ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ NHÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI- 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ NHÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Phạm Văn Quốc HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến 1.2 Đạo hàm 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Tính đơn điệu dấu đạo hàm 1.3 Định lí Rolle 1.4 Định lí Lagrange 1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Định lí 1.5.3 Biểu diễn hàm lồi lõm 1.5.4 Định lí Karamata 1.6 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 1.6.1 Định nghĩa 1.6.2 Quy tắc tìm GTLN,GTNN hàm số liên tục đoạn [a;b] đạo hàm 10 Ứng dụng đạo hàm giải phương trình hệ phương trình 11 2.1 Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K 11 2.2 Phương trình cho biến đổi dạng f(u) = f(v) 16 2.3 Hệ phương trình 25 2.4 Áp dụng định lí Rolle 38 2.5 Bài tập 41 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 44 3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 44 3.2 Áp dụng định lí Lagrange định lí Karamata 58 3.3 Bài tập 64 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 Mở đầu Như ta biết, chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình chiếm lượng lớn, xun suốt chương trình phổ thơng Nhiều tập giải phương pháp thơng thường gặp nhiều khó khăn, nhiên biết sử dụng phương pháp hàm số tập giải dễ dàng Hơn số năm gần đề thi đại học cao đẳng; thi học sinh giỏi thường xuyên gặp toán phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức vận dụng phương pháp hàm số Chính việc trang bị cho học sinh kỹ ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức cần thiết, giúp em tự tin kỳ thi, nên chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức giải phương trình, hệ phương trình " với mục đích - Trang bị cho học sinh phương pháp giải phương trình, hệ phương trình , chứng minh bất đẳng thức ứng dụng hàm số - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua đó, học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo Do q trình nghiên cứu, biên tập cịn nhiều hạn chế nên nội dung cách trình bày luận văn chắn cịn nhiều thiếu xót, mong thầy bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Nội dung khóa luận bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình hệ phương trình ⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt q trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Nhài Chương Kiến thức sở 1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y=f(x) xác định K ⊂ R(K khoảng, đoạn nửa khoảng) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K (Trích SGK 12 – Nhà XBGD - 2007) 1.2 1.2.1 Đạo hàm Định nghĩa Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) xo ∈ (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) f (x) − f (xo ) x→xo x − xo giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm xo kí hiệu f ′ (xo ) (hoặc y ′ (xo )), tức f (x) − f (xo ) f ′ (xo ) = lim x→xo x − xo lim Định nghĩa 1.3 Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) xo ∈ (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim+ x→xo f (x) − f (xo ) x − xo giới hạn gọi đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm xo kí hiệu f ′ (x+ o ) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim− x→xo f (x) − f (xo ) x − xo giới hạn gọi đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm xo kí hiệu f ′ (x− o ) Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm khoảng (a;b) có đạo hàm điểm x khoảng Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm đoạn [a;b] có đạo hàm điểm x khoảng (a;b) có đạo hàm bên phải a, có đạo hàm bên trái b 1.2.2 Tính chất Định lí 1.1 Giả sử u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có (u ± v)′ = u′ ± v ′ (u.v)′ = u′ v + uv ′ ( u ), u′ v − uv ′ = (v = v(x) ̸= 0) v v2 Định lí 1.2 Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u′x hàm số y = f (u) có đạo hàm u y ′u hàm hợp y = f (g(x)) có đạo hàm x y ′x = y ′u u′x 1.2.3 Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lí 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f ′ (x) > với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến K Nếu f ′ (x) < với x thuộc K hàm số f(x) nghịch biến K Định lí 1.4 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f ′ (x) ≥ với x thuộc K f ′ (x) = số hữu hạn điểm hàm số f(x) đồng biến K Nếu f ′ (x) ≤ với x thuộc K f ′ (x) = số hữu hạn điểm hàm số f(x) nghịch biến K 1.3 Định lí Rolle Định lí 1.5 Giả sử f(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm x thuộc khoảng (a;b) Nếu f(a) = f(b) tồn điểm c ∈ (a; b) cho f’(c)=0 Hệ Giả sử hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm khoảng (a;b) Khi đó, phương trình f’(x) = có khơng q n-1 nghiệm phân biệt khoảng (a;b) phương trình f(x) = có khơng n nghiệm phân biệt khoảng 1.4 Định lí Lagrange Định lí 1.6 Giả sử f(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm khoảng (a;b) Khi tồn điểm c ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) = f ′ (c).(b − a) 1.5 1.5.1 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai Định nghĩa Ta ký hiệu I(a; b) ⊂ R tập hợp có bốn dạng tập hợp sau: (a; b), [a; b), (a; b] [a; b] Định nghĩa 1.5 Hàm số f (x) gọi lồi tập I(a, b) với x1 , x2 ∈ I(a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ) (1.1) Nếu dấu đẳng thức (1.1) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lồi thực (chặt) I(a; b) Hàm số f (x) gọi lõm tập I(a; b) với x1 , x2 ∈ I(a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 ) (1.2) Nếu dấu đẳng thức (1.2) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lõm thực (chặt) I(a; b) 1.5.2 Định lí Định lí 1.7 Nếu f(x) hàm số khả vi I(a;b) f(x) hàm lồi I(a;b) f’(x) hàm đơn điệu tăng I(a;b) Định lí 1.8 Nếu f (x) khả vi bậc hai I(a; b) f (x) lồi (lõm) I(a, b) f ′′ (x) ≥ 0(f ′′ (x) ≤ 0) I(a, b) 1.5.3 Biểu diễn hàm lồi lõm Nếu f (x) lồi khả vi I(a; b) với cặp x0 , x ∈ I(a; b), ta có f (x) ≥ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) (1.3) Dễ nhận thấy (1.3) xảy đẳng thức x0 = x Vậy ta viết (1.3) dạng f (x) = [f (u) + f ′ (u)(x − u)] u∈I(a;b) Nếu f (x) lõm khả vi I(a; b) với cặp x0 , x ∈ I(a; b), ta có f (x) ≤ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) (1.4) Dễ nhận thấy (1.4) xảy đẳng thức x0 = x Vậy ta viết (1.4) dạng f (x) = max [f (u) + f ′ (u)(x − u)] u∈I(a;b) 1.5.4 Định lí Karamata Định lí 1.9 (Bất đẳng thức Karamata) Cho hai dãy số {xk , yk ∈ I(a; b), k = 1, 2, , n} , thỏa mãn điều kiện x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn  x1 ≥ y1     x1 + x2 ≥ y1 + y2 (1.5)   x + x + · · · + x ≥ y + y + · · · + y  n−1 n−1  x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn Khi đó, ứng với hàm lồi thực f (x), (f ′′ (x) > 0) I(a, b), ta có f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ) (1.6) Ta có phát biểu tương tự hàm lõm cách đổi chiều dấu bất đẳng thức Chứng minh Sử dụng biểu diễn hàm lồi Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển- Nguyễn Minh Tuấn , LATEX tra cưú soạn thảo, NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI-2009 [2] Lê Hồng Đức , Phương pháp giải tốn Mũ – Lơgarit, NXB Hà Nội 2003 [3] GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu , Bất đẳng thức định lí áp dụng- 2006 [4] Giáo trình giải tích tập 1, Nhà XB Đại học QG HN - 2000 [5] Tạp chí THTT, NXB Giáo dục - 2012 [6] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 lần thứ 9, NXB Giáo dục - 2003 [7] Olympic toán học Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo dục -2003 [8] Sách giáo khoa đại số giải tích 11, NXB Giáo dục - 2007 [9] Sách giáo khoa giải tích 12, NXB Giáo dục - 2007 [10] Tủ sách tạp chí THTT, Các toán thi Olympic Toán THPT, NXB Giáo dục - 2007 [11] Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT, NXB Giáo dục 1996 [12] Các diễn đàn Toán học http://mathcope, http://mathlink.ro 67 ... kỹ ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức cần thiết, giúp em tự tin kỳ thi, nên chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức giải phương trình, hệ phương. .. bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình hệ phương trình ⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận,... phương trình " với mục đích - Trang bị cho học sinh phương pháp giải phương trình, hệ phương trình , chứng minh bất đẳng thức ứng dụng hàm số - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn