Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo khoa Tốn nói chung tổ Giải tích nói riêng bạn sinh viên giúp đỡ em trình hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, người tận tâm giúp đỡ bảo cho em suốt thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận Lần đầu thực cơng tác nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Cao Thị Tung Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Tốn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo số tài liệu số tác nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu riêng em Trong q trình làm khóa luận, em kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Cao Thị Tung MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1.1 Tích phân suy rộng loại 1.2 Tích phân suy rộng loại 22 Bài tập 34 CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 58 2.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận số 58 2.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm số tham số .61 2.3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vơ tận 63 Bài tập 70 KẾT LUẬN 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 LỜI MỞ ĐẦU Toán học ngành khoa học làm tảng cho nhiều ngành khoa học khác Trong Giải tích phận chiếm vị trí quan trọng Tốn học Đã có nhiều nhà khoa học nghiên cứu phát triển ngành Tốn học nói chung lĩnh vực Giải tích nói riêng Khơng có nhà khoa học muốn nghiên cứu tìm hiểu Tốn học mà nhiều sinh viên chun ngành Tốn đam mê ước muốn nghiên cứu Toán học Bản thân em mong ước nghiên cứu tìm hiểu bồi dưỡng thêm tri thức liên quan đến Tốn học nói chung Giải tích nói riêng Trên sở kiến thức học, với giúp đỡ tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, mong muốn tìm hiểu sâu tích phân suy rộng tích phân phụ thuộc tham số nên em mạnh dạn chọn đề tài “Tích phân suy rộng - Tích phân phụ thuộc tham số” nhằm nghiên cứu số kiến thức tích chất, dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng tính chất, dấu hiệu hội tụ tích phân phụ thuộc tham số Được giúp đỡ thầy giáo, giáo khoa Tốn nói chung tổ Giải tích nói riêng đặc biệt hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng với cố gắng tìm tòi nghiên cứu em hồn thành đề tài nghiên cứu Đề tài em gồm ba phần: Lời mở đầu, nội dung, kết luận Phần nội dung gồm: Chương 1: Tích phân suy rộng Chương 2: Tích phân phụ thuộc tham số Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo cho em suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên khoa tốn gúp đỡ đóng góp ý kiến cho em suốt q trình hồn thành khóa luận Do lần tiếp xúc với việc nghiên cứu khoa học, thời gian nghiên cứu có hạn, kinh nghiệm thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em mong nhận thơng cảm thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1.1 Tích phân suy rộng loại 1.1.1 Định nghĩa + ∞) → R * Cho hàm số f : [a, ( A > a) +∞ A Kí hiệu: lim A→+∞ ∫ f (x) dx ∫ a a = +∞ Ta gọi ∫ f (x) khả tích đoạn [a, A], f (x) dx tích phân suy rộng loại hàm f (x) khoảng dx a [a, + ∞) A Xét giới hạn: lim f (x) dx (1) A → + ∞ ∫ a + Nếu giới hạn (1) tồn hữu hạn tích phân hội tụ +∞ ∫ dx a f (x) gọi + Nếu giới hạn (1) không tồn −∞ hay +∞ tích phân +∞ ∫ gọi phân kì f (x) dx a Ví dụ 1: Tính tích phân +∞ −x ∫0 e dx Với số thực b > , ta có: ) b ∫e −x − x dx = =1− e b ( −e −b +∞ −x b dx = lim ∫ e ∫e b→+∞ dx = lim (−e −b b→+∞ + 1) = +∞ Do đó: −x ∫ x e − +∞ −x hội tụ ∫0 e dx dx = Ví dụ 2: Xét hội tụ tích phân suy +∞ ∫0 sinx dx rộng Với số thực b > , ta có: b Tích phân sinx dx ∫ b → +∞ = ∫ = 1− cosb khơng có giới hạn b +∞ Do (−cos x) sinx phân kì dx * Tương tự f : [−∞, a) → R khả tích đoạn [ B, a ] , (B < a) a Kí hiệu: lim B→−∞ ∫ f (x) dx B a = ∫ f (x) dx −∞ a Ta gọi ∫ f (x) tích phân suy rộng loại hàm f (x) khoảng dx −∞ ( −∞, a ] a f (x) lim Xét giới hạn: dx ∫ B→−∞ B (2) +∞ ∫1 Do tích phân lna x x x dx hội tụ (Tiêu chuẩn Weirstrass) I (x) 3.7 Xét hội tụ tích phân = +∞ ∫ αe cos y dy , (α ≥ 0) − xy y Giải + Ta có: ∀x ≥ x0 > : e− xy cos y yα dx hội tụ vì: +∞ + Mà ta lại có: − x y α ≤ e y I (x) = − x0 y ∫ eα y ∀λ > 1: lim y→+∞ y α e − x0 y = +λ Do I (x) hội tụ ∀x ≥ x > (Tiêu chuẩn Weirstrass) 3.8 Xét hội tụ tích phân sau: +∞ sin xy dx Y I= ∫x = [ y0 , Giả i Đặt f (x, y) = sin xy , ϕ(x, y) = x + ∞) y0 > với b + Ta có: ∫dxf (x, y) b = ∫sin xy dx =− ) ≤ y (sin by y0 , với b > + ϕ(x, y) x= hội tụ đến x → +∞ +∞ sin xy dx hội tụ Y Do đó: tích phân I = x = [ y0 , + ∞ ∫0 y0 > ), (Theo tiêu chuẩn Dirichlet) +∞ ∫ 3.9 Xét hội tụ tích phân I = x sin xy dx , k +x ( y≥ y0 > ) Giải: Ta đặt: f (x, y) = sin xy A + Ta có:   =  coxy   y ∫dxsin xy − A = Ay cos y  ≤ y0 + Hàm ϕ(x, y) = x k + x hội tụ đến 0, x → +∞ +∞ Do đó: Tích phân I = x sin xy ∫ k dx hội tụ theo y ∈[ +x y0 , + ∞) (Theo tiêu chuẩn Dirichlet) +∞ 3.10 Xét hội tụ tích phân ∫ dx , ( a ≥ 0) Giả i Ta có: x3 x + < x2 ∞ Mà tích phân ∫ x2 dx hội tụ a   2x x 1 + x      +∞ ∫ ⇒1 dx hội tụ (Tiêu chuẩn Weirstrass) x3 x Hơn ta có: ϕ (x, a) = bị chặn đều: a 2(1 + x ) ϕ(x, a) = < ∀x 1∈[1, a 2(1 x ) +∞ Do tích phân ∫ , + ∞ ) , ∀a ≥ hội tụ (Tiêu chuẩn Dirichlet) dx α  2x x 1 +    y sin x I ( y) dx = ∫ xy 3.11 Chứng tỏ Giải: Đổi biến : Đặt x =  x2   hàm liên tục khoảng ( −∞, ) ⇒ −1 t dt dx = t Đổi cận: t = +∞ x ⇒  = t =   x = +∞ Ta có: I ( y) t = ∫ sin yt dt 2− y + Giả sử: −∞ < y ≤ sin yt Khi đó, ta có: t 2y ≤ t2 +∞ Do ∫ +∞ t dt hội tụ t ⇒ I ( y) 2− = ∫ y sin yt dt hội tụ (Tiêu chuẩn Weirstrass) +∞ Do I ( y) = t ∫1 khoảng y sin x sin yt dt liên tục Tức I ( y) = 2− y y ∫ dx liên tục x ( −∞, ) + Giả sử: ≤ y ≤ − ε , (ε > 0) A Ta có: < ∫ sin yt ≤ y dt Với y cố định hàm t hội tụ t → +∞ 2− y +∞ sin yt dt hội tụ (Tiêu chuẩn Dirichlet) I ( y) t = ∫ 2− Do đó: Tích phân y y sin x Tức I ( y) = ∫ dx liên tục khoảng y sin x y (−∞, 2) Vây x I ( y) = ∫ xy liên tục khoảng ( −∞, ) dx 3.12 Dùng phương pháp đạo hàm dấu tích phân để tính tích phân sau: +∞ ∫ − pt I= e t dt , biết +∞ ∫pt e− dt = p , ( p > 0) Giải I ( p) + Ta có: = +∞ ∫pt e − e − pt (1) ,(p > 0) p f ( p,t) = dt = thỏa mãn điều kiện định lý 2.3.3.3 Do ta lấy đạo hàm hai vế (1) theo p, ta được: +∞ I ′( p) = −te − pt (2) dt = − ∫ p2 + Tương tự: Ta lấy đạo hàm hai vế ( ) theo p, ta được: +∞ I ′( p) = ∫pt t − e dt = p −3 dt = p +∞ Vậy ∫pt t −3 − e 3.13 Dùng phương pháp tích phân dấu tích phân để tính tích phân sau: +∞ I= ∫0 −bx e−ax − sinemx dx, (a, b > 0) x Giả i + Ta có: +∞ I =−∫ e−ax sin mx dx e (1) −bx −ax + Do x e b −bx = − e x ∫e (2) dt, (x ≠ 0) a Thay ( ) vào (1) +∞ I= − xt ∫ e− ax − e− x f (x,t) = e sin mx ta được: − xt bx sin mx dx = + be ∞ − xt  ∫ ∫  a thỏa mãn định lý 2.3.2.3 sin mx dt  dx   Do ta có: + ∞ b  b +∞  − xt I = ∫  ∫ e sin mx dt dx = ∫ dt ∫ e  a  a b b ( −t sin mt − m + cos mt ) ∞ =  ∫e  − xt a t m  = arctan t b m I= 3.14 Tính tích phân Biết a n−1 ∫ x1 ∫x n−1 m ln x dx ∫ x n −1 (1) Đặt f (x, n) = xn−1 ( f (x, n) n− m Ta có : ∂ = x ln x m) ∂n Đạo hàm hai vế (1) , m lần theo tham số n ta được: ∫ ∂ (m) dx ∂n f (x, n) dt m a n n m ∫t + dx = dx Ta có: = sin mx dx m = arcta − arctan m n a b Giải:   dt =   2+ − xt (m) =   1 n 1 , ( n > 0) ∫x n−1 (−1) m m ln x dx == m! nm +1 n−1 m x ln x dx = I = m hay (−1) ∫0 m! nm +1 Ta chứng tỏ đạo hàm bội m dấu tích phân hợp lý Thật vậy: Đổi biến: , (t > 0) Khi đó: , I =m +∞ lnm t (−1) + xn−1 dx ∞ t dt = ∫n+1 ∫t Do t x= t ∫1 −n −1 dt n+1 hàm liên tục miền < ε ≤ n < +∞ , t −n−1 lnm t ≤ t < +∞ Mà tích phân +∞ Ta chứng minh ∫ n−1 ∫0 x dx hội tụ m ln t dt hội tụ < ε ≤ n < +∞ n+1 t lnm t m ln t n1 Do ≤ Mà ln t 1+ε +∞ dt ∫ ε = t t 1+ t hội tụ nên ε m ε 1+ t +∞ m ∫ ln t dt t n+1 ≤  e  m ε  ε 1+ t hội tụ (Tiêu chuẩn Weirstrass) t Vậy đạo hàm theo tham số n ≥ε mãn n >  2m  thỏa mãn với ε > cố định, tức thỏa KẾT LUẬN Toán học đa dạng phong phú, vấn đề sâu nghiên cứu khía cạnh nhỏ Kiến thức liên quan đến tích phân suy rộng tích phân phụ thuộc tham nhiều điều lý thú mẻ cần nghiên cứu Tuy nhiên điều kiện thời gian có hạn lực thân hạn chế nên khóa luận tập trung nghiên cứu số vấn đề sau: Các tính chất, dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng.Tương ứng lý thuyết tập áp dụng xét hội tụ tích phân suy rộng cách tính tích phân sử dụng dấu hiệu hội tụ Các tính chất, dấu hiệu hội tụ tích phân phụ thuộc tham số.Tương ứng lý thuyết tập áp dụng sử dụng tính chất liên tục, khả vi, khả tích tích phân phụ thuộc tham số toán xét hội tụ tích phân phụ thuộc tham số dựa vào dấu hiệu hội tụ Mặc dù cố gắng kinh nghiệm thân em hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Bình, Bài tập giải tích tập tập 3, NXB Khoa Học Và Kĩ Thuật Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích lý thuyết tập, tập 2, NXB Giáo Dục Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2001), Giáo trình giải tích, tập 3, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Thủy Thanh, Đỗ Đức Giáo (2001), Hướng dẫn giải tập giải tích tốn học, tập 1, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn (1977) , Giải tích tốn học, tập 3, NXB Giáo Dục Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 17 ... THUỘC THAM SỐ 58 2.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận số 58 2.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm số tham số .61 2.3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận ... tài Tích phân suy rộng - Tích phân phụ thuộc tham số nhằm nghiên cứu số kiến thức tích chất, dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng tính chất, dấu hiệu hội tụ tích phân phụ thuộc tham số Được giúp... CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1.1 Tích phân suy rộng loại 1.2 Tích phân suy rộng loại 22 Bài tập 34 CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ