THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh xác định chân đường cao tốn tính thể tích khối đa diện Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 25 tháng 09 năm 2015 đến ngày 15 tháng 05 năm 2016 Tác giả: Họ tên: Phạm Cao Thế Năm sinh: 1983 Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xn Trường - Tỉnh Nam Định Trình độ chun mơn: Cử nhân toán học Nơi làm việc: Trường THPT Xuân Trường Địa liên hệ: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 0914.436.388 Tỉ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 90% Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503.886.167 BÁO CÁO SÁNG KIẾN HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CAO TRONG BÀI TỐN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHẦN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Thể tích khối đa diện chủ đề quan trọng chủ đề toán học trường phổ thông Đặc biệt, năm gần đây, tốn tính thể tích khối đa diện khơng thể thiếu kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi, xuất thường xuyên độ khó ngày nâng lên nên đôi lúc cách giải nhiều học sinh gặp nhiều khó khăn Với mong muốn giúp em học sinh có kỹ tốt, khơng bỡ ngỡ gặp câu hỏi tính thể thích khối đa diện, tơi suy nghĩ rằng, cần phải hệ thống lại kiến thức, phân dạng tập cụ thể cần có phân tích lớp tốn để học sinh hiểu, vận dụng có tư logic tập có dạng tương tự PHẦN II MƠ TẢ GIẢI PHÁP A MƠ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI CĨ SÁNG KIẾN Đối với tốn thể tích khối đa diện, SGK Hình học 12 đưa ví dụ số tập Chính học sinh thường gặp nhiều khó khăn việc tính thể tích khối đa diện chí khơng biết cách giải Đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng, đề thi THPT Quốc gia đề thi học sinh giỏi em sẽ gặp tốn thể tích khối đa diện nhiều dạng khác Vì vậy, việc giúp cho em có kĩ tốt, cung cấp thêm phương pháp tính thể tích khối đa diện cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế Một điều quan trọng trình tính thể tích khối đa diện đa phần em học sinh chưa biết cách xác định chiều cao khối đa diện nên việc tính thể tích khối đa diện khơng xác Do tơi hệ thống lại cách xác định chân đường cao số khối đa diện đặc biệt để em nắm từ hồn tồn tính thể tích khối đa diện cụ thể B MƠ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CĨ SANG KIÉN CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các hệ thức lượng tam giác a Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A ,khi ta có (1) Định lí Pithago: BC = AB + AC A (2) c = c '.a ( AB = BH BC ) (3) b = b '.a ( AC = CH BC ) b c h ( AH BC = AB AC ) (4) ah = bc 1 b' c' (5) = + B C h b c H a b c b c (6) sin B = ; cos B = ; tan B = ; cot B = a a c b b Hệ thức lượng tam giác ABC : A Định lí cơsin: a = b + c − 2bc cos A a b c b = = = 2R Định lí sin: c sin A sin B sin C c Cơng thức tính diện tích tam giác: C a 1 1 1 ● S = aha = bhb = chc = ab sin C = ac sin B = bcBsin A 2 2 2 abc a+b+c = pr = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ●S = (Với p = ) 4R d Diện tích hình vng cạnh a: S = a e Diện tích hình chữ nhật kích thước a b: S = a.b f Diện tích hình thang: S = ( a + b ) h a b độ dài hai đáy, h chiều cao hình thang 1.2 Quan hệ song song 1.2.1 Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song a Phương pháp 1(về giao tuyến ba mặt phẳng phân biệt) ( α ) ∩ ( β ) = a  a / / b, b / / c, c / / a  ( β ) ∩ ( γ ) = b ⇒   a, b, cđồng quy ( γ ) ∩(α ) = c  b Phương pháp (Hệ định lý giao tuyến ba mặt phẳng phân biệt)  (α) ⊃ a  c ≡ a; c ≡ b   (β) ⊃b ⇒  c / / a  a / /b   c/ /b ( α ) ∩ ( β ) = c  c Phương pháp a ≠ b  a / / c ⇒ a / /b b / / c  d Phương pháp  a / /(α)   ( β ) ⊃ a ⇒ b / /a ( β ) ∩ ( α ) = b  e Phương pháp  (α) ≠ ( β )  ( α ) / / d , ( β ) / / d ⇒ d '/ / d  (α) ∩( β ) = d '  f Phương pháp  (α) / /( β )  ( γ ) ∩ ( α ) = a ⇒ a / / b ( γ ) ∩ ( β ) = b  g Phương pháp  a≠b  a ⊥ ( α ) ⇒ a / / b b ⊥ ( α )  1.2.2 Một số phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng a Phương pháp d ⊄ (α)   d / /d ' ⇒ d / / ( α ) d ' ⊂ ( α )  b Phương pháp a ⊄ ( α )   a ⊥ b ⇒ a / /(α) ( α ) ⊥ b  1.2.3 Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song a Phương pháp ( α ) ⊃ a, ( α ) ⊃ b  a∩b = I  ⇒ (α) / /( β )  a / /( β )   b / /( β ) b Phương pháp ( α ) ≠ ( β )  ( α ) / / ( γ ) ⇒ ( α ) / / ( β ) ( β ) / / ( γ )  c Phương pháp ( α ) ≠ ( β )   a ⊥ (α) ⇒ (α) / /( β )  a ⊥(β)  1.3 Quan hệ vng góc 1.3.1 Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc a Phương pháp uuu r uuur r Cho hai đường thẳng AB, CD AB.CD = ⇒ AB ⊥ CD b Phương pháp Tính góc hai đường thẳng 900 c Phương pháp 3(Định lí ba đường vng góc) Gọi b’ hình chiếu vng góc b lên ( α ) a ⊂ ( α ) Khi a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ' d Phương pháp a ⊥ ( α ) ⇒a⊥b  b ⊂ ( α ) e Phương pháp  b/ / ( α ) ⇒a⊥b  a ⊥ α ( )  1.3.2 Một số phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng a Phương pháp  a⊥b  a⊥c  ⇒ a ⊥ (α)  b ∩ c = I  b, c ⊂ ( α ) b Phương pháp  a / /b ⇒ b ⊥ (α)  a ⊥ α ( )  c Phương pháp ( α ) / / ( β ) ⇒a ⊥(β)  a ⊥ α ( )  d Phương pháp  (α ) ⊥ ( β )  ( α ) ∩ ( β ) = a ⇒ b ⊥ (α)  b ⊂ β ( )   b⊥a e Phương pháp ( α ) ∩ ( β ) = a   (α ) ⊥ (γ ) ⇒ a ⊥ (γ )  ( β) ⊥(γ )  1.3.3 Một số phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc mặt phẳng chứa a đường thẳng vng góc với mặt phẳng a' 1.4 Góc O 1.4.1 Góc đường thẳng: b' b Nếu a / / a ', b / / b ', b ∩ b ' = O góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ 1.4.2 Góc đường thẳng mặt phẳng: Gọi a ' hình chiếu a ( α ) Góc a ( α ) góc a a’ a a' 1.4.3 Góc hai mặt phẳng: Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( α ) ∩ ( β ) = d  ( α ) ( β ) Khi đó, a ∈ ( α ) , a ⊥ d  b ∈ ( β ) , b ⊥ d ϕ góc a b b d A 1.5 Khoảng cách 1.5.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d ( A, ∆ ) = AH với H hình chiếu vng góc A lên ∆ 1.5.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d ( A, ( α ) ) = AH với H hình chiếu vng góc A lên ( α ) 1.5.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song với a d ( ∆, ( a ) ) = d ( A, ( α ) ) , A ∈ ∆ 1.5.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song d ( ( a ) , ( β ) ) = d ( A, ( β ) ) , A ∈ ( α ) 1.5.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b d ( a, b ) = d ( a , ( β ) ) ( β ) mặt phẳng chứa b song song với a CHƯƠNG NỘI DUNG Về thể tích khối đa diện, chương trình tốn trung học phổ thơng ta chủ yếu xét đến thể tích khối chóp khối lăng trụ Các cơng thức tính thể tích khối chóp khối lăng trụ sau Thể tích khối chóp: V = B.h (1) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h (2) (trong B, h diện tích đáy chiều cao khối chóp khối lăng trụ) Có ba phương pháp để tính thể tích khối đa diện 1) Tính trực cơng thức 2) Tính gián tiếp thông qua phân chia khối đa diện sử dụng tỉ số thể tích 3) Áp dụng phương pháp tọa độ khơng gian để tính thể tích Tuy nhiên xu hướng đề thi năm gần người ta trọng vào việc tính thể tích cách trực tiếp gián tiếp, việc sử dụng phương pháp tọa độ không gian để tính thể tích hạn chế nhiều Do báo cáo đưa hai phương pháp tính thể tích 2.1 TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRỰC TIẾP THEO CƠNG THỨC Phương pháp dạng áp dụng công thức (1) (2) nêu để tính Về diện tích học sinh tính tốn quen thuộc, chủ yếu loại ta xác định chiều cao khối đa diện Với khối chóp chiều cao khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy, muốn xác định khoảng cách ta phải tìm hình chiếu vng góc đỉnh lên mặt đáy Còn với khối lăng trụ chiều cao khoảng cách hai mặt đáy khoảng cách từ đỉnh thuộc đáy đến đáy kia, với khối lăng trụ ta tìm chiều cao giống khối chóp Từ ta sẽ chia loại theo dạng toán sau 2.1.1 DẠNG TOÁN CHO SẴN CHIỀU CAO Đối với dạng ta biết sẵn đường thẳng qua đỉnh vng góc với mặt đáy Chủ yếu ta xét loại đa diện sau: - Khối chóp chiều cao đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đa giác đáy - Khối lăng trụ đứng chiều cao cạnh bên lăng trụ - Khối chóp có đường thẳng qua đỉnh vng góc với mặt đáy(Chiều cao đoạn thẳng nối đỉnh với giao điểm đường thẳng với mặt đáy) có hai mặt chứa đỉnh vng góc với đáy(Chiều cao đoạn thẳng nối đỉnh với điểm chung ba mặt phẳng hai mặt phẳng với mặt đáy) - Khối đa diện biết hình chiếu vng góc đỉnh lên mặt đáy Ví dụ Tính theo a thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc ·ASB = α Phân tích: Giáo viên nhấn mạnh chân đường cao tâm đa giác đáy Giải: Vì S.ABCD hình chóp tứ giác nên gọi O tâm đa giác đáy SO ⊥ ( ABCD ) Ta có: SABCD = a2 Gọi M trung điểm AB, SAB tam giác cân đỉnh S nên SM đường cao trung tuyến 10 Gọi J hình chiếu H SI, suy HJ ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HJ 1 3a a = + ⇒ HJ = Tính HI = Trong tam giác vng SHI có HJ HI HS 14 3a a Vậy VSABC = d ( SC ; AD ) = 14 Bài tập tương tự: Bài Cho hình chóp S.ABCD có SA = x tất cạnh lại có độ dài a Chứng minh đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng (SAC) Tìm x theo a để thể a3 tích khối chóp S.ABCD Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A với AB = a 3, AC = a 6a Biết C’ cách A, B, C d ( B,(C ' AC )) = Tính VA’ABC theo a 15 a3 ĐS: VA ' ABC = Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, độ dài cạnh AB=2a; BC=a Các cạnh bên hình chóp a Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a Gọi M, N tương ứng trung điểm cạnh AB CD, K điểm a cạnh AD cho AK = Tính khoảng cách hai đường thẳng MN SK theo a Bài Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy 5, 5, mặt bên lập với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp tam giác ĐS: V = Bài Đáy hình chóp S.ABC tam giác cân ABC có AB = AC = a B = C = α Các cạnh bên tạo với đáy góc β Tính thể tích khối chóp S.ABC Tính diện tích thiết diện tạo hình chóp với mặt phẳng qua đỉnh B đường cao SO hình chóp Bài (HSG Nghệ An 2011-2012) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a; SA = SB = SC = 2a Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD Chứng minh V ≤ 2a Bài (HSG Vĩnh Phúc 2014-2015) Cho hình chóp S ABCD thỏa mãn SA = 5, SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = Gọi M trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối chóp S MCD khoảng cách hai đường thẳng SM , CD 15 15 ĐS: VS CMD = , d (CD, SM ) = 23 12 28 Dấu hiệu 3: Hình chóp có ba mặt bên tạo với đáy góc Phương pháp: Chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp(bàng tiếp) đa giác với cạnh mặt bên mà nằm mặt đáy Trong ta cần rõ chân đường cao nằm bên hay bên ngồi đa giác đáy Nếu khơng ta phải xét hai trường hợp Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp biết chân đường cao hạ từ đỉnh S nằm bên mặt đáy Phân tích: Ta cần chứng minh chân đường cao H hạ từ S tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Giải: Hạ SH ⊥ ( ABC ) , kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ BC, HJ ⊥ AC S suy SE ⊥ AB, SF ⊥ BC, SJ ⊥ AC Ta có ¼ SEH = ¼ SFH = ¼ SJH = 60O ⇒ ∆SAH = ∆SFH = ∆SJH nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ) Ta có SABC = p ( p − a )( p − b)( p − c) J a+b+c A C = 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a với p = 60 H S 6a Mặt khác SABC = p.r ⇒ r = = p E Tam giác vng SHE có SH = r.tan 600 = 2a Vậy VSABC = 6 a 2 a = a F B Nhận xét: Trong tốn dạng khơng có điều kiện chân đường cao nằm bên mặt đáy chân đường cao tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D, ∆SAD cạnh 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính V SABCD , biết chân đường cao hạ từ đỉnh S nằm bên mặt đáy Phân tích: Vì mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao hạ từ S nằm bên mặt đáy nên chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy Giải: Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD) Vì mặt bên lập với đáy góc nên dễ dàng chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp đáy AD =a Gọi K hình chiếu H lên AD Ta có HK = Tam giác vng SHK có HK = a, SK = 2a = a , SH = 3a − a = a 2 29 Vì ⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a ( AB + CD ) AD = 5a.2a = 5a SABCD = 2 1 5a VSABCD = S ABCD SH = 5a a = 3 D C K 2a H 3a Bài tập tương tự: Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân với AB = AC = 3a, BC = 2a Các mặt bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 2a 3 ĐS: VS ABC = Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân, AB = a, AC = 2a, BC = a Biết mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) hợp với mặt đáy góc 60 Kẻ đường cao SH hình chóp CMR: H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Dấu hiệu 4: Hình chóp hai cạnh bên Phương pháp: Nếu hình chóp có cạnh bên SA = SB chân đường vng góc hạ từ đỉnh S xuống mặt phẳng đáy nằm đường trung trực đường thẳng AB Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có hai tam giác SBC ABC cân S A Góc (SBC) (ABC) 600 góc BAC 1200 Có SB = 2a, AB = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Phân tích: Vì SB = SC nên chân đường cao nằm đường trung trực cạnh BC thuộc mặt đáy đường cao AM tam giác ABC cân A Giải: Gọi M trung điểm BC Kẻ SH vuông góc với AM H (1)  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ SH (2) Vì  SM ⊥ BC  Từ (1), (2) ta có SH ⊥ ( ABC ) Trong tam giác ABC ta tính được: AM = a, BC = 2a Khi ta tính được: SM = a Vì góc (SBC) (ABC) 600 Nên ta có ∠SMA = 600 từ ta có a SH = Vậy VS ABC = SH S ABC = a 3 30 Ví dụ Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân A AC = 2a Tam giác A’BC Góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a Phân tích: Vì A’B = A’C nên chân đường cao nằm đường trung trực cạnh BC thuộc mặt đáy đường cao AM tam giác ABC cân A Giải: Gọi M trung điểm BC Kẻ A’H vng góc với AM H (1)  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( A ' AM ) ⇒ BC ⊥ A ' H Vì   A ' M ⊥ BC (2) Từ (1), (2) ta có A ' H ⊥ ( ABC ) Trong tam giác ABC ta tính được: AM = a , \BC = 2a Khi ta tính được: A’M = a Vì góc SA (ABC) 600 Nên ta có ∠A ' AM = 600 từ ta có 3a A’H = Vậy VABC A ' B ' C ' = A ' H S ABC = 3a Bài tập tương tự: Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có AB = 2a, AD = a, · BAD = 600 , tam giác SAB Gọi H trung điểm AB, K hình chiếu vng góc H lên mặt (SCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a biết K nằm tam giác 3a a 15 SCD HK = ĐS: VS ABCD = 5 Bài Cho S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA = SB = a, SD = a Mặt (SBD) a3 · Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, BAD = 60 , AB = a Các cạnh bên SB, SD tạo với mặt đáy góc 45 SB ⊥ AB, SD ⊥ CD Chứng minh (SBD) vng góc với (ABCD) Tính VS.ABCD theo a vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 31 ĐS: VS ABCD = Dấu hiệu 5: Một số dạng khác: + Hình chóp có hai mặt bên tạo với mặt đáy góc Phương pháp: Nếu đề cho hình chóp có mặt bên (SAiAj) (SAmAn) tạo với đáy góc ϕ chân đường cao H chóp cách hai giao tuyến AiAj AmAn mặt bên nói với mặt đáy(hay H nằm đường phân giác AiAj AmAn chúng cắt nhau) + Hình chóp có cạnh bên vng góc với cạnh đáy Phương pháp: Nếu đầu cho hình chóp có cạnh bên SAi vng góc với cạnh đáy AmAn chân đường cao H phải nằm đường vng góc hạ từ Ai xuống AmAn Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hai mặt (SAB), (SAC) tạo với mặt đáy góc 60 0, (SBC) tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC biết hình chiếu vng góc S lên đáy thuộc miền mặt đáy Phân tích: Chân đường cao H sẽ nằm đường phân giác AM tam giác ABC Giải: HD: Hạ SH vuông góc với (ABC) M trung điểm BC Dễ dàng chứng minh H thuộc đoạn AM Giả sử MH = kMA ( < k < 1) Khi SH = kMA Mà SH kAM HK HK = = , AH = = kAM tan SHK sin 30 3 Mặt khác AH = AM – MH = (1 - k)AM, suy a 6−3 ⇒ SH = a k = − Do AM = 2 a2 Mà S ∆ABC = −9 Vậy VS ABC = a Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA ⊥ BC SA = a Gọi M trung điểm BC Chứng minh tam giác SBC cân tính cạnh SB a 21 cho VS ABC = 24 Phân tích: Vì SA vng góc với BC nên chân đường cao sẽ nằm đường thẳng AM vng góc với BC Giải: Hạ SH vng góc với AM H (1)  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ SH (2) Ta có:   SA ⊥ BC Từ (1), (2) ta có SH ⊥ ( ABC ) 32 Ta có H thuộc AM nên HB = HC từ ta có hai tam giác SHB SHC nên SB = SC tam giác SBC cân S a 21 a Vì VS ABC = SH S ∆ABC = ⇔ SH = 24 a Từ ta tính AH = a ⇒ HM = ( ) −1 Suy HB = a − ⇒ SB = a 12 − 2 Ví dụ 3.(HSG Thanh Hóa 2011-2012) Cho hình chóp S ABCD , đáy hình chữ nhật có AB = a BC = 2a , mặt phẳng ( SAB) vng góc với đáy, mặt phẳng ( SBC ) ( SCD) tạo với đáy góc Biết khoảng cách hai đường thẳng 2a SA BD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD tính cơsin góc hai đường thẳng SA BD Giải: +) Gọi H hình chiếu S ( ABCD) , suy H ∈ AB (do ( SAB) ⊥ ( ABCD) ) CB ⊥ HB , suy góc hai mặt phẳng · ( SBC ) ( ABCD) SBH Hạ HE ⊥ CD ( E ∈ CD) , suy góc hai mặt phẳng ( SCD) · ( ABCD) SEH · · ⇒ HB = HE = 2a Do SBH = SEH Ta BD // AE ⇒ BD //( SAE ) S t H A B E D C 2a ⇒ d( SA, BD) = d( B, ( SAE )) = d( H , ( SAE )) (do A trung điểm HB ) ⇒ d( H , ( SAE )) = Nhận xét HA, HE , HS đơi vng góc, suy ra: 1 1 1 = + + = 2+ 2+ ⇔ SH = 2a 2 ⇔ d ( H , ( SAE )) HA HE HS 2a a 4a HS 2 Thể tích: VS ABCD = S ABCD SH = 4a · +) BD // AE , suy góc hai đường thẳng SA BD SAE Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác SAE , với AE = SA = SH + HA2 = a SA2 + AE − SE · , BD) = cos SAE · = = SE = SH = 2a , ta có: cos( SA 2.SA AE 33 Bài tập tương tự: Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hai mặt (ABB’A’) (ACC’A’) tạo với đáy góc 60 Lấy M trung điểm B’C’ Góc A’AM 600 Tính thể tích khối chóp A.A’B’C’ theo a Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng B Hình chiếu A’ lên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Cạnh bên tạo với đáy góc 300 Biết AB = a, AC = a Tính thể tích khối chóp C’.ABC theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, đường chéo BD = a , SA vng góc với BD, SB vng góc với AD mặt phẳng (SBD) tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SB theo a 3a 3a ĐS: VS.ABCD = = , d(SB,AC) = 10 2.2 TÍNH GIÁN TIẾP THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Phương pháp: Dựa vào cách phân chia khối đa diện thành tổng khối đa diện sử dụng cơng thức tỉ số thể tích Cơng thức tỉ số thể tích: Cho khối chóp S.ABC, gọi A’, B’, C’ thuộc cạnh SA, SB, SC đó: S VS ABC SA.SB.SC = B' VS A ' B ' C ' SA '.SB '.SC ' C' A' C A B Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC = a , SA a vng góc với đáy (ABC) a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN theo a Phân tích: Trong ví dụ ta tính trực tiếp thể tích khối chóp S.AMN tính thể tích khối chóp cách nhanh chóng việc áp dụng SM SN cơng thức tỉ số thể tích, mục tiêu tính SB SC Giải: a) Ta có: Ta có VS ABC = S ABC SA SA = a Do tam giác ABC cân nên AC = a từ ta suy AB = a ⇒ S ABC = a 34 a3 b) Gọi I trung điểm BC Vì G trọng tâm tam giác SG = SBC nên ta có: SI Vì ( α ) / / BC ⇒ MN // BC Vậy VS ABC = ⇒ V SA.SM SN SM SN SG = = = = ⇒ S AMN = VS ABC SA.SB.SC SB SC SI Vậy VSAMN = VSABC = 2a 27 Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD ) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a Phân tích: Để tính thê tích khối tứ diện CDEF ta áp dụng công thức tỉ số thể DE DF , tích để là, mục tiêu tính DA DB Giải: a)VABCD = S ABC CD = a3 b)Tacó: AB ⊥ AC , AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ ( ACD) ⇒ AB ⊥ EC Ta có: DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD ) V DE DF DCEF = (*) c)Ta có: V DA DB DABC Mà DE.DA = DC ⇒ Tương tự: DE DC a2 = = = DA DA2 2a 2 DF DC a2 = = = 2 DB DB DC + CB V DCEF = Vậy VDCEF = VABCD = a Từ(*) ⇒ V 6 36 DABC Ví dụ Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (α ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Phân tích: Bài tốn tương đối khó với học sinh khá, để tính tỉ số thể tích ta lại phải phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác áp dụng cơng thức tính tỉ số thể tích mời làm Giải: Kẻ MN // CD (N ∈ SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) 35 VSAND SN 1 = = ⇒ VSANB = VSADB = VSABCD VSADB SD 2 S VS BMN SB.SM SN = = VS BCD SB.SC.SD N 1 ⇒ VS BMN = VS BCD = VS ABCD M D A O Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD nên VSABMN V ABMN ABCD = B C Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng ( α ) qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF theo a Phân tích: Để làm ý b) ta phải làm tương tự ví dụ Giải: a) Gọi I = SO ∩ AM Ta có ( α ) //BD S ⇒ EF // BD VS ABCD = S ABCD SO với S ABCD = a + VSOA có : SO = AO tan 60ο = VS ABCD = a a ⇒ M E 6 B b) Phân chia chóp tứ giác ta có VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF C F O VS ABCD = 2VSACD = VSABC A SM = Ta có : SC ∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: ⇒ I D SI SF VSAMF SM SF 1 a3 = = ⇒V = = ⇒ = V = V = SAMF SACD SACD VSACD SC SD SO SD 3 36 ⇒ VS AEMF a3 a3 =2 = 36 18 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA = a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ') 36 c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a Phân tích: Câu a) ta tính trực tiếp cách dễ dàng Để làm ý c) ta phải làm tương tự ví dụ Giải : a3 a) Ta có: VS ABCD = S ABCD SA = 3 b) Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' SB ⊥ AB ' suy AB ' ⊥ ( SBC ) nên AB' ⊥ SC Tương tự AD' ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AB'D') c) Ta tính VS AB 'C ' VSAB 'C ' SB ' SC ' = (*) Ta có: VSABC SB SC Vì ∆SAC vng cân nên S SC ' = SC SB ' SA2 2a 2a 2 Ta có: = = = = SB SB SA2 + AB 3a VSAB 'C ' = Từ (*) ⇒ VSABC ⇒ VSAB 'C ' D' Vậy: VS AB 'C ' D ' = 2VS AB 'C ' = B O D 2a I A a3 a3 = = 3 B' C' C Ví dụ Cho hình chóp ta giác S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, góc ∠ASB = 600 , ∠BSC = 900 , ∠CSA = 1200 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, b, c Phân tích: Bài tốn thuộc dạng khó học sinh, để làm ta phải dựng khối chóp có cạnh bên áp dụng cơng thức tỉ số thể tích có kết Giải : Giả sử a ≤ b ≤ c Gọi E, F đoạn SB, SC cho SE = SF = a Khi ta tính được: AE = a, EF = a 2, AF = a Từ suy tam giác AEF vng E Kẻ SH vng góc với (AEF) H Khi tam giác SHA, SHE, SHF nên ta có HA = HE = HF Suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nên H trung điểm AF 3a a Khi ta có: SH = a − = a3 Suy VS AEF = S AEF SH = 12 V SA.SE.SF a = Ta có S AEF = VS ABC SA.SB.SC bc 37 ⇒ VS ABC = bc abc abc Vậy V = V = S AEF S ABC a2 12 12 Bài tập tương tự: Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với đáy SA = a Gọi (α) mặt phẳng qua A vng góc với SC, (α) cắt SB, SC, SD H, I, K Chứng minh AH ⊥ SB, AK ⊥ SD Tính thể tích khối đa diện AHIKBCD theo a VS AHI a3 a3 = HD: Ta có mà VS AHI = VS AKI = VS ABC 12 72 72 11a Khi VAHIKBCD = VS ABCD − VS AHIK = 36 Bài Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a Chứng minh SC = 3SC’ b Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo V VS AC ' D ' VS AB ' C ' 1 = = , suy VS AB ' C ' D ' = V HD: b) Ta có: VS ACD VS ABC 6 Bài Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA = 2a SA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu A SB, SC Tính thể tích khối chóp ABCNM VSAMN 16 3a 3 = ⇒V = HD: Ta có: VSABC 25 50 Bài Trên cạnh SA SB tứ diện S.ABC lấy điểm N, M cho MA = 2SM, SN = 2NB Gọi (α) mặt phẳng qua M, N song song với SC (α) chia khối chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần HD: Đặt VS ABC = V , giả sử ( α ) cắt AC Q, BC P Ta có: AQ = 2QC, PC = 2PB 2V V ;VS CBQ = Dựa vào cơng thức tỉ số thể tích ta có: Tính VS ABQ = 3 VS MNQ 2 2V 4V = ⇒ VS MNQ = × = VS ABQ 9 27 VB NPQ VB.SCQ = VNPQSC 8 ⇒ = ⇒ VNQPSC = × V = V VB.SCQ 9 27 Mà VSCMNPQ = VS MNP + VSCNPQ = 4V 5V ⇒ VABMNPQ = 9 ⇒ VSCMNPQ : VABMNPQ = : Bài Cho khối tứ diện ABCD Trên cạnh BC, BD, AC lấy điểm M, N, P cho BC = BM , BD = BN AC = AP Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi M điểm đối xứng với C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 38 · D = 600 , SA vng Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BA góc mặt phẳng (ABCD) SA = a Gọi C′ trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC′ song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B′ , D′ Tính thể tích khối chóp S.AB′ C′ D′ Bài Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a điểm M cạnh AB cho AM = x, (0 < x < a) Mặt phẳng (MA'C') cắt BC N Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B' thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi với µA = 1200 , BD = a >0 Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) đáy 600 Một mặt phẳng (α) qua BD vng góc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp mặt phẳng (α) tạo cắt hình chóp Bài 10.(HSG Vĩnh Phúc 2015-2016) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = b ( a, b > ) , SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA = 2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM = x với < x < 2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích ĐS: x = − a ( 39 ) PHẦN III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Qua áp dụng lớp 12A2, 12A3 12A12 trường THPT Xuân Trường học kỳ mang lại kết thiết thực, cụ thể: Trong đề thi khảo sát chất lượng tuần đầu học kì I năm học 2015-2016 trường THPT Xn Trường có câu: “Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy A’B’C’ tam giác vuông cân B’ A ' C ' = a B’ hình chiếu vng góc A xuống (A’B’C’) Góc cạnh bên mặt đáy 600 , M trung điểm B’C’ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách AA’ BM theo a.” Đây câu không khó, ta biết chân đường cao Tuy nhiên theo thống kê, học sinh làm câu khơng nhiều, nội dung tính thể tích khối đa diện tổ chun mơn thống từ đầu năm thầy cô nghiêm túc thực Lớp 12A2 Lớp 12A3 Lớp 12A12 Toàn trường Số học sinh làm 25/43 20/42 15/40 205/486 Tỉ lệ 58,1% 47,6% 37,5% 42,2% Sau áp dụng sáng kiến lớp 12A2, 12A3, 12A12 (với thời lượng tiết/lớp), kỳ thi thử đại học lần trường THPT Xn Trường có câu: “Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a SA = a, SB = a mặt (SAB) vng góc với (ABCD) Gọi M trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến (SMD) theo a.” Thì tỉ lệ học sinh làm câu tăng lên rõ rệt Lớp 12A2 Lớp 12A3 Lớp 12A12 Toàn trường Số học sinh làm 40/43 39/42 30/40 396/486 Tỉ lệ 93,0% 92,9% 75,0% 81,5% Như sau áp dụng sáng kiến thi ta thấy kết đạt tốt so với trước có sáng kiến Các em khơng tâm lý e ngại gặp bào tốn tính thể tích khối đa diện qua sáng kiến em nắm cách hệ thống phương pháp tính thể tích khối đa diện PHẦN IV CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tôi xin cam kết báo cáo sáng kiến tơi đúc rút qua q trình cơng tác, giảng dạy, nghiên cứu tài liệu môn, không chép vi phạm quyền Nếu vi phạm chép hoạc vi phạm quyền xin chịu hình thức kỷ luất Sáng kiến tơi chắn có nhiều thiếu sót, mong nhận góp ý quý vị bạn đồng nghiệp 40 CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) (Ký tên, đóng dấu) TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Phạm Cao Thế DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa hình học 12, Trần Văn Hạo- Nguyễn Mộng Hy- Khu Quốc Anh- Trần Đức Huyên, năm 2008 [2] Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao, Đồn Quỳnh- Văn Như Cương-Phạm Khắc Ban- Lê Huy Hùng- Tạ Mẫn, năm 2008 [3] Báo toán học tuổi trẻ [4] Các Website toán học: mathvn.com, k2pi.net, violet.vn, 41 MỤC LỤC -ccc THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN PHÀN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN PHẦN II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các hệ thức lượng tam giác 1.2 Quan hệ song song 1.3 Quan hệ vng góc 1.4 Góc 1.5 Khoảng cách CHƯƠNG NỘI DUNG 2.1 Tính trực tiếp thể tích khối đa diện 2.1.1 Dạng toán cho sẵn chiều cao 2.1.2 Dạng toán dựng chiều cao 2.2 Tính gián tiếp thể tích khối đa diện PHẦN III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI PHẦN IV CAM KẾT……………………………………………… DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 11 Trang 11 Trang 11 Trang 21 Trang 35 Trang 41 Trang 42 Trang 43 ... trình tính thể tích khối đa diện đa phần em học sinh chưa biết cách xác định chiều cao khối đa diện nên việc tính thể tích khối đa diện khơng xác Do tơi hệ thống lại cách xác định chân đường cao. .. thể tích khối chóp khối lăng trụ Các cơng thức tính thể tích khối chóp khối lăng trụ sau Thể tích khối chóp: V = B.h (1) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h (2) (trong B, h diện tích đáy chiều cao khối. .. pháp tính thể tích 2.1 TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRỰC TIẾP THEO CÔNG THỨC Phương pháp dạng áp dụng công thức (1) (2) nêu để tính Về diện tích học sinh tính tốn quen thuộc, chủ yếu loại ta xác định