www.thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài Cho dãy số ( an )   a1 = a + a    an +1 = 2an − 2an − 3an − 4an − Chứng minh với số thực xác định :  a ≠ dãy ( an ) hội tụ Tùy theo a , tìm giới hạn dãy ( an ) Hướng dẫn giải Nếu a > a+ ≥2 (do bất đẳng thức AM-GM) a −a + 1 ≥2 a + ≤ −2 (do bất đẳng thức AM-GM) nên −a a Nếu a < Nếu * a = a1 = Ta chứng minh: an = 2, ∀ n ∈ ¥ Hiển nhiên a1 = 2.23 − 2.22 − ak = ⇒ ak +1 = =2 Giả sử 3.22 − 4.2 − Vậy lim an = lim = a >  * Nếu  a ≠ a1 > Ta chứng minh an > ∀n ∈ ¥   Rõ ràng a1 > Giả sử ak > Ta chứng minh ak + > 2ak − 2ak − 2 ak +1 > ⇔ > ⇔ ak ( a k − ) > 3ak − 4ak − ( đúng) Ta chứng minh ( an ) dãy giảm, : − an + 2an + an − − ( an − 1) ( an − ) ∀ n, an +1 − an = = 3an − 4an − > ⇔   2−  an <  Mà an > > ( an ) 2+ ⇒ an − a n − > ) giảm bị chặn ⇒ ( an ) có giới hạn L 2an − 2an − 2 L3 − L2 − lim an +1 = lim ⇒ 3an − 4an − 3L2 − L − ⇒ L = ( an > ⇒ L ≠ −1 ) Vậy lim an = Nếu a > a1 ≤ − Tương tự, ta có: − an + 2an + an − − ( an − 1) ( an − ) ∀ n, an +1 − an = = >0 3an − 4an − 3an − 4an − nên ( an ) tăng Hơn ( an ) bị chặn − , a k − ak − 2 ak + < − ⇔ < − ⇔ ( ak + 1) (2a − 3) < 3ak − 4ak − Vậy ( an ) tăng bị chặn ⇒ ( an ) có giới hạn L an < −1, ∀n , an +1 − an > 0, ∀n L= L3 − L2 − ⇒ L = −1 ( an < −1⇒ L ≠ ) 3L2 − L − Vậy lim an = − Tóm lại: + Nếu a = lim an = a >  + Nếu  a ≠ lim an = + Nếu a < lim an = − www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  x1 >  2015  *  xn +1 = xn + x + x + x + L + x 2015 ( n ∈ ¥ ) n n n n xác định  Tìm giới Cho dãy số ( xn ) Bài α hạn dãy nxn n → +∞ , với α  là số thực cho trước Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh xn > 0, ∀ n ≥ qui nạp Ta có  1 xn +1 > xn + , ∀ n ≥ 1 ⇒ xn2+1 >  xn + ÷ = xn2 + + > xn2 + 2 ; ∀ n ≥ xn xn  xn  Bởi ∀ n ∈ N, n ≥ xn > xn −1 + > xn− + > … > x1 + ( n − 1) 2 ⇒ xn > 1, ∀n ≥ 2 và  lim xn = +∞ n → +∞ Với  n ∈ N , đặt * xn +1 = xn + xn > 1; ∀n ≥ ⇒ < tn < 2 2015 + tn tn = + +…+ 2015 xn xn xn xn t xn2 , với t = + + … + 2014 + 2015  (1), suy 2 n +1 x   2t 1 − x =  xn + + tn ÷ − xn2 = + tn2 + + xntn + n → xn xn xn   n → +∞ n  b1 = x12     2 Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy ( bn )   với  bn = xn − xn −1 , ∀ n ≥ 2.  ta có lim bn = n → +∞ b1 + b2 + … + bn = lim bn = n →+∞ suy n→ +∞ n lim 2 2 2 n xn2 ( xn − xn−1 ) + ( xn−1 − xn− ) + … + ( x2 − x1 ) + x1 b1 + b2 + … + bn  lim =   = =    Mà n suy n→ +∞ xn n n n = n→+∞ x 2 sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro) Thật ta có thể chứng minh trực tiếp n  lim Xét dãy ( cn ) : c1 = x1 − 2; cn = xn − xn−1 − với n = 2,3… lim cn = n → +∞ 2 ε cn < , ∀  n ≥ m nên ∀ ε > 0   tồn m∈ N cho * { } Gọi M = max ci    với ≤ i ≤ m −1 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com ε Với  ( m − 1) M  ( m − 1) M ( m − 1) M < ε m′ =   +1 < m' ε   tồn ε hay m′ Xét n > max { m, m '} ta có | ∑ i =1ci | ≤ ∑ i =m ci lim | ∑ i =1ci | n n n n + ∑ m −1 i =1 | ci | n < ε + ( m − 1) M < ε + ( m − 1) M < ε + ε = ε o theo định n m′ 2 ( n − m + 1) n n nghĩa n → +∞ n =0 2 2 2 n xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn −1 − xn− ) + … + ( x2 − x1 ) + x1 c1 + c2 + … + cn  lim =   = = + 2  suy n→ +∞ xn n n n n.xnα = n.xn−2 →  khi n → +∞   Nếu α = − α α +2 −2 α α +2 −2 Nếu α > −2 n.xn = xn n.xn → +∞  khi n → +∞   Nếu α < −2 n.xn = xn n.xn → Bài Cho hai số a1 , b1 với < b1 = n → +∞ a < Lập hai dãy số ( an ) , ( bn ) với n = 1, 2, Theo quy tắc an+1 = (an + bn ) b = a b lim a lim b n +1 n Tính: n → ∞ n n → ∞ n sau: giải nghĩa là: , n +1 Hướng dẫn giải π Tính a2 , b2 với < b1 = a1 < ta có thể chọn < a < cho: b1 = cosa , Suy a1 = cos a 1 a a2 = (cos a + cos a) = cos a(cos a + 1) = cos a.cos 2 2 a a b2 = cos a.cos cos a = cos a.cos 2 Bằng quy nạp, chứng minh được: a a a a a an = cos a.cos cos n −1 cos n −1 (1) bn = cos a.cos cos n −1 (2) 2 2 Nhân hai vế (1) (2) cho www.thuvienhoclieu.com sin a 2n −1 áp dụng công thức sin 2a được: Trang www.thuvienhoclieu.com a 2n −1 , a 2n.sin n −1 sin 2a.cos an = bn = sin 2a a 2n.sin n −1 Tính giới hạn: lim an = n→ ∞ sin 2a , 2a lim bn = n→ ∞ sin 2a 2a Cho dãy số ( an ) , a1 = Bài an+1 = an + a lim n = an Chứng minh: n→ ∞ n Hướng dẫn giải k +1 a n n −1 n −1 1 2 = a + + ⇒ ∑ = ∑ a j + ∑ + 2( n − 1) ak i=2 j =1 j =1 a j k n −1 2n − , ∀ n ≥ j =1 a j Vậy an > an2 = 2n − + ∑ ak2 > 2k − ∀ k ≥ ⇒ 1 1 < < = = 2 a k (2k-1) (2k-1) − 4k(k+1) 1 1 − ÷   k −1 k  n −1 1 1 n −1 1 < (1 − ) < ⇒ ∑ < 1+ = ∑ n −1 4 j =1 a j Suyra: k = ak n −1 n −1 1 ≤ ( n − 1) ∑j =1 a ∑j =1 a < (n − 1) (n ≥ 2) j j Suyra: Vậy: an2 < 2n − + Suyra: n ≥ 2; lim Dođó: n→∞ Bài 5(n − 1) (n ≥ 2) 2n-1 => un > ,∀n∈ N* un + − un = un / (1 + un2 ) − un = (−un3 ) / (1 + un2 ) < ∀ n ∈ N * ⇒ ( un ) dãy số giảm bị chặn ⇒ lim un = a (a ∈ R, a ≥ 0) n → +∞ Từ un + = un / (1 + un ), cho n → +∞ ta được: un = a = a / (1 + a ) ⇔ a = Vậy xlim → +∞ www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com * Đặt = 1/ (un + 1) − 1/ (un ), n ∈ N 2 Ta có = ((1 + un ) / un ) − 1/ (un ) = + un → n → +∞ ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có: 2 2 − v1 + v2 + … + u = ⇔ lim n →+ ∞ n →+ ∞ n n n +1 lim  1  − u un ⇔ lim  n +1 u lim n +1 − n Mà n→+∞ u n2 =2  1 ÷+ −  u n u1 = n n →+∞ 1 u12 v u2 = lim n = lim = lim = n →+∞ n ; n→+∞ n n→ +∞ n un2 1 lim = ⇒ lim = ⇒ lim (un n ) = n →+∞ n.u n → +∞ ⇒ n→+∞ n n Cho dãy { U n } Bài U1 =  *  U n2 + 2009U n ( n ∈ N ) U n +1 = 2010 xác định bởi:  n  Ui  S =  n ∑  lim S i =1 U i +1 −  Tính x →∞ n Ta lập dãy { S n } với  Hướng dẫn giải Tacó a1 = − Giả sử a0 >0 a1 , a2 , , an−1 > Tacó a0  an an −1  + + + n + =  1   1 1 ⇒ an =  − ÷an −1 +  − ÷an − + +  −  ÷a0 a a a 2 n n +       n − n −  + + + =  n Hay Do an = an −1 an− a0 a1 + + + + 1.2 2.3 (n − 1)n n (n + 1) a1 , a2 , , an−1 > nên www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  an −1 an− a1   2an −1 3an− na  + + + + + + ÷  ÷ (n − 1) n   n −1  1.2 2.3 a a a  a2 ≥  n −1 + n− + + ÷ = 02 ( n − 1)  n  a a a1  a02 ⇒  n−1 + n− + + ≥ ÷ 3a na  (n − 1)n   2a  1.2 2.3 n  n −1 + n− + + ÷ n −1  Ta lại có 2an −1 3an− 3a na a   2a + + + = n  n−1 + n− + + ÷ n −1 2n n −1  n a a  a  a  ≤ n  n −1 + n − + + ÷ = n  − ÷ = − a0 n −1    n a a a1  a0 ⇒  n −1 + n − + + ÷≥ − ( n − 1) n  n  1.2 2.3 ⇒ an = an −1 an − a0 a a0 a1 + + + + ≥ − 02 + >0 1.2 2.3 (n − 1)n n(n + 1) n n(n + 1) Từ suy điều phải chứng minh Bài Cho dãy số ( un ) xác định u1 = 1, un +1 = + un2 − , ∀ n ≥ un a) Chứng minh: un = tan π , ∀ n ≥ n +1 b) Suy tính đơn điệu bị chặn ( un ) HƯỚNG DẪN GIẢI a) Chứng minh quy nạp toán học b) Nhận xét 0<  π π π ≤ , ∀ n ≥  0; ÷ hàm số tanx đồng biến   n +1 nên dãy số ( un ) giảm bị chặn số bị chặn số Bài tan tan = π = Cho dãy số ( xn ) xác định bởi: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com x1 > 0; xn +1 = xn + 2014 2015 + + + + 2014 + 2015 , ∀ n ∈ ¥ * xn xn xn xn xn 1.Với n ∈ ¥ ,đặt * 2.Tìm số yn = n xn2 Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn α để dãy ( nxn ) có giới hạn hữu hạn giới hạn số khác α HƯỚNG DẪN GIẢI 1.Từ giả thiết suy xn +1 > xn + 1 > ⇒ xn2+1 > xn2 + + > xn2 + xn xn xn2+1 > xn2 + > xn2−1 + > > x12 + 2n lim xn = +∞ Suy Xét  2014 2015  2014 2015  xn2+1 − xn2 = ( xn +1 + xn ) ( xn +1 − xn ) =  xn + + + + + 2014 + 2015 ÷ + + + + 2014 + 2015 ÷ xn xn xn xn xn  xn xn xn xn xn    2014 2015   2014 2015  =  + + + + + 2015 + 2016 ÷ + + + + 2013 + 2014 ÷ xn xn xn xn xn   xn xn xn xn   Suy lim ( xn2+1 − xn2 ) = xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn −1 − xn − ) + + ( x2 − x1 ) + x1 = Ta có n n 2 2 2 Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có ( xn − xn−1 ) + ( xn−1 − xn−2 ) + + ( x2 − x1 ) + x1 = xn2 lim = lim n n lim Do 2.Xét 2 2 n = xn2 zn = nxnα = n α +2 xn xn2 Từ đó: +) Nếu α > −2 lim zn = +∞ +)Nếu α < −2 lim zn = www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com +) Nếu Vậy α = −2 α = −2 lim zn = giá trị cần tìm thỏa mãn đề Cho dãy số { yn } thỏa mãn y1 > 0, yn +1 = y1 + y2 + + yn , ∀n ≥ Bài 10  yn    Chứng minh dãy số  n  có giới hạn n → +∞ Hướng dẫn giải 3 Từ giả thiết ta có yn +1 = yn + yn , ∀ n ≥ , dãy số { yn } n≥ dãy tăng, yn +1 = yn + yn = yn ( yn + 1) < yn +1 ( yn + 1) 3 2 ⇒ yn2+1 < yn2 + , ∀ n ≥ ⇒ yn2+1 < yn2 + < < y22 + n − y22 + n − y22 + n −  yn +1  lim =0 ⇒ ÷ < (n + 1)2 (n + 1) Mà  n +1 nên theo định lý kẹp ta có y y  y  lim  n +1 ÷ = ⇒ lim n +1 = ⇒ lim n = n +1 n  n + 1 un ∈ (0;1) ∀n ≥  Tìm tất số c > cho dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: un +1 (1 − un ) > c Bài 11 hội tụ Với giá trị c tìm tính giới hạn dãy (un ) Hướng dẫn giải Ta xét trường hợp sau + Nếu c> cun c un +1 > = ≥ 4cun ; ∀n ≥ 1 − un un (1 − un ) , từ giả thiết, ta có n −1 c> Từ quy nạp, ta suy un > (4c) u1 Do 4c > nên un → +∞ n → +∞ Do đó, khơng thỏa mãn  − − 4c + − 4c   a(1 − b) > c a , b ∈ ;  ÷÷, a < b  0< c< 2   + Nếu cho  b(1 − a ) > c Thật vây, lấy , tồn  − − c + − 4c  a ∈  ; ÷÷, 2   đặt b = a + x ( x > 0) , www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com a −1 1 1 = = k +1 = − ak +1a  k  a a1a2 ak a1a2 ak +1 a1a2 ak a1a2 ak +1 k +1 2   ak +1 − Ta có n   1 Sn = ∑  − ÷= − a1a2 ak +1  a1 a1a2 an +1 k =1  a1a2 ak Suy Chứng minh lim ( a1a2 an +1 ) = +∞ n →+∞ Ta có : an > ∀ n ≥ n   ≠ n ⇒ an +1 > an + suy dãy cho tăng Như an > an −1 + > > a1 + n − Vậy lim ( a1a2 an +1 ) = +∞ n →+∞ Bài 21 , suy Cho dãy số ( un ) ; ( ) lim S n = n →+∞ a1 u1 = 3, v1 =  2 un +1 = un + 2vn  xác định sau  +1 = 2un lim 2n x→ ∞ ( ∀n ∈ N ) lim 2n u1.u2 un x→ ∞ Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải ( u + 2.vn +1 = un2 + 2vn2 + 2.un = un + 2.vn Ta có: ∀ n ∈ N : n +1 Áp dụng (1) ta suy ra: Theo quy nạp ta có: ( un + 2.vn = un −1 + 2.vn −1 ( un + 2.vn = u1 + 2.v1 Lập luận tương tự ta có: un − 2.vn = ) 2n−1 ( ) ( = 3+ 2 ) −1 ) ( ( www.thuvienhoclieu.com (1) ) 2n−1 2n (3) 2n 2n   1 u n =  + + −      n n v =  + − −  n  2   Từ (2) (3) ta suy ra:  ( ) ) ) ( Trang 76 ) = ( ) +1 2n (2) www.thuvienhoclieu.com 1 un =  2 Lại có: ( Tương tự ta có : ) (  −1  <  ( ) −( +1 = 2n +  2  ) +1 n n ( ) +1 ) −1 n 2n , từ suy ra:  >  ( ) +1 2n un < + 2n ⇒ 2n > 2n ( ) +1 2n Mặt khác ta có: < un Do ta có dãy bất đẳng thức sau: ( )   2n +1  ÷ = 8 n ( ) +1 2n < 2n < 2n un < + lim un = lim = + n Như theo định lí kẹp ta suy Hơn theo đề ta có: Suy ra: Vậy u1.u2 un = n →∞ n →∞ = lim 2n 2un lim 2n ( n →∞ )( = + Tóm lại ta có: Bài 22 n→ ∞ n n→ ∞ +1 = 2un ⇒ un = +1 2vn v2 v3 +1 +1 vn+1 = = 2v1 2v2 2vn 2n v1 2n +1 lim 2n u1.u2 un = lim 2n n →∞ +1 = lim 2n +1 lim 2n n +1 n +1 n→∞ n →∞ 2 n 1 = lim 2.lim 2n un lim 2n lim 2n n +1 n +1 n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ 2 ) + 1 = + 2 lim 2n = + n→ ∞ Cho dãy số ( an ) lim ( an − n ) = n →∞ lim 2n u1.u2 un = + 2 n→ ∞ xác định < a1 ≠ an + = a n + Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 = a1 + >2 a1 (do a1 ≠ ) Nhận xét: an > n, ∀ n ≥ Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nap Thật www.thuvienhoclieu.com Trang 77 n , ∀n ≥ an Chứng minh www.thuvienhoclieu.com Với n = ta có a2 > (đúng) Giả sử ak > k Ta có ak +1 = ak + k > k + ⇔ ak2 + k > ( k + 1) ak ak ⇔ ak2 − ( k + 1) ak + k > ⇔ ( ak − 1) ( ak − k ) > (đúng) Suy ak +1 > k + Như an > n, ∀ n ≥ (điều phải chứng minh) Mặt khác, = an +1 − ( n + 1) = an + an2 − ( n + 1) an + n an = n n − ( n + 1) = an − n + − an an ( an − n ) ( an − 1) an (1) Áp dụng (1) ta có  ( a2 − ) ( a2 − 1)  a3 − = a2   ( a − 3) ( a3 − 1)  a4 − = a3     ( an − n ) ( an − 1)  an +1 − ( n + 1) = an  Suy ( a3 − 3) ( a4 − ) ( an+1 − ( n + 1) ) = ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 3) ( a3 − 1) ( an − n ) ( an − 1) a2 a3 an ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 1) ( an − 1) a2 a3 an      ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷  a2  a3   an  n  1 ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ∏ 1 − ÷  (2) i =2  www.thuvienhoclieu.com Trang 78 www.thuvienhoclieu.com 1− Ta lại có Suy Từ (2) a −1 = n +1 = an +1 an +1 n  1 i =2  i n −1 an an + an+1 < n an an > n ⇒ < an +1 (do an ) a1 a2 an −1 a1 = an a n a3 ∏ 1− a ÷ < a  ⇒ an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) ⇒ < an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) a1 a < ( a2 − ) an n (vì an > n ) a1 n a1 a = ⇒ lim ( a2 − ) = n→ ∞ Mà n → ∞ n n lim Do lim ( an+1 − ( n + 1) ) = n →∞ hay lim ( an − n ) = n →∞ Cho trước số thực dương Bài 23 α xét dãy số dương ( xn ) thỏa mãn α n +1 x * n ∈ ¥ Chứng minh dãy ( xn ) hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x ) = xα + , x > Xét hàm số x Ta có f ′( x) = α xα −1 − 1 α xα +1 − − = α +1 2 x x ; f ′( x ) = ⇔ x = x0 = α Ta có bảng biến thiên hàm f ( x ) : Suy f ( x ) ≥ f ( x0 ) = α Do x α n +1 − α α +1 +α α +1 = (α + 1)α − α α +1 α − 1 α +1 + < ( α + 1) α ≤ xαn +1 + xn xn+1 www.thuvienhoclieu.com Trang 79 α − α +1 + < ( α + 1) α xn với www.thuvienhoclieu.com Suy xn +1 < xn hay ( xn ) dãy giảm Kết hợp với xn > với n ta suy dãy ( xn ) hội tụ α − α +1 β + ≤ (α + 1)α ⇒ β = x0 β Đặt lim xn = β > Chuyển qua giới hạn ta α Vậy lim xn = α Bài 24 − α +1 u1 , u2 ∈ (0;1)   43 un + = un +1 + un , ∀n ≥ thỏa mãn Chứng minh dãy (un ) có Cho dãy số thực ( un ) giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải  x1 = { u1 , u2 }  ( xn ) :   xn +1 = xn + xn 5  Xét dãy Ta thấy xn ∈ (0;1) xn3 + xn + xn + xn + xn 133 43 xn +1 = xn + xn = ≥ xn > xn Ta có 5 Vậy dãy ( xn ) tăng, bị chặn nên hội tụ, lim xn = a (0 < a ≤ 1) a = a3 + a ⇒ a = Chuyển qua giới hạn ta được: Ta chứng minh xn ≤ u2 n −1 ; u2 n < (*) quy nạp theo n Ta có x1 ≤ u1 ; u2 < Giả sử xn ≤ u2 n −1 ; u2 n < 4 xn +1 = xn3 + xn ≤ u23n + u2 n−1 = u2 n +1 < Suy 5 5 4 xn +1 = xn3 + xn ≤ xn3+1 + xn ≤ u23n +1 + u2 n = u2 n + < 5 5 5 Vậy (*) với n nguyên dương Từ suy lim un = Bài 25  x1 = 2007   x = + xn ∀ n ≥  n+1 xn2 − x ( ) n Cho dãy số thực xác định bởi:  Chứng minh dãy số giới hạn tìm giới hạn www.thuvienhoclieu.com Trang 80 ( xn ) có www.thuvienhoclieu.com Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn > xn +1 = + Ta có: xn x −1 = n Vậy xn ≤ 2007 với f ( x) = + Xét n x x −1 + 1+ < 3+ x −1 ∀n ≥ n nên dãy bị chặn ⇒ f ′( x) = − (x − 1)  ⇒ f ′ ( x ) < 2 x > Ta có: x2 f ( x) = x ⇔ x = + ⇔ ( x − 3) = x −1 x2 − x ⇔ ( x − 3x) − 2( x − 3x) − =  x − x = −1 ( L) ⇔  x − x = x= + 15 =a Áp dụng định lý Lagrang có: n   xn +1 − a = f ( xn ) − f (a ) = f '(θ n ) xn − a < xn − a < <  →0 ÷ x1 − a  n →∞ 2 2 2 + 15 lim xn = a = Bài 26 Cho dãy số ( un )  u1 = e un2+1 lim 2  * xác định bởi:  un +1 = un − 2, ∀ n ∈ ¥ Tìm n→+∞ u1 u2 un Hướng dẫn giải u = a + , Vì u1 = e > nên đặt a a>1 1  u2 = u − =  a + ÷ − = a + a a  Ta có n Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh u n +1 = a + Xét www.thuvienhoclieu.com Trang 81 a2 n , ∀n ∈ ¥ Do www.thuvienhoclieu.com  i−1 ui = ∏  a + 2i−1 ∏ a i =1 i =1  n n −1    n  2i−1   ÷ =  a − a ÷  a − a ÷∏  a + 2i−1    i =1  a   1  n  a − ÷  a + 2n  u a  a ⇒ n2+1 =  u1 u2 un  2n   a − 2n ÷ a   −1   2n    = a −  ÷ a + 2n ÷ ÷ a   a     ÷  ⇒ lim 2 un2+1 1  1  =  a − ÷ =  a + ÷ − = e2 − 2 n →+∞ u u u a  a  n Bài Cho dãy số ( xn ) xác định  x1 = a  xn2 +   xn +1 = ( x + 3) , n = 1, 2,3, n  Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn Hướng dẫn giải Theo Cơsy  1 16 ( x − 1) ( xn + ) ≤ xn =  xn + + − ÷ ≥ 1; xn +1 − xn = − n 2 xn +  ( xn + 3) dãy giảm, bị chặn 1, dãy có giới hạn Từ lim xn = a ⇒ a =  x1 =  2014  xn +1 = + , n = 1, 2,3  + xn Cho dãy số { xn } , xác định bởi:  Chứng minh dãy số { xn } có Bài 27 giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Xét hàm số f '( x ) = Ta có f ( x) = + − 2014 ( 1+ x) xn +1 = + f ( x3 ) ⇒ x2 > x4 ⇒ f ( x2 ) < f ( x4 ) ⇒ x3 < x5 ⇒ Suy dãy ( x2n +1 ) dãy đơn điệu tăng bị chặn, dãy ( x2n ) dãy đơn điệu giảm bị chặn, nên dãy ( x2 n +1 ) , ( x2n ) có giới hạn hữu hạn www.thuvienhoclieu.com Trang 82 www.thuvienhoclieu.com Giả sử lim x2 n +1 = a lim x2 n = b , ( a, b ≥ ) Từ x2 n +1 = f ( x2 n ) ⇒ lim x2 n +1 = lim f ( x2 n ) ⇔ b = f (a) x2 n + = f ( x2 n +1 ) ⇒ lim x2 n + = lim f ( x2 n +1 ) ⇔ a = f (b) 2014  b = + + a ⇔ a = b = 2015  2014 a = + 1+ b Vậy ta có hệ  Vậy lim xn = Bài 28 2015 Cho dãy số ( xn )  x1 = 2,1   xn − + xn2 + xn − ( *) , n = 1, 2,  xn +1 = xác định  với số n nguyên dương n, đặt yn = ∑ i =1 x − Tìm lim yn i Hướng dẫn giải Ta có kết sau: với số thực a > bất kì, ta có a − + a + 8a − a − + a + 4a + a − + ( a + ) > = =a 2 Do 2,1 < x1 < x2 < Suy dãy ( xn ) dãy tăng, giả sử bị chặn tức có giới hạn lim xn = L > Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x= x − + x2 + 8x − ⇔ x − = ( x + 3) ( x − ) phương trình khơng có nghiệm hữu hạn lớn Suy dãy ( xn ) tăng không bị chặn nên lim xn = +∞ xn − + xn2 + xn − xn +1 = ⇔ xn +1 − xn + = xn2 + xn − Ta có ⇔ ( xn+1 − xn + ) = xn2 + xn − ⇔ xn2+ − = ( xn + 3) ( xn − ) ⇔ x + xn + + 1 1 = 2n = = + xn − xn+1 − xn+1 − xn+1 − xn+1 − www.thuvienhoclieu.com Trang 83 www.thuvienhoclieu.com ⇔ 1 = − x − xn − xn+1 − n +1 n Suy yn = ∑ i =1 1 1 = − = 10 − x − x1 − xn +1 − xn+1 − i Vậy lim yn = 10  x0 = a ( ∀n ∈ ¥ )  x n ∈ ¥ x = x − ( ) ( )  n n + n Dãy số thực xác định bởi:  Tìm tất giá trị Bài 29 a để xn < với số tự nhiên n Hướng dẫn giải Giả sử xn < với Từ xn + = x n +1 Lại từ Suy Từ − ∀n∈ ¥ − < có − < xn +1 < 2 − 2− < xn2 − < − < xn < ⇒ − < xn < − , ∀ n ∈ ¥ có 2 xn − > xn + < 1, ∀n ∈ ¥ xn +1 + 1 1 = xn2 − + = xn2 − = xn − xn + > xn + , ∀n ∈ ¥ 2 2 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: n n 1  2 1  2  2 a + = x0 + < x1 + <  ÷ x2 + < <  ÷ xn + < ữ , n Ơ 2  3 2  3  3 n 1  2 a+ =0⇒a =− lim  ÷ = 2 Mà n→+∞   nên phải có Thử lại với Vậy a=− Bài 30 a=− 1 xn = − < 0, ∀ n 2 giá trị cần tìm  x1 = 2014  x − 6sin x , n ∈ ¥ * x =  n n n +  Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: www.thuvienhoclieu.com Trang 84 www.thuvienhoclieu.com Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức Xét hàm số x− x3 ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ f ( x ) = x − 6sin x , x > f '( x ) = Ta có: ( − cos x ) 33 ( x − 6sin x ) > 0, ∀x > ⇒ f(x) đồng biến với x > Do đó: f ( x ) > f ( ) = x > mà x2 = f ( x1 ) > x1 = 2014 > Vậy ta có xn +1 = f ( xn ) > 0, ∀ n ∈ N * xn+1 − xn = xn − 6sin xn − xn = Mặt khác: Vì x− x3 ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ ⇒ xn – sinxn − xn xn − 6sin xn − xn3 ( xn − 6sin xn ) + xn xn − 6sin xn + xn2 ⇔ x − x – 6sinx < 0, ∀ x > < xn > ⇒ xn+1 – xn < ⇒ ( xn ) dãy giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử limxn = x( x ≥ 0) , ta có phương trình: x = x − 6sin x ⇔ x3 − x + 6sin x = Xét hàm số g ( x ) = x − x + 6sin x g ' ( x ) = x – + 6cosx g’’ ( x ) = x – sinx ≥ 0∀ x ≥ ⇒ g’ ( x ) ≥ g’ ( ) = Do g ( x ) đồng biến liên tục với x ≥ ⇒ phương trình g ( x ) = có nghiệm x= Vậy limxn = www.thuvienhoclieu.com Trang 85 www.thuvienhoclieu.com Cho hai dãy số dương ( an ) n≥ , ( bn ) n ≥ Bài 31 + an +1   an + bn = − a n +1  2  xác định bởi: a0 = 3, b0 =  an + = bn Với n = 0,1, 2, Chứng minh hai dãy hội tụ tìm giới hạn chúng Hướng dẫn giải an = tan Ta chứng minh quy nạp a0 = = tan Với n = , ta có a1 = Với n = , ta có π , bn = , n = 0,1, 2, (*) n π 3.2 cos n 3.2 Thật π π = tan , b0 = = π 3.2 cos 3.2 , ( *) π π = tan = tan , b1 = = 3.2 3 cos π 3.21 , ( *) an = tan Giả sử khẳng định đến n = k , k ≥ , tức an +1 = tan Ta chứng minh + an +1 − an +1 π , bn = n π 3.2 cos n 3.2 π , bn +1 = n +1 π 3.2 cos n +1 3.2 Thật Từ ( 1) ta có π π π π π + 2sin n +1 cos n +1 + sin + cos n n +1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2n+1 = = = π π π cos n cos − sin n +1 3.2 3.2 3.2n +1 sin π π   π π π sin n +1 + cos n +1 tan n +1 +  sin n +1 + cos n+1 ÷ 3.2   3.2 3.2 3.2 = 3.2 = π π π π π  π π    cos n +1 − sin n +1 ÷ cos n +1 + sin n +1 ÷ cos 3.2n +1 − sin 3.2 n +1 − tan 3.2n +1 3.2 3.2  3.2 3.2   π ⇒ a n +1 = tan n +1 Khi từ 3.2 bn2+1 = an2+1 + = tan suy π 1 +1 = ⇒ bn +1 = n +1 π π 3.2 cos n +1 cos n +1 3.2 3.2 an = tan Như theo nguyên lý quy nạp www.thuvienhoclieu.com π , bn = , n = 0,1, 2, n π 3.2 cos n 3.2 Trang 86 ( 2) , www.thuvienhoclieu.com lim an = lim tan n →+∞ n → +∞ Do π 1 = tan = 0; lim bn = lim = =1 n n → +∞ π 3.2 cos n → +∞ cos n 3.2 lim an = 0; lim bn = Kết luận: n → +∞ Bài 32 u1 = 2014  2 Cho dãy số (un ) xác định sau: un +1 = un + (1 − 2a )un + a ; ∀n = 1, 2, Tìm điều kiện n → +∞ ■ a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có: un +1 − un = (un − a) ≥ ⇒ un +1 ≥ un ; ∀n = 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng knn; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy bị chặn Giả sử lim un = L ( L ∈ ¡ ) n → +∞ , chuyển qua giới hạn hệ thức un +1 = un + (1 − 2a )un + a 2 ta có: L = L2 + (1 − 2a) L + a ⇔ L = a lim u = L = a * - Nếu có số k ∈ ¥ mà uk > a un > a; ∀ n ≥ k trái với kết n→ +∞ n Do đó: uk ≤ a với k = 1, 2, hay un − (1 − 2a )u n + a ≤ a, ∀n = 1, 2,3, 2 ⇔ a − ≤ u1 ≤ a ⇔ a − ≤ 2014 ≤ a * Đảo lại: Nếu a − ≤ 2014 ≤ a ⇒ a − ≤ u1 ≤ a ⇒ (u1 − a + 1)(u1 − a) ≤ ⇒ u12 + (1 − 2a)u1 + a − a ≤ ⇒ u2 ≤ a u1 ≤ u2 ⇒ a − ≤ u2 ≤ a Bằng quy nạp ta chứng minh a − ≤ un ≤ a, ∀ n = 1, 2,3, Như dãy (un ) tăng knn, bị chặn bới Kết luận: Với điều kiện Bài 33 a , dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim u = a a − ≤ 2014 ≤ a dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ n→ +∞ n u1 =   un +1 = un + − 2, ∀n ∈ ¥ *  un Cho dãy số (un ) xác định công thức truy hồi  Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Trang 87 www.thuvienhoclieu.com 1 f ( x) = x + − 2; g ( x) = f ( f ( x)) − x = + −2 x x x+ − Đặt x Khi  2 −2  x − ÷( x + 1)  1  g '( x) = ≤ ⇒ g ( x) < g ( ) = ⇒ f ( f ( x)) < x, ∀x ∈ ( ;1) (*) 2   x4  x + − ÷ x   Mặt khác f '( x) < 0, ∀ x ∈ ( ;1) nên 1 1 )= ⇒ f ( f ( x)) > f ( ) = , ∀ x ∈ ( ;1) (**) 2 2 f ( x) < f ( 1 < f ( f ( x)) < x, ∀ x ∈ ( ;1) Từ (*) (**) suy ra: Vậy: = u1 > u3 > lim u2 n −1 = n →∞ 1 ⇒ = u1 > u3 > u5 > , 2 Do (u2 n −1 ) đơn điệu giảm bị chặn nên tồn ( )   ;1 u2 n = f (u2 n−1 ) ⇒ lim u2 n = f lim u2 n−1 =  n →∞ n →∞ Vì f ( x) liên tục   nên Vậy dãy (un ) phân tích thành hai dãy hội tụ tới giới hạn Do dãy (un ) có giới hạn Bài 34 Cho dãy số ( un ) u1 =  n uk  lim u − u = u − u , ∀ n ≥ ∑ ( )  n +1 n 2014 n n xác định  Tính n→ ∞ k =1 uk +1 − Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có: un +1 = un ( un − 1) + un 2014 mà u1 = suy = u1 < u2 < u3 < dãy ( un ) dãy tăng lim u = L Giả sử dãy ( un ) bị chặn suy n→∞ n với ( L > ) www.thuvienhoclieu.com Trang 88 www.thuvienhoclieu.com un2 + 2013un L2 + 2012 L lim un +1 = lim ⇔ L= ⇔ n →∞ 2014 2014 Vô lý L = L =  L > Suy dãy ( un ) khơng bị chặn =0 n→∞ u n lim un = ∞ ⇒ lim n →∞ Ta có un2 + 2013un un +1 = ⇔ un ( un − 1) = 2014 ( un+1 − un ) 2014  un  ⇔ = 2014  − ÷ un +1 −  un − un+1 −   1  ⇒ S n = 2014  − ÷ ⇒ lim Sn = 2014  u1 − un +1 −  x →∞ Cho dãy số thực ( xn ) Bài 35  x1 = 2014  x = xn − 6sin xn , n ∈ ¥ * Tính lim xn ? xác định bởi:  n+1 Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức Xét hàm số x3 ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ f ( x ) = x − 6sin x , x > f '( x ) = Ta có: x− ( − cos x ) 33 ( x − 6sin x ) > 0, ∀x > ⇒ f(x) đồng biến với x > Do đó: f ( x ) > f ( ) = 0∀ x > mà x2 = f ( x1 ) > x1 = 2014 > Vậy ta có xn +1 = f ( xn ) > 0, ∀ n ∈ N * xn+1 − xn = xn − 6sin xn − xn = xn − 6sin xn − xn3 Mặt khác: Vì x− ( xn − 6sin xn ) x3 ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ ⇔ x − x3 – 6sinx < ∀ x > ⇒ xn – 6sinxn − xn < xn > ⇒ xn+1 – xn < www.thuvienhoclieu.com Trang 89 + xn xn − 6sin xn + xn2 www.thuvienhoclieu.com ⇒ ( xn ) dãy giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử limxn = x( x ≥ 0) , ta có phương trình: x = x − 6sin x ⇔ x3 − x + 6sin x = Xét hàm số g ( x ) = x − x + 6sin x g ' ( x ) = 3x – + 6cosx g ′′ ( x ) = x – 6sinx ≥ 0," x ≥ ⇒ g ′ ( x ) ≥ g ′ ( ) = Do g ( x ) ln đồng biến liên tục với có nghiệm x= Vậy limxn = www.thuvienhoclieu.com Trang 90 x ≥ ⇒ phương trình g ( x ) = ... xn xn xn 1.Với n ∈ ¥ ,đặt * 2.Tìm số yn = n xn2 Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn α để dãy ( nxn ) có giới hạn hữu hạn giới hạn số khác α HƯỚNG DẪN GIẢI 1.Từ giả thiết... =  u = u + 12 u { }  n + n Cho dãy số n ; (n = 1; 2;.) xác định bởi:  Chứng minh dãy số { un } có giới hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dự dốn giới hạn dãy số, bằng cách giải phương trình: a... =  xác định un +1 − 3un +1 = + un , ∀n ≥ Chứng minh dãy ( un ) Cho dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dãy số ( un ) u1 =  xác định  un +1 − 3un +1 = + un ,