Quan hệ vng góc QUAN HỆ VNG GĨC I TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1) Góc đường thẳng:  Góc đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a, b  Để xác định góc a b, ta lấy O thuộc đường thẳng đó, vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại 2) Hai đường thẳng vng góc:  a  b  góc a b 900 a a' O  b a  b bc a / / c   3) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng:  a  ( P)  a  b, b  ( P)  a, b  ( P )  a  b  O  d  ( P)  d  a, d  b  d  AB  d  BC  Cho ABC , đó:  d  AC a  ( P) a  ( P )  b  ( P);   a  (Q) b / / a (Q) / /( P) a  ( P)  a / /b a  ( P) ( P) / /(Q)  ;    b  ( P)  a  b a  (Q) ( P)  (Q) a / /( P) a  b a / /( P)  b  a;     b  ( P) ( P)  b  a  ( P)   4) Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc d hình chiếu lên (P) a  a' (P) 5) Góc hai mặt phẳng: Bùi Phú Hữu Quan hệ vng góc Hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Khi góc (P), (Q) góc hai đường thẳng a, b chứa (P), (Q) đồng thời vng góc với d (Q) b  a (P) 6) Khoảng cách: a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d(M, (P)) = MH với H hình chiếu M lên mặt phẳng (P) M H (P) b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung chúng a A d(a,b)=AB B b Cho a b chéo nhau, gọi (P) mặt phẳng qua b (P) // a Khi đó: a A d  a, b   d  A,  P   A  a a' H (P) II b VÍ DỤ MINH HỌA VD1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O SA = SB = SC = SD = a√ a Chứng minh SO  (ABCD) b Chứng minh (SAC)  (SBD) c Gọi I trung điểm AB Chứng minh SI  CD d Tính góc SC (ABCD) e Tính cosin góc (SAB) (ABCD) f Tính khoảng cách SC BD GIẢI Bùi Phú Hữu Quan hệ vng góc S H C B I O D A a O tâm hình vng ABCD nên O trung điểm AC, BD Các tam giác SAC, SBD cân S suy SO  AC, SO  BD AC BD cắt mặt phẳng (ABCD) Vậy SO  (ABCD) b Ta có SO  AC ABCD hình vng nên BD  AC Suy (SBD)  AC Mà AC  (SAC) nên (SAC)  (SBD) c Do I trung điểm AB SAB cân S nên SI  AB Lại có CD // AB nên ta suy SI  CD d Do SO  (ABCD) nên OC hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) Góc SC (ABCD) SCO Có OC = ½AC = ̂ √  ̂ Vậy góc SC (ABCD) 600 e Do SI  AB OI  AB nên góc (SAB) (ABCD) SIO ̂ Tam giác SIO vuông O nên ta có Mà OI = ; SI = √ √  ̂ √ f Vẽ OH  SC Do BD  (SAC) nên BD  OH Suy OH đoạn vng góc chung SC BD Khoảng cách SC BD OH Ta có OH = √ VD2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB, SAD vng cân A a Chứng minh SA  (ABCD) b Chứng minh (SAC)  (SBD) c Gọi I, H trung điểm SB, SD Chứng minh SC  (AIH) d Tính tan góc SC (ABCD) e Tính cosin góc (SBD) (ABCD) f Tính khoảng cách SD AB GIẢI Bùi Phú Hữu Quan hệ vng góc a Các tam giác SAB, SAD vuông cân A suy SA  AB, SA  AD Vậy SA  (ABCD) b Ta có SA  (ABCD)  SA  BD ABCD hình vng nên BD  AC Suy (SAC)  BD Mà BD  (SBD) nên (SAC)  (SBD) S I H A B O D C c Do I trung điểm SB SAB vuông cân A nên AI  SB (1) Mặt khác BC  AB, BC  SA suy BC  (SAB) Lại có AI  (SAB) nên ta suy AI  BC (2) Từ (1) (2) suy AI  SC Chứng minh tương tự ta AH  SC Vậy SC  (AHI) d Do SA  (ABCD) nên AC hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) Góc SC (ABCD) góc SCA Có AC = √ , SA = AB = a ̂ √ e Do SO  BD OA  BD nên góc (SBD) (ABCD) góc SOA ̂ ta có √ f Có AH  SD Do AB  (SAD) nên AB  AH Suy AH đoạn vng góc chung SD AB Khoảng cách SD AB AH √ Ta có AH = ½ SD = VD3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC vuông cân A, AB = a, AA’ = a ; hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H đoạn BC a Chứng minh AA’  BC Tính diện tích tứ giác BCC’B’ b Tính góc BB’ mặt phẳng (ABC) c Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC), (AA’B’B) GIẢI: Bùi Phú Hữu Quan hệ vuông góc A' C' B' A C K H B a Do ABC vuông cân A H trung điểm BC  AH  BC (1) A’H  (ABC)  A’H  BC (2) Từ (1) (2)  AA’  BC Do ABC.A’B’C’ hình lăng trụ nên BCC’B’ hình bình hành Lại có BB’ // AA’  BB’  BC, BB’ = AA’ = a BC = AB = a  BCC’B’ hình vng SBCC’B’ = BC2 = 2a b) BB’ // AA’  góc BB’ mặt phẳng (ABC) góc AA’ mặt phẳng (ABC) AH hình chiếu AA’ lên mặt phẳng (ABC)  góc AA’ mặt phẳng (ABC) A ' AH cos A ' AH  AH   A ' AH  600 AA ' Vậy góc BB’ mặt phẳng (ABC) 600 c)  ABC   AA’B’B   AB Gọi K trung điểm AB  KH // AC  KH  AB (1) Mặt khác HA’  (ABC)  HA’  AB (2) (1), (2)  KA’  AB (3) (1), (3)  góc (BCC’B’) mặt phẳng (ABC) góc KA’ KH Xét A’HK vng H có: KH  a a KH , KA '  A ' A2  AK   cos A ' KH   2 KA ' Vậy cosin góc hai mặt phẳng (ABC), (AA’B’B) III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân B, hai tam giác SAB, SAC tam giác vuông A a Chứng minh SA  (ABC) b Chứng minh tam giác SBC vuông c Vẽ AH vng góc SB Chứng minh (AHC)  (SBC) d Tính góc SC (ABC) biết AB = a, SA = a√ e Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) AB = a SC = a√ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC tâm O cạnh a, SA = SB = SC = Bùi Phú Hữu Quan hệ vng góc 6 a Chứng minh SA  BC b Chứng minh SO  (ABC) c Tính góc SA (ABC) d Tính độ dài SO Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, AB = 2AD = 2a, SA = SB = SC = SD = 2a a Chứng minh SO  (ABCD) b Tính góc hai đường thẳng SA, CD c Gọi I trung điểm BC, chứng minh AD  SI d Tính sin góc SC (ABCD) e Tính tan góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a SA = SC, SB = SD = a, ̂ a) Chứng minh SO  (ABCD) b) Chứng minh (SAC)  (SBD) c) Chứng minh tam giác SAC vuông cân d) Tính khoảng cách SC BD e) Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a, SA  (ABCD), SA = a√ a) Chứng minh tam giác SBC, SDC tam giác vng b) Tính góc SC mặt phẳng (ABCD) c) Gọi H, K hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh SC  (AHK) d) Tính cosin góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (ABCD) e) Tính khoảng cách AB SD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = 2a, AD = DC = a, SA = a√ Hai mặt phẳng (SAB), (SAD) vng góc với đáy (ABCD) a Chứng minh SA  (ABCD) b Tính góc SC (ABCD) c Chứng minh tam giác SBC, SDC tam giác vng d Tính khoảng cách SC AB Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC đều, AB = a, AA’ = a ; hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm H ABC a Chứng minh AA’  BC Tính diện tích tứ giác BCC’B’ b Tính góc BB’ mặt phẳng (ABC) c Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC), (AA’B’B) Bùi Phú Hữu .. .Quan hệ vng góc Hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Khi góc (P), (Q) góc hai đường thẳng a, b chứa (P), (Q) đồng thời vuông góc với d (Q) b  a (P) 6) Khoảng... điểm SB, SD Chứng minh SC  (AIH) d Tính tan góc SC (ABCD) e Tính cosin góc (SBD) (ABCD) f Tính khoảng cách SD AB GIẢI Bùi Phú Hữu Quan hệ vuông góc a Các tam giác SAB, SAD vng cân A suy SA ... diện tích tứ giác BCC’B’ b Tính góc BB’ mặt phẳng (ABC) c Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC), (AA’B’B) GIẢI: Bùi Phú Hữu Quan hệ vng góc A' C' B' A C K H B a Do ABC vuông cân A H trung điểm BC 