CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC PHẦN Bài Giải phương trình: sin x   cos x   cos x.sin 2sin x  Hướng dẫn giải x 3 0 �  x �  k � � , k , l �� (*) Điều kiện: sin x � � � �x �5  l � Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin x   cos x   cos x.sin x 3  � sin x  sin x.cos x  cos x   cos x    �2 �      sin x  cos x  3sin x  sin x.cos x  cos x  � sin x  cos x  sin x  cos x   � � � sin x  cos x   sin x  cos x  � cot x  � x   k , k ��  � � � � sin x  cos x  � � sin x cos  cos x sin � � sin �x  � 6� � � 6� sin x  cos x TH1: TH2: � x     2   k 2 � x   k 2 , k �� Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình cho có họ nghiệm x 7 2  k 2 , x   k 2 , k �� Bài Tìm tất nghiệm x �(2009; 2011) phương trình : cos x  sin x  cos x  sin x  Bài Chứng minh rằng:  sin 2a � �  cot � a �  sin 2a � 4� x y Bài Cho: sin x  sin y  2sin  x  y  , với x  y �k , k �� Chứng minh rằng: tan  tan  2 3  cot x 2  2cos x  Bài Giải phương trình : tan x  cos x  cot x Trang Bài Cho tam giác ABC với kí hiệu thông thường, biết: sin tam giác ABC cân Bài Giải phương trình sau: A B B A cos  sin cos Chứng minh 2 2 2(sin x  cos x)  3cos x  sin x Bài Tìm a để bất phương trình với x: 3sin x  2sin x.cosx  cos2 x  a �3 Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a , b , c , độ dài ba đường phân giác tương ứng với góc A , B , C l a , l b , l c l l l l l l Chứng minh rằng: a b  b c  c a �3 c a b Nhận dạng tam giác, biết: a  b  tan C (a tan a+btanb) � ax  a  y  cos x � Bài 10 Định a để hệ: � có nghiệm sin x  y  � cos x  sin x Bài 11 Chứng minh x  x thì:  16 sin x.cos2 x Bài 12 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm giải hệ phương trình tương ứng với � s inx.cos2 y  m  2m  � giá trị tìm m: � cos x.cos2 y  m3  � Bài 13 Cho hai phương trình sau: 2sin x  (1  sin  a).sin x  a.sin x (1) (a  1)(1  cos x)  2sin x  2sin x  2( a  1)3 (2) a Giải phương trình với a  b Tìm tất giá trị a để hai phương trình (1) (2) tương đương � 3 sin x  sin y  sin z  � � Bài 14 Giải hệ phương trình: � � cos x  cos y  cos z  � � Bài 15 Tìm tất giá trị x � 0; 2  cho: cos x �  sin x   sin x �2 Bài 16 Tìm số tự nhiên a nhỏ để phương trình sau có nghiệm: 3 x � x  � cos 2 (a  x )  2cos (a  x)  cos cos �  �  2a �2a � Bài 17 Cho tam giác ABC có tan A  tan C  tan B Chứng minh rằng: cos A  cos C � Trang Bài 18 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: góc: A  B BC AB  BC  Tính tổng số đo AB  BC AC  Bài 19 Xét tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max  A, B, C � Tìm giá trị lớn biểu thức: P  sin A  sin B  sin C Bài 20 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2m  1)(sin x  cos x)  (sin x  cos x)  2m  2m   Bài 21 Chứng minh với x �� ta ln có sin x  cos x �1 Bài 22 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm m  sin x  cos x  1  sin x  sin x  cos x  Bài 23 Giải phương trình: cos x  cos3x  sin x  cos x  sin x 2x  2x  2x   sin  3co s  thỏa Bài 24 Tìm tổng nghịch đảo nghiệm phương trình sin x 3x 3x mãn điều kiện x � 10  5 Bài 25 Tìm m để phương trình mcosx  cos3x  cos2x  có nghiệm khoảng ( ; ) 2 Bài 26 Trong tất tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P  cos2A  cos2 B  cos2C lớn Bài 27 Giải phương trình : 8cos x.cos 2 x   cos3 x   sin A sin B sin C   Bài 28 Tính số đo góc tam giác ABC , biết 2 Bài 29 Giải phương trình 2cos x   cot x   2sin x   Bài 30 Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos A   cos B  cos 2C    Bài 31 Tìm số tự nhiên a bé để phương trình sau 3x  x   cos  (a  x )  cos  (a  x )  cos cos    0; 2a  2a  Bài 32 Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : cos A  cos C  có nghiệm : ; Bài 33 Giải phương trình:  tan x.tan x  cos x Bài 34 Trong tam giác ABC biết số đo ba góc A, B, C lập thành cấp số cộng với A �B �C thỏa hệ thức cos A  cos B  cos C  1 Tính số đo góc A, B, C �  5x � 9x  2cos � �4 � Bài 35 Giải phương trình cos3x  sin7x  2sin �  Bài 36 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt khoảng �  � : � ; � � 2� � 4x x� 4cos2 x  16m� sin  cos4 � 14m 1 4� � Bài 37 Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4 Trang Hướng dẫn giải x=kπ nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa pt sin4x=sinx Suy x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5 x≠kπ nên pt có nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π Bài 38 Giải phương trình: (cos x  1)(2cos x  1)   sin x  2cos x sin x Bài 39 Cho phương trình: (m  3)sin x  ( m  1)cos x  cos x  ( m  2)sin x  a) Giải phương trình m  5 � 5 � , b) Xác định tham số m để phương trình có nghiệm x �� � 4� � Bài 40 Cho tam giác ABC có góc A, B, C thỏa mãn hệ thức: 1 1 1      cos A cos B cos C sin A sin B sin C 2 Chứng minh tam giác ABC tam giác  x 2sin (  )s inx - cos3 x Bài 41 Giải phương trình :  3 sin x  cos x 4x 2x  cos  m 0 có nghiệm Bài 42 Tìm m để phương trình cos x 1 x 1 ABC Bài 43 Tam giác có ba góc thỏa mãn hệ cos A sin B sin C  (sin A  cos B  cos C )  17 0 Hãy tính góc tam giác cos x  3cos x   1 Bài 44 Giải phương trình: sin x  Bài 45 Giải phương trình sau sin x   sin x  cos x  1  2sin x  cos x    Hướng dẫn giải PT �  sin x  cos x     sin x  cosx  1  2sin x  cos x  3  thức : �  sin x  cos x  1  sin x  cos x  1   sin x  cosx  1  2sin x  cos x    �  sin x  cos x  1   sin x  cos x    x  k 2 � sin x  cos x  � � �� � , (k ��)  � sin x  cos x  4(VN ) x   k 2 � � Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x  k 2 , x  Bài 46 Cho cos2     k 2 , (k ��) � �  với     Tính giá trị biểu thức: P    tan  cos�   � �4 � Hướng dẫn giải Trang Do      nên sin  0,cos  Ta có: cos2    cos2 1  � cos   , 10 10 sin2    cos2   sin � sin  , tan   3 10 cos 10 Khi đó: P    tan  � �   � �  � 10 10 �  cos  sin     3 1  cot x cos x  Hướng dẫn giải  � � cos x � � �x ��  k 2 ,  k , l �� �� Điều kiện xác đònh � � � sin x �0 � �x �l Bài 47 Tìm tập xác định hàm số y  Bài 48 Tìm giá trị nhỏ hàm số y  cos x  tan x Hướng dẫn giải 1 * y  cos x  cos x * cos x  �2 cos x * y �1 � GTNN y = * y = � cos x  � cos x  � sin x  � x  k , k �� cos x cos x  sin x  Hướng dẫn giải 3 cos x  sin x  � cos x  sin x  2 Bài 49 Giải phương trình Trang    sin x.sin  6 � � � cos � x  � 6� �  � x   k 2  � x    k , k �� 12 � cos x.cos �� 0; �: Bài 50 Tìm tất giá trị thực m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc � � 2� cot x   m  1 cot x  3m   Hướng dẫn giải �� 0; �� t  * t = cotx , x �� � 2� * cot x   m  1 cot x  3m   (1) � t   m  1 t  3m   (2) �� 0; �� pt(2) có nghiệm dương phân biệt Pt(1) có nghiệm phân biệt x �� � 2� '  � � � �S  �P  � � kết : m < - v < m< 3 Bài 51 Giải phương trình (7  2) cos x  (17  12 2) cos x  cos x Hướng dẫn giải Tập xác định: D = R Phương trình cho tương đương với phương trình: (1  2)3cos x  (1  2) 4cos x  cos3 x  3cos x � (1  2)3cos x  3cos x  cos x  (1  2) 4cos x Xét hàm số f(t) = (1  2) t  t , ta có f(t) đồng biến với t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x)  3cosx = 4cos3x Trang  cos3x =  x =  k  ,kZ Bài 52 Tìm m để bất phương trình sau với x 1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – Hướng dẫn giải Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài tốn trở thành: tìm m cho maxf(x)  2m – Ta có f2(x) = + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx Đặt t = sinx + cosx,  �t � Ta có: f2(x) = g(t) = + 4t + 22t2 + 2t – 1 với  �t � g (t )  4(  1) Xét biến thiên g(t) ta có: �max 2; 2� � � Vì f(x)  nên ta có: maxf(x) = max f ( x)  max g (t )  2(  1) 3 2 1    Bài 53 Rút gọn tổng S = n số tự cos x cos x cos x cos 3x cos nx cos(n  1) x Vậy ta có: 2( � 1) ۳2m m nhiên Bài 54 Biết sin2x + sin2y = Bài 55 Rút gọn : P = cos , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = tg2x + tg2y  2 3 n cos cos cos 2n  2n  2n  2n  tg  cos   Bài 56 Chứng minh ta có sin(3   ) 7 sin(   ) tg  sin  Bài 57 Trong tam giác ABC có A = 360, AB = AC = BC = x Giả sử x  p q , tìm cặp số nguyên (p, q) sin x cos x sin x cos x   Bài 58 Cho Chứng minh rằng: , (a > 0, b > 0)   3 a b ( a  b) a b a b Trang Bài 59 Cho tg xtg y  tg ytg z  tg ztg x  2tg xtg ytg z 1 Tính giá trị biểu thức P sin x  sin y  sin z 1 Q    3 5 Bài 60 Tính giá trị biểu thức: cos cos cos 7 Bài 61 Cho tam giác ABC Tìm đặc điểm tam giác biểu thức M cos A B C đạt cos cos 2 giá trị lớn Bài 62 Cho số thực a, b, c thoả mãn a  b  c 4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu  thức T a  b sin x  c sin x , x  (0; ) x   ; ] Bài 63 Tìm giá trị lớn hàm số y  f ( x)   sin x với x  [ 2 n n     Bài 64 Tìm giá trị nhỏ hàm số y  f ( x) 1    1   với n số tự nhiên 2  sin x   cos x  Bài 65 Cho tam giác ABC thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC Chứng minh rằng:  a) B  , b) cosA+ cosC  Bài 66 Cho tam giác ABC thoả mãn: tg ABC vuông sin A B tg  Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác 2 A B C sin sin  2 10 Bài 67 Tính tổng S = sin 39  sin 69  sin 1830  sin 2130 Bài 68 Chứng minh rằng: cos 2  cos 4  cos  33 3 6   Bài 69 Cho x, y, z, t số thực nằm thoả mãn: 2 sin x  sin y  sin z  sin t 1   cos x  cos y  cos z  cos 2t 10   Chứng minh rằng: x, y, z, t  Trang Bài 70 Tìm GTNN hàm số y  1   , x  (0; ) sin x cos x Bài 71 Tìm GTNN, GTLN hàm số: y sin Bài 72 Tìm GTLN, GTNN hàm số: y  2x 4x  cos 1 1 x 1 x2 cos x  cos x  cos x  Bài 73 Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A Gọi O, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác ABC Tính tỷ số OH R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác R Bài 74 Cho tam giác ABC vng C Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ma , mb độ dài đường trung tuyến tam giác kẻ từ A, B Tìm giá trị lớn của: r2 ma2  mb2 Bài 75 Giải phương trình sau: 1/ sin x  cos x  sin x cot gx  cos xtgx  sin x 2/ cos x  sin 10 x 3  cos 28 x sin x 3/ sin x sin x  4/ sin( x         ) cos( x  )  cos ( x  )   4sin x  cos(  x) cos(  x) 8 3   5/ sin x(16 sin x  20 sin x  5) 1 6/ (16 sin x  20 sin x  5)(16 sin x _ 20 sin x  1 Bài 76 Chứng minh rằng: 4cos36  cot g 30      Bài 77 Cho 1 1    7 Tính sin 2 x 2 tg x cot g x sin x cos x Bài 78 Chứng minh rằng: cos  2  cos  5 Bài 79 Thu gọn tổng S = tga.tg 2a  tg 2a.tg 3a   tg (na).tg (n  1)a Bài 80 Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1) (2 cos n  a  1) Trang Bài 81 Tính tổng: S = 2 sin tg  3 sin  sin 6 , P = tg  5 7  tg  tg , 18 18 18 R=  5 7  tg  tg 18 18 18 Bài 82 Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x   ) k,  tham số thực Chứng minh rằng: M  m 2 Bài 83 Hãy xác định dạng tam giác ABC góc tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau: A B C tg tg 2    B C C A A B A B C  tg tg  tg tg  tg tg 4tg tg tg 2 2 2 2 tg PHẦN Câu 1: Giải phương trình sau đây: sin x  sin x  cos x Hướng dẫn giải: Ta có: sin x  sin x  cos x  cos x 1 �  sin x  sin x   cos x  cos x 4 2 1� � 1� � � � sin x  � � cos x  � 2� � 2� � � cos x  � 1 � � � sin x   cos x  � sin x  � 2 � � sin x  cos x  � � �� � � cos x �0 � � sin x    cos x � sin x   cos x � � � 2 sin x  cos x � � � Trang 10 t  1 g(t)  16 Dựa vào bảng biến thiên suy (3) xảy   Vậy giá trị m cần tìm là: Bài 47  4m  �3  m� 16 64 47 m� 64 Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx Hướng dẫn giải Ta có PT  (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 2  Đáp số: x  �  k 2 , x   k Bài ( k �Z ) Tính góc tam giác ABC, biết 2sin A.cos B.sin C  3(cos A  sin B  cos C )  17 Hướng dẫn giải 2  3  3  3    sin B     cos C   0 Đẳng thức   cos A       2       Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200 Bài Giải phương trình : cos x   sin x  cos x   Hướng dẫn giải Trang 24 cos x   sin x  cos x   � cos x  sin x  cos x � � � cos � 2x- � cos x � 3� �  2x-  x  k 2 � ��  � 2x-   x  k 2 � � Bài Giải phương trình: 2sin x + = Hướng dẫn giải 2sin x + = � sin x   � � � sin x  sin �  � � 3�  � x    k2 � �� (k ��) 4 � x  k2 � � Bài 10 �cos2x sin x �  Giải phương trình:  cot x  � � cosx � �sinx Hướng dẫn giải �cos2x sin x �  cot x  �  � cosx � �sinx sin 2x Điều kiện : sin x.cos x �۹۹� PT �  cot x  �  cot x  �  cot x  x  n , n � cos 2x cos x  sin 2x sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x Trang 25 �  2  sin x sin x Đặt : t  , | t |  Ta có: sin x t  1(lo� i) � t2  3t   � � t � �  x   k2 � 1  � sin x  � � (k �Z) Với t  � 5 sin x � x  k2 � � �  x   k 2 � ��  2 � x  k � �  k �� Bài 11 Hướng dẫn giải Xét phương trình: ( Sin x  sin x  4) cos x   (1) 2sin x  Điều kiện: sin x � Phương trình (1) � sin x.cos x  sin x  cos x   1� � 1� � � sin x � cos x  � � cos x  � 2� � 2� � 1� � � � cos x  �  sin x    2� �  � x  �  k 2 Đối chiếu với điều kiện: x    k 2 Vậy phương trình có nghiệm: x    k 2 Trang 26 Bài 12    �x  x  y  y   (1) � Giải hệ: � �   x  x   y (2) �   ( x, y ��) Hướng dẫn giải Điều kiện: x �1, y �1  x x, y ��, ta có   x   x  x    y   y2   y  y2 1  2 � �y  y    x  x  (3) Kết hợp với  1 ta được: � 2 x  x    y  y  (4) � � Cộng  3   ta y   x , vào   ta được:    x2  x   x2  (5) �� 0; Đặt x  sin t , t �� , phương trình   trở thành � 2� �  cos t  sin t (1  cos t ) � cos � t t t � � t�  2sin cos � 1 �  2sin � � 2 � � 2� � 4 �  t  k � t  t t � sin  sin � � � 3sin  4sin    2 � t  k � � �  t � � x �� 0; �, ta � �� Với t �� �  � 2� � x 1 t � � � �1 � Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  � ;  �và  1; 1 �2 � Bài 13 Giải phương trình sau: cos x  5cos x Bài 14 Cho phương trình: cos x   m  1 sin x  m  Trang 27 a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0;  ] Tính góc tam giác ABC biết: cos A  cos 3B  cos 3C  1,5 � 3� Bài 15 Giải phương trình: 2cos �x  � 3cos x  s inx  � 4� Bài 16 Tìm giá trị nhỏ hàm số: f  x   cos x  sin x  cos x sin x Bài 17 Bài 18 Bài 19 �2 � Cho số thực x thỏa mãn sin x  sin �  x � �7 � � � tan �  x � �7 � Tính giá trị biểu thức P   tan (sin x  sin x  4) cos x  0 Giải phương trình 2sin x  PHẦN � 3 � �cos x  sin x � 2x  Bài Giải phương trình sau: 3tan2x  2sin� � 2� � � �cos x  sin x � cos2x � Hướng dẫn giải Điều kiện: cos2x �۹ �x   k  k � (*) Với điều kiện phương trình cho tương đương với: 2 cos x  sin x sin2x  2cos2x   � 3sin2x  2cos2 2x  2 cos x  sin x  cos2x cos x  sin x cos2x � sin2x  1 2 � 3sin2x  1 sin 2x  2 1 sin2x  � 2sin 2x  sin2x  1 � � � sin2x  � �  x    k � �  �� x   k  k �� � 12 � 5 � x  k � 12 �   Trang 28 Kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình cho là: x   5  k x   k  k �� 12 12 sin4 2x  cos4 2x  cos4 4x � � � � Bài Giải phương trình: tan�  x� tan�  x� �4 � �4 � Hướng dẫn giải  Điều kiện: x ��  k  k �� (*) Với điều kiện phương trình cho tương đương với: 1   cos 4x  cos4 4x � 2cos4 4x  cos2 4x  1 � cos2 4x  1� x  k  k �� 2 Kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình cho là: x  k  k�� Bài Giải phương trình: s inx + 2sin x = cos x � p� � 2sin x + cos � x- � + � � � Bài Giải phương trình: � 6� = 1- cos x 1  cos x  cos x   cos x  cos x  16 2 Bài Giải phương trình: 16 p� 2� 2x + � � Bài Giải phương trình: ( + 2cos x) sin x + sin x = 2sin � � � � � 4� 3x �5 x  � �x  � sin �  � cos �  � cos �2 � �2 � Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: tan x +1 ( s inx + cos x ) = ( sin x + 3cos x)  (1  cot x.cot x)  48 Bài Giải phương trình: cos x sin x Bài 10.Giải phương trình: Bài 11 Giải phương trình: 2(sin x  cos x)  cos x  sin x 4sin 2 x  6sin x   3cos x  cos x Bài 12 Cho hàm số: f  x    sin x  cos x  cos2 x  Giải phương trình: Trang 29 a) f  x   2 b) f  x    Bài 13 Chứng minh với giá trị x, ta có: sin x   sin x �1 Bài 14 Giải phương trình: sin x   sin x  cos x  cos x Bài 15 Cho phương trình sau:  m  3 sin x   m  1 cos3 x  cos x   m   sin x  a) Giải phương trình m  5 b) Xác định tham số m để phương trình có nghiệm Bài 16 Cho phương trình sau:  2x 1 2x cos  sin  m  (với m tham số) x x 1� � 50;  �của phương trình a) Khi m  , tìm tất nghiệm x �� 2� � � 1� b) Xác định m để phương trình có nghiệm x �� ; � �2   � Bài 17 Tìm x thuộc khoảng  0;14 nghiệm phương trình: cos 3x  cos x  3cos x   � 3� Bài 18 Giải phương trình: sin �x  � sin x � 4� 6 Bài 19 Giải phương trình: 3cos x  4sin x  3cos x  4sin x  Bài 20 Cho phương trình: sin x   m  3 sin x  m   3 � � Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc � ; 2 � �2 � � cos3 x  3cos x.sin2 x  a � v� � i a, b�� Bài 21 Cho � sin x  3sin x.cos2 x  b � Chứng minh rằng:  a  b   a  b  � Bài 22 Chứng minh rằng: 1   cos8x  2cos x,x�� 0; � � 8 � 8� 1 25 cos4 x  cos2 x  cos4 x   cos2 x  16 16 Bài 24 Giải phương trình: 1 sin3 x  cos3 x  sin2x Bài 23 Giải phương trình: 1 Trang 30 1  cos4 x  cos2 x   cos4 x  cos2 x  16 16 2 2 2 Bài 26 Giải phương trình: cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  Bài 25 Giải phương trình:  Bài 27 Tìm a để phương trình: acos2x  a cos4x  cos6x  có nghiệm x ��  k , x  k , v� � i k �� có nghiệm Bài 28 Giải phương trình: sin2xsin4x  3sin x  4sin x     Bài 29 Giải phương trình: cos2x  cos3x  sin x  cos4x  sin6x sin4x Bài 30 Giải phương trình: 1 cos x  cos x cos2x  �3 � sin x   1 2k sin x  k  Bài 31 Cho phương trình: �  k � �4 � Tìm k để phương trình có nghiệm Bài 32 Tính tổng nghiệm phương trình: cos2 x  cos3 x  cos2x  tan2 x  v� � i x�� 1;70� � � cos2 x Bài 33 Giải phương trình: 1 10 cos x   sin x   cos x sin x  Bài 34 Giải phương trình sau:   sin x  cos x  tan5x  cot5x Bài 35 Giải phương trình sau: 3tan2x  Bài 84   Giải phương trình:  cos x     1 cot x 2  2cos2x  cos2x 1 cot x   cos x     sin x.cos x  sin x  cos x   Hướng dẫn giải   sin x.cos x  sin x  cos x    � cos x   sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  �  sin x  cos x    sin x  cos x   Trang 31 � � � sin �x  � � sin x  cos x  � � 4� �� �� � � � sin x  cos x  � sin �x  � � � � 6� �  x   k �  � x   k � � �   � � x    k 2 � � x  k 2 � 6 � 2 �  5 x  k 2 � � x   k 2 � � Bài 85  k �� Giải phương trình: 3tan2 x  cos x �0 cos x �0 � � � � sin x �۹� sin x ĐK � � � � cot x �1 cos x  sin x �0 � � Khi phương trình cho trở thành  cotx 2  cos x  cos x  cotx Hướng dẫn giải cos x �0 � � sin x �0 � 3sin x  sin x  cos x 2  cos x  cos x sin x  cos x 3sin x  cos x  sin x � 2  cos x   cos x  sin x   cos x  sin x  sin x  cos x 3sin x    cos x  sin x   cos 2 x    � 3sin x     sin x    sin 2 x  � 2sin 2 x  sin x   � sin x  1;sin x   +) sin x  � cos x  không thỏa mãn ĐK   � � x    k 2 x    k � � � � �� +) sin x   (thỏa mãn ĐK) � �  � �x  2  k x     k 2 � 3 � Bài 86  k �� Giải phương trình sau đây: 1) sin x  sin x  cos x 2) (1  t anx)sin2x=2tanx Bài 87 Giải phương trình: tan x  cot x  tan x  2 sin x Trang 32 Hướng dẫn giải +) §iỊu kiƯn +) Tìm đợc tanx = tanx = k Bi 88 Tìm m để phơng trình: 4(sin x  cos x )  4(sin x  cos6 x )  sin x  m   cã nghiÖm x �( ; ) +) Giải loại nghiệm §S: x  Hướng dẫn giải +) §a PT vÒ d¹ng: 2cos x  cos x  2m (1) +) Đặt t = cos4x với x �(   ; ) � t�(-1; 0) +) XÐt f(t) = 2t2 + t trªn (-1; 0) có bảng biến thiên Và PT (1) có nghiệm đờng thẳng y = 2m +1 (song song trùng 0x )cắt f(t) (-1; 0) +) §S: m �(  ;1) Bài 89 Giải phương trình: 2sin x  6cos3 x  cos x  3sin x  Bài 90 Giải phương trình: (sinx  2cos x)cos2 x  sinx  (cos4 x  1)cos x  Bài 91 Giải phương trình: cos2 x 2sinx Hướng dẫn giải Dùng công thức hạ bậc ta được: Sử dụng ct nhân đôi giải được: sinx=0; sinx=1/2 Trang 33 Từ suy nghiệm pt: x 0 Bài 92 Giải phương tình : sin 2x  cos2x  sin x  cos Bài 93 3� � Cho hàm số y  cos x Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số � ; � 2� � Bài 94 Giải phương trình: cos3x  cos � � Bài 95 Giải phương trình: Bài 96 Bài 97 �9x � �4 � x x  cos x  cos x 2 sin sin(  ) 2 Giải phơng trình: sin( x  )  sin( x  )  sin(5 x  ) 0 6 � � sin x  cos3x  2cos �x  �  � 4� Hướng dẫn giải Ta có: � � sin x  cos3 x  2cos �x  �  � 4� � sin 3x  cos3 x   cos x  sin x    � sin 3x  sin x  cos3x  cos x   cos x  sin x    � 2sin x cos x  2sin x sin x   cos x  sin x    � 2sin x  cos x  sin x    cos x  sin x    � � � cos �x  � ; t ��  2; � � � � Ta có: 2(1  t )t  t   � 2t  t   � t  x  k 2 � � � � � � t  1: cos �x  � � cos �x  � �  � x    k 2 � 4� � 4� � Đặt: t  cos x - sin x  Bài 98 Cho phương trình sau: với m tham số 1) Khi m = 0, tìm tất nghiệm phương trình Trang 34 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Bài 99 Cho phương trình sau: 1) Giải phương trình 2) Xác định tham số m để phương trình có nghiệm  cos x  1  cos x  1   sin x  cos x s inx Bài 101 Tính gần nghiệm (độ, phút, giây) phương trình 4sin x  cos x  2sin2x  Bài 100 Giải phương trình: Hướng dẫn gii Biến đổi phơng trình 4sin x cos x  2sin2x     �  4sin x   (1  cos x)   � 4sin x   cos x 4sin x   cos x  � � � � sin x  � Do phơng trình có họ nghiệm x  k3600 � � x �33059'16'' k3600 � � x �14600'44'' k3600 � Bài 102 Cho tam giác ABC Có góc A,B nhọn thỏa điều kiện : Sin A  SinA.CosB  SinBCosA  Sin B 0 Chứng minh tam giác ABC vuông Hướng dẫn giải Từ gt có SinA(SinA-CosB) +SinB(SinB-CosA)=0  ( SinA  CosB)( SinB  CosA) 0 (1) (2đ) Lại có : Sin A  Cos B Sin B  Cos A  ( SinA  CosB)( SinB  CosA) 0 (2) (2đ) Trang 35 Vậy SinA=CosB SinB=CosB  A  B     C   Tam giác cho vuông đỉnh C 2 (1đ) � � �  � 4� x Giải phương trình: sin x  cos3 x  2cos � a) Bài 103 Giải phương trình:  x x x    2 2 1) Sin sinx - cos sin x + = cos 2) cos x  x  2 x 10 Bài 104 Giải phương trình : 3tan2x - Bài 105   Giải phương trình:  cos x      cot x   cos x = cos x  cot x   cos x     sin x.cos x  sin x  cos x   Hướng dẫn giải   sin x.cos x  sin x  cos x    � cos x   sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  �  sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  �  sin x  cos x    sin x  cos x   � � � sin �x  � � sin x  cos x  � � 4� �� �� � � � sin x  cos x  � sin �x  � � � � 6� �  x   k �  � x   k � � �   � � x    k 2 � � x  k 2 � 6 � 2 �   x  k 2 � � x   k 2 � � Bài 106 � �  k �� x� 2�  tan x.tan � tan x   Giải phương trình: sin x � cos x Trang 36 Hướng dẫn giải x �0 Phương trình cho tương đương x x� � �cos x.cos  sin x.sin � sin x � � tan x    tan x x � � cos x.cos � � sin x �  tan x    tan x cosx � tan x  tan x   � tan x  tan x    tan x  � x   k  tan x   � x    k ĐKXĐ: cos x.cos Kiểm tra ĐK thỏa mãn Vậy nghiệm PT x     k ; x    k , k �� Tìm số tự nhiên a bé để phương trình sau có nghiệm cos  ( a  x)  cos  ( a  x)  cos Bài 107 Bài 108 Bài 109 Giải phương trình: 3 x � x  � cos �  �  2a �2a �  cos x  1  cos x  1   sin x  cos x s inx  3 x    x     sin   Giải phương trình: sin  10   10  Giải phương trình: cos x  3 sin x cos x Hướng dẫn giải cos x  cos x  3 sin x 0  sin 3x sin x  3 sin x 0  sin x sin x(3  sin x)  3 sin x 0 sin x 0 (1)  sin x sin x(1  cos x)  3 0    sin x (1  cos x ) 3 (2) Giải (1) ta đợc x=k với k    Gi¶i (2): Ta cã (2)  sin x cos x  sin x  3 3 (3)  sin x cos 2 x  sin x  2 Trang 37 p dụng BĐT Côsi cho sè: sin 2 x, cos 2 x cos 2 x ta có :  , 2 cos 2 x cos 2 x (sin x cos 2 x) sin x   3 2 2  sin x cos 2 x  sin x cos 2 x  1 < 3 Do ®ã sin x cos x  sin x  3 3 2 Suy (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm Kết luận: Phơng trình có nghiệm x=k với k   Bài 110 Giải phương trình:  sin x  cos x   2sin 2   x  sin x sin x   Hướng dẫn giải PT �  2sin x cos x   cos x  sin x  4sin x  sin x  �   4sin x    2sin x cos x  cos x   sin x  sin x  �   2sin x   cos x  2sin x  1  sin x  2sin x  1 �  2sin x  1 +)  sin x   � sin x  cos x   � � � sin x  cos x    � � sin x  cos x   � sin �x  � 1 � 6� � x       k 2 � x    k 2 , k �� �  x   k 2 �  k �� +) 2sin x   � sin x  � � 5 � x  k 2 � � Vậy phương trình cho có nghiệm x     5  k 2 , x   k 2 , x   k 2  k �� 6 Trang 38 ... Trang 13 Câu 6: Cho phương trình: cos x –  2m  1 cos x  m   a Giải phương trình m  � 3 � � �2 � b Tìm m để phương trình có nghiệm x �� ; Hướng dẫn giải a m  phương trình  cos x  cos... 638 Câu 8: Cho phương trình m sin x  cos x   m (1) ( m tham số) a Giải phương trình (1) với m  b Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải a Với m  Thay vào phương trình  1 ta được:... Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  � ;  �và  1; 1 �2 � Bài 13 Giải phương trình sau: cos x  5cos x Bài 14 Cho phương trình: cos x   m  1 sin x  m  Trang 27 a) Giải phương trình