Xuân Đức 66 Đề số 16 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 Năm học: 2008-2009 Thời gian 150 phút Thời gian 150 phút kông kể thời gian phát đề Bi 1: a) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n b)Cho h: Tớnh biu thc P= Bi 2: a) Gii phng trỡnh: b) Cho x . Tớnh P=( Bi 3: a) Cho v . Chng t: b) Cho a . Tỡm giỏ tr nh nht ca P= Bi 4: Cho tam giỏc ABC khụng cõn ti A, gi M l trung im ca BC, AD l ng cao, E, F ln lt l cỏc hỡnh chiu vuụng gúc ca B, C trờn ng kớnh AA ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. Chng minh rng: M l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc DEF Bài 5: ( 2 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z; biết rằng x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện y 2 + yz + z 2 = 1 - 2 3 2 x . Xu©n §øc 66 ®¸p ¸n Bµi 1: a) Ta có: Do đó: Vì n nguyên dương nên Kết luận: hoặc b) Ta có: Vậy Bµi 2: a) Ta có: Kết luận: hoặc b) Trước hết ta tính x, ta có: Suy ra Xu©n §øc 66 Lại có: Suy ra Từ đó ta có: x Suy ra: P=( Vậy P=1 Bµi 3: Vì Vậy Mặt khác, ta có: (1) Lại có: (2) Nhân vế theo vế 2 bất đẳng thức (1) và (2) rồi rút gọn, ta được: Vậy . ĐPCM b) Ta có: Vì nên Suy ra: Suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Tương tự như vậy và Suy ra P= Hay là . Xu©n §øc 66 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bµi 4: Vì nên tứ giác ADFC là tứ giác nội tiếp (1) Lại có nên tứ giác AEDB là tứ giác nội tiếp Suy ra (2) Mặt khác: (Cùng bù với ) (3) (Tứ giác là tứ giác nội tiếp) (4) Từ (2), (3), (4) suy ra (5) Từ (1) và (5) suy ra Suy ra AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF Vì MD AD nên MD đường thẳng chứa đường kính của đường tròn. (6) Bây giờ gọi K là giao điểm của ME với CF. Dễ dàng nhận thấy ( góc, cạnh, góc) Suy ra ME=MK hay nói cách khác M là trung điểm của EK. Xét tam giác vuông EFK có FM là trung tuyến, do đó ME=MF, suy ra M nằm trên đường trung trực của của EF hay nói cách khác M nằm trên một đường kính khác của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF (7) Từ (6) và (7) suy ra M chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF. ĐPCM. Bµi 5: + Ta cã y 2 + yz + z 2 = 1 - 2 3 2 x ⇔ 2y 2 + 2yz + 2z 2 = 2 – 3x 2 ⇔ 3x 2 + 2y 2 + 2yz + 2z 2 = 2 ( 1 ) ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz + x 2 – 2xy + y 2 + x 2 – 2xz + z 2 = 2 ⇔ ( x + y + z ) 2 + ( x – y ) 2 + ( x – z ) 2 = 2 ( 1,0 ®iÓm ) + Do ( x – y ) 2 ≥ 0; ( x – z ) 2 ≥ 0 nªn tõ ( * ) suy ra ( x + y + z ) 2 ≤ 2 Hay - 22 ≤++≤ zyx ( 0,5 ®iÓm ) + DÊu “ = ” x¶y ra khi x – y = 0 vµ x – z = 0 hay x = y = z Xu©n §øc 66 Thay vµo ( 1 ) ®îc 9x 2 = 2; x = 3 2 ; x = - 3 2 ( 0,25 ®iÓm ) + KL: Víi x = y = z = - 3 2 th× min B = - 2 Víi x = y = z = 3 2 th× max B = 2 . Xuân Đức 66 Đề số 16 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 Năm học: 2008-20 09 Thời gian 150 phút Thời gian 150 phút kông kể thời gian phát đề Bi 1: a) Tỡm. Ta có: Do đó: Vì n nguyên dương nên Kết luận: hoặc b) Ta có: Vậy Bµi 2: a) Ta có: Kết luận: hoặc b) Trước hết ta tính x, ta có: Suy ra Xu©n §øc 66 Lại có: