KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 UBND TỈNH HỊA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn thi: TỐN Ngày thi: 15/12/2017 Thời gian làm 180 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01trang) Họ tên thí sinh:… ……………………………………………… Số báo danh:………… Phòng thi:……………………… Câu 1: (3,0 điểm): a) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x) = + 3x2 - x3 b) Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = x - mx + (x - 1) có đường tiệm cận đứng Câu (5,0 điểm): a) Tính tổng nghiệm x    ;   phương trình: 2(cosx  sin x) cos x  cos x  3sinx  ( b) Giải phương trình + x x ) + (3 - ) - 7.2 x = 3  x  y  x  x  y   ( x, y   ) ( x  1) y   ( x  6) y   x  x  12 y c) Giải hệ phương trình  Câu (4,0 điểm): Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , BC  a SA = SB = SC = SD = a Gọi K hình chiếu vng góc điểm B AC H hình chiếu vng góc K SA a) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a b) Tính diện tích xung quanh hình nón tạo thành quay tam giác ADC quanh AD theo a c) Tính cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng ( BKH ) Cõu (4,0 im): ổ 2 ửữn ỗỗỗ x - ữữ , x xứ ố a) Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton , biết n số 3 nguyên dương thỏa mãn 4Cn+1 + 2Cn = An b) Cho đa giác lồi có 14 đỉnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên X tam giác Tính xác suất để tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho Câu (2,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm K (-2; -5) đường tròn (C) có phương trình ( x - 1) + ( y - 1) = 10 Đường tròn (C ) tâm K cắt đường tròn (C) hai điểm A , B 2 cho dây cung AB = Viết phương trình đường thẳng AB Câu (2,0 điểm): ( ) a) Cho a b hai số thực dương Chứng minh (a + b) a + b2 ³ a b b) Cho x , y , z số thực thỏa mãn x > y > z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x - y) + ( y - z) + ……………… Hết ………… + xz y UBND TỈNH HỊA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án gồm có 03trang) Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 15/12/2017 Nội dung Điểm Tập xác định hàm số D =  f ʹ ( x) = x(1 - x) 1a (2đ) 0,5 f ʹ ( x) = x = 0, x = 1,0 Xét dấu f ʹ ( x) Kết luận đồ thị hàm số có điểm cực đại có tọa độ (1; 2) cực tiểu (0;1) 0,5 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng có giới hạn: lim+ y = ¥ lim- y = ¥ x1 1b (1đ) x1 ỉ Ta có: lim ỗỗ2 x - mx + 1ữữ = - m + với m ³ -1 ø x1 è Do với m < -1 hàm số khơng có giới hạn x  nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Với m ³ -1 m ¹ ỉ lim ỗỗ2 x - mx + 1ữữ = - m + khác lim ( x - 1) = ø x1 x1 è 0,5 Khi lim y = ¥ nên đường thẳng x = đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x1 Khi m = , ta có lim y = lim x1 x1 x - 3x2 + (x - 1) = lim x2 - x1 ổ ỗ2 x + x + 1ữữ( x - 1) ỗố ứ 0,5 x +1 = Ơ ổ x1 ỗ2 x + 3x + 1ữữ( x - 1) ỗố ứ Nờn ng thẳng x = đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Tóm lại, giá trị m cần tìm m ³ -1 = lim Pt cho  cos2x  sin x  cosx  sin x  k 2     cos  x    cos   x   x  , k  3  3  2a (1,5đ) 2 2 Vì x    ;   nên x1  0; x2  thỏa mãn ; x3  3 Vậy tổng nghiệm x    ;   phuơng trình cho S = 2b (1,5đ) 2c (2đ) ỉ + ư÷x ỉ - ửữx ữữ + ỗỗ ữữ = t a PT v dng ỗỗỗ ỗ ốỗ ữứữ ốỗ ứữữ ổ + ửữx ỗỗ ữ ỗỗ ÷÷÷ = t với t > è ứ ổỗ ư÷÷ Ta có PT t + =  t - t + =  t = = ỗỗ ữ ỗố ữứữ t Từ suy PT có nghiệm x = 2 ĐK: y  1 Phương trình (1) tương đương :  x  1   x  1  y  y  y  x  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 (x + 1)   x  1 x + + ( x + 6) x + = x + x + 12   x     x  6   x    x2  2x  x6  x 1    x  2    x  4  x7 3  x22  x   x 1 x6     x    * x7 3  x   Chứng minh phương trình (*) vơ nghiệm x2  x6 x6  x2     x  2      x7 3  x22  x22 Kết luận hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;3 0,5 S 0,5 H 3a (2đ) A O D B K C Gọi O = AC Ç BD Ta có SO ^ ( ABCD) OA = 3b (1đ) AC a 3a 13a a 13 = =  SO = SO = SA - OA2 = 4a2 2 4 a 13 a3 26 VS ABCD = a 2.a = S xq   DC AC   a Chỉ K trọng tâm tam giác BCD , KA = KC Chứng minh SA ^ ( BKH )  Do góc SB ( BKH ) góc SBH 3c (1đ) a SO AC a 39 = , KH = 3 SA Tam giác BKH vuông K 2a2 39a2 a2 a + =  BH = Từ suy BH = 36 1,0 1,0 0,5 Tính BK = = cos SBH 4a 0,5 0,5 BH = SB Từ 4Cn3+1 + 2Cn2 = An3 Điều kiện n Ỵ  * , n ³ Tìm n = 11 1,0 (2đ) Khai trin ổ 2 ửữ11 ỗỗ x - ữ = ỗố x ứữ 11-k 11 C11k ( x2 ) k (-2) k=0 x k = 11 k å C11k (-2) x 22-3 k k=0 Hệ số x7 tương ứng với 22 - k =  k = 0,5 5 Vậy hệ số x7 C11 (-2) = -14784 Tính số phần tử không gian mẫu: n()  C14  364 Gọi A biến cố : “ Tam giác chọn X khơng có cạnh cạnh đa giác ” Suy A biến cố : “ Tam giác chọn X có cạnh cạnh đa giác ” 4b (2đ) TH 1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn TH 2: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14.10=140 tam giác thỏa mãn Suy n( A)  14  140  154 Vậy số phần tử biến cố A là: n( A)  n()  n( A)  210 n( A) 15 Suy P ( A)   n() 26 Gọi H giao điểm IK AB Tính IH = 5 (2đ) 6a (0,5đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Viết PT đường thẳng IK : -2 x + y + = H Ỵ IK  H (t ; 2t - 1) 0,5 IH =  H (0; -1) H (2; 3) 0,5 Đường thẳng AB qua H vng góc với IK nên có phương trình: x + y + = x + y - = 0,5 (a + b) ( ) ³ ab > 0; a + b2 ³ ab > 0,5 Nhân vế tương ứng hai bđt trên, suy điều phải chứng minh 1 1 với a , b > nên Theo phần a) ta có + ³ + ³ 2 2 2 a b (a + b) ( x - y ) ( y - z) ( x - z ) Suy P = ( x - y) + ( y - z) + 8 + ³ + + xz y ( x - z)2 xz y m2 n2 (m + n) + ³ với a , b , m , n > Ta chứng minh bất đẳng thức : a b a+b 6b (1,5đ) a b đẳng thức xảy = Ta có: m n 0,5 (1 + 2) + ³ = xz ( x - z) + xz ( x + z)2 2 ( x - z) ỉ çç ÷÷÷ 72 72 ç Vỡ vy P ỗ + + = + ÷÷ + ³ 2 3 çç( x - z) xz ÷÷ y y y x + z y ( ) ( ) è ø ỉ 1ư 36 Xét hàm số f (t) = với < t < Ta f (t ) = f ỗỗ ữữ = 216 + ỗ ố ữứ (0;1) (1 - t) t 2 Vậy P nhỏ 216 y = , x + z = , ( x - z) = xz 3 1 1 2 ;y= ;z= Tức x = + Hay x + z = , xz = 3 3 3 3 27 - Hết - 0,5 0,5 ...UBND TỈNH HỊA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án gồm có 03trang) Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 15 /12/ 2017 Nội dung... giác chọn X khơng có cạnh cạnh đa giác ” Suy A biến cố : “ Tam giác chọn X có cạnh cạnh đa giác ” 4b (2đ) TH 1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn TH 2: Nếu tam giác chọn. .. y  y  y  x  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 (x + 1)   x  1 x + + ( x + 6) x + = x + x + 12   x     x  6   x    x2  2x  x6  x 1    x  2    x  4  x7 3  x22