www.thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài Cho dãy số dãy cho  un  xác định : u1  11 � � un 1  10un   9n, n �N � Xác định số hạng tổng quát Hướng dẫn giải Ta có: u1  11  10  u2  10.11    102  100  u3  10.102   9.2  1003  1000  Dự đoán: un  10n  n  1 Chứng minh theo quy nạp ta có u1  11  101  , công thức  1 với n  Giả sử công thức  1 với n  k ta có uk  10k  k Ta có: uk 1 Công thức  10  10k  k    9k  10k 1   k  1  1 với n  k  n Vậy un  10  n , n �N Bài Cho dãy số (un ) biết u1  2 � � un  3un 1  1, n �2 � Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải un  3un 1  � un  Đặt  un  1  3un1  � un   3(un 1  )(1) 2 2 1 5 � v1  u1   2 (1) �  3vn 1 , n �2 Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q  Nên  v1.q n 1  Do un   5 n 1 5 n 1   , n  1, 2, 2 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 3� n4 � u1  1; u n 1  � un  , n �N* � n  n  � � xác định Tìm cơng thức số hạng u  Cho dãy số n tổng quát un dãy số theo n Bài HƯỚNG DẪN GIẢI * Với n �� , ta có 2un 1  3(un  � 2(un 1  Dãy số 3 3 )  3(un  ) � un 1   (un  ) n2 n 1 n2 n 1 (vn ),  un  n 1 �3 �  � � �2 � Bài n4 ) � 2un 1  3(un   ) (n  1)( n  2) n  n 1 3 q v1   n  cấp số nhân có cơng bội n 1 �3 � �1� �  � , n ��* � un   � � , n ��* n  �2 � � 2�   Cho hàm số f : Z � Z thỏa mãn đồng thời điều kiện: (1) f  n  1  f  n  n �Z  , (2) f� �f  n  � � n  2000 , n �Z  a/Chứng minh: b/Tìm biểu thức f  n  1  f  n  n �Z  , f  n HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a Vì f  n  �Z  f  n  1 �f  n   n �Z  nên từ giả thiết (1) ta được: ,  Kết hợp giả thiết (2) ta n �Z n  2001   n  1  2000  f � ��f � �f  n  � �  n  2001 f  n  1  f  n   n �Z  �f  n  1 � đó: , Câu b f  n   f  1  n –1, n �Z  � f  f  1   f  1  f  1 –1 Suyra: ,  2000  f  1 –1 � f  1  1001 � f  n   n  1000, n �Z  Thử lại thỏa điều kiện, nên f  n   n  1000, n �Z  Bài a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com b)Cho dãy số  un  u1  16 � � � 15  n.un  1 un 1  14  , n �1 � n  � có Tìm số hạng tổng quát un Hướng dẫn giải a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 Gọi d công sai, số hạng thứ a Khi số hạng đầu csc a  d , a, a  d ad aad 9 � � � 2  a  d   a   a  d   125 Theo giả thiết ta có hệ: � 3a  � �� 3a  2d  125 � a3 � �� d  �7 � Vậy có cấp số thỏa mãn có số hạng đầu là: -4;3;10 10;3;-4 b)Cho dãy số Ta có:  un  un 1  14  u1  16 � � � 15  n.un  1 un 1  14  , n �1 � n  � có Tìm số hạng tổng quát un 15  n.un  1 n 1 �  un 1  14   n  1  15  n.un  1 �  n  1 un 1  15nun  14n  Đặt  nun  � v1  16  (1) trở thành: Đặt Từ ta có: Bài (1) 1  15vn  14n  � vn1   n  1  15   n  w n   n  � w1  15  (2) trở thành: (2) wn 1  15wn �  w n  un  n csn có w1  15, q  15 � w n  15 15n  n n Cho dãy số  un  xác định : u1  1; u2  4; un   7un 1  un  2, n ��* Chứng minh : un số phương với n nguyên dương Hướng dẫn giải Ta có u1  1; u2  4; u3  25 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com un   Đặt 18 123 v1  ; v2  ; v3  5 un   7un 1  un  2, n ��* Khi �   7vn 1  , n ��* �   2�� 2� �  7� 1  � �  � 2, n ��* 5�� 5� � 2 2 Ta có :   1  (7vn 1  ).vn  1  1 (7vn  1 )   1vn 1    vn21  1vn 1  vn2  L  v3v1  v22  ; n ��* Suy : Suy : � un  u n  �2 4 � �� � � 2� � un 1  un 1  � un   � � un  � � un 1  � � un  2un   un   un    � � �� � � 5� 5 25 � 25 � �  7un1    un21  un1  � u u  u  2u   (u  1)2 ; n ��* n n n 1 n 1 n 1 5 Từ hệ thức un  2un  (un 1  1) ; n ��* u1; u2 số phương suy un số phương với n nguyên dương  an  n1 � Bài Cho dãy số tăng, an  n  1, 2,3,   Xét dãy số  xn  n1 � xác định a a xn  � i 1  i lim xn i 1 1ai Chứng minh tồn n�� n Hướng dẫn giải x Dễ dàng thấy dãy  n  n 1 � tăng ngặt Trường hợp Nếu   1  1 1        � xn   �   1 1ai ai 1ai ai 1 a1 dãy  xn  n 1 bị chặn tồn lim xn n �� Trường hợp Nếu    1  �1 �  �   �  *  1ai  �ai 1 �  * �  ai11  ai1    ai1  ai �  1 ai1  ai   1  ** 1  Ta chứng minh (**) Xét hàm số số f  x   x c � ; 1  Trên đoạn  ; ai1  rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn ai1  ai ai1  ai ai1  ai  1  1 f  c  � c  �  1  1  ai 1  ai 1  đpcm thoả mãn ' www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Từ ta có � xn  � � lim xn x  a1 dãy  n  n 1 bị chặn tồn n�� Bài  xn  Cho dãy số xác định : x4  xn 1  xn  1 n     n  3   n    L   n   1, với n �4 xn Tính giới hạn n�� n lim Hướng dẫn giải Ta có: 1 n     n  3   n     n   �  n  1  1�  n 1  2 �  n  1  3�  n  1   n   � � � � � � � � �   n   � � � �   n  1 �      n   � 12  2  32    n   � � � � � =  n  1  n    n  1   n    n  1  2m  3 Do ta suy : Ta chứng minh xn 1  xn   n  n  1  n   n  n  1  n    xn  Cn3  * xn  Cn4 Thật với n  , ta có x4   C44 Giả sử với n �4 ta có : xn  Cn 4 Ta có : xn 1  xn  Cn theo (*) hay xn 1  xn  Cn  Cn  Cn  Cn xn n!  lim  4 n � � n n �� 4! n   ! n lim Bài Cho hàm số f :  0; � �  0; � Chứng minh f  x  �x �1 � f  x  �f � f  x  � x �2 � thỏa mãn điều kiện với x  với x  Hướng dẫn giải �1 � f (3 x) �f � f (2 x) � x (1) �2 � Ta có: �1 f ( x) �f � �2 Từ (1) suy �1 f ( x) �f � �2 Khi � 2x 2x �2 x � f� �  � f ( x)  , x  � �3 � � (2) � 2x �2 x � f� � �  �3 � � www.thuvienhoclieu.com �2 x � x �2 x � x �4 � f � �  f � �  �  �x �3 � 3 �3 � �27 � Trang www.thuvienhoclieu.com 2 a1  an 1  an2  n  1, 2, �   ( a ) 3 Xét dãy n , xác định sau: * Ta chứng minh quy nạp theo n với n �� có f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n  theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n  k Khi �1 �2 x � � 2x 2x 2x �2 x � x f ( x) �f � f � ��  a f � �  a a  �2 �3 � � k �3 � k k a2   k x  ak 1.x Vậy (3) với n  k  Tiếp theo ta chứng minh lim an  Thật vậy, ta thấy an  n ��* Do đó: an 1  an  (an  1)( an  2)  , suy dãy ( an ) tăng ngặt l  l2  ( a ) lim a  l n 3 với l �1 , suy l  Vậy Dãy n tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an  Do từ (3) suy f ( x) �x với x  (đpcm) Bài 10 Tìm tất hàm số f : �� � thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f  x  y  �f  x   f  y  f  x  �e x  với x, y �� với x �� Hướng dẫn giải f  x 0�   f  x f  0 f  0 f   �e0   f  x    x   �f  x   f   x  � f  x   f   x  �0 �x � f  x  �f � � �2 �  1 x �x � �2 � f � ��2 � e  1� �2 � � � �2x � f  x  � 2�  e � 1� f  x  � � �x � �x � f �� f �� �2 � �2 � �4x � 4� e 1� � � �2xn � f  x  �2 � e  � � � n  1, 2, � � Dùng quy nạp theo ta CM n www.thuvienhoclieu.com Trang f  0  www.thuvienhoclieu.com �2x0n � f  x0  �2 � e  1� � � � � Cố định x0 �� ta có n �2x0n � an  2n � e  1� � � � �ta có: Xét dãy �x0n � � e2 1 � lim an  lim � x0 � x0 x � 0n � �2 � Vậy f  x0  �x0 Vậy f  x   f   x  �x    x   Kết hợp (1) (3) ta Từ (2)  � f  �x  ta thấy Vậy x  3 f  x  f  x  f  x x   Kết hợp (2) (4) ta f  x   xx �� Thử lại f  x   x f  x   f   x  �x    x   Kết hợp (1) (3) ta  � f  �x  Từ (2) ta thấy  2 x0 �� x f  x   f  x  f  x x  3   Kết hợp (2) (4) ta f  x   xx �� Thử lại f  x   x � 2015 �x1  2016 � � �x  x  �xn �, n �1 n � � �n1 �n � Bài 11 Cho dãy số xác định � Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải Trước hết, quy nạp, ta dễ dàng có xn  n �1 dãy số cho dãy tăng Ta có : x2  x1  x12  x1 ; x3  x2  x22  x1  x12  x1; Giả sử xk  kx1 với k  Ta có: xk 1  xk  xk2  kx1  x12  (k  1) x1 k Theo nguyên lý quy nạp ta có xn  nx1 n  www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Ta xm  m  m �2017 thật có : mx1  m  � m   x1   � m  : 1 �m � m  2016 2015  x1 1 2016 ; Do xn2 x x x 1 1 1   n 1 n  n  n     xn xn1 xn xn1 n xn1 n n(n  1) n  n Ta có với n �2 xn xn1 Do n  2018 n �2018 � 1 � 1 x2017  n  2018 � 1  ��  xn x2017i x2018i i 0 �    �� � �2016  i 2017  i � 2016 n  2016 i0 2016 x2017 1    � xn  2016  x2017 Suy xn x2017 2016 Vậy dãy cho tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn u  1; u2  � �1 � un 1  un  un1 n �2 � 2 Bài 12 Cho dãy số (un ) xác định sau � a) Xác định số hạng tổng quát un b) Tính lim un n �� Hướng dẫn giải Biến đổi ta được: un 1  un  1 1  , n �2  un  un1  v  u  u n 1 n đó: 2 với n 1 nghĩa dãy v2 , v3 , , cấp số cộng v2  1; q   un  un 1 � 1  un 1  un  � � �� un  u1  v2  v3  � � v2  u2  u1 � n2 n2 � �1 � � �1 � � un   �   � � �  � � � �2 � � �2 � � � n2 � �1 � � lim un  lim �  � � � � x �� x ��� � �2 � � www.thuvienhoclieu.com Trang � � � www.thuvienhoclieu.com Bài 13 Cho dãy số  un  xác định sau u1  2011; un 1  n  un 1  un  , * u  với n  � , n Chứng minh dãy số n có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi dãy ta � � � �� � � � � � � � un  � 1 � un 1  � 1 � 1 u      � u1 � � � � � 2� �  n  1 �n �  n  1 � � n � n � � n � � � � � � � � � un  Do  n  1  n  1  n   n 4.2 3.1 2011  n  2011 2011 2 lim u  n2 2 n n n    Từ Bài 14 Cho dãy số  un  xác định  u1   2014, un1  un4  20132 , n ��* un3  un  4026 n  � , n ��* k 1 uk  2013 Đặt Tính lim Hướng dẫn giải Cho dãy số  un  un4  20132 , n ��*  u1   2014, un1  un  un  4026 xác định n  � , n ��* k 1 uk  2013 Đặt Tính lim Ta có  un  2013  un3  2013 un4  20132 un 1  2013   2013  un  un  4026 un  un2  1  4026 Từ quy nạp ta chứng minh  un  2013  un3  2013 un 1  2013   un  2013   un  2013 un  2013, n ��*  1 1 1 1   �    1 suy un1  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un 1  2013 Từ n � � 1 1  ��    1 � uk  2013 uk 1  2013 � u1  2013 un1  2013 un1  2013 k 1 � Do Ta chứng minh lim un  � u  4026un  20132  u  2013  0, n ��* un 1  un  n  3n un  un  4026 un  un  4026 Thật vậy, ta có www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Suy  un  dãy tăng, ta có 2014  u1  u2  Giả sử ngược lại a  un  bị chặn  un  dãy tăng nên lim un  a  � a  2014 Khi a  20132 a  a  4026 � a  2013  2014 (vô lý) Suy  un  không bị chặn trên, lim un  � � � lim  lim � 1 � uk 1  2013 � � Vậy  un  Bài 15 Tìm số hạng tổng quát dãy số � u1  � � � u2  673 � � 2(n  2) un 1  (n3  4n  5n  2)un � un   n3 �  n biết �, n 1 Hướng dẫn giải Vì un  2(n  2) un 1  ( n3  4n2  5n  2)un  n3 nên ta có: ( n  3)un   2(n  2) un 1  (n  2)(n  1) un � n3 un   2(n  2)un 1  (n  1) un n2 � n3 un   (n  3)un 1  (n  1)un 1  (n  1) un n2 Đặt un  n !vn , n  �, n thu (n  3)vn   ( n  3)vn 1  (n  1)vn 1  (n  1)vn � ( n  3)(vn   1 )  (n  1)(vn 1  ) Đặt wn   1 , n  �, n thu ( n  1) wn  ( n  1) wn 1 � (n  1)nwn  n(n  1) wn 1 Do (n  1) nwn  n(n  1) wn 1  ( n  1)( n  2) wn    3.2.w2  6(v2  v1 )  2016 Như wn  2016 � �1  2016 �  � n(n  1) �n n  �, n  �, n www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com Trước   bn  tiên ta bn 1 bn chứng  rn  minh rn 1 rn  mod 2015  rn  Vì có vơ hạn cặp +) Ta có:  rn  tuần hồn Thật vậy: Ta có  r1 ; r2  ,  r2 ; r3  , ,  rn ; rn 1  nhận hữu hạn giá trị khác nên tồn hai phần tử dãy trùng Ta giả sử dương) Ta chứng minh dãy  rm ; rm1    rmT ; rmT 1  (với T số nguyên tuần hoàn với chu kỳ T rm �rm1  rm  mod 2015  ; rm T   rm T 1  rm T  mod 2015  rmT   mod 2015  � rm   rm T  rm  Tiếp tục ta chứng minh được: rm  k  rmT  k với k �0 (1) +) Ta có: rm 1 rm 1 �rm 1  rm  mod 2015  ; rm T 1 �rm T 1  rm T  mod 2015 rmT 1  mod 2015  � rm 1  rm T 1 Bằng quy nạp ta chứng minh được: rm k  rmT  k với k  1; 2;3; ; m  (2) Từ (1) (2) suy  bn  Bổ sung vào dãy Khi dãy  rn   rn   rn  , n  dãy tuần hoàn phần tử b0  thỏa mãn b0  b1  b2 suy r0  dãy tuần hoàn phần tử r0  Do tồn vơ số phần tử dãy 0.Như câu b) chứng minh xong Bài Cho dãy số 22014 un Công thức tổng quát  1  Đặt Ta có un  n  un  xác định sau: u0  0, u1  1, un   2un 1  un , n  0,1, 2, Chứng minh un    a,  2  a  b  22014 n , Sn  a  b   Hướng dẫn giải  1 2  n    1  n  b � ab   1 u2 n  a   1  n Đặt S n   2Sn 1  Sn , n  1, 2, www.thuvienhoclieu.com n  n  b   un  a  b  n Khi ta dãy Trang 33  Sn  xác định sau: S1  2, S2  6, www.thuvienhoclieu.com Do S1 �2  mod  , S2 �2  mod  a  b �2  mod  � a  b  2t ,  t ,   nên quy nạp ta Sn �2  mod  được: u2 n  2un t ,  t ,   Giả sử n  2k t ,  t ,   � un  u2k.t  k.ut Ak , ut , Ak lẻ  a  : a1 ��* , an1  an3  2019, n ��* Chứng minh có nhiều số hạng Cho dãy số n dãy số phương Hướng dẫn giải 2019 �3  mod  So sánh đồng dư an , an 1 an  theo modun ta có (chú ý ) an an 1 3 an  2 3 Một số phương chia có số dư Vì từ số hạng thứ trở đi, dãy khơng có số phương 2 Nếu a1 a2 phương, giả sử a1  a , a2  b , �  b  a   b  a   2019 suy b  a  2019 Hơn phân tích 2019 thành tích có cách 2019  1.2019  3.673 � b  a3  b  1010 � � �3 � b  a  2019 a  1009 � Trường hợp 1: � , vơ lí 1009 không lập phương � b  a3  b  338 � � �3 � b  a  673 a  335 � Trường hợp 2: � , vơ lí 335 khơng lập phương Vậy điều giả sử sai, nghĩa dãy có nhiều số phương Bài hay Do Bài Cho dãy  un  un �N � � um  n  um  un �{0;1} � � u2  � � u 0 �3 � u  3333 thỏa mãn điều kiện sau : �9999 Tìm u2013 Hướng dẫn giải Ta có : um  n  um  un   ( �{0;1}) Bằng quy nạp ta chứng minh www.thuvienhoclieu.com un1  n2  nk �un1  un2   unk Trang 34 , với n1 , n2 , , nk www.thuvienhoclieu.com Ta có: u2 �u1  u1 � u1  u3  u2  u1      � u3  Ta chứng minh n  3333 u3n  n (1) Thật vậy: Với n  (1) Ta có u3 n �n.u3  n, n u  n0 � u3( n0 1)  u3n0  �u3n0  u3  n0  Giả sử, tồn n0  3333 , mà 3n0 , điều chứng tỏ, với n �n0 u3n  n Điều mâu thuẫn với u9999  3333 Vậy, với n  3333 u3n  n Do u2013  671 17 x1  5; x2  ; xn1  xn xn21  xn  x Bài 10 Cho dãy số n xác định bởi: Tìm n chẵn thỏa mãn n �N *  xn   lập phương số tự nhiên Hướng dẫn giải Nhận xét thấy : 11 x1  22 1  11 Khi đó, giả sử : ; x2  2 1 xn  22 Cần chứng minh: xk 1  = 22 � k 1   k  221 1 1 2n1 1  n �k ; k �N * ; 2k 1 (1) ta có 2k 1 xn  22 1 1 k 2 k 1 1 k 1 4 xk xk 12  xk   (22 1  2k 1 1 )(2 1  2k 2 1 )  2(2 1  2k 1 1 )  4 2 Khi n 1 1 xk 1  22 n 1 suy (1) 1  2n1 1 x   22 Khi  n  22 n1 21 n 1 1 n 1 n �N * 1 3  x   lập phương số tự nhiên: , giả sử tồn n chẵn để n   c3 Mặt khác n chẵn suy n  lẻ suy 2n1  1M3 đặt  k 3k  23 k �   c � c  www.thuvienhoclieu.com c  c.2 k  22 k   Trang 35 k 2k k mà c  c.2   c  nên: www.thuvienhoclieu.com c  2k  1; c  c.2k  22 k  (2) Giải hệ (2) ta hệ khơng có nghiệm ngun với k  suy không tồn n chẵn  x   lập phương số tự nhiên Vậy không tồn n chẵn để n Bài 11 Cho dãy số  un  22014 un xác định sau: u0  0, u1  1, un   2un 1  un , n  0,1, 2, Chứng minh 22014 n Hướng dẫn giải Công thức tổng quát  1  Đặt Ta có un  n un    a,  2  a  b ,   n   1    1   b � ab   1 u2 n  Sn  a  b   n a   1  n n  n  b   un  a  b  n Đặt Khi ta dãy S1  2, S2  6, Sn   2Sn 1  Sn , n  1, 2, Do S1 �2  mod  , S �2  mod  nên a  b �2  mod  � a  b  2t ,  t ,   quy nạp ta xác định sau: được: Sn �2  mod  hay Do u2 n  2un t ,  t ,   Giả sử n  2k t ,  t ,   � un  u2k.t  2k.ut Ak Từ đẳng thức ta  Sn  k un , ut , Ak lẻ 2k n �x1  � � xn 1  xn  , n �1 � xn  xn  � Bài 12 Cho dãy số thực xác định sau: Chứng minh rằng:  25 x625   625 ( kí hiệu  x  phần nguyên số thực x ) Hướng dẫn giải 1 n � n xn  n  H n , n �1 Hn  1 L  n Ta chứng minh rằng: , với xn21  xn2  1 2 xn2 , x1  quy nạp xn �n Với n  giả sử đến n Tức xn �n Từ suy xn21  n 1� xn n nxn www.thuvienhoclieu.com n Trang 36 www.thuvienhoclieu.com xn2  xn21  n 1 1 n 1   L  x  n   � n    � � xn21 k 1 k k 1 xk � � n Hn � � � n � n Hn  nxn n Hn Việc ta chứng minh H 625  Ta có BĐT H n �1  ln n thật vậy, Xét hàm số f�  x   f  x   ln  x  1  ln x  � 1�  ln �  � x 1 � x � x  x  1   , x  x  x  1  x  1  0; � � f  x   0, x  , ta suy 1 hàm số f  x giảm khoảng  ln  x  1  ln x  * x 1 áp dụng 1 L    ln  ln1  ln  ln  L  ln 625  ln 624   ln 625  625 625 � 625 x625  625  H 625  626 �  25 x625   625 Từ đó: MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ Bài Cho cấp số cộng S tổng:  un  với n số nguyên dương thoã mãn u2013  2013; u2014  2014 Tính 1    u1u2 u2u3 u2013u2014 Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh số hạng tổng quát cấp số cộng  un  un  n Khi S  1 1 1       u1u2 u2u3 u2013u2014 1.2 2.3 2013  2014 1 1 1 1006 503         3 2013 2014 2014 1007 Bài �x0  a  n �� � xn 1  xn2  � xác định Tìm tất giá trị a x  Cho dãy số thực n để xn  với số tự nhiên n Hướng dẫn giải Giả sử xn  với n �� www.thuvienhoclieu.com Trang 37 www.thuvienhoclieu.com   xn 1  x  x   n 1 Từ n  có  Lại từ Suy Từ  2 2   xn  � 1  xn   , n ��  xn2   2 có xn   xn   1, n �� xn 1  1 1  xn2    xn2   xn  xn   xn  , n �� 2 2 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: n n 1 �2 � 1 �2 � �2 � a   x0   x1   � � x2    � � xn   � �, n �� 2 �3 � 2 �3 � �3 � n 1 �2 � a 0�a  lim � � n �� 2 �� Mà nên phải có Thử lại với Vậy a Bài a 1 xn    0, n giá trị cần tìm Cho dãy số phương  xn  �x0  20; x1  30 � x  3xn1  xn , n �� xác định �n Tìm n để xn 1.xn  số Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi xn ta có   3x   x  n ��, x n21  x n2  3xn 1 xn  x n21  xn x n  3xn 1  x n21  xn  xn  x n21  x n2  3xn 1 xn  xn 1 x n1 n n  x n2  xn 1 xn 1 Suy x n21  xn  xn  x n2  xn 1 xn 1   x12  x0 x2  500 � x n21  x n2  xn 1 xn  500 � x n21  x n2  xn 1 xn  500  � x n1  x n   xn 1 xn  500 Vậy xn 1 xn  500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn 1 xn  500 số phương 2 Đặt xn 1 xn  500  b , xn 1 xn   a , a, b ��, a  b Ta có a  b  501 �  a  b   a  b   1.501  3.167 www.thuvienhoclieu.com Trang 38 www.thuvienhoclieu.com Khi ta tìm a = 201, b=1 xn 1 xn  12600 � n  xn 1 xn  Với a = 85, b =82 7224 � n Vậy n = xn 1.xn  số phương Bài Dãy 1  un  xác số 22015 định sau: u1  � � un 1  un2  un  1,  n ��* � Chứng minh 1   22016 k 1 u k 2016  � Hướng dẫn giải u –2un    un –1 (1) Ta có: un 1 – un  n Do u1  � u2 – u1  � u2  u1 u  Từ phép quy nạp ta suy n dãy đơn điệu tăng thực sự, un nhận giá trị nguyên dương lớn với n  1, 2, Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dạng sau đây: un 1 –1  un2 –un  un  un –1 (2) Từ dẫn đến: un 1  1 1 1   �   , un (un  1) un  un un un  un 1   n � 1 � � �    (4) � � �uk 1 uk 1 1 � u  k 1 uk k 1 � k  � (3) Bây từ (3), ta có: n Từ (4) suy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 22 n1  1 un 1  1  1 22 n 1 � 22  un 1   2 n n (5) (ở n  2016 ) Ta chứng minh (5) với n Khi với n  2016 Do un nguyên dương với n , (5) tương đương n 1 n 22  �un 1   22 (6) u –1  uk 1  uk 1 –1 Xét n  k  Theo (2), ta có: k 2 Vì theo giả thiết quy nạp suy ra: k k k k uk    2 (22  1)  22 22  22 k 1 k 1 k 1 k 1 uk   �(22  1).(22   1)  22 22 www.thuvienhoclieu.com k 1 k  22 Trang 39 www.thuvienhoclieu.com Như với n  k  , ta thu được: k 2  uk    22 k 1 k 1 k � 22  �uk    22 (8) Từ (8) suy (6) với n  2, 3, Vì (5) n  2016 Ta có điều phải chứng minh! an2  5an  10 a1  1; an 1  n �1 �  an Cho dãy (an ) n 1 : Bài a) Chứng minh dãy (an ) hội tụ tính lim an a1  a2   an   n �1 n b) Chứng minh Hướng dẫn giải a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: Đặt A 5 x  x  10 10 f ( x)    x( x �5) 5 x 5 x xét hàm f '( x)  Suy Dẫn đến �an �3 n 10   x �3� � �   0x �� 1; ;1 � � 2� � � � , f ( x) nghịch biến đoạn � a1  a3  a5   a2 k 1   A �  lim a2 k 1  b �A � �� � �a2  a4  a6   a2 k   A � lim a2 k  c �A � c  5c  10 b � 5 � 5c � b  c  � b  5b  10 � c � 5b Kết hợp công thức xác định dãy ta được: � Vậy lim an  5 �5 � t �� 1; � � � � b) Nhận xét: t  f (t )   Dẫn đến a2 k 1  a2 k   k �1 � a1  a2   a2 k 1  a2 k  2k 5 (1) Như bất đẳng thức với n  2k www.thuvienhoclieu.com Trang 40 www.thuvienhoclieu.com Trường hợp n  2k  , ý a2 k 1  5 , kết hợp với (1) thu được: a1  a2   a2 k 1  a2 k  a2 k 1  (2k  1) 5 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho dãy số  un  � u1  1 � u  2 � � nun    3n  1 un 1   n  1 un  3, n ��* � sau n * a) Chứng minh un   3n, n �� n 1 b) Đặt S n  �uk k 1 Chứng minh n số nguyên tố n > S n chia hết cho n Hướng dẫn giải a) Với n  , u1   3.1  1 n  , u1   3.2  2 Giả sử uk  2k  3k ; uk 1  2k 1   k  1 Chứng minh uk   2k    k   , k ��* Ta có kuk    3k  1 uk 1   k  1 uk  � kuk    3k  1  k 1   k  1    k  1  2k  3k   � uk   k    k   Vậy uk   2k    k   , k ��* n 1 b) Đặt S n  �uk k 1 Chứng minh n số nguyên tố n  S n chia hết cho n n 1 Ta có: S n  Với n Sn  �uk   22   2n 1      (n  1)  k 1  2n 1 (n  1)n (n  1)n    2n 1  1  1 2 số nguyên tố � 2n1  www.thuvienhoclieu.com chia hết cho n Trang 41 www.thuvienhoclieu.com Do n số nguyên tố lớn � ( n  1) n n chia hết cho Vậy Sn Mn Bài � u1  �  un  �u2  18 � un   5un 1  6un  24, n ��* � Cho dãy số n  un chia hết cho 6n Chứng minh n số nguyên tố Hướng dẫn giải * Đặt  un  12 hay un   12, n �� Khi   5vn 1  6vn v1  12 � �   �v2  30 �   5vn1  6vn � Ta Phương trình đặc trưng   5   có nghiệm   �  n n Khi  a.2  b.3 Ta có v1  12 2a  3b  12 a3 � � � �� �� � v2  30 4a  9b  30 b2 � � � n n Suy  3.2  2.3 n n Khi un   12  3.2  2.3  12 Ta có un   n 1  3n 1   nên un chia hết cho Mặt khác n số nguyên tố nên theo định lý Fermat � 2n �2(mod n) � �n �3(mod n) � hay � 3.2n �6(mod n) � � n 2.3 �6(mod n) � n n Từ un  (3.2  2.3  12) �0(mod n) Suy un chia hết cho n Với n số nguyên tố n  � (n, 6)  Suy un chia hết cho 6n Bài x  Cho dãy số n x 1 � �1 � xn 1  xn  xn    xn  xn    16 � � với www.thuvienhoclieu.com Trang 42  n �N  * www.thuvienhoclieu.com n 1 a) Chứng minh xn  , với n �2 n yn  � lim yn k 1 xk  b) Đặt Tìm n�� Hướng dẫn giải a) Chứng minh xn  5n1 , với n �2 x2  10   521 n 1  n �2  Giả sử ta có xn  xn 1  xn  xn    xn  xn    16  x  xn   xn  xn    16 n  xn  xn   xn  5.5n 1  5n n Suy xn 1  n 1 Vậy theo qui nạp xn  với n �2 n yn  � lim yn k 1 xk  b) Đặt Tìm n�� Ta có: xn 1  xn  xn  � xn 1   xn2  xn    xn    xn  3 � 1 1    xn 1   xn    xn  3 xn  xn  � 1   xn  xn  xn 1  n n � 1 � 1 1 yn  �  ��     � xk  xk 1  � x1  xn 1  xn 1  k 1 xk  k 1 � �1 �1 lim yn  lim �  � n �� n � � � xn 1  � Vậy lim yn  n �� Bài (vì xn 1  n � lim n � � 0 xn 1 ) u1  � � u  3un 1  2n3  9n  9n  3, n �2 Cho dãy số (un ) xác định sau: �n Chứng minh p 1 với số nguyên tố p 2014�ui i 1 chia hết cho p Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Trang 43 www.thuvienhoclieu.com un  n3   un1  (n  1)3  n � Với ta có: 3 un  n   un 1  (n  1)    un   (n  2)3    3n 1  u1  13   3n Từ có: n 3 n Vậy un   n , n �2 , lại có u1    nên un   n , n �1 + Nếu p  : có đpcm p 1 �u i  (3  32   p 1 )   13  23   ( p  1)3  + Nếu p số nguyên tố lẻ: i 1 p 1 1 p 1 1� p 3 �  (3 p  3)  �� i   p  1 � � (3  3)  �� i3   p  i  � � � � � � 2 i 1 2� i 1 p i3   p  i  Theo Định lí Fermat nhỏ, suy  chia hết cho p Mặt khác chia hết cho p 1 (3 p  3)  �� i3   p  i  � � � p, i  1, p  nên: i 1 chia hết cho p Từ p 1 p 1 �p � 2014�ui  1007 � (3  3)  �� i3   p  i  � � � � i 1 i 1 � chia hết cho p Vậy toán chứng minh cho trường hợp Bài 10 Cho dãy số phương  xn  �x0  20; x1  30 � x  3xn1  xn , n �� xác định �n Tìm n để xn 1.xn  số Hướng dẫn giải Từ cơng thức truy hồi xn ta có   3x   x  n ��, x n21  x n2  3xn 1 xn  x n21  xn x n  3xn 1  x n21  xn  xn  x n21  x n2  3xn 1 xn  xn 1 x n1 n n  x n2  xn 1 xn 1 Suy x n21  xn  xn  x n2  xn 1 xn 1   x12  x0 x2  500 � x n21  x n2  xn 1 xn  500 � x n21  x n2  xn 1 xn  500  � x n1  x n   xn 1 xn  500 Vậy xn 1 xn  500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn 1 xn  500 số phương 2 Đặt xn 1 xn  500  b , xn 1 xn   a , a, b ��, a  b Ta có a  b  501 �  a  b   a  b   1.501  3.167 Khi ta tìm a  201, b  xn 1 xn  12600 � n  Với a  85, b  82 xn 1 xn  7224 � n www.thuvienhoclieu.com Trang 44 www.thuvienhoclieu.com Vậy n = xn 1.xn  số phương Bài 11 Bài Cho phương trình x   x   với  số nguyên dương Gọi  nghiệm dương x   , xn 1    xn  , n  0,1, 2,3, xác định sau Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên n cho xn chia hết cho  phương trình Dãy số  xn  Hướng dẫn giải Đầu tiên ta chứng minh  số vô tỉ Thật vậy,  số hữu tỉ  số nguyên (do hệ số cao x 1)  ước Do   suy   , trái giả thiết Do   xn1    xn1    xn1   � xn   xn 1  xn  � xn x 1 x  xn 1  n  � xn1   n  xn1      �x � � �n � xn1      � � (1) Lại có      , suy �  xn   xn  � x � �x � xn � xn 1  �  xn  n �  xn  �n �  xn  xn 1  �  � � � (do (1)) Vậy xn 1 �xn1  (mod  ) Từ quy nạp ta có với xn 1 �xn  (2 k 1)  (k  1) (mod  ) (2) k ��* , n �2k  1, k   l  l ��*  n   2l Chọn , , từ (2) ta có x2l �x0  l    l �0 (mod  ) * Vậy x2l chia hết cho  , l �� Bài 12  an  Cho dãy số xác định số phương a0  a1  2004 � � an   an 1  an  3978, n �� � an  10 Chứng minh 2014 Hướng dẫn giải Ta có an   7an 1  an  3978 � an   10 a  10 an  10  n 1   2014 2014 2014 a  10  n 2014 Ta dãy số   xác định Đặt v0  v1  � �   7vn 1   2, n �� � Ta phải chứng minh số phương www.thuvienhoclieu.com Trang 45 www.thuvienhoclieu.com Thật vậy, xét dãy số ( xn ) xác định Hiển nhiên dãy số  xn  �x0  1; x1  � �xn   3xn1  xn , n �� dãy số nguyên n ��, xn21  xn2  xn 1 xn  xn21  xn ( xn  xn 1 )  xn21  xn xn  xn21  xn2  3xn 1 xn  xn 1 ( xn 1  xn )  xn2  xn2  xn 1 xn 1 � xn21  xn xn   xn2  xn 1 xn 1  x12  x0 x2  1 � xn21  xn2  xn 1 xn  1, n �� Ta có (2) Ta chứng minh  xn , n �� (1) quy nạp Thật vậy, rõ ràng với n  0, n  , (1) Giả sử (1) đến n  k  1, k ��, tức  xn , n  1, 2, , k  ta chứng minh (1) với n = k+2, nghĩa chứng minh vk   xk   an  , giả thiết quy nạp, tính chất (2) dãy số  xn  , công Thật vậy, theo công thức truy hồi dãy số thức truy hồi dãy số  xn  , ta có vk   7vk 1  vk   xk21  xk2   xk21  xk2  2( xk21  xk2  3xk 1 xk )  xk21  xk 1 xk  xk2  (3 xk 1  xk )2  xk2 Do số phương Vậy ta có điều phải chứng minh 3 Cho dãy số ( xn ) xác định xn  2013n  a 8n  1, n  1, 2, a số thực a)) Tìm a cho dãy số có giới hạn hữu hạn Bài 13 b) Tìm a cho dãy số ( xn ) dãy số tăng (kể từ số hạng đó) Hướng dẫn giải 3 a) Ta có xn  (2a  2013) n  ayn , yn  8n   2n  8n3   (2n)3 (8n  1)  2n 8n   4n 3  (8n  1)  2n 8n3   4n lim xn Do tồn giới hạn hữu hạn n�� b) Từ lý luận phần a) ta suy ra) a 2013 � �khi a   � � 2013 � lim xn  � a   n �� � 2013 � �khi a   � � www.thuvienhoclieu.com Trang 46 2013 �0 Khi n � � www.thuvienhoclieu.com Bởi điều kiện cần để tồn m �N cho xm  xm 1  xm   * Ta chứng minh Thật vậy: Với a � a � a � 2013 2013 điều kiện đủ để có kết luận 2013 xn 1  xn  2013( n  1)  a 8(n  1)3   2013n  a 8n3   2013  a( 8( n  1)3   8n3  1) � 2013  2013 ( 8( n  1)3   8n3  1)  2013 [2  ( 8(n  1)3   8n  1)]  2013 (2  8n3   8(n  1)3  1)  Vì (2  8n3  1)3   12 8n3     8n   8n    12.2n  6(2n)  8n   8(1  3n  3n  n3 )   8(n  1)3  Suy x1  x2  x3  Vậy dãy số ( xn ) dãy số tăng kể từ số hạng với tăng từ x1 www.thuvienhoclieu.com Trang 47 a � 2013 trường hợp ( xn ) dãy số ... � �n1 �n � Bài 11 Cho dãy số xác định � Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải Trước hết, quy nạp, ta dễ dàng có xn  n �1 dãy số cho dãy tăng Ta có : x2  x1  x12  x1... Suy dãy số n cấp số cộng có v1  công sai d  Ta có  v1   n  1 d    n  1  3n  Do un  3n   3n  3n   3n  Thử lại thấy dãy số thỏa mãn u  Vậy số hạng tổng quát dãy số n Bài... cộng Hãy xác định số hạng đầu công sai cấp số b  b) Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng dãy số n theo N Từ đó, suy số hạng tổng quát dãy số  an  Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết