(n) số số nguyên dương bé n nguyên tố với n Bổ đề 1.1.13 Số nguyên n > có nguyên thủy n = 2, 4, pe 2pe với p số lẻ, với nguyên thủy n định nghĩa sau: Nếu r, n số nguyên tố nhau, n > ordn = ϕ(n) gọi nguyên thủy modunlo n Bổ đề 1.1.14 (Công thức Euler) Cho a n số nguyên không âm với a ≥ n Khi n! = an − n (a − 1)n + + + (−1)n n (a − 2)n − n n n (a − 3)n (a − n)n Công thức Euler gốc chứng minh theo phương pháp quy nạp Chứng minh sử dụng nguyên lý Bù - Trừ Chứng minh (How and Turnage, 2007) Ban đầu ta đếm số cách khác để đặt n vật khác vào a ô khác nhau, với điều kiện n ô không phép để trống n ≤ a Khi có n cách chọn với đầu tiên, n − cách chọn với ô thứ hai Tiếp tục có n! cách để đặt vật vào Bây ta tìm câu trả lời theo cách khác Đầu tiên, xét tập U tập bao gồm tất cách xếp vật khác vào ô khác khơng có hạn chế Khi |U| = an , với n vật có a cách chọn ô Gọi Pi tính chất mà thứ i rỗng Sử dụng nguyên lý Bù - Trừ, ta phân phối vật vào khơng chứa tính chất tính chất P1 , P2 , , Pn Gọi N(Pi ) số cách phân phối khơng chứa tính chất Pi N(Pi ) số cách phân phối chứa tính chất Pi Khi sử dụng nguyên lý Bù - Trừ N(P1 P2 · · · Pn ) = an − ∑ N(Pi ) + ∑ N(Pi Pj ) − ∑ N(Pi Pj Pk ) + · · · + (−1)n N(P1 P2 · · · Pn ) n cách chọn trống có (a − 1)n cách xếp n vật vào a − lại Do ∑ N(Pi ) = n (a − 1)n Đầu tiên ta tính ∑ N(Pi ) Có Tương tự, ∑ N(Pi Pj ) = n (a − 2)n , ∑ N(Pi Pj Pk ) = n (a − 3)n tiếp n cách chọn k tính k chất có (a − k)n cách xếp n vật vào (a − k) ô Do tục Do tổng quát với k = 1, 2, , n có N(P1 P2 · · · Pn ) = an − n (a − 1)n + n (a − 2)n − · · · + (−1)n n n (a − n)n , hay suy n! = an − 1.2 n (a − 1)n + n (a − 2)n − · · · + (−1)n n n (a − n)n Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ Định lý 1.2.1 (Định lý Fermat nhỏ) Nếu p số nguyên tố, a số nguyên gcd(a, p) = a p−1 ≡ (mod p) Định lý Fermat nhỏ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất kiểm tra Fermat ... lịch sử chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Chương Mở rộng Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Trình bày mở rộng Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson, ứng dụng hai định lý Luận văn thực... minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Trong suốt luận văn, nhiều khái niệm kết lý thuyết số tổ hợp sử dụng chứng minh Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson Những chứng minh định lý sử dụng... bày số ứng dụng hai định lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sơ lược lịch sử chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson - Trình bày mở rộng Định lý Fermat nhỏ Định lý Wilson - Một số