Đang tải... (xem toàn văn)
ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.ÔN THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2018 CHUYÊN ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.
BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian Chủ đề 7.3 KHOẢNG CÁCH – GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN A KIẾ KIẾN THỨ THỨC CƠ CƠ BẢ BẢN ① Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a MH , với H hình chiếu M đường thẳng a Kí hiệu: d (M , a ) = MH M a H α M ② Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) MH , với H hình chiếu M mặt phẳng (α) ( H α ) Kí hiệu: d M , (α) = MH ③ Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường đến đường d (a,b ) = d (M , b ) = MH b a M H α (M ∈ a ) ④ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song a Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với M khoảng cách từ điểm M thuộc đường a đến mặt phẳng (α) : H α d a, (α) = d M , (α) = MH (M ∈ a ) ⑤ Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng α d (α), (β ) = d a, (β ) = d A, (β ) = AH a ⊂ (α), A ∈ a ( β A B a ) H K ⑥ Khoảng cách hai đường thẳng chéo - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a,b IJ gọi đoạn vng góc chung a,b c a I a I β J b α - Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng J b Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 1|THBTN BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian B KỸ NĂNG CƠ BẢ BẢN Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước Các bước thực hiện: Bước Trong mặt phẳng (M , d ) hạ MH ⊥ d với H ∈ d Bước Thực việc xác định độ dài MH dựa hệ thức lượng tam giác, tứ giác, đường tròn, … a M a M A d d H α A M K I H K Chú ý: • Nếu tồn đường thẳng a qua A song song với d thì: d (M , d ) = d (A, d ) = AK (A ∈ d ) d (M , d ) MI = • Nếu MA ∩ d = I , thì: AI d (A, d ) b Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) β O ∆ α Các bước thực hiện: O d H Bước Tìm hình chiếu H O lên (α) H α - Tìm mặt phẳng (β ) qua O vng góc với (α) - Tìm ∆ = (α ) ∩ (β ) - Trong mặt phẳng (β ) , kẻ OH ⊥ ∆ H ⇒ H hình chiếu vng góc O lên (α) A Bước Khi OH khoảng cách từ O đến (α) O I Chú ý: α • Chọn mặt phẳng (β ) cho dễ tìm giao tuyến với (α) H • Nếu có đường thẳng d ⊥ (α ) kẻ Ox / /d cắt (α) H ( ) ( ) d (O, (α )) OI Nếu OA cắt (α) I thì: = d (A, (α)) AI • Nếu OA// (α ) thì: d O, (α) = d A, (α) • α O A H K K Khoảng cách hai đường thẳng chéo • Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a,b b Trường hợp a ⊥ b: - Dựng mặt phẳng (α) chứa a vng góc với b B - Trong (α) dựng BA ⊥ a A B α a A ⇒ AB đoạn vuông góc chung Trường hợp a b khơng vng góc với Cách 1: (Hình a) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 2|THBTN BTN_7_3 Chuyên đề Hình học không gian - Dựng mp (α) chứa a song song với b - Lấy điểm M tùy ý b dựng MM′ ⊥ (α) M′ B M A M' b - Từ M′ dựng b′// b cắt a A - Từ A dựng AB //MM ′ cắt b B a b' ⇒ AB đoạn vuông góc chung α Cách 2: (Hình b) (Hình a) - Dựng mặt phẳng (α ) ⊥ a O, (α) cắt b I - Dựng hình chiếu vng góc b′ b lên (α) - Trong mp (α) , vẽ OH ⊥ b′ H a A - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A ⇒ AB đoạn vng góc chung • Khoảng cách hai đường thẳng chéo a,b b B b' O H I α Cách Dùng đường vng góc chung: - Tìm đoạn vng góc chung AB a,b (Hình b) - d (a,b ) = AB ( ) Dựng mặt phẳng song song chứa a b Khi đó: d (a, b ) = d ((α), (β )) Cách Dựng mặt phẳng (α) chứa a song song với b Khi đó: d (a, b ) = d b, (α) Cách 3 Phương pháp tọa độ khơng gian a) Phương trình mặt phẳng (MNP ) qua điểm M (x M ; yM ; z M ), N (x N ; yN ; z N ), P (x P ; y P ; z P ) : + Mặt phẳng (MNP ) qua điểm M (x M ; y M ; z M ) có vtpt n = MN ∧ MP = (A; B;C) có dạng: A (x − x M ) + B (y − yM ) + C (z − z M ) = ⇔ Ax + By + Cz + D = + Khoảng cách từ điểm I (x I ; y I ; z I ) đến mặt phẳng (MNP ) : IH = d (I ,(MNP )) = Ax I + ByI + Cz I + D A2 + B + C MN ∧ MP ).MI ( Cơng thức tính nhanh: d I ,(MNP ) = ( ) MN ∧ MP b) Khoảng cách hai đường chéo AB,CD là: d (AB,CD ) = c) Góc hai đường thẳng AB,CD theo công thức: cos (AB,CD ) = (AB ∧ CD ).AC AB ∧ CD AB.CD AB CD d) Góc hai mặt phẳng (ABC ) (MNP ) : Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 3|THBTN BTN_7_3 Chuyên đề Hình học khơng gian (ABC ) có vecto pháp tuyến n ( ) cos (ABC ), (MNP ) = = AB ∧ AC ; (MNP ) có vtpt n = MN ∧ MP , đó: n1.n = n1 n2 A1A2 + B1B2 + C 1C A12 + B12 + C 12 A22 + B22 + C 22 ( ) ⇒ (ABC ), (MNP ) ≃ e) Góc đường thẳng AB mặt phẳng (MNP ) : ( ) Tính u = AB (MNP ) có vtpt n = MN ∧ MP , thì: sin AB, (MNP ) = u.n u n ( ) ⇒ AB, (MNP ) ≃ C BÀI TẬ TẬP TRẮ TRẮC NGHIỆ NGHIỆM KHỐI CHÓP ĐỀU Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 600 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: a a 3a 3a A B C D 4 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC SA bằng: A Câu a 5 a 10 D a 85 17 B arctan 10 17 C arcsin 85 17 D arccos 85 17 330 110 B arccos 33 11 C arccos 11 D arccos 33 22 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SA = a M trung điểm cạnh BC Góc hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng: A arctan Câu C Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: A arccos Câu a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng: A arctan Câu B 11 110 B arctan 110 11 C arctan 110 33 D arctan 110 11 Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi vng góc, AB = a, AC = a diện tích tam giác SBC A a 330 33 a 33 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: B a 330 11 C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn a 110 33 D 2a 330 33 4|THBTN BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABC vng cân B, BA = BC = a , góc mp( SBC ) với mp ( ABC ) 60 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Tính khoảng cách hai đường thẳng AI với BC A Câu a B a C a D a Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300 , góc ABO 600 AC = a Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai đường thẳng CM OA A arctan Câu 93 B arctan 31 B arctan 93 D arctan 31 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300 , góc ABO 600 AC = a Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai mặt phẳng (OCM) (ABC) A arcsin 35 B arcsin 34 35 C arcsin 14 35 D arcsin Câu 10 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC) 600 , OB = a , OC = a Gọi M trung điểm cạnh OB Góc đường thẳng OA với mặt phẳng (ACM bằng: 3 A arcsin B arcsin C arcsin D arcsin 7 7 Câu 11 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC ) 600 , OB = a , OC = a Gọi M trung điểm cạnh OB Tính góc hai mặt phẳng ( AMC ) ( ABC ) bằng: A arcsin 32 34 B arcsin C arcsin D arcsin 35 35 35 35 KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI MẶT ĐÁY Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ABCD vng A B Biết AD = 2a , AB = BC = SA = a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng ( SCD ) A h = a B h = a C h = a D h = a Câu 13 Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB = a, OC = a Cạnh OA vng góc với mặt phẳng (OBC), OA = a , gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách h hai đường thẳng AB OM A h = a B h = a C h = a 15 D h = a 15 Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SA = 2a Gọi F trung điểm SC, tính góc ϕ hai đường thẳng BF AC Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 5|THBTN BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian A ϕ = 60 B ϕ = 900 C ϕ = 300 D ϕ = 450 Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Tính cơsin góc ϕ đường thẳng BM mặt phẳng ( ABC ) A cos ϕ = 21 B cos ϕ = 10 C cos ϕ = 14 D cos ϕ = Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Tính góc ϕ hai mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) A ϕ = 900 B ϕ = 60 C ϕ = 300 D ϕ = 450 Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD = 1200 Các mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt đáy Gọ i M trung điểm SD, thể tích khố i chóp S.ABCD A h = a 228 38 a3 Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng ( SBC ) theo a B h = a 228 19 C h = 5a D h = 5a 19 Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD = 1200 Các mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt đáy Thể tích khố i chóp S.ABCD 3a Hãy tính khoảng cách h hai đường thẳng SB AC theo a A h = 5a B h = a C h = a D h = a Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = a Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) a Tính góc ϕ tạo hai đường thẳng SB AC A ϕ = 450 B ϕ = 900 C ϕ = 300 D ϕ = 60 Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với mặt đáy Biết thể tích khố i chóp S.ABCD a3 Tính góc ϕ đường thẳng SB mặt phẳng ( SCD ) A ϕ = 450 B ϕ = 60 C ϕ = 300 D ϕ = 900 Câu 21 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vng góc với mặt đáy SA = a Tính cơsin góc ϕ hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn D cos ϕ = 6|THBTN BTN_7_3 Chuyên đề Hình học khơng gian Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) 450 , gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính khoảng cách h hai đường thẳng chéo OG AD A h = a B h = a C h = a D h = a Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 1200 Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) vng góc với mặt đáy, góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) 450 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng ( SCD ) theo a 7a 21a 21a 3a B h = C h = D h = 14 21 KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VNG GĨC MẶT ĐÁY – HÌNH CHIẾU VNG GĨC A h = Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) A h = a 21 B h = a C h = a D h = a Câu 25 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng ( SBC ) vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách h hai đường thẳng SA, BC A h = a B h = a C h = a D h = 3a Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA = a; SB = a mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Tính cơsin góc hai đường thẳng SM , DN A B C a 5 D a Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Gọi H trung điểm AB Tính cơsin góc SC ( SHD ) 15 A B C a D Câu 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SBC vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) , đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( SBC ) A π góc 600 Tính góc ( SBD ) ( ABCD ) B π C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn π D π 7|THBTN BTN_7_3 Chuyên đề Hình học khơng gian Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SD = 3a , hình chiếu vng góc S ( ABCD ) trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách h từ A đến mặt phẳng ( SBD ) A h = 2a B h = a C h = a D h = a Câu 30 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính khoảng cách h hai đường thẳng SA BC theo a A h = 42a B h = 42a 12 C h = 42a 12 D h = 42a 12 Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, O giao điểm hai đường chéo AC BD , có AB = a; AD = a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên ( ABCD ) trung điểm H OD , SH = 2a Tính cơsin góc ( AB, SD ) A 17 B − 17 34 C 17 34 D Câu 32 Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , SA = SB = SC = 34 a , BC = a Tính cosin góc SA ( ABC ) A B C D Câu 33 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh A , cạnh BC = a , AC = a , a Tính góc tạo mặt bên ( SAB ) mặt phẳng đáy ( ABC ) π π B C D arctan 3 CHỦ ĐỀ LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƯƠNG cạnh bên SA = SB = SC = A π Câu 34 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có mặt đáy ABC tam giác vng B có AB = a, AC = a 3, A′B = 2a Gọi M trung điểm AC Khoảng cách từ M đến ( A′BC ) là: A a B a C 3a D 3a Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có mặt đáy tam giác đều, cạnh A′A = 3a Biết góc ( A′BC ) đáy 450 Tính khoảng cách hai đường chéo A′B CC ′ theo a là: A a B 3a C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 3a D 3a 8|THBTN BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian Câu 36 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có cạnh bên 2a , góc tạo A′B mặt đáy 600 Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo đường thẳng A′C AM A B C D Câu 37 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có AB = 5a , AC = a, BC = a; A′A = 3a Tính góc tạo đường thẳng BC ′ ( ACC ′A) A arctan 51 17 B arctan 51 17 C arcsin 51 17 D arcsin 51 17 Câu 38 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ với đáy ABC tam giác vuông C có AB = 8cm BAC = 600 ,diện tích tam giác A′CC ′ 10cm Tính tan góc tạo hai mặt phẳng (C ′AB ) ( ABC ) A B C D Câu 39 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C′D′ có AB = 3a, AD = 5a , góc tạo D′B mặt đáy 450 Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD B ′M A a 661 20 B 20a 661 C a 661 30 D 30a 661 Câu 40 Cho hình lập phương ABCD A′B′C′D′ có diện tích tam giác B ′AB 2a tính khoảng cách điểm B′ mặt phẳng (C ′BD ) A 2a B 2a C a D a Câu 41 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C′D′ có AB = a, AD = a , góc tạo đường thẳng A′C mặt đáy 600 Gọi I trung điểm CD Tính góc hai đường thẳng BD′ AI A arccos B arccos C arccos D arccos Câu 42 Cho hình lập phương ABCD A′B′C′D′ tích 27cm Tính tan góc tạo đường thẳng A′C mặt phẳng ( BB′D′D ) A B C D 2 Câu 43 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C′D′ có AB = a; AD = a; A′A = a Tính góc tạo hai mặt phẳng (C ′BD ) mặt đáy A arccos 21 22 21 21 C arccos 42 21 LĂNG TRỤ XIÊN B arccos D arccos 21 12 Câu 44 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có mặt đáy tam giác cạnh AB = a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACC ′A′) theo a là: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 9|THBTN BTN_7_3 Chuyên đề Hình học khơng gian A 39 a 13 B 15 a C 21 a D 15 a Câu 45 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính khoảng cách hai đường chéo AC BB′ theo a là: A 15 a B 15 a C 21 a D 39 a 13 Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính khoảng cách hai đường chéo BC AA′ theo a là: A 15 a B 15 a C 21 a D 39 a 13 Câu 47 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Gọi ϕ góc hai đường thẳng AC BB′ Khi cos ϕ : A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = Câu 48 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính góc hai đường thẳng A′C ( ABC ) là: A π B π C π D arcsin Câu 49 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có mặt đáy tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính góc hai mặt phẳng ( BCC ′B′) ( ABC ) là: A arctan B arctan C arctan D arctan Câu 50 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có mặt đáy đáy ABC tam giác vuông A , AB = a , AC = a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết góc cạnh bên mặt đáy 30 Tính khoảng cách từ điểm C ′ đến ( ABB′A′) là: A a B a B 85 a 17 D 13 a Câu 51 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có mặt đáy đáy ABC tam giác vuông cân A , AC = a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh BC Biết góc cạnh bên mặt đáy 30 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AA′ BC là: A a B a C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn a D 29 a 10 | T H B T N BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian a Kẻ HK ⊥ AA′ , ta có: HK ⊥ AA′ nên: HK ⊥ AA′ Suy ra, d ( AA′, BC ) = HK ( AA′, ( ABC ) ) = ( AA′, A′H ) = 30 Suy ra, A′H = AH tan 300 = Xét tam giác A′AH vng H có: HK = Vậy d ( AA′, BC ) = AH A′H AH + A′H = a a C′ A′ z C′ A′ B′ B′ K y A C C A H H B B x [Cách 2]: Phương pháp tọa độ ( ) ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: A ( 0;0;0 ) , B a 3; 0; , C 0; a 3;0 , a a a a a a H ; ; , A′ ; ; a Ta có: AA′ = ; ; a; 2 2 ( ) ( ) BC = − a 3; a 3; ; AB = a 3; 0; Vậy d ( AA′, BC ) = ( AA′ ∧ BC ) AB = ( AA′ ∧ BC ) a Câu 52 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có mặt đáy ABC tam giác cạnh AB = 2a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC , biết AA′ = 3a Tính góc hai mặt phẳng ( ABB′A′) ( ABC ) là: B arccos C arccos D arccos 3 12 Hướng dẫn giải Cách 1: [Phương pháp dựng hình] Tính được: AI = a ; AG = AI = a Kẻ GE ⊥ AB Ta có: AB ⊥ A′E 3 69 EG = a ; A′G = A′A2 − AG = a Vậy ( ( ABB′A′ ) , ( ABC ) ) = ( A′E , EG ) = A′EG 3 A′G Xét tam giác A′EG vuông G ta được: tan A′EG = = 23 ⇒ cos A′EG = EG 12 Vậy ( ( ABB′A′ ) , ( ABC ) ) = arccos 12 A arccos Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 61 | T H B T N BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian C′ A′ C′ z A′ B′ B′ A y A x C G E C E I G B I B [Cách 2]: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: a a 69 I ( 0;0;0) , A 0; a 3; , C ( a; 0;0 ) , B ( − a; 0; ) , G 0; ; , A′ 0; ; a 3 ( ) Mặt phẳng ( ABC ) : z = có vtpt k = ( 0; 0;1) 69 ; Mặt phẳng ( ABB′A′) có vtpt n = AB ∧ AA′ = a − 23; nên: 3 cos ( ( ABB′A′ ) , ( ABC ) ) = n.k n.k = Vậy 12 ( ( ABB′A′) , ( ABC ) ) = arccos 12 Câu 53 Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O có AB = a , BC = a Gọi H , M trung điểm OA, AA′ Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với điểm H Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( CDD′C ′) : 29 85 285 a B a C a 13 17 19 Hướng dẫn giải Cách 1: [Phương pháp dựng hình] Do ABCD hình chữ nhật tâm O có AB = a , BC = a nên: A D 21 a a a ; OH = Ta có: A′H ⊥ ( ABCD ) Nên AH hình chiếu vng góc AA′ lên ( ABCD ) , suy ra: AC = a ; OA = ( AA′, ( ABCD ) ) = ( AA′, AH ) = A′AH = 60 a 15 Vì AA′// ( CDD′C ′) nên: d ( M , ( CDD′C ′) ) = d ( A, ( CDD′C ′ ) ) A′H = AH tan 600 = Dựng hình bình hành A′HEC ′ ta có: C ′E ⊥ ( ABCD ) , C ′E = A′H d ( A, ( CDD′C ′ ) ) d ( E, ( CDD′C ′ ) ) = AC = Suy ra, d ( A, ( CDD′C ′) ) = 4.d ( E, ( CDD′C ′) ) EC Ta có: KE //AD AC = 4CE nên tính được: KE = Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn a 62 | T H B T N BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian Xét tam giác C ′KE vng E có: IE = KE.C ′E KE + C ′E 285 a 38 = 285 a 19 [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích 15 Ta có: VABCD A′B′C ′D′ = S ABCD A′H = a Vậy d ( M , ( CDD′C ′ ) ) = d ( M , ( CDD′C ′ ) ) = d ( A, ( CDD′C ′ ) ) = d ( A, ( CDC ′ ) ) = 3VACDC ′ VABCD A′B′C ′D′ = SCDC ′ SCDC ′ a 11 19 C ′D = C ′E + ED = C ′E + KD + KE = a Suy ra, SCDC ′ = a 285 Vậy d ( M , ( CDD′C ′ ) ) = a 19 Xét tam giác CDC ′ ta có: CD = a , CC ′ = AA′ = A′H + AH = A′ D′ C′ M B′ A′ D′ B′ C′ M z A D A H B D H I O y C K B E C x [Cách 3]: Chọn hệ trục tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: a 3a B ( 0;0;0 ) , A ( 0; a;0 ) , C ( 2a;0;0 ) , D ( 2a; a; ) , H ; ; 2 a 3a 15 a 7a 15 5a a 15 A′ ; ; a , M ; ; a Vì CC ′ = AA′ ⇒ C ′ ; − ; a ; 4 2 4 4 8 a a 15 7a 7a 15 Ta có: CD = ( 0; a; ) ; CC ′ = ; − ; a ; MC = ; − ; − a 8 2 4 Vậy d ( M , ( CDD′C ′ ) ) = (CD ∧ CC′) MC = CD ∧ CC ′ 285 a 19 CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP Câu 54 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , đỉnh S cách điểm A, B, C Biết AC = a , BC = a , góc đường thẳng SB mp ( ABC ) 600 Tính khoảng cách từ trung điểm M SC đến mp ( SAB ) theo a Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 63 | T H B T N BTN_7_3 Chuyên đề Hình học không gian a 39 13 Hướng dẫn giải A B 3a 13 13 C a 39 26 D a 13 26 [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Gọi hình chiếu S xuống mặt phẳng ( ABC ) H Suy SH ⊥ ( ABC ) Ta có : S cách điểm A, B, C nên SA = SB = SC Vì ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC (tam giác vng có cạnh huyền nhau) nên HA = HB = HC hay H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Mà ∆ABC vuông B nên H trung điểm AC M trung điểm SC nên d ( M , ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) Gọi K trung điểm AB ⇒ HK ⊥ AB S Kẻ HI ⊥ SK I AB ⊥ SH AB ⊥ HK Ta có : ⇒ AB ⊥ ( SHK ) HK ∩ SH = { K } HK , SH ⊂ ( SHK ) Mà HI ⊂ ( SHK ) nên AB ⊥ HI M I A C H K HI ⊥ SK HI ⊥ AB Lại có : ⇒ HI ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HI SK ∩ AB = K { } SK , AB ⊂ ( SAB ) B Góc đường thẳng SB mp ( ABC ) góc nhọn SBH = 600 Ta có HB = 1 a AC = a ; HK = BC = 2 Xét ∆SHB : SH = tan 600.HB = a Xét ∆SHK vuông H suy Vậy d ( M , ( SAB ) ) = HI = a 39 1 1 = + = + ⇒ HI = 2 HI HS HK 3a a 13 a 39 13 [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích Ta có : d ( M , ( SAB ) ) = 3VMSAB S ∆SAB Tam giác ABC vuông B ⇒ AB = AC − BC = 4a − a = a Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 64 | T H B T N BTN_7_3 Chuyên đề Hình học khơng gian Mặt khác : VSAMB 1 = ⇒ VSAMB = VSABC VSABC 2 1 1 a3 a3 Lại có : VSABC = SH S ∆ABC = SH AB.BC = a 3.a 3.a = ⇒ VSAMB = VSABC = 3 2 Tam giác SHK vuông H nên SK = SH + HK = 3a + Do : S ∆ABC a a 13 = 1 a 13 a 39 = SK AB = a = 2 z S 3V a 39 Vậy : d ( M , ( SAB ) ) = MSAB = S ∆SAB 13 [Cách 3]: Phương pháp toạ độ M Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ a Khi H ≡ O ( 0;0;0 ) , K ; 0; , S 0;0; a 2 ( A ) H C K a a a a a 3 A − ; − ; , M − ; ; 2 4 y x B 3a a a a a Suy ra: KS = − ; 0; a , KA = −a; − ; , KM = − ; ; 4 Vậy d ( M , ( SAB ) ) = KS , KA KM a a 39 = = 13 13 KS , KA Câu 55 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a , ABC = 600 , SA = SB = SC = 2a Tính khoảng cách AB SC a 11 a 11 B 12 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình A C a 11 D 3a 11 ∆ABC có AB = BC , ABC = 600 nên ∆ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC , K trung điểm AB Ta có : SA = SB = SC nên SG ⊥ ( ABCD ) Mặt khác: AB // ( SCD ) ⇒ d ( AB , SC ) = d ( AB , ( SCD ) ) = d ( B , ( SCD ) ) = d ( G , ( SCD ) ) Vì G trọng tâm ∆ABC nên CG ⊥ AB hay CG ⊥ CD Kẻ GI ⊥ SC CD ⊥ SG CD ⊥ CG Ta có: ⇒ CD ⊥ ( SGC ) SG ∩ CG = {G} SG , CG ⊂ ( SCG ) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 65 | T H B T N BTN_7_3 Chuyên đề Hình học khơng gian mà GI ⊂ ( SGC ) nên CD ⊥ GI S GI ⊥ SC GI ⊥ DC Lại có ⇒ GI ⊥ ( SCD ) SC ∩ CD = {C} SC , CD ⊂ ( SCD ) I hay d ( G, ( SCD ) ) = GI A ∆ABC có cạnh a nên D O K 2a a CG = CK = = 3 G C B Tam giác SGC vuông G suy SG = SC − GC = 4a − a a 11 = 3 1 a 11 = + ⇒ GI = 2 GI SG GC Vậy d ( AB, SC ) = 3 a 11 a 11 d ( G, ( SCD ) ) = = 2 [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích AB // ( SCD ) ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) = 3VBSCD S∆SCD Tam giác SGC vuông G suy SG = SC − GC = 4a − Tam giác ABC có cạnh a nên: OC = a a 11 = 3 a a , OB = 2 z 1 a a2 Tam giác BCO vuông O : S ∆BCD = OC.BD = a = 2 S 1 a 11 a a 11 Do đó: VSBCD = SG.S ∆BCD = = 3 12 CD ⊥ SG CD ⊥ CG Ta có: ⇒ CD ⊥ ( SGC ) ⇒ CD ⊥ SC SG ∩ CG = {G} SG , CG ⊂ ( SCG ) A K D G O B x Tam giác SCD vuông C : S ∆SCD = Vậy d ( AB, SC ) = 1 SC CD = 2a.a = a 2 y C 3VBSCD a 11 = S ∆SCD [Cách 3]: Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ đó: a a a 2a a 33 G ( 0;0;0 ) , B ;0; , S 0; 0; ; ; , D − ; 0; , C − Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 66 | T H B T N BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian a a a 33 a a a a Suy ra: CS = ;− ;− ; − ; , CB = ; − ; , CD = − CD, CS CB a 11 = Suy ra: d ( AB, SC ) = d ( B, ( SCD ) ) = CD, CS Câu 56 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a , I trung điểm BC Tính góc hai đường thẳng AI OB 1 A arctan B arctan C arctan D arctan 5 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Gọi M trung điểm OC Ta có IM //OB Nên góc AI OB góc AI IM góc A IM OB ⊥ OC Ta có : ⇒ OB ⊥ ( OAC ) mà IM //OB nên IM ⊥ ( OAC ) OB ⊥ OA Lại có AM ⊂ ( OAC ) nên IM ⊥ AM Xét tam giác AIM vng M nên ta có: 2 a 5a a 2 2 = ⇒ AM = IM = OB = a AM = AO + OM = a + 4 2 tan AIM = AM = ⇒ AIM = arctan IM A Vậy góc hai đường thẳng AI OB arctan [Cách 2]: Phương pháp dùng tích vơ hướng ( Ta có: cos ( AI , OB ) = cos AI , OB ( ) Ta xét: cos AI , OB = ) AI OB AI OB M O C I B Có: ( ) ( ) AI OB = AO + OI OB = AO.OB + OI OB = OI OB = OI OB.cos OI , OB = a 2 a2 a = 2 a2 AI OB 1 ⇒ cos ( AI , OB ) = ⇒ tan ( AI , OB ) = = = Do đó: cos AI , OB = AI OB a 6 a ( ) Vậy góc hai đường thẳng AI OB arccos = arctan [Cách 3]: Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: Ta có: O ( 0;0;0 ) , A ( 0;0; a ) , B ( a;0;0 ) , Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 67 | T H B T N BTN_7_3 Chuyên đề Hình học không gian a a C ( 0; a;0 ) , I ; ;0 2 z A a a Suy ra: AI = ; ; −a ; OB = ( a;0;0) 2 ( ) cos ( AI , OB ) = cos AI , OB = ( ) ⇒ tan AI , OB = AI OB AI OB = O y M C Vậy góc hai đường thẳng AI OB I x B arctan Câu 57 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, cạnh bên a Gọ i M , N trung điểm SB CD Tính góc MN mặt phẳng ( SAC ) A arctan B arctan C arctan 2 D arctan Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Gọi E , F trung điểm SO , OC Vì hình chóp SABCD đều, O tâm đáy ABCD nên SO ⊥ ( ABCD) S Lại có ABCD hình vuông nên BD ⊥ AC BD ⊥ AC BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ ( SAC ) Ta có SO ∩ AC = {O} SO , AC ⊂ ( SAC ) E M I A ME / / BD ⇒ ME ⊥ ( SAC ) Ta có : BD ⊥ ( SAC ) D O N F B C Lại có : NF ⊥ ( SAC ) Do : Hình chiếu MN lên mặt phẳng ( SAC ) E F Nên góc MN mặt phẳng ( SAC ) góc MN E F góc NI F Vì ABCD hình vng cạnh a nên BD = a NF đường trung bình tam giác ODC ⇒ NF = a Mặt khác E F = SC = a 2 Tứ giác MNEF hình bình hành nên hai đường chéo MN , E F cắt trung điểm I mỗ i đường ⇒ FI = EF = a a FN = = 2 ⇒ NIF = arctan 2 Tam giác NFI vuông F nên tan NIF = a FI z Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn S 68 | T H B T N BTN_7_3 Chuyên đề Hình học khơng gian Vậy góc MN mặt phẳng ( SAC ) a rctan 2 [Cách 3]: Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: Ta có O ( 0; 0;0 ) , S 0;0; a 2 , a a A 0; − ;0 , B ;0;0 , a a C 0; ;0 , D 0; − ;0 , 2 a a 2 a a a a a 2 ;0; ; ;0 ⇒ MN = − ; ;− M , N − 4 4 4 Véctơ pháp tuyến ( SAC ) là: n = i = (1;0;0 ) ( ) sin ( MN , ( SAC ) ) = cos MN , n = MN n MN n = 2 ⇒ tan ( MN ; ( SAC ) ) = 2 Câu 58 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên 2a A ' A = A ' B = A ' C Tính giá trị tan α với α góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) mặt phẳng ( ABC ) A 11 B Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình D 2a C a 1 A' C' Gọi O tâm đáy ABC Suy A ' O ⊥ ( ABC ) Gọi I trung điểm BC Ta có AI ⊥ BC ( tam giác ABC ) BC ⊥ A ' O BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( A ' AI ) ⇒ BC ⊥ A ' I Ta có : A ' O ∩ AI = {O} A ' O, AI ⊂ ( A ' AI ) B' A O C I B ( A ' BC ) ∩ ( ABC ) = BC Mặt khác : ( ABC ) : AI ⊥ BC ( A ' BC ) : A ' I ⊥ BC Nên góc hai mặt phẳng ( A ' BC ) mặt phẳng ( ABC ) góc A' IA = α Có OI = 1a a a 11a 2 AI = = , A ' O2 = AA '2 − AO2 = ( 2a ) − = 3 3 ⇒ tan α = A 'O = 11 OI [Cách 2]:Phương pháp toạ độ z C' A' Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn B' 69 | T H B T N BTN_7_3 Chuyên đề Hình học không gian a O ( 0;0;0) , A 0; − ;0 , A ' O = A ' A2 − AO2 = a a a a B ; ;0 , C − ; ;0 6 a 33 a 33 ⇒ A ' 0;0; 3 a a a 33 A ' B = ; ;− ; BC = ( −a;0;0) a2 33 a2 ; Véctơ pháp tuyến ( A ' BC ) là: n1 = A ' B, BC = 0; Véctơ pháp tuyến ( ABC ) là: n = k = ( 0;0;1) ( ) Ta có: cos α = cos n1, n = ⇒ tan α = 11 135 Câu 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy cạnh bên SC tạo với đáy góc 0 Gọi M , N trung điểm cạnh bên SA SB Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( DMN ) a 31 a 31 B 60 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình A Ta có SA cắt ( DMN ) M ⇒ d ( S , ( DMN ) ) d ( A, ( DMN ) ) C a 60 31 D 2a 31 S = SM =1 AM M ⇒ d ( S , ( DMN ) ) = d ( A, ( DMN ) ) H N Kẻ AH ⊥ MD D A MN //AB ⇒ MN ⊥ ( SAD) AB ⊥ ( SAD) Ta có : Mà AH ⊂ ( SAD ) ⇒ MN ⊥ AH B C AH ⊥ MD AH ⊥ MN ⇒ AH ⊥ ( DMN ) hay d ( A, ( DMN ) ) = AH Ta có: MD ∩ MN = {M } MD , MN ⊂ ( DMN ) Ta có AC hình chiếu SC lên mặt phẳng ( ABCD) nên góc SC ( ABCD) góc SCA = 600 Tam giác SAC vuông A suy ra: SA = tan 600 AC = a 15 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 70 | T H B T N BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian Xét ∆MAD vuông A nên: Vậy d ( S , ( DMN ) ) = 1 31 a 60 = + = + = ⇒ AH = 2 2 AH AM AD 15a 4a 60a 31 a 60 31 [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích Ta có: d ( S , ( DMN ) ) = 3VSMND Ta có: S∆MND MN //AB ⇒ MN ⊥ ( SAD ) ⇒ MN ⊥ MD AB ⊥ ( SAD) 1 a a 31 a2 31 = Tam giác MND vuông M : S∆MND = MN.MD = 2 2 Mặt khác VSMND = SM SN = ⇒ V SMND = V SABD = V SABD = 1 SA AB AD = a 15 V SABD SA SB 4 83 a 60 31 [Cách 3]: Phương pháp toạ độ 12 Vậy d ( S , ( DMN ) ) = z Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: ( S ) A ( 0;0; ) ; S 0;0; a 15 ; D ( 0; 2a; ) ; a a 15 a 15 M 0; 0; ; N ;0; 2 2 M H N a a 15 a 15 DM = 0; −2a; ; DN = ; −2a; ; 2 ( ) DS = 0; −2a; a 15 d ( S ; ( DMN ) ) = D A x y C B DM , DN DS a 60 = 31 DM , DN Câu 60 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Góc SB mặt phẳng ( SAC ) 0 Gọi M trung điểm SB Tính khoảng cách AM CD A a B a C a D a Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Hình chóp SABCD đều, O tâm đáy nên SO ⊥ ( ABCD) BD ⊥ AO Vì ABCD hình vng nên AC ⊥ BD Ta có: ⇒ BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ SO Góc SB ( SAC ) góc SB SO góc SOB = 600 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 71 | T H B T N BTN_7_3 Chuyên đề Hình học không gian CD//AB ⇒ CD// ( SAB ) Mà AM ⊂ ( SAB) AB ⊂ ( SAB ) Ta có nên d ( AM , CD ) = d ( CD, ( SAB ) ) = 2d ( O, SAB ) Gọi I trung điểm AB Kẻ OH ⊥ SI AB ⊥ OI Ta có: ⇒ AB ⊥ ( SOI ) mà OH ⊂ ( SIO ) ⇒ OH ⊥ AB AB ⊥ SO OH ⊥ SI Lại có ⇒ OH ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = OH OH ⊥ AB Vì OI đường trung bình tam giác ABD nên OI = AD = a 2 OB a a = = tan 60 1 1 10 a = 2+ = + = ⇒ OH = 2 2 OH OI SO a 10 a a 6 2 Tam giác SBO vuông O nên ta có: SO = Vậy d ( AM , CD ) = d ( CD, ( SAB ) ) = 2d ( O, ( SAB ) ) = 2OH = 2a 10 S z S M H M D A I D A O C B x O B C y [Cách 2]:Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ cho: a 6 O ( 0;0;0) ; S 0;0; ; a a a a a A 0; − ;0 ; C 0; ;0 ; B ;0;0 2 a a 6 ( ; ;0 ; AS = 0; ; Suy ra: AB = ; AC = 0; a 2;0 2 ⇒ d ( AM , CD ) = d ( C , ( SAB ) ) = ) AB, AS AC 2a = 10 AB, AS Câu 61 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , N trung điểm AB CD Tính khoảng cách A' C MN Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 72 | T H B T N BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian A a B a C a D a A' D' Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình C' B' Ta có BC //MN ⇒ MN // ( A ' BC ) ⇒ d ( MN , A ' C ) = d ( MN , ( A ' BC ) ) = d ( M , ( A ' BC ) ) Gọi I = A ' B ∩ AB ' H trung điểm BI MH //AI Ta có ⇒ MH ⊥ A ' B AI ⊥ A ' B A H MH ⊥ A ' B ⇒ MH ⊥ ( A ' BC ) Lại có : MH ⊥ BC ( BC ⊥ ( ABB ' A ') ) Do d ( MN , A ' C ) = d ( M , ( A ' BC ) ) = MH = I D M N C B 1 a AI = AB ' = 4 [Cách 2]: Phương pháp toạ độ a Chọn hệ trục toạ độ cho: A ( 0;0;0) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; a;0 ) ; A ' ( 0;0; a ) ; M ;0;0 2 a Suy ra: BA ' = ( −a;0; a ) ; BC = ( 0; a;0 ) ; BM = − ;0;0 d ( MN ; A ' B ) = d ( MN ; ( A ' BC ) ) = d ( M ; ( A ' BC ) ) = BA ', BC BM a = 2 BA ', BC Câu 62 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân AD //BC , AD = 2a , BC = CD = a Biết SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 3a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AD A B C D Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Ta có AD //BC nên góc hai đường thẳng SC AD góc hai đường thẳng SC BC Vì ABCD hình thang cân nên AB = CD = a Gọi I trung điểm AD AI = BC = AD Ta có: nên tứ giác AICB hình bình hành S AI //BC nên CI = AB = a Tam giác ACD có C I = AD ⇒ tam giác ACD vuông C Tam giác ACD vuông C nên ta có: AC = AD − CD = ( a ) − a = 3a ⇒ AC = a I A Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn B D 73 | T H B T N C BTN_7_3 Chuyên đề Hình học khơng gian Tam giác SAC vng A nên ta có: ( ) SC = SA2 + AC = ( 3a ) + a = 12a2 ⇒ SC = 2a Tam giác SAB vng A nên ta có: SB = SA2 + AB = ( 3a ) + a = 10a ⇒ SB = a 10 Áp dụng định lí cosin tam giác SBC : cos SCB = SC + BC − SB2 = 2SC.BC Vậy cosin góc hai đường thẳng SC AD S z [Cách 2]: Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ ta có: ( ) C ( 0; 0; ) ; A a 3; 0; ; D ( 0; a ; ) ; S ( 0; 0; a ) y a a ; ;0 Suy ra: SC = ( 0;0; −3a ) ; AB = 2 ( ) cos ( SC , AD ) = cos SC , AD = SC AB SC AB = x A I D C B Vậy cosin góc hai đường thẳng SC AD Câu 63 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB = CA = a , cạnh bên SA ⊥ ( ABC ) , SA = a Tính góc SA ( SBC ) A arctan 2 B arctan C arctan D arctan Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Gọi I trung điểm cạnh BC Kẻ AH ⊥ SI Vì tam giác ABC vuông cân A nên AI ⊥ BC BC ⊥ AI Ta có: ⇒ BC ⊥ ( SAI ) Mà AH ⊂ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ SA AH ⊥ SI Ta có: ⇒ AH ⊥ ( SBC ) AH ⊥ BC Suy : góc SA ( SBC ) góc SA SH S góc ASI Tam giác SAI vng A : có SA = a, AI = a BC = 2 H AI tan ASI = = AS Vậy góc SA ( SBC ) arctan I z Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn C A S 74 B| T H B T N BTN_7_3 Chun đề Hình học khơng gian [Cách 2]: Gán hệ trục tọa độ Chọn hệ trục toạ độ cho: A ( 0;0;0) ; B; ( a;0;0) ; C ( 0; a;0) ; S ( 0;0; a ) Ta có : BS = ( −a;0; a ) , BC = ( −a; a;0 ) Suy ra: B S, BC = ( − a ; − a ; − a ) = ( − a ) (1;1;1 ) Mặt phẳng ( SBC ) có véctơ pháp tuyến là: n = (1;1;1) Đường thẳng SA có véctơ phương là: k = ( 0; 0;1) ( ) Suy ra: sin ( SA; ( SBC ) ) = cos n; k = ⇒ tan ( SA, ( SBC ) ) = ⇒ cot ( SA; ( SBC ) ) = 2 Vậy góc SA ( SBC ) arctan 2 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 75 | T H B T N