NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài NGUYÊN HÀM I Lý thuyết Nguyên hàm  f  x  dx  F  x   C Tính chất -   f  x  dx  '  f  x   f  x  dx  f  x   C  k f  x  dx  k  f  x  dx  k     f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Bảng nguyên hàm  kdx  kx  C  k  const    x dx  x 1 C  1   1   u dx  u 1 C  1  x dx  ln x  C  u dx  ln u  C  e dx  e  e dx  e x x C u u C ax  a dx  ln a  C  cos xdx  sin x  C au  a dx  ln a  C  cos udx  sin u  C  sin xdx   cos x  C  sin udx   cos u  C x  cos x  sin x dx  tan x  C  cos dx   cot x  C  sin a2 x x a2  x2  a  x dx  arcsin a   C dx ax  a  x  2a ln a  x  C x a 2 2  x  a dx  x  a  ln x  x  a  C u Hoàng Văn Bình u  u dx  tan u  C dx   cot u  C  arcsin x C a a x dx x  a  x  a arctan a  C dx  x  k  ln x  x  k  C 2 Các phương pháp tìm nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số  f  x  dx  F  x   C  f u  x  u '  x  dx  F u  x   C Nếu Đặt t  u  x   dt  u '  x  dx Khi  f t  dt  F t   C  F u  x   C Cách đặt biến: Dạng 1: Đặt biến thường   f  ax  b  dx đặt t  ax  b     f  x dx đặt t  x   f  tan x  dx đặt t  tan x   f  cot x  dx đặt t  cot x   f  ln x  dx đặt t  ln x x   f  e  e dx đặt t  e x  f  x  xdx đặt t  x n 1  n 1 f  sin x  cos xdx đặt t  sin x x x   f  cos x  sin xdx đặt t  cos x Dạng 2: Đặt lượng giác:   a2  x2   x  a tant     2  x  a cot t  a x    a  x2  a2  x2  x  a sin t      x  a cos t  2  a x a   x2  a2 x    sin t     x  a x  a   cos t Sau tìm nguyên hàm theo t ta thay ngược lại vào f  x  b Phương pháp nguyên hàm phần Hoàng Văn Bình x Cho hai hàm số u  u  x  v  v  x  liên tục có đạo hàm đoạn  a; b ta có  udv  uv   vdu Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ” c Dạng nguyên hàm hữu tỉ dx - Nguyên hàm dạng:  ax  b  a ln ax  b  C - Nguyên hàm dạng:  ax - Nguyên hàm dạng: P  x  G  x  dx  Nếu Q  x  tích nghiệm đơn Q  x    x  x1  x  x2   x  xn  ta tách P  x  A1  G  x  dx    x  x   x  x1 dx  ln  C với    bx  c a  x1  x2  x  x2 An  A2    dx x  x2 x  xn  Nếu Q  x  tích nghiệm đơn nghiệm bội giả sử Q  x    x  x1  x  x2  x  x3  ta n tách  A P  x Bn1 Bn  A2 B1 B2 d x         dx n 1 n  G  x    x  x1 x  x2 x  x3  x  x 2  x  x3   x  x3     Nếu Q  x  tích nghiệm đơn một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử  x  x1  x  x2   x2  px  q  ,   p  4q  ta tách P  x  A1  G  x  dx    x  x d Dạng nguyên hàm vô tỉ -  Nguyên hàm dạng R  x, Nguyên hàm dạng R  x,  a  x  đặt x  a tant a x  a  đặt x  cos t  x  a sin t Nguyên hàm dạng R x, a  x đặt   x  a cos t 2 2 -  ax  Nguyên hàm dạng R  x,  đặt x  a cos 2t a  x   -  ax  b ax  b  Nguyên hàm dạng R  x, n  đặt t  n cx  d cx  d   Hoàng Văn Bình  A2 Bx  C   dx x  x2 x  px  q  - Nguyên hàm dạng R   ax  b   x n  x  đặt t  ax  b e Dạng nguyên hàm lượng giác  m, n   - Nguyên hàm dạng  sin n x.cos xmdx  m, n chẵn dùng cơng thức hạ bậc  m lẻ đặt u  sin x , n lẻ đặt u  cos x f Một số dạng tích phân đặc biệt - Cho hàm số f  x  liên tục hàm chẵn  a; a  ta có Cho hàm số f  x  liên tục hàm lẻ  a; a  ta có a a a  f  x  dx  2 f  x  dx a  f  x  dx  a - - Cho hàm số f  x  liên tục hàm chẵn   ;  ta có   Cho hàm số f  x  liên tục 0;  ta có  2 a f  x dx   a x  0 f  x  dx     f  sin x  dx   f  cos x  dx 0 II Sử dụng máy tính cầm tay Bấm máy tính sau: d  DA dx x X  DB Tích phân hữu tỉ  Dạng P  x  Q  x bậc P  x   Q  x  Ta thực hiện phép chia đa thức Áp dụng phương pháp r100 Ta giả sử Q  x    x  x1  x  x2  x  x3  (nhiều hay ít làm tương tự): P  x A B C     R  x  R  x  biểu thức dư phép chia Q  x  x  x1 x  x2 x  x3   P  x d   A    dx   x  x2  x  x3   x  x1    P  x d   Tìm  B    dx   x  x1  x  x3   x  x2    P  x C  d    dx   x  x1  x  x2   x  x3  Hoàng Văn Bình Tìm R  x   P  x d  A B C  sử dụng cách tách 100      dx   x  x1  x  x2  x  x3  x  x1 x  x2 x  x3  x  100  Dạng f  x   Cách Bấm: A B ax  b  cần tách đưa dạng x  x1 x  x2  x  x1  x  x2  aX  b d  X  x1  X  x2   dx  x X r X  x1  A r X  x2  B Cách Bấm: aX  b  X  x1   X  x1  X  x2  r X  x1  0, 0000001  A r X  x2  0, 0000001  B  A   Cách 3: Bấm  B    d  ax  b    dx  x  x2  x  x1 d  ax  b    dx  x  x1  x  x2 Cả ba cách tìm nguyên hàm cho dạng: A ln x  x1  B ln x  x2  C VD Tách F  x   F  x  Bấm: x2  x  thành phân thức tối giản x3  x  14 x  x2  2x  x2  2x  A B C     x  x  14 x   x  1 x   x   x  x  x  X  2X  d  X  1 X   X    dx  r X  hệ số A  r X  hệ số B  7 Hoàng Văn Bình x X r X  hệ số C  x2  2x     Vậy F  x   x  x  14 x  x  x  x  VD Tính  1 dx x 1 Đặt t  x   3t dt  dx   3t dt 1 t Thực hiện phép chia máy tính: 3t t 1 Ta nhẩm lấy hệ số cao tử chia cho mẫu ta 3t  3t t Nhập hình: r X  100 ta Ta để ý bậc tử chia bậc mẫu bậc nên ta tách Sửa hình: Ta Vậy 3  101 t  3t 3t 3t  3t      3t  3ln  t  C t 1 1 t t 1 Hoàng Văn Bình 300 hệ số tự 3 101  3  x  1 2  3 x   3ln  x   C VD Tính nguyên hàm Ta biến đổi:  2sin x dx x  cos x  2sin x.cos  2sin x  2sin x cos x  2sin x cos x dx   dx   dx 4 2sin x cos x  cos x tan x  cos x x  cos x  2sin x.cos  tan x tan x   tan x   cos x dx   d  tan x  tan x  cos x tan x  Ta thực hiện phép chia đa thức tử chia cho mẫu: Đặt X  tan x  X  2X 1 2X 1 X2  X Ta chia bậc cao tử cho mẫu ta 2X Nhập hình: r X  100 Vì thương phép chia bậc 1, mà hạng tử chứa bậc X nên ta 150  201 Sửa hình: r X  100 Tách 1  804 X  Vậy ta thương 1 1 X   tan x   4 2X 1 4 tan x  1 1  Suy   tan x    d  tan x   tan x  tan x  ln tan x   C 4 tan x   4 2 Ta thực hiện Hoàng Văn Bình  Tách phân thức ax  b a K   cx  d c cx  d  aX  b a     cX  d  CALC X  10 K Nhập máy tính:   cX  d c  Khi đó: ax  b a  K  cx  d dx    c  cx  d  dx  VD Tách F  x   ax  Kc ln cx  d c 2x 1 2x 1 2x 1 K  1 2x 1 2x 1  2x 1   1  x  1 r x  10  K  Bấm   2x 1  Vậy F  x   2x 1  1 2x 1 2x 1  Tách phân thức dạng:  A P  x Bn1 Bn  A2 B1 B2 d x         dx n 1 n  G  x    x  x1 x  x2 x  x3  x  x 2  x  x x  x     3   VD Phân tích hàm số F  x   Ta có x  x  1 x  1  x  x  1 x  1 A B C   x  x   x  12 Ta tìm A, C dễ tìm B Bấm: x d  x  1  x  1    dx  x X Tìm A r X  ta A  Để tìm C ta bấm x  x  1  x  1 r X  1, 00001 ta C  Hoàng Văn Bình  x  1 2 thành phân thức tối giản Để tìm B ta bấm: x  x  1  x  1  x  1 r X  1, 00001 ta sau trừ đem chia cho x 1 B xấp xỉ 1 vậy 1 Vậy F  x   x  x  1 x  1  1    x  1  x  1  x  12 Bài phức tạp tìm B khơng r bình thường Các bạn ý theo dõi kỹ chỗ tìm B : r kết trừ cho phần nguyên số Rồi đem chia cho mẫu phân thức ta cần tìm hệ số VD Tách F  x   F  x  thành phân thức tối giản x 1 A Bx  C   x 1 x 1 x  x  Tìm hệ số A bấm d  x  1 dx   x 1 Tìm Bx  C ta có:  x  x  1   Bx  C  x  1 1 Bx  C      x  x  1   Bx  C  x  1  x   x  1 x  x  x3   Bx  C  1 Vậy Bx  C  Hoàng Văn Bình  x  x  1 Đến để tìm B, C ta vào hệ w2 nhập hàm bên r x  i x 1 1 x 3 1 x 1 Vậy F  x     x  3( x  1) x  x  III Ví dụ VD Tìm ngun hàm hàm số f  x   x  x  A F  x   B F  x   x3  x  x  C 3 x  2x  x  C C F  x   x   C D F  x   x3  x  x  C Ta có:  f  x dx    x  x  1 dx   x dx   2 xdx   1dx  VD Nguyên hàm hàm số f  x   A ln x  ln x  C Ta có: C x 1 5x  B  ln x   C C 1 ln x   C  ax  b dx  a ln ax  b  C Áp dụng: 1  5x  dx  ln 5x   C VD Tìm nguyên hàm f  x     x  là: A D ln x   C x  1 dx   dx   dx  ln x   C  x x x  ln x   C Ta có: C ln x   f  x dx    x  x VD Nguyên hàm hàm số f  x   A 1  x x2 B ln x   C x 1 x3  x  x  C Chọn B  3  x  5 C C   x   C Ta có:  u dx  Hoàng Văn Bình u 1 C  1 B 3  x  5 C D 4   x   C D ln 5x   C e e e e e B  x 1 d  x  1 A 1 x3  x dx  1  x  x   dx  1 x dx  1 x  dx  1 x dx  1 x  e 1     ln x  ln  x  1    ln  e2  1  ln  2  1 e  a  b  c 1 VD Giả sử  e2 x  x3  5x2  x   dx   ax3  bx  cx  d  e2 x  C Khi a  b  c  d A – B C D Bấm sau: tách 1009803  x3  x  x  Vậy a  b  c  d  Chọn C e VD Cho I   ln x  x  ln x  1 A S  dx  a ln  b b với a, b, c  Z , tối giản Tính S  a  b  c c c C S  B S  D S  Gán tích phân vào A  A  a ln  b b   a ln  A Ta w7 c c a   Ta thấy VD Cho I   Hoàng Văn Bình x3 dx  ln a  b ln c, x  3x  b   a  2, b  1, c   a  b  c  Chọn B c  a, b, c   Tính S  a  2b  c A B C D – Gán tích phân vào A Ta có A  ln a  b ln c  e A  a.c b Vì a, b, c  nên ta chọn hàm sau e Ax  a x cbx Ta nhân thêm x vào mũ ta nhận kết đẹp Vào w7 Ta Khi a c 2b  VD Cho I   A – 3  32.23  a  3, b  , c   S  a  2b  c  dx  a x   b ln 2x 1   B – Ta gán cận cho nguyên hàm:  dx  a  b ln  b ln  a  b  ln  ln   A 2x 1  Với A  Hoàng Văn Bình  x    C Tính a  b C D Đến đây, ta chọn phương trình a  b  ĐÁ giải hệ chọn tiếp một cặp cận nữa thay vào Ở xin phép dựa vào đáp án chọn đáp án cho hệ số a, b đẹp Vậy a  1, b  4 Vậy a  b  3 Bài ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I Lý thuyết Tính diện tích hình phẳng Cho hàm số y  f  x  liên tục không âm đoạn  a; b Khi diện tịch hình thang cong giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b b  f  x  dx a b Diện tích S hình phẳng  D  giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a b Diện tích S hình phẳng  D  giới hạn y  f  x  , y  g  x  , x  a , x  b S   f  x   g  x  dx a Tính f  x   g  x  có nghiệm x1 , x2 , x3 ,   a; b  Khi tốn khơng cho cận cận hai nghiệm x1 xn Tính thể tích vật tròn xoay Thể tích tròn xoay tạo mặt phẳng tròn xoay giới hạn đường y  f  x  , y  0, x  a, x  b b quay quanh trục Ox V    f  x  dx a Thể tích tròn xoay tạo mặt phẳng tròn xoay giới hạn đường y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b b quay quanh trục Ox V    f  x   g  x  dx a Tính quãng đường Hoàng Văn Bình b Cho phương trình vận tốc V  f  t  quãng đường nguyên hàm vận tốc S   f  t  dt a Một số ứng dụng khác R  Tính diện tích chỏm cầu có bán kính R đường cao h : S  2 R  h2 Rh Thể tích hình cầu hình tròn  C  : x  y  R quay quanh trục Ox : 4 R3 V     R  x  dx  2   R  x  dx  R R R 2 Thể tích hình elip  E  : 2 x2 y   quay quanh trục Oy a b b b   a2 y2  a2 y2  4 a 2b V     a   d y  2   a   dy  b  b  0 b  I Ví dụ VD Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  x  y  3x A C B D x  x  3x     Diện tích cần tính x  x  x  dx  VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn y  x  x y   x  x A S  37 12 B S  x  x  x  x  x   x  Bấm  x  2  2 x3  x  x dx  C S  D S  13 81 12 37 12 VD Cho đồ thị y  f  x  hình vẽ sau Diện tích S hình phẳng (phần gạch chéo) xác định A S   f  x  dx 2 Hoàng Văn Bình B S   2 f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx 1 D S   f  x  dx   f  x  dx 1 2 2 2 nT  f  x  dx   f  x  dx Chọn C hi Diện tích có giá trị dương nên S    f  x  dx   f  x  dx  D H oc 2 01 2 C S  B Bấm x  dx  C D iL ie Ta A uO VD Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  x3  1, y  0, x  0, x  B S  37 14 C S  799 300 D S  ro A S  up s/ VD Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  x  3x  y  x  Ta có S   x  x  3dx  Chọn A om /g Phương trình hồnh đợ giao điểm x  3x   x   x  1, x  73 bo A ok c VD Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  y  x  B 12 ce PTHĐGĐ: x2   x   x  3  x2 1  x   w fa Bấm w w 3 Hoàng Văn Bình 73 C 73 D 14 VD Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  , tiếp tuyến A 1; 1 đường thẳng x  Tính diện tích S A S  B S  C S  D S  Phương trình parabol y  x (vì qua  0.0  , 1; 1 ,  1; 1 ) Phương trình tiếp tuyển  P  A y  2 x  2 Vậy diện tích giới hạn S    2 x  1    x  dx   2 x   x dx  1 VD Cho hình phẳng giới hạn đường y  x ln x, y  0, x  e quay xung quanh trục Ox tạo  thành khối tròn xoay tích  be3   Tìm a, b a B a  26, b  A a  27, b  C a  24, b  D a  27; b  ĐK: x  Phương trình hồnh đợ giao điểm x ln x   x  e V    x ln xdx   5e3    27 suy a  27, b  VD Thể tích khối tròn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y   x , y  x, y  quanh trục Ox tính theo công thức sau đây? A V      x  dx    x dx Hoàng Văn Bình B V      x  dx 1 D V    x dx      x  dx C V    xdx     xdx x   x  x   Phương trình hồnh đợ giao điểm  x  ;   2 x   x  2 Vậy ta có: V    x dx      x  dx VD Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x đường thẳng x  trục hồnh Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay  H  quanh trục Ox A V   B V  3 C V   D V  Ta bấm: VD Gọi H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục Ox đường thẳng x   x2 Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình H quanh Ox A  ln B ln Ta có phương trình hồnh đợ giao điểm:  x Thể tích giới hạn: V       x2 0 C  ln D  ln x 0 x0  x2    dx  ln Chọn A  VD Gọi  H  hình phẳng giới hạn hai trục đồ thị, đường thẳng x  đồ thị hàm số y   x3 Tính thể tích khối tròn xoay  H  sinh quay quanh trục Ox A  Hoàng Văn Bình B 23  14 C  14 D 2 Bấm máy tính: Chọn B VD Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  2, y  x  2, x  Tính thể tích V vật thể tròn xoay quay hình phẳng H quanh trục hoành A V  27 B V  9 C V  9 D V  55 Vì đồ thị y   x  nằm dưới Ox nên bị âm Ta lấy đối xứng lên Ox  x  2 Phương trình hồnh đợ giao điểm: x   x      x  1 1 Ta có: V    2   x  dx     x   dx  2 1 55 Chọn D VD Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N  t  Biết N '  t   4000 lúc đầu  0,5t đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng bao nhiêu? A 258.959 B 253.584 C 257.167 D 264.334 Ta có số lượng vi trùng số lượng ban đầu cộng với số lượng tăng 10 ngày tính 10 4000 dt  0,5t sau: 250000   Chọn D VD Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện xã lũ 40 phút với lưu lượng nước thời điểm t giây v  t   10t  500  m3 / s  Hỏi sau xã lũ hồ một lượng nước bao nhiêu? A 5.104  m3  Hoàng Văn Bình B 4.106  m3  C 3.107  m3  D 6.106  m3  2400 Ta có lượng nước là:  10t  500  3.10  m  VD Một ô tô chuyển động với vận tốc 15 m/s người lái đạp phanh Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển đợng chậm dần với vận tốc v  t   5t  15  m / s  Trong t khoảng thời gian tính giây Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh xe dừng hẳn di chuyển m ? A 22,5 m D 4,5 m C 2, 25 m B 45 m Quãng đường nguyên hàm vận tốc Ta có, thời điểm xe dừng hẳn vận tốc 0, suy t  Vậy quãng đường   5t  15 dt  22,5 m VD Mợt mảnh vườn tốn học có dạng hình chữ nhật, chiều dài 16 m chiều rợng m Các nhà tốn học dung hai đường parabol, parabol có đỉnh trung điểm một cạnh dài qua hai đầu mút cạnh dài đối diện Phần mảnh vườn nằm miền giới hạn hai parabol trồng hoa hồng Biết chi phí trồng hoa hồng 45.000 VND / m Hỏi nhà toán học tiền để trồng hoa mảnh vườn đó? A 3322000 VND B 3476000 VND C 2715000 VND D 2159000 VND  Ta gán hệ trục tọa đợ cho mảnh vườn hình vẽ Ta cần phải xác định phương trình hai đường parabol sau tính diện tích mới tìm số tiền Cách viết phương trình parabol máy tính cầm tay: Ta sử dụng chương trình thống kê w3 máy tính: Hoàng Văn Bình Để bắt đầu sử dụng ta ấn w3= Ta viết phương trình parabol úp trước Nhìn đồ thị ta thấy, parabol úp qua ba điểm  0;4  , 8;4  ,  8; 4  Bấm máy tính w33 Ta thấy có hai cợt x nhập hồnh đợ ba điểm parabol qua y nhập tung độ tương ứng ba điểm cột x Ta nhập sau: Nhập xong ấn nút AC Lưu ý: Phương trình parabol ta thường y  Ax  Bx  C , máy tính ngược lại y  Cx  Bx  A Chúng ta hiểu theo máy tính Ấn q15 để tìm hệ số C , B, A Chọn  C  Chọn  B  Chọn  A  Vậy phương trình parabol úp y1  1 x 4 Phương trình parabol ngữa viết tương tự, nhiên hai đồ thị đối xứng qua Ox  y2  x  Đến ta áp dụng tốn tích phân tích diện tích giới hạn hai đồ thị Hoàng Văn Bình Tìm giao điểm hai parabol: 1 2 y1  y2  y1  y2   x   x2    x    x  4 8 Ta tính diện tích nửa sau nhân ta diện tích phần giới hạn hai parabol Sau ta nhân với số tiền trồng hoa Vậy số tiền nhà toán học phải trả 2715000 VND Chọn C VD Ơng B có mợt khu vườn giới hạn một đường parabol một đường thẳng Nếu đặt hệ trục tọa đợ Oxy hình vẽ parabol có phương trình y  x đường thẳng y  25 Ông B dự định dung một mảnh vườn nhỏ chia từ vườn một đường thẳng qua O điểm M parabol để trồng hoa Hãy giúp ông B xác định điểm M cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ A OM  B OM  15 C OM  10 D OM  10 Gọi H điểm có hồnh đợ a hình chiểu điểm M lên Ox Suy phương trình OM OM : y  tan x  ax Ta có OH Ta có  ax x3  ax  x dx       0 3  a a  a3 a3   a   OM  10 VD Người ta dựng một lều vải  H  có dạng chóp lục giác cong hình vẽ Đáy mợt hình lục giác có cạnh 3m Chiều cao SO  6m SO vng góc đáy Các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm đường hình parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến  H  với mợt mặt phẳng  P  vng góc với đáy trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần lều  H  Hoàng Văn Bình A 135 m  C 135 m  B 96 m  D 135 m  Ta xét một mặt phẳng qua SO c1 Ta thấy c1 qua ba điểm A  0;6  , B 1;3 , C 3;0   c1 : y  7 x  x  Rút x  y : x   y  Thể tích lều: 2 37 1 135 V    y   dy  2 4 Hoàng Văn Bình VD Một chất điểm chuyển động với vận tốc v0  15 m / s tăng tốc với gia tốc a  t   t  4t m / s Tính quãng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A 70, 25 m v  t    a  t  dt  B 68, 25 m C 67, 25 m t3 t3  2t  C mà v0  15  C   2t  15 3 Bấm VD Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  hình bên Đặt h  x   f  x   x Mệnh đề dưới đúng? A h    h  2   h   B h    h  2   h   C h    h    h  2  D h    h  2   h   Ta có h '  x    f '  x   x   h '  x    f '  x   x Đường thẳng y  x qua ba điểm  2; 2  ;  2;2  ;  4;4  đồ thị Gọi S1 , S2 diện tích phần bên bên dưới đường thẳng y  x S1    h '  x  dx   h    h  2    h    h  2  2 S2     h '  x  dx   h    h     h    h   Mà S1  S2  h    h  2   h    h    h    h  2  Suy h    h    h  2  Hoàng Văn Bình D 69, 75 m VD Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ tḥc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị có mợt phần đường parabol có đỉnh I  2;9  trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị mợt đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính quãng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s  23, 25  km  B s  21,58  km  C s  15,50  km  D s  13,83  km  Hoàng Văn Bình Phương trình parabol chuyển đợng y  5 x  5x  4 31 31  phương trình đường thẳng chuyển đợng y  4 Ta có v 1  31  5  Ta có qng đường vật chuyển đợng tính theo   x  x   dx   dx  21,58  3 4  0 1 Đọc thêm: công thức Walliss   n  1!!  n !! n n 0 cos xdx  0 sin xdx    n  1!!    n !!   2 1  2 lẻ dùng 1 , chẵn dùng   n !! đọc n Walliss hiểu dựa vào n chẵn hay lẻ VD 0!!  1; 1!!  1; 2!!  2; 3!!  1.3; 4!!  2.4; 5!!  1.3.5  VD  cos 11 xdx  10!! 2.4.7.8.10 256   11!! 1.3.5.7.9.11 693  VD  sin10 xdx  Hoàng Văn Bình 9!!  63  10!! 512 ... f  x  dx  8 Tích phân bình thường Sau tìm nguyên hàm phương pháp Ta áp dụng cơng thức tích phân để tính giá trị tích phân Bấm máy trực tiếp y Tích phân chống máy tính cầm tay Đây mợt dạng... chất tích phân dạng nhiều Các cách thường áp dụng cho tích phân chống máy tính cầm tay: giải hệ phương trình bậc nhất, Table, mũ hóa,… Hoàng Văn Bình Về nguyên tắc bản: cần lưu trước tích phân. .. sử dụng máy tính VINACAL máy tính casio khơng xử lý được) Lưu tích phân vào A Ta có e A  2a 3b5c d Ở ta tách dạng tích thừa số nguyên tố (vì điều kiện cho hữu tỉ nên số mũ ta không nguyên)