phòng gd&đt . trờng thcs sáng kiến kinh nghiệm áp dụng định lý viét giải hệ phơng trình Giáo viên : . Tổ : Khoa học tự nhiên áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình Năm học 200 200 2 áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình A. đặt vấn đề Trong chơng trình Toán đại số lớp 9, phần hệ phơng trình là một phần kiến thức trọng tâm và cơ bản. Trong quá trình giải các bài tập phần này học sinh rất ngại khi nhìn thấy hệ phơng trình, học sinh rất lúng túng không biết phân biệt dạng bài tập và cách giải nh thế nào. Các bài tập về hệ phơng trình rất phong phú và đa dạng, để giải đợc các bài tập đòi hỏi phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng các kết quả đã biết của đầu bài và phần yêu cầu của đề bài, đặc biệt hơn nữa là phần bài tập đa số phải sử dụng định lý Viét . Do đó phải dựa vào đặc thù riêng của đề bài mà chúng ta linh hoạt biến đổi cho phù hợp. Chính vì thế tôi phân dạng các bài tập về hệ phơng trình có sử dụng định lý Vi ét nhằm định dạng cách giải giúp cho học sinh khi gặp các bài tập tơng tự học sinh có thể giải đợc, biết cách biến đổi từ điều kiện đề ra để vận dụng định lý Viét cho hợp lý. Trong quá trình xây dựng nội dung chuyên đề, mặc dù tôi đã đầu t thời gian cũng nh vận dụng thực tế nhng khả năng còn hạn chế. Do vậy không tránh đợc những thiếu sót. Tôi kính mong các đồng chí đồng nghiệp đóng góp ý kiến, giúp tôi xây dựng chuyên đề đợc chất lợng hơn, để có hiệu quả học tập của học sinh chúng ta ngày càng tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn./. , ngày tháng năm 200 Ngời thực hiện 3 áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình B. nội dung I. áp dụng định lý Viét vào giải hệ phơng trình 1. Dạng I: Giải hệ phơng trình = =+ Pyx Syx . (1) Theo định lý Viét đảo: x và y là nghiệm của phơng trình bậc hai: X 2 SX + P = 0 (1) (*) Điều kiện có nghiệm: = S 2 4P 0 Với điều kiện (*) phơng trình (1) có nghiệm x 1 , x 2 do vậy nghiệm x 1 , x 2 là nghiệm hệ (I). (Đây là dạng cũng khá quen thuộc tìm hai số biết tổng và tích của chúng) 2. Dạng II: Giải hệ phơng trình: =+ =+ 222 kyx Syx (II) Hệ phơng trình tơng đơng với = =+ =+ =+ 2 2)( 22 22 kS xy Syx kxyyx Syx Hệ phơng trình trở lại dạng (I). Cách giải nh trên 3. Dạng III: Giải hệ: 4 áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình =+ = 222 kyx Pxy (III) Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với hệ phơng trình sau: )( 2 )( 2 222)( 2 2 2 1 222222 IIIb PkSyx Pxy IIIa PkSyx Pxy PkS Pxy kPS Pxy kxyyx Pxy +==+ = +==+ = += = = = =+ = Với điều kiện k 2 +2P 0 a) Giải hệ (IIIa), (IIIb) (Giải nh hệ I) b) Tập nghiệm của hệ đã cho là tập nghiệm của (IIIa), (IIIb) 4. Dạng IV: Giải hệ: =+ =++ qxyyx yxxy 22 1 Gọi S = x+y; P = xy, ta có = =+ qPS lSP 5 áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình Nh vậy P và S là nghiệm của phơng trình: X 2 lX + q = 0 (1) Điều kiện P và S tồn tại là: l 2 4q 0 với điều kiện này, (1) có nghiệm là X 1 và X 2 Nếu X 1 = X 2 thì P = S = l/2 = h (h R) Suy ra x và y là nghiệm phơng trình: t 2 + ht + h = 0 Điều kiện x và y tồn tại là: h 2 4h 0 h 0, hoặc h 4. Với điều kiện này, ta có nghiệm của hệ (IV) là: = = = = 1 2 2 1 ty tx ty tx Nếu X 1 X 2 : Ta có = = = = 1 2 2 1 XS XP XS XP Do đó x và y là nghiệm của các phơng trình: z 2 X 1 z + X 2 = 0 (IVa) z 2 X 2 z + X 1 = 0 (IVb) Điều kiện để z 2 X 1 z + X 2 = 0 (IVa) có nghiệm là 04 2 2 1 XX Điều kiện để z 2 X 2 z + X 2 = 0 (IVb) có nghiệm là 04 1 2 2 XX Ví dụ 1: Tìm kích thớc của một hình chữ nhật biết chu vi và diện tích của hình là 28m và 48m 2 . Giải: 6 áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình Gọi x và y theo thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho: x > y > 0. Ta có: = =+ = =+ 48. 14 48. 28)(2 yx yx yx yx Suy ra x, y là nghiệm của phơng trình bậc hai: X 2 - 14X + 48 = 0 (1) = b 2 - ac = 49 - 48 = 1 1' = Phơng trình (1) có 2 nghiệm là x 1 = 8, x 2 = 6 Vì x > y > 0 nên ta chọn x = 8(m), y = 6(m) Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: =+ =+ 34 8 22 yx yx Giải Ta có: = =+ =+ =+ =+ =+ 15 8 342)( 8 34 8 222 xy yx xyyx yx yx yx Suy ra x và y là nghiệm của phơng trình 7 áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình X 2 8X + 15 = 0 X= 5 hoặc X = 3 do đó nghiệm của hệ phơng trình đã cho là: = = 5 3 y x hoặc = = 3 5 y x Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình: =+ =+ 19 1 33 yx yx Giải: Ta có: =+ =+ 19 1 33 yx yx = =+ =+ =+ =+ =+ =++ =+ 6 1 193)( 1 19)( 1 19))(( 1 2 2222 xy yx xyyx yx yxyx yx yxyxyx yx Suy ra x, y là nghiệm của phơng trình: X 2 + X 6 = 0 X = -3, X = 2 Do đó nghiệm của hệ phơng trình đã cho là: 8 áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình = = = = 3 2 2 3 y x y x Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình: =+ =+ )2(257 )1(5 44 yx yx Giải Ta biến đổi phơng trình (2) của hệ: x 4 + y 4 = 257 (x 2 + y 2 ) 2 2x 2 y 2 = 257 [(x+y) 2 -2xy] 2 -2x 2 y 2 = 257 Thay x+y = 5 [25-2xy] 2 - 2x 2 y 2 -257 = 0 625 100xy + 4x 2 y 2 2x 2 y 2 - 257 = 0 2x 2 y 2 100xy + 368 = 0 x 2 y 2 50xy + 184 = 0 Đặt P = x, y ta có: P 2 50P + 184 = 0 P = 46 v P = 4 Do đó hệ phơng trình đã cho tơng đơng với: )( 4. 5 )( 46. 5 b yx yx a yx yx = =+ = =+ Nghiệm của hệ (a) là nghiệm của phơng trình: X 2 5X + 46 = 0 9 áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình Hệ (a) vô nghiệm vì S 4P <0 Nghiệm của hệ (b) là nghiệm của phơng trình: X 2 5X + 4 = 0 x 1 = 1; y = 4 hoặc x 1 = 4; y =1 Vậy nghiệm của hệ phơng trình đã cho là: = = = = 1 4 4 1 y x y x Bài tập Bài 1: Giải các hệ phơng trình sau: a) =+ =++ 17 3 44 22 yx yxyx b) =+ =+ 3 9 33 yx yx Bài 2: Tổng bình phơng các chữ số của một số gồm hai chữ số bằng 10. Tích của số phải tìm với số viết ngợc lại của nó bằng 403. Tìm số đó. 10 [...]...áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình C Kết luận: Thông qua một số dạng bài tập giải hệ phơng trình có áp dụng định lý Viét tôi đã trình bày trên đây, đối chiếu với sự tiếp thu, lĩnh hội kiến thức của học sinh qua quá trình giảng dạy Tôi thấy đã đạt đợc một số kết quả nh sau: Chuyên đề áp dụng đợc cho nhiều đối tợng học sinh từ trung bình đến khá giỏi Học sinh nhận dạng nhanh các dạng... đợc một số bài tập có nhiều ý nhỏ Tuy nhiên cũng không thể tránh đợc những thiếu sót, mặc dù tôi cũng có đầu t thời gian nghiên cứu và vận dụng Một lần nữa kính mong các đồng chí, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề của tôi đợc tốt hơn 11 . phòng gd&đt . trờng thcs sáng kiến kinh nghiệm áp dụng định lý viét giải hệ phơng trình Giáo viên : = =+ Nghiệm của hệ (a) là nghiệm của phơng trình: X 2 5X + 46 = 0 9 áp dụng định lý Viét giải hệ phơng trình Hệ (a) vô nghiệm vì S 4P <0 Nghiệm