NHỊ THỨC NIU-TƠN I Các toán hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn VD1.Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức   x  , biết n 3n Cn0  3n 1 Cn1  3n 2 Cn2  3n 3 Cn3    1 Cnn  2048 n VD2 Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức P  x   x   x   3x  10 VD3 Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niu-tơn n �1 7� �  x �, biết �x � C21n 1  C22n 1   C2nn 1  220  VD4 Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức biểu thức P�  x2   x  � � � VD5 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn � � P  �3 x  �, x  x� � VD6 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn n �1 � �  x �, biết �x � Cnn41  Cnn3   n  3 VD7 Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x3n 3 khai triển n n thành đa thức  x  1  x   Tìm n để a3n 3  26n VD8 Tìm số nguyên dương n cho Cn0  2Cn1  22 Cn2  23 Cn3   2n Cnn  243 VD9 Cho khai triển nhị thức http://tailieu.vn Page n n 1 n x x x 1 x 1  �  � x21 0� � 1� � � �  � Cn � � Cn � � � �  � � � � � � � � � n 1 C n 1 n n x  � 3x � � x21 � n� � 2  C � � � � � n � � � � � � � Biết khai triển Cn3  5Cn1 số hạng thứ tư 20n Tìm n x VD10 Cho đa thức P  x     x     x     x    20   x  20 Tìm hệ số số hạng chứa x15 khai triển thành đa thức P(x) VD11 Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức  x  1 1024 Hãy tìm hệ số số hạng chứa x12 khai triển n VD12 Gọi a1, a2, …, a11 hệ số khai triển sau:  x  1  x    x11  a1 x10  a2 x9   a10 x  a11 10 Tìm hệ số a5 VD13 Khai triển đa thức P  x     x  thành dạng 12 P  x   a0  a1 x  a2 x   a12 x12 Tìm hệ số lớn hệ số a0, a1, a2, …, a12 VD14 Xét khai triển  3x    a0  a1 x  a2 x   a9 x9 Tìm max  a0 , a1 , a2 , , a9  VD15 Cho khai triển:   x   a0  a1 x   an x n , n �� hệ số n a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức a0  a a1   nn  4096 Tìm số lớn số 2 a0 , a1 , , an VD16 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn: 18 � � �2 x  �  x   x� � http://tailieu.vn Page II Các toán chứng minh hệ thức tổ hợp sử dụng nhị thức Niu-tơn VD1 Cho n số nguyên dương Tính tổng Cn0  2  1 23  2n  n Cn  Cn   Cn VD2 Tìm số nguyên dương n cho C21n 1  2.2C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C23n 1    n  1 2 n C22nn1  2005 VD3.Cho n số nguyên dương, chứng minh 1 n 1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n   C2 n  2n 2n  VD4 Cho n số nguyên dương, chứng minh rằng: 1  Cn1  Cn3   n 1  Cnn  n 1 n 1 1 n 2C  Cn1  23 Cn2     2n 1 Cnn  �   1 � � � n 1 n 1 n n VD5 x   x  dx Tính tích phân I  � n 1 Chứng minh Cn0  Cn1  Cn2  Cn3     Cnn  2n  2n  n VD6 x   x  dx Tính tích phân I  � n Chứng minh Cn0  Cn1  Cn2   2n 1  Cnn  3n  3n  VD7 Với n số nguyên dương, chứng minh rằng: n 1 n n 1 Cn  2Cn  3Cn    n  1 Cn  nCn  n.2 http://tailieu.vn Page 3 n n2 2.1.Cn  3.2.Cn    n  1 nCn  n  n  1 2 n n 1 Cn  2Cn  3Cn    n  1 Cn   n    VD8 Chứng minh với n nguyên dương, ta có: C20n  C22n  C24n   C22nn  C21n  C23n   C22nn 1 VD9 Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (1 + x)10(x + 1)10 Từ suy giá trị tổng S   C10    C101     C1010  2 VD10 10 10 C20  C110C920  C10 C20   C10 C20  C10 C20 Rút gọn tổng S  C10 2006 2007 Rút gọn tổng S   C02007    C12007     C 2007    C2007  http://tailieu.vn 2 Page ... toán chứng minh hệ thức tổ hợp sử dụng nhị thức Niu-tơn VD1 Cho n số nguyên dương Tính tổng Cn0  2  1 23  2n  n Cn  Cn   Cn VD2 Tìm số nguyên dương n cho C21n 1  2. 2C22n 1  3 .22 C23n... 2. 2C22n 1  3 .22 C23n 1  4 .23 C23n 1    n  1 2 n C22nn1  20 05 VD3.Cho n số nguyên dương, chứng minh 1 n 1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n   C2 n  2n 2n  VD4 Cho n số nguyên dương, chứng...  n  n  1 2 n n 1 Cn  2Cn  3Cn    n  1 Cn   n    VD8 Chứng minh với n nguyên dương, ta có: C20n  C22n  C24n   C22nn  C21n  C23n   C22nn 1 VD9 Tìm hệ số số hạng chứa