Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại TÍNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI CÂU +∞ Tính tích phân suy rộng I = 1 x t x +∞ Đổi cận t Đặt t = ⇒ x = ⇒ dx = − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dx x x2 + x + · dt t2 GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Khi I= 1 t t2 d t + 21 t + 12 + 34 = ln − dt t2 + 1t = +1 dt + t + t2 = ln t + + = t2 + t + 3 + − ln = ln + 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại TÍNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI CÂU +∞ Tính tích phân suy rộng I = arctan x dx x2 dx u = arctan x + x2 Đặt ⇒ dx dv = v = −1 x x du = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Khi I = − arctan x x π = + +∞ dx − x π = + ln TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) +∞ +∞ + 1 +∞ dx = x(1 + x2 ) xdx π = + ln |x| − ln(1 + x2 ) 1+x +∞ x + x2 = +∞ = π π ln + ln − ln = + 2 GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Ý NGHĨA HÌNH HỌC Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞), giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vô hạn giới hạn x = a, trục Ox đồ thị hàm f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ CHÚ Ý Từ ý nghĩa hình học tích phân suy rộng, ta tồn giới hạn hữu hạn khác lim f (x) = A = x→+∞ f (x) khả tích đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞) tích phân suy rộng +∞ f (x)dx phân kỳ a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Nếu α > I = Nếu α Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ +∞ dx hội tụ α a x +∞ dx I = phân kỳ α a x Nếu α > I = Nếu α < I = Nếu α = I = +∞ +∞ +∞ dx xα lnβ x dx xα lnβ x dx xα lnβ x β > 1, phân kỳ β hội tụ phân kỳ hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ CÂU Tìm α để tích phân sau hội tụ +∞ I= dx xα + x2 1 1 = xα x2/3 xα+2/3 xα + x2 Để tích phân I hội tụ α + > ⇔ α > 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x→+∞ ∼ GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ CÂU Tìm α để tích phân sau hội tụ +∞ I= (2x + 3)dx (4 + xα ) + x4 Trường hợp 1: α > (2x + 3) (4 + xα ) + x4 x→+∞ ∼ 2x = xα x4/3 xα+1/3 3 Để tích phân I hội tụ α + > ⇔ α > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 10 / 36 Tích phân suy rộng loại Nếu α < tích phân b a Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] điểm gián đoạn a dx (b − x)α b dx (b − x)α a dx hội tụ (x − a)α Nếu α b b tích phân a dx phân kỳ (x − a)α TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 22 / 36 Tích phân suy rộng loại Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] điểm gián đoạn CÂU Tính tích phân suy rộng loại I= dx 4x − x2 − 3 I= d(x − 2) − (x − 2)2 = arcsin(x − 2) = = arcsin − arcsin(−1) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG π π + = π 2 TP HCM — 2016 23 / 36 Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] điểm gián đoạn Tích phân suy rộng loại CÂU Tính tích phân suy rộng loại 2 I= dx (x − 1) x2 − x + 1 I= dx (x − 1) x2 − x + + dx (x − 1) x2 − x + = I1 + I2 Tích phân I hội tụ hai tích phân I1 , I2 hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 24 / 36 Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] điểm gián đoạn Tích phân suy rộng loại 1 x→1− (x − 1) x2 − x + ∼ (x − 1) 12 − + 1 (x − 1)1 Tích phân I1 phân kỳ Vậy I phân kỳ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 25 / 36 Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Tích phân suy rộng loại CÂU 10 Tìm α để tích phân sau hội tụ π I= − cos x dx xα − cos x xα x2 x→0 ∼ α x + = 2xα−2 Để tích phân I hội tụ α − < ⇔ α < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 26 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ CÂU 11 Tìm α để tích phân sau hội tụ I= e2 + x2 − ecos x dx xα 2 x x e2 + x2 − ecos x x→0+ e + e2 − − ∼ xα xα + e2 = 2e xα−2 Để tích phân I hội tụ α − < ⇔ α < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 27 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ CÂU 12 Tìm α để tích phân sau hội tụ I= xα dx (x − 1)(x − 2)2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 28 / 36 Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Tích phân suy rộng loại Trường hợp 1: α > I =− 3/2 xα dx (1 − x)(x − 2)2 + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (x − 1)(x − 2)2 xα dx 3/2 + xα dx (x − 1)(2 − x)2 GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG + TP HCM — 2016 29 / 36 Tích phân suy rộng loại xα 3 Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ x→1+ ∼ (x − 1)1/3 (x − 1)(x − 2)2 xα x→1− ∼ (1 − x)1/3 (x − 1)(x − 2)2 xα 2α x→2− ∼ (2 − x)2/3 (x − 1)(x − 2) Do đó, tích phân I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 30 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Trường hợp 2: α = I= 3/2 dx (x − 1)(x − 2)2 + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dx (x − 1)(x − 2)2 dx 3/2 + (x − 1)(x − 2)2 GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG + TP HCM — 2016 31 / 36 Tích phân suy rộng loại xα 3 Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ x→1+ ∼ (x − 1)1/3 (x − 1)(x − 2)2 xα x→1− ∼ (1 − x)1/3 (x − 1)(x − 2)2 xα 2α x→2− ∼ (2 − x)2/3 (x − 1)(x − 2) Do đó, tích phân I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 32 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Trường hợp 3: α < 1/2 I= dx x−α (x − 1)(x − 2)2 3/2 + x−α (x − 1)(x − 2)2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) + 1/2 dx x−α dx + 3/2 (x − 1)(x − 2)2 dx x−α GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG (x − 1)(x − 2)2 + TP HCM — 2016 33 / 36 Tích phân suy rộng loại x−α x−α x−α 3 x→0+ ∼ 4.x−α (1 − x)(x − 2)2 1 x→1+ ∼ (x − 1)1/3 (x − 1)(x − 2)2 1 x→1− ∼ (1 − x)1/3 (1 − x)(x − 2)2 Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ 2α ∼ (2 − x)2/3 x→2− (x − 1)(x − 2)2 Do đó, tích phân I hội tụ −α < ⇔ α > −1 x−α TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 34 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Vậy để tích phân I hội tụ α ⇒ α > −1 −1 < α < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 35 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2016 36 / 36