TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ==***== NGUYỄN THỊ HOA ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI GIẢI MỘT SỐ BÀ HÌNH HỌC TỔ HỢP KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ==***== NGUYỄN THỊ HOA ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI GIẢI MỘT SỐ BÀ HÌNH HỌC TỔ HỢP TĨM TẮT KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS.GVC Phan Hng Trng H NI - 2012 LờI CảM ƠN §Ĩ hoµn thµnh khãa ln nµy, tríc hÕt em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Hình học, thầy cô giáo khoa Toán trờng Đại học s phạm Hà Nội ®· ®éng viªn, gióp ®ì em st thêi gian làm khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hớng dẫn Phan Hồng Trờng tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em cã thĨ hoµn thµnh khãa ln tèt nghiƯp nµy Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hoa LờI CAM ĐOAN Khóa luận đợc hoàn thành với bảo tận tình thầy cô giáo khoa Toán trờng Đại học s phạm Hà Nội 2, đặc biệt hớng dẫn tận tình thầy giáo Phan Hồng Trờng Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Em xin khẳng định kết đề tài trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hoa MC LC Mở đầu Chương 1: H×nh låi 1.1 Các định nghĩa 1.2 Bao låi vµ bao låi ®ãng 1.3 Nãn låi .5 Ch¬ng 2: Mét sè vấn đề hình học tổ hợp 2.1 Định lí Kelli không gian chiều R1 2.2 Định lí Kelli kh«ng gian hai chiỊu R2 2.3 VÝ dô 10 Chng 3: Một số toán hình học tỉ hỵp 13 3.1 Một số phơng pháp giải thông thờng 13 3.1.1 Phơng pháp sử dụng định lí Kelli 13 3.1.2 Phơng pháp lấy bao lồi .16 3.2 Một số toán thờng gặp 28 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Më đầu Lí chọn đề tài Hình học môn học quan trọng, tơng đối khó chơng trình Toán phổ thông có nhiều ứng dụng đời sống ngời, để hiểu đợc ngời học cần tởng tợng t cao Đặc biệt, hình học tổ hợp nhánh hình học mà thờng gặp kì thi chọn học sinh giỏi toán nớc quốc tế Trong hình học tổ hợp có nhiều kết nghiên cứu đợc nhà toán học ngành khác quan tâm Với mong muốn đợc nghiên cứu sâu hình học tổ hợp tìm hiểu đợc nhiều phơng pháp giải toán hình học tổ hợp hay hơn, cụ thể hơn, trực quan hơn, nhằm chuẩn bị cho kiến thức tốt cho công việc giảng dạy sau này, em ®· chän ®Ị tµi “øng dơng tÝnh chÊt cđa tËp lồi giải số toán hình học tổ hợp ®Ĩ lµm ®Ị tµi khãa ln tèt nghiƯp Mơc đích nghiên cứu - Tìm hiểu sâu kiÕn thøc vỊ tËp låi ph¸p sư dơng tÝnh chÊt tập lồi Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lí thuyết tập lồi - Làm rõ - Đề xuất số phơng pháp tính u việt giải toán hình học tổ việc ứng dụng hợp giải phơng pháp sử tính chất tËp låi gi¶i mét dơng tÝnh chÊt cđa tËp låi Các phơng pháp nghiên cứu số toán - Nghiên cứu sử dụng lí luận, công cụ toán học hình học tổ hợp - Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan Đối tợng, phạm vi nghiên cứu - Đối tợng nghiên cứu: Kiến thức tập lồi - Phạm vi nghiên cứu: Một số toán hình học tổ hợp giải phơng CHƯƠNG 1: hình lồi Giả sử X không gian tuyến tính, R tập số thực 1.1 Các định nghĩa: Định nghĩa 1.1.1: Cho a, b X , đoạn thẳng nối a với b tập tất điểm x thỏa mãn: với t ∈ [0;1] ∈ x = ta X + (1 − t)b NhËn xÐt 1.1.1: NÕu En cã hÖ täa ®é trùc chuÈn O, x , x , …, x vµ n a(a1,a2,…,an), b(b1, b2, …, bn); O(0, 0, , 0) đoạn nối ab tập hợp điểm y(y1, y2, , yn) thỏa mãn: yi = tai + (1 − t)bi , i = 1, n víi ∀t ∈ [0;1] VÝ dơ 1.1.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy có x a(5;2), b(3;1) Khi ®ã nÕu x(x1; x2) cã täa ®é tháa ∈[a;b m·n: x1 = t.5 + (1 − t).3  víi ∀t [0;1] x2 = t.2 + (1 t).1 Định nghÜa TËp hỵp ∀a, b ∈ P, ∀x ∈ X ] thỏa mãn: 1.1.2: P X, P đợc gọi lµ tËp låi nÕu x = ta th x ∈ P + (1 − t)b × Quy íc: TËp tập lồi Ví dụ 1.1.2: Đoạn thẳng [a;b] tập lồi Định lí 1.1.1: Giao tập lồi tập lồi, tức: Nếu Pi X (i I ) tập lồi, với I tập số P= lµ tËp låi P i Chøng minh: i∈I LÊ x1, x2 ∈ Pi (∀i ∈ I ) y Víi ∀i ∈ I Pi låi nªn tx1+(1 t)x2 ∈ Pi ⇒ tx1 + (1 − t)x ∈ P (∀t [0;1]) (điều phải chứng minh) Nhận xét 1.1.2: Nếu P1, P2 tập lồi P1 P2 cha tập lồi d) Bao lồi lục giác, giả sử lục giác A1A2A3A4A5A6 A2 A3 A4 A1 A5 A6 V× □A + A□ + □A + A□ + □A + □A = nªn 720 max {□A , □A , □A , □A ≥ 120 , □A , □A } Tõ ®ã gi¶ sư □A ≥ 1200 Khi ®ã xÐt tam ta quay trờng giác A A A 1 hợp Bài toán đợc giải hoàn toàn Bài 4: Trên mặt phẳng cho 2005 điểm, ba điểm thẳng hàng bốn điểm nằm đờng tròn Chứng minh từ điểm chọn đợc ba điểm cho có 1001 điểm số lại nằm đờng tròn qua ba điểm chọn, 1001 điểm nằm Giải: Lấy bao lồi 2005 điểm Bao lồi đa giác Do ba điểm thẳng hàng, nên cạnh đa giác bao lồi chứa hai điểm hai đỉnh cạnh Lấy cạnh đa giác bao lồi giả sử cạnh AB B A C100 Rõ ràng đờng thẳng qua A, B đặt 2003 điểm lại phía đờng thẳng Đánh số tất 2003 điểm lại C1, C2, …, C2003 cho: □AC B < □AC B < < AC B (vì bốn điểm 2003 nằm đờng tròn) Xét đờng tròn ngoại tiếp tam giác AC1002B Dễ thấy điểm C1, C2, , C1001 nằm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC1002; điểm C1003, C1004, , C2003 nằm đờng tròn Đó điều phải chứng minh Bài 5: Chứng minh số đờng kính n - giác tuỳ ý không vợt n Giải: tuỳ ý Ta chứng minh quy nạp toán cách tổng quát cho hệ n điểm Với n = 3, kết luận toán hiển nhiên tam giác có cạnh nên có không đờng kính Giả sử kÕt ln ®óng cho n: n hƯ ®iĨm t ý có không n đờng kín Xét hệ H gồm n + ®iĨm t ý cã ®êng kÝnh d Nếu h đỉnh có không hai đờng kính số đờng kính H không vợt n +1 = n +1 đờng kính (do đờng kính đợc tính hai lần) Nếu có đỉnh A không đờng kính AA1, AA2, AA3 giả sử không tính tổng quát A3 nằm khoảng A A Ta chøng tá A ch Ø cã ®óng đờng kính AA3 Nếu B điểm tuỳ ý hệ AB d nên B nằm hình tròn (A ; d) Giả sử A3B = d B nằm hình quạt giới hạn A A1 A2 Khi A3B cắt AA1 A3B cắt AA2 A1 B A3 A O A2 Không tính tổng quát giả sử A3B cắt AA1 Khi ta có tứ giác ABA3A2 gọi O = BA2 ∩ AA3 th× BA2 + AA3= BO + OA2 + AO + OA3 = (BO + OA3) + (AO + OA2) ≥ BA3 + AA2 Suy A2B > BA3 = d, vô lí Xét n điểm thu đợc từ H bỏ A3, theo giả thiết quy nạp hệ n điểm có không n đờng kính,do H có không (n + 1) đờng kính Vậy toán đợc chứng minh Bài 6: Cho m điểm không nằm đờng thẳng Chứng minh tồn đa giác lồi có đỉnh m điểm cho cho điểm lại không nằm đa giác Giải: Vì số điểm cho hữu hạn, nên hoàn toàn xác định đợc đờng thẳng d cho tất điểm cho nằm phía d (giả sử bên d) Gọi A1 điểm gần d (nếu có nhiều điểm nh ta giả sử A1 điểm cuối bên phải) Qua A1 kẻ đờng thẳng d//d Quay d1 quanh d theo chiều ngợc chiều kim đồng hồ, gặp điểm cho Ta xác định vị trí d đờng thẳng d1, điểm vừa gặp gọi A2 (nếu có nhiều điểm nh ta chọn A2 điểm xa A1 nhất) Quay d1 quanh d2 nh cách làm trên, ta đợc đờng thẳng d2, gặp điểm A3 Tiếp tục trình nh đợc đờng thẳng qua A1, gọi dm.Ta nhận đợc đa giác lồi A1A2Am thỏa mãn đề d2 A3 Am d1 A2 A1 dm Bài 7: Ngời ta cắt đa giac lồi 10 cạnh thành hình tam giác Hỏi thu đợc tam giác? Nếu đa giác không lồi số tam giác thu đợc bao nhiêu? Giải: Khi chia đa giác lồi thành n tam giác (bằng đờng chéo đờng chéo) góc đa giác lồi nhỏ , nên đỉnh đa giác nằm cạnh tam giác, mà đỉnh đa giác phải đỉnh tam giác Vì tổng góc tất m tam giác nhỏ tổng góc đa giác đa cho Trong trờng hợp đa giác lồi 10 cạnh tổng góc , mà tổng góc m tam giác suy m m Ta có tam giác tất đờng cắt đờng chéo đa giác Xét trờng hợp cắt đa giác 10 cạnh không lồi Nếu đỉnh có góc nhỏ , đỉnh phải đỉnh tam giác Nếu góc đỉnh lớn đỉnh vừa đỉnh tam giác vừa thuộc cạnh tam giác Do tổng số đỉnh tam giác nhỏ 10, nh vËy ta sÏ cã 3n ≥ 10 ⇒ n ≥ Vậy cắt đợc tam giác Bài : Trên mặt phẳng cho số hữu hạn điểm không thuộc đờng thẳng Chứng minh tồn ba điểm cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác không chứa điểm bên Gi¶i: A2 A1 Ai-1 M Ap Ai Ai Ai+1 Ai+1 Vì số điểm cho hữu hạn chúng không nằm đờng thẳng, lấy bao lồi hệ điểm ta đợc đa giác Giả sử đa giác lồi A1A2Ap, điểm lại phải nằm đa giác bao lồi Gọi Ai, Ai+1 hai đỉnh liên tiếp đa giác bao lồi (tức xét cạnh tùy ý AiA1+1) Do tập điểm cho không nằm đờng thẳng nên tập điểm không thuộc AiA1+1 khác rỗng Khi tồn điểm M cho □A MA = max □A A A , giá trị lớn i i+1 i j i+1 nhÊt lÊy theo j = 1.m mµ j ≠ i, j ≠ i +1; Aj ∉ [ A i A i + ] ( g i ¶ s A , A2, …, Am lµ hƯ hữu hạn điểm cho trớc) Khi đờng tròn ngoại tiếp Ai MAi +1 đờng tròn cần tìm Kết luận Hình học tổ hợp nhánh hình học mà thờng gặp kì thi chọn học sinh giỏi toán nớc quốc tế Bản khoá luận trình bày số kết nghiên cứu tập lồi, số tính chất tập lồi ứng dụng tính chất tập lồi để giải toán hình học tổ hợp Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm đợc nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hi vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học đợc thuận lợi Tuy nhiên lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, có nhiều cố gắng xong không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận đợc ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn sinh viên trờng để khoá luận đợc hoàn thiện Tài liệu tham khảo Phan Huy Khải (2007) , Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông - toán hình học tổ hợp, NXB giáo dục Nguyễn Hữu Điền (2005) , Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB gi¸o dơc 84 ... xuất số phơng pháp tính u việt giải toán hình học tổ việc ứng dụng hợp giải phơng pháp sử tính chất tập lồi giải dụng tính chất tập lồi Các phơng pháp nghiên cứu số toán - Nghiên cứu sử dụng. ..TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ==***== NGUYỄN THỊ HOA ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI GIẢI MỘT SỐ BÀ HÌNH HỌC TỔ HỢP TĨM TẮT KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng... pháp giải toán hình học tổ hợp hay hơn, cụ thể hơn, trực quan hơn, nhằm chuẩn bị cho kiến thức tốt cho công việc giảng dạy sau này, em chọn đề tài ứng dụng tính chất tập lồi giải số toán hình học