CÁC KÍ HIỆU i = 1, k i nhận giá trò 1, 2, …, k A nk Số chỉnh hợp chập k n phần tử k An Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử C nk Số tổ hợp chập k n phần tử Pn Số hoán vò n phần tử P(A) Xác suất biến cố A A Biến cố đối lập biến cố A P(A/B) Xác suất biến cố A với điều kiện B Pn(k) = Pn(k ; Xác suất để biến cố xuất k lần n phép thử (p xác suất thành công) p) X, Y Các đại lượng ngẫu nhiên f(x) Hàm mật độ xác suất F(x) Hàm phân phối xác suất E(X) Kì vọng X D(X) Phương sai X σ(X) Độ lệch X X ∈ B(n ,p) X có phân phối nhò thức X ∈ H (N, M, n) X có phân phối siêu bội X ∈ P(a) X có phân phối Poisson X ∈ N(µ, X có phân phối chuẩn σ2) X ∈ N(0 ; X có phân phối chuẩn chuẩn tắc 1) X2 ∈ χ(n) X có phân phối bình phương n bậc tự X ∈ T(n) X có phân phối Student f Tỉ lệ mẫu X Trung bình mẫu ∧ S2 Phương sai mẫu S2 Phương sai mẫu hiệu chỉnh S Độ lệch mẫu hiệu chỉnh ε Độ xác ước lượng γ =1-α Độ tin cậy ước lượng α Mức ý nghóa kiểm đònh RXY Hệ số tương quan X, Y rXY Hệ số tương quan tuyến tính mẫu LỜI NÓI ĐẦU Các bạn sinh viên thân mến, Lới nói đầu xin dành riêng cho bạn – đối tượng phục vụ Bài tập Xác suất – Thống kê mà bạn có tay Trong sách bạn tìm thấy nội dung sau đây: Phần đầu sách trình bày cách giải tập theo chương thuộc lónh vực xác suất thống kê toán học Mỗi chương gồm mục Mục A nêu tóm tắt khái niệm, đònh lý công thức sử dụng để giải tập Muốn hiểu nắm vững lý thuyết, bạn cần tham khảo thêm sách lí thuyết xác suất thống kê khác Mục B, “Các giải mẫu”, trọng tâm sách Trong mục này, tập phân loại theo dạng, phù hợp với thứ tự trình bày lí thuyết Một số dạng tập có tổng kết thành phương pháp giải chung Để giúp sinh viên tự đọc làm tập, sách Bài tập Xác suất – Thống kê cố gắng trình bày lời giải tỉ mỉ, đặc biệt tập chương II Mỗi lời giải trọng đến việc phân tích yêu cầu đề mục đích lời giải Các kết tập xác suất thường viết dạng phân số (tức số đúng) Còn tập thống kê có kết số gần với bốn chữ số thập phân Do đó, sai số bé nên bỏ qua Mục C giới thiệu tập tương tự để bạn tự giải Trong sách Bài tập Xác suất – Thống kê có đề thi học kỳ môn xác suất thống kê năm học gần Mỗi đề thi có thời gian làm 90 phút Các bạn tự giải đề thi thời gian qui đònh Sau thử chấm điểm theo đáp án thang điểm kèm theo để tự đánh giá lực Đề thi học kỳ thường có tính chất tổng hợp, có câu khó dành cho sinh viên giỏi Các bạn xem cách phân tích lập luận cách chi tiết đáp án để hiểu lời giải Phần phụ lục cuối sách bảng thống kê, dành cho việc tra cứu số liệu giá trò hàm phân phối xác suất, cần cho việc giải tập Sau cùng, tác giả chân thành cảm ơn TS Lê Anh Vũ Th.S Nguyễn Duy Thanh đọc góp ý sửa chữa thảo Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Dân lập Kỹ thuật Công nghệ TP Hồ Chí Minh, Phòng Quản lý khoa học, Phòng Kế hoạch – Tài chính, Ban Khoa học tập thể giảng viên Bộ môn Toán động viên, giúp đỡ để sách đến tay bạn đọc Hi vọng Bài tập Xác suất – Thống kê giúp bạn sinh viên hiểu rõ môn học vừa thú vò, vừa có nhiều ứng dụng thực tế Chúc bạn thành công TP Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng năm 2005 Tác giả CHƯƠNG I ĐẠI SỐ TỔ HP A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng Giả sử công việc V tiến hành theo hai phương án A B Phương án A thực m cách, phương án B thực n cách Mỗi cách thực A không trùng với cách thực B Khi công việc V thực m + n cách b) Quy tắc nhân Giả sử công việc V bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A làm theo m cách, công đoạn B làm theo n cách Mỗi cách thực A có n cách thực B Khi công việc V thực theo m.n cách Chỉnh hợp, hoán vò, tổ hợp a) Chỉnh hợp Giả sử A tập hợp gồm n phần tử k số tự nhiên (1 ≤ k ≤ n) Kết việc lấy k phần tử khác thuộc A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu A Kn Ta coù : n! A kn = (1 ≤ k ≤ n) ( n − k )! với quy ước : ! = 1, n ! = 1.2.3 n (n ∈ N*) b) Chỉnh hợp lặp Kết việc lấy k phần tử, không cần khác nhau, từ n phần tử cho xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử k Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử kí hiệu A n Ta có : k k An = n (n ∈ N* , k ∈ N) c) Hoán vò Kết xếp n phần tử khác theo thứ tự gọi hoán vò n phần tử Số hoán vò n phần tử kí hiệu Pn Ta có Pn = A nn = n! (n ∈ N*) d) Tổ hợp Mỗi tập gồm k phần tử khác tập hợp A có n phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu C Kn Ta có : C Kn = A Kn = k! n! k!(n − k)! (n ∈ N *, ≤ k ≤ n) B CÁC BÀI GIẢI MẪU Quy tắc cộng Bài Từ tỉnh X đến tỉnh Y ôtô tàu hỏa Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, chuyến tàu hỏa từ X đến Y Hỏi có lựa chọn để từ X đến Y ? Giải Ta xem công việc V từ X đến Y Có hai phương án thực : - A ôtô, có 10 cách chọn - B tàu hỏa, có cách chọn Mỗi cách chọn A không trùng với cách chọn B Theo quy tắc cộng, số cách lựa chọn để từ X đến Y : 10 + = 15 Bài Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác ? Giải Ta có ba phương án lập số : - A : Lập số có chữ số, có số, số 1, 2, - B : Lập số có hai chữ số, có số, số : 12, 13, 21, 23, 31, 32 - C : Lập số có ba chữ số, có số, số : 123, 132, 213, 231, 312, 321 Các cách lập đôi không trùng Vậy, theo quy tắc cộng, ta lập : + + = 15 số có chữ số khác từ ba chữ số cho Quy tắc nhân Bài Một thiết bò lắp ráp từ hai loại linh kiện Linh kiện loại có 10 chiếc, linh kiện loại hai có Hỏi có cách lắp thiết bò ? Giải Ta xem công việc V lắp thiết bò, bao gồm hai công đoạn : - A : Lắp linh kiện loại một, có 10 cách chọn ; - B : lắp linh kiện loại hai, có cách chọn Mỗi cách chọn linh kiện loại có cách chọn linh kiện loại hai Theo quy tắc nhân, số cách lắp thiết bò : 10 = 80 Bài Nếu không kể mã số vùng biển số xe máy có kí tự Kí tự vò trí chữ bảng 24 chữ cái, vò trí thứ hai chữ số thuộc tập hợp 1, 2, , 9 Bốn vò trí bốn chữ số thuộc tập hợp 0, 1, 2, , 9 Hỏi làm biển số xe máy khác nhau, không kể mã số vùng ? Giải Ta có 24 cách chọn chữ để xếp vò trí Tương tự có cách chọn chữ số cho vò trí thứ hai có 10 cách chọn chữ số cho vò trí bốn vò trí lại Theo quy tắc nhân, số biển số xe máy làm 24 10 10 10 10 = 160 000 Chỉnh hợp, hoán vò, tổ hợp Bài Một lớp học có 60 sinh viên Hỏi có cách chọn Ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó đời sống ? Giải Cách thứ Mỗi cách chọn chỉnh hợp chập 60 phần tử Do đó, số cách chọn A 330 = 60 59 58 = 205 320 Cách thứ hai Ta xem V công việc chọn Ban cán lớp, bao gồm ba công đoạn : - Thứ nhất, chọn lớp trưởng từ 60 sinh viên, có 60 cách - Thứ hai, chọn lớp phó học tập từ 59 sinh viên lại, có 59 cách - Thứ ba, chọn lớp phó đời sống, tương tự có 58 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn Ban cán lớp laø 60 59 58 = 205 320 Baøi Trong trận chung kết bóng đá phải phân đònh thắng thua đá luân lưu 11 mét Huấn luyện viên đội cần trình với trọng tài danh sách thứ tự cầu thủ số 11 cầu thủ để đá luân lưu Hỏi huấn luyện viên đội có cách chọn? Giải Mỗi danh sách chỉnh hợp chập 11 phần tử Vậy, số cách chọn huấn luyện viên đội : A 11 = 55 440 Bài Có người lên đoàn tàu gồm toa Hỏi có cách lên tàu cách tùy ý? Giải Cách thứ Mỗi cách lên tàu chỉnh hợp lặp chập phần tử Vậy, số cách lên tàu 8 A = = 390 625 Caùch thứ hai ta xem công việc V người lên tàu, bao gồm công đoạn : - Người thứ lên tàu, có cách chọn toa - Người thứ hai lên tàu, có cách chọn toa - v.v Tương tự, người thứ tám có cách chọn toa Theo quy tắc nhân, số cách lên tàu người : = 390 625 Baøi Trong học môn Giáo dục quốc phòng, tiểu đội 10 sinh viên xếp thành hàng ngang Hỏi có cách xếp ? Giải Mỗi cách xếp hoán vò 10 người Vậy số cách laø : P10 = 10 ! = 628 800 Bài Một lớp học có 50 sinh viên, buổi học cần chọn sinh viên làm trực nhật lớp Hỏi có cách chọn ? Giải Mỗi cách chọn sinh viên làm trực nhật lớp tổ hợp chập 50 phần tử Vậy số cách chọn C 50 = 19 600 Bài tập tổng hợp Bài 10 Một chi đoàn có 30 sinh viên nam 15 sinh viên nữ Cần chọn nhóm gồm sinh viên để tham gia chiến dòch “Mùa hè xanh” Thành Đoàn Hỏi có cách chọn cho nhóm có a) sinh viên chi đoàn ? b) sinh viên nữ ? c) nhiều sinh viên nữ ? d) sinh viên nữ ? Giải a) Mỗi cách chọn tổ hợp chập 45 đoàn viên, số cách C845 = 215 553 195 b) Việc chọn sinh viên theo yêu cầu đề bao gồm hai công đoạn : - Chọn sinh viên nữ số 15 sinh viên nữ, có C15 cách - Chọn sinh viên nam số 30 sinh viên nam, có C 30 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn nhóm C15 C 30 = 64 840 230 c) Việc thành lập nhóm theo yêu cầu đề có hai phương án thực : - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, tương tự câu b), số cách C15 C 30 ; - Nhóm có sinh viên nam, số cách C 30 Theo quy tắc cộng, số cách thành lập nhóm để có nhiều sinh viên nữ + C 830 = 36 389 925 C115 C 30 d) Cách thứ Việc lập nhóm gồm sinh viên chi đoàn thực theo hai phương án : - Nhóm gồm sinh viên nam (không có sinh viên nữ), số cách C 830 , - Nhóm có sinh viên nữ, số cách n Theo câu a), số cách lập nhóm gồm sinh viên C 45 Theo quy tắc cộng, ta coù : C 830 + n = C 845 Suy ra, số cách lập nhóm để có sinh viên nữ : n = C 845 - C 830 = 209 700 270 Cách thứ hai Việc lập nhóm để có sinh viên nữ có phương án thực : - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, theo câu c), số cách C115 C 30 ; - Nhóm có sinh viên nữ sinh viên nam, tương tự, có C C cách ; 15 30 - v.v , nhoùm coù nữ nam, số cách lập C15 C130 ; - Nhóm có sinh viên nữ, số cách lập C15 Theo quy tắc cộng, số cách lập nhóm để có sinh viên nữ : 7 C115 C 30 + C15 C 30 + …… + C15 C 30 + C15 = 209 700 270 C BÀI TẬP Một tòa nhà có 10 tầng, người vào thang máy xuất phát từ tầng Hỏi có cách cho a) người tầng khác ? b) người tầng tùy ý ? c) có hai người tầng, người lại tầng khác ? Một đội công nhân có 15 người, gồm nam nữ Có cách thành lập tổ công tác gồm a) người ? b) nam nữ ? c) nam nữ anh A chò B không ? Một lô hàng có 100 sản phẩm, có phế phẩm Chọn 12 sản phẩm để kiểm tra Hỏi có cách chọn a) sản phẩm ? b) cho số sản phẩm có không phế phẩm ? c) cho chọn phế phẩm ? Người ta lấy viên bi từ hộp đựng viên vi đỏ, viên bi xanh, viên bi vàng Hỏi có cách lấy a) viên bi tùy ý ? b) viên bi đỏ, viên bi xanh ? c) viên bi có mầu khác ? d) viên màu đỏ ? e) nhiều viên màu đỏ ? f) viên màu đỏ ? Một có 52 với chất khác nhau, chất rô có màu đỏ, chất pic chuồn có màu đen Chọn từ Hỏi có cách lấy a) màu đỏ ? b) ? c) át K ? d) rô màu đen ? e) không màu đỏ ? f) màu đen ? g) át ? 10 CHƯƠNG II XÁC SUẤT A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố Một khái niệm lí thuyết xác suất phép thử Một thí nghiệm, hành động, phép đo,… hiểu phép thử Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta không đoán trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử Tập hợp kết phép thử gọi không gian mẫu (của phép thử) kí hiệu Ω Biến cố tập không gian mẫu Một biến cố liên quan với phép thử tập hợp bao gồm kết phép thử Tập hợp Þ gọi biến cố không thể, tập hợp Ω gọi biến cố chắn Ta nói biến cố A xảy kết phép thử phần tử A Như vậy, biến cố Þ không xảy ra, biến cố chắn Ω luôn xảy Biến cố xảy không xảy gọi biến cố ngẫu nhiên Quan hệ biến cố a) Biến cố Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy ra, kí hiệu A ⊂ B Nếu A ⊂ B B ⊂ A biến cố A B gọi nhau, kí hiệu A = B Với biến cố A, ta có Þ ⊂ A, A ⊂ Ω b) Tổng, tích biến cố Giả sử A B biến cố liên quan với phép thử Khi : - A cộng B biến cố xảy A B xảy ra, kí hiệu A + B (hoặc A ∪ B) ; - A nhân B biến cố xảy A B đồng thời xảy ra, kí hiệu AB (hoặc A ∩ B) Với biến cố A, B, C, ta có • A+B =B+A; AB = BA • (A + B) + C = A + (B + C) ; (AB)C = A(BC) • A(B + C) = AB + AC ; A + (BC) = (A + B)(A + C) • Nếu A ⊂ B A + B = B ; AB = A • A+A = A ; AA = A • A+Þ = A ; Aị = ị 11 A+ = Ω ; AΩ = A c) Biến cố xung khắc, biến cố đối lập - Biến cố A B gọi xung khắc chúng không đồng thời xảy ra, tức AB = Þ - Biến cố A B gọi đối lập chúng không đồng thời xảy có chúng chắn xảy ra, tức AB = Þ A + B = Ω Nếu A B đối lập ta kí hiệu B = A gọi B biến cố đối lập A Như vậy, ta có • A+ A =Ω; AA = Þ • A =A • A + B = A B ; AB = A + B d) Nhoùm đầy đủ biến cố Các biến cố A1, A2, … , An gọi đôi xung khắc, hai biến cố khác xung khắc, tức AiAj = Þ với i ≠ j Các biến cố A1, A2, … , An gọi nhóm đầy đủ biến cố, chúng đôi xung khắc chúng chắn xảy ra, tức AiAj = Þ với i ≠ j A1 + A2 + … + An = Ω Như vậy, với biến cố A A, A nhóm đầy đủ biến cố Đònh nghóa xác suất a) Đònh nghóa cổ điển Cho phép thử T có không gian mẫu Ω tập hợp hữu hạn kết T đồng khả (tức có khả xuất hiện) Giả sử A biến cố liên quan với phép thử T ΩA tập hợp kết mô tả A (còn gọi kết thuận lợi cho A) Khi đó, xác suất A số, kí hiệu P(A), xác đònh công thức : Số phần tử ΩA P(A) = Số phần tử Ω Hay Số kết thuận lợi cho A P(A) = Số kết phép thử T b) Đònh nghóa hình học Giả sử kết đồng khả phép thử T đặt tương ứng với điểm tập hợp có độ đo M, kết thuận lợi cho biến cố A tương ứng với điểm 12 Gọi p tỉ lệ X ≥ 30 kg sau áp dụng công nghệ sản xuất Ta giả thiết H : “p = 40%”, trước áp dụng công nghệ Nếu chấp nhận giả thiết việc áp dụng công nghệ tác dụng, bác bỏ tỉ lệ X ≥ 30 kg thay đổi Ta tiến hành kiểm đònh với α = 0,05 Từ mẫu đònh tính (theo X) ta tính N = 150 ; k = 30 + 12 + 15 + 17 = 74 ; f = 0,4933 0,4933− 0,4 150 Zo = = 2,3325 > Zα 0,4.0,6 Do ta bác bỏ H Vì tỉ lệ mẫu f > p o = 0,4 nên công nghệ sản xuất làm tăng tỉ lệ X ≥ 30 kg ĐỀ SỐ Câu I (3 điểm) Gọi C biến cố bóng bàn lấy lần thứ hai chưa sử dụng lần Gọi S i biến cố bóng lấy lần thứ có i sử dụng i = 0,3 Ta có So, S1, S2, S3 nhóm đầy đủ nên P(C) = ∑ P(Si )P(C / Si ) i=0 Các xác suất P(Si) tính đònh nghóa Chẳng hạn, xem phép thử thứ lấy bóng từ 15 ; biến cố So xảy ta lấy từ chưa sử dụng ; biến cố S1 xảy lấy từ sử dụng từ chưa sử dụng ; v.v… Khi C39 C16C29 P(S0) = ; P(S1) = , C15 C15 P(S2) = C 26C19 C15 ; P(S4) = C36 C15 Ta tính P(C/Si), i = 0,3 - Khi So xảy ra, ta có “chưa sử dụng” biến thành “đã sử dụng” nên lại chưa sử dụng lần mà thoâi Suy C36 P(C/So) = C15 - Khi S1 xảy lại chưa sử dụng nên C37 P(C/S1) = C15 113 Tương tự, P(C/S2) = C38 C15 ; P(C/S3) = C39 C15 Vậy 3696 41405 Câu II (3 điểm) a) (1 điểm) Gọi S biến cố lấy 10 sản phẩm tốt Theo đònh nghóa C10 14 16 P(S) = 10 = 323 C 20 b) (2 điểm) Ta có X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trò : (ứng với số sản phẩm xấu tối đa 4), 7, 8, 9, 10 Ta tính P(X = k), k = 6,10 Tương tự câu a), theo đònh nghóa, ta tính C16 C 44 14 C16 C4 80 = = P(X = 6) = ; P(X = 7) = ; 10 10 323 323 C20 C20 P(C) = P(X = 8) = C16 C24 C10 20 C10 16 = C16 C4 135 80 = ; P(X = 9) = ; 10 323 323 C20 14 323 Vậy bảng phân phối xác suất X laø P(X = 10) = C10 20 = X 10 P 14 323 80 323 135 323 80 323 14 323 * Hàm phân phối xác suất , x∈ ( - ∞, 6]   14/ 323 , neáu x∈ ( 6,7]  x∈ ( 7,8]  94/ 323 , neáu F(x) =  x∈ ( 8,9] 223/ 323 , neáu 309/ 323 , neáu x∈ ( 9,10]   , neáu x∈ (10,+ ∞) * E(X) = ; E(X2) = 64,8418 ; 16 ≈ 0,9175 D(X) = 0,8418 = ; σ(X) = 19 19 Câu III (4 điểm) a) (2 điểm) Đây toán kiểm đònh 114 Ta xem tổng thể toàn số gói đường có siêu thò Gọi µ khối lượng trung bình tổng thể Ta giả thiết H : “µ = kg”, quy đònh ghi bao bì Nếu giả thiết chấp nhận việc đóng gói đảm bảo yêu cầu ngược lại Ta tiến hành kiểm đònh với α = 0,05 Mẫu đònh lượng đề cho ta số liệu Do n = 100, X = 0,9702 (kg), S = 0,0206 Zo = 0,9702− 100 = 14,466 > Zα 0,0206 Suy H bò bác bỏ Vì X < µo = kg nên máy đóng gói không đảm bảo quy đònh khối lượng gói đường b) Đây toán ước lượng tỉ lệ tổng thể Gọi tỉ lệ gói đường có khối lượng mức quy đònh tổng thể p Ta cần ước lượng p với γ = 0,9544 Từ mẫu đònh tính ta coù n = 100, k = 19 + 30 + 32 + = 89 Do f = 0,89 ; độ xác ε = 0,0626 Vậy p = 0,89 ± 0,0626, hay 82,74% ≤ p ≤ 95,26% ĐỀ SỐ Câu I (6 điểm) 1) (3 điểm) a) (1,5 điểm) Ta có T đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, T nhận giá trò 0, 1, 2, Ta tính P(T = k), k = 0,3 Gọi S biến cố xuất hai mặt sấp gieo đồng xu Ta có P(S) = ; P( S ) = 4 Roõ ràng, biến cố “T = k” phụ thuộc nhóm đầy đủ S, S  Do P(T = k) = P(S)P(T = k/S) + P( S )P(T = k/ S ) Ta tính xác suất P(T = k/S) vaø P(T = k/ S ), k = 0,3 - Khi S xảy ra, để T = xảy phải lấy phế phẩm từ kiện thứ phế phẩm từ kiện thứ hai Do ñoù C14 C32 12 P(T = 0/S) = = ; 450 C10 C10 Tương tự, C 24 C13 18 P(T = 0/ S ) = = 450 C10 C10 115 - Đối với biến cố lại, ta tính tương tự kết C16 C32 102 C14 C17.C13 P(T = 1/S) = + = ; C10 C10 C10 C10 450 C16C14 C13 C 24 C17 114 P(T = 1/ S ) = = ; + 450 C10 C10 C10 C10 C16 C17C13 C14 C27 210 P(T = 2/S) = + = ; 450 C10 C10 C10 C10 P(T = 2/ S ) = P(T = 3/S) = P(T = 3/ S ) = C26 C13 C16C14 + C10 C10 C10 C16 C27 126 = ; 450 C110 C10 C26 C17 105 = C10 C10 450 C17 C110 = 213 ; 450 Vaäy P(T = 0) = 147 600 22 148 283 ; P(T = 1) = ; P(T = 2) = ; P(T = 3) = 600 600 600 Suy bảng phân phối xác suất T T P 22 600 148 600 283 600 147 600 b) (0,5 điểm) Hàm phân phối xác suất , t∈ ( - ∞, 0]   22/ 600 , neáu t∈ ( 0,1]  t∈ (1,2] F(t) = 170/ 600 , neáu 453/ 600 , neáu t∈ ( 2,3]   , neáu t∈ (3,+ ∞) 1155 2603 ; E(T2) = 600 600 d) (0,5 điểm) D(X) = 0,6327 2) (3 điểm) a) (1,5 điểm) Gọi B biến cố sản phẩm lấy sau sản phẩm tốt Vì T = k , k = 0,3 nhóm đầy đủ nên c) (0,5 điểm) E(T) = { P(B) = ∑ P(T = k)P(B / T = k) k= Ta tính P(B/T = k) đònh nghóa 116 } Chẳng hạn, T = kiện thứ ba có sản phẩm tốt phế phẩm Do phép thử lấy sản phẩm từ 10 sản phẩm B xảy ta lấy sản phẩm tốt từ sản phẩm tốt Như P(B/T = 0) = C 43 C103 Tương tự, C35 C36 P(B/T=1) = , P(B/T=2) = , C10 C10 C37 , C10 P(B/T=3) = 12373 7200 b) (1,5 điểm) Theo đề bài, biến cố B xảy ra, ta cần tính P(T = 0/ B ) Áp dụng công thức Bayes, ta 22 (1− ) P(T = 0)P(B / T = 0) 600 120 2552 = = P(T = 0/ B ) = 12373 59627 P(B) 1− 7200 Caâu II (4 điểm) 1) (2 điểm) Từ mẫu ta tính Vaäy P(B) = ∧ n = 100 ; X = 130 ; SX = 50,9902 ; ∧ Y = 56,6 ; SY = 21,7357 ; XY = 8140 Từ ta có RXY = 0,7056 phương trình có dạng y = 0,3008x + 17,496 2) (1 điểm) Đây toán ước lượng giá trò trung bình tổng thể với n = 100 > 30 γ = 0,95 Do ta cần tính độ lệch mẫu hiệu chỉnh theo Y Sử dụng mẫu câu 1) ta coù ∧ 100 S2Y = 472,44 ; S = 99 472,44 = 477,2121 ; S = 21,8452 Suy 21,8452 ε = 1,96 = 4,2817 10 Vậy, công ty có lãi ròng trung bình hàng tháng µ = Y ± ε = 56,6 ± 4,2817 (triệu đồng) 3) (1 điểm) Đây toán kiểm đònh Gọi p tỉ lệ tháng có lãi ròng cao 65 triệu công ty (ta xem công ty tổng thể) Ta có giả thiết H : “p = 70%” Ta cần kiểm đònh giả thiết với α = 0,01 Từ mẫu đònh tính ta có 117 n = 100, k = + 10 + 20 = 35 Do f = 0,35 0,35− 0,70 Zo = 10 = 7,6 > Zα = 2,58 0,7.0,3 Suy H bò bác bỏ Vậy, báo cáo không chấp nhận 118 CÁC BẢNG SỐ ake− a Bảng : GIÁ TRỊ CỦA HÀM P(a)= k a k! 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.904837 0.090481 0.001521 0.000151 0.000004 0.818731 0.163746 0.016375 0.001091 0.000055 0.000002 0.740818 0.222245 0.033337 0.033334 0.000250 0.000015 0.000001 0,670320 0.268128 0,053626 0,007150 0,000715 0,000057 0,000004 0,606531 0,303265 0,075817 0,012636 0,001580 0,000158 0,000013 0.000001 0,548812 0,329287 0,098786 0,019757 0,002964 0,000356 0,000035 0,000003 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0 0,496585 0,347610 0,121663 0,449329 0,359463 0,113785 0,406570 0,365913 0,164661 0,135335 0,270671 0,270671 0,049787 0,149361 0,224042 10 11 12 13 14 15 0,028388 0,004968 0,000695 0,000081 0,000008 0,038343 0,007669 0,001227 0,000164 0,000019 0,000002 0,049398 0,011115 0,002001 0,000300 0,000039 0,000004 0,367877 0,367879 0,483940 0,061131 0,015328 0,003066 0,000511 0,000073 0,000009 0,000001 0,180447 0,090224 0,036089 0,012030 0,003137 0,000859 0,000191 0,000038 0,000007 0,000001 0,224042 0,168031 0,100819 0,050409 0,021604 0,008101 0,002701 0,000810 0,000221 0,000055 0,000013 0,000003 0,000001 k a k 119 a 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10 11 12 0,018316 0,073263 0,146525 0,195367 0,195367 0,156293 0,104194 0,059540 0,029770 0,013231 0,005292 0,001925 0,000642 0,006738 0,033690 0,084224 0,140374 0,175467 0,175467 0,146223 0,104445 0,065278 0,036266 0,018133 0,008242 0,003434 0,002479 0,014873 0,044618 0,089235 0,133853 0,160623 0,160623 0,137677 0,103258 0,068838 0,041303 0,022529 0,011262 0,000912 0,006383 0,022341 0,052129 0,091226 0,127717 0,149003 0,149003 0,130377 0,101405 0.070983 0,045171 0,026350 0,000335 0,002684 0,010735 0,028626 0,057252 0,091604 0,122138 0,139587 0,139587 0,124077 0,099262 0,072190 0,048127 0,000123 0,001111 0,004998 0,014994 0,033737 0,060727 0,091090 0,117116 0,131756 0,131756 0,118580 0,097020 0,072765 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 0,000197 0,000056 0,000015 0,000004 0,000001 0,001321 0,000472 0,000157 0,000049 0,000014 0,000004 0,000001 0,005199 0,002228 0,000891 0,000334 0,000118 0,000039 0,000012 0,000004 0,000001 0,014188 0,007094 0,003311 0,001448 0,000596 0,000232 0,000085 0,000030 0,000010 0,000003 0,000001 0,029616 0,016924 0,009026 0,004513 0,002124 0,000944 0,000397 0,000159 0,000061 0,000022 0,000008 0,000003 0,000001 0,050376 0,032384 0,019431 0,010930 0,005786 0,002893 0,001370 0,000617 0,000264 0,000108 0,000042 0,000016 0,000006 0,000002 0,000001 k 120 Bảng : GIÁ TRỊ HÀM GAUSSE x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 x 0,398 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,242 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,054 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,004 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 f (x)= 2π − e x2 2 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 3989 3961 3894 3790 9653 3485 3292 3079 2850 2613 3986 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 3984 3945 3867 3752 3605 3929 3230 3011 2780 2541 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 1516 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0478 0388 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0043 0031 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0006 0004 0003 0002 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0006 0004 0003 0002 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 121 122 Bảng : HÀM LAPLACE x 0,0 0,0000 0.1 03983 0.2 07926 0.3 11791 0.4 15542 0.5 19146 0.6 22575 0.7 25804 0.8 28814 0.9 31594 1,0 34143 1.1 36433 1,2 38493 1.3 40320 1,4 41924 1.5 43319 1.6 44520 1.7 45543 1.8 46407 1.9 47128 2,0 47725 2.1 48214 2.2 48610 2.3 48928 2.4 2.5 49180 49379 Φ(x)= 2π x − ∫e t2 dt 0039 0438 0831 1217 1591 1949 2290 2611 2910 3185 0079 0477 0870 1255 1627 1984 2323 2642 2938 3212 0119 0517 0909 1293 1664 2019 2356 2673 2967 3288 0159 0556 0948 1330 1700 2019 2389 2703 2995 3263 0199 0596 0987 1368 1736 2088 2421 2733 3023 3289 0239 0635 1025 1405 1772 2122 2453 2763 3051 3314 7 0279 0674 1064 1443 1808 2156 2485 2793 3078 3339 8 0318 0714 1102 1480 1843 2190 2517 2823 3105 3364 0358 0753 1140 1517 1879 2224 2549 2852 3132 3389 3437 3665 3868 4049 4207 4344 4463 4563 4648 4719 3461 3686 3887 4065 4222 4357 4473 4572 4656 4725 3485 3707 3906 4082 4236 4369 4481 4581 4663 4732 3508 3728 3925 4098 4250 4382 4495 4590 4671 4738 3531 3749 3943 4114 4264 4394 4505 4599 4678 4744 3554 3769 3961 4130 4278 4406 4515 4608 4685 4750 3576 3790 3979 4146 4292 4417 4525 4616 4692 4755 3599 3810 3997 4162 4305 4429 4535 4624 4699 4761 3621 3829 4014 4177 4318 4440 4544 4632 4706 4767 4777 4825 4864 4895 4920 4939 4783 4830 4867 4898 4922 4941 4788 4834 4871 4901 4924 4943 4793 4838 4874 4903 4926 4944 4798 4842 4877 4906 4928 4926 4803 4846 4880 4908 4930 4947 4807 4850 4884 4911 4932 4949 4812 4853 4887 4913 4934 4950 4816 4857 4889 4915 4936 4952 123 2.6 49534 2.7 49653 2.8 49744 2.9 49813 3,0 0,4986 3.5 4,0 4.5 5,0 49977 499968 499997 499999 97 4954 4966 4975 4981 4956 4967 4976 4982 3,1 3,6 4957 4968 4976 4983 4890 4998 4958 4969 4977 4983 3,2 3,7 124 4959 4970 4978 4984 4993 4998 4960 4971 4978 4984 3,3 3,8 4962 4972 4979 4985 4995 4999 4963 4972 4980 4985 3,4 3,9 4964 4976 4980 4986 4996 4999 Baûng : PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG X ∼ χ2 (n) χ2, P(X > χ2 (n, α)) VỚI α n 1 1 0,995 0,00003 93 0,0100 0,0717 0,207 0,412 0,99 0,0001 57 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,975 0,00098 0,0506 0,216 0,484 0,831 0,95 0,05 0,025 0,01 0,005 0,00393 0,103 0,352 0,711 1,145 3,841 5,991 7,815 9,488 11,071 5,024 7,378 9,348 11,143 12,833 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 7,879 10,597 12,838 14,860 16,749 0,676 0,989 1,344 1,735 0,872 1,239 1,646 2,088 1,237 1,690 2,180 2,700 1,635 2,167 2,733 3,325 12,592 14.067 15,507 16,919 14,449 16,013 17,535 19,023 16,812 18,475 20,090 21,666 18,548 20,278 21,955 13,590 2,156 2,558 3,247 3,940 18,307 20,483 23,209 25,188 2,603 3,053 3,816 4,575 19,675 21,920 24,725 26,758 3,074 3,571 4,404 5,226 21,026 23,337 26,217 28,299 3,565 4,107 5,009 5,892 22,362 24,736 27,688 29,820 4,075 4,660 5,629 6,571 23,685 26,119 29,142 31,320 4,601 5,229 6,262 7,261 24,996 27,489 30,578 32,801 5,142 5,812 6,908 7,962 26,296 28,845 32,000 34,268 5,697 6,408 7,564 8,672 27,587 30,191 33,409 35,717 6,265 7,015 8,231 9,390 28,869 31,526 34,805 37,156 6,844 7,633 8,907 10,117 30,144 32,853 36,191 38,581 7,434 8,260 9,591 10,851 31,410 34,170 37,566 39,997 8,034 8,897 10,283 11,591 32,671 35,479 38,932 41,400 8,643 9,542 10,982 12,338 33,926 36,781 40,289 42,796 9,260 10,196 11,689 13,091 35,172 38,075 41,638 44,184 2 2 9,886 10,856 12,401 13,848 36,415 39,364 42,980 45,559 10,520 11,524 13,120 14,611 37,652 40,646 44,314 46,930 11,160 12,198 13,844 15,379 38,885 41,924 45,643 48,290 125 11,808 12,878 14,573 16,151 40,113 43,195 46,963 49,647 12,461 13,565 15,308 16,928 41,337 44,461 48,278 50,994 13,121 14,256 16,047 17,708 42,557 45,722 49,588 52,338 13,787 14,953 16,791 18,493 43,773 46,979 50,892 53,673 t : P( X > t(n, α)) = α VỚI X Bảng : PHÂN PHỐI STUDENT ∼ t(n) α n 0,20 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 0,10 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 0,05 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 0,02 31,820 6,965 4,541 3,747 3,365 0,01 63,526 9,925 5,841 4,604 4,032 0,001 363,6 31,600 12,922 8,610 6,869 10 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 11 12 13 14 15 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 16 17 18 19 20 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 126 22 23 24 25 1,321 1,319 1,318 1,316 1,717 1,714 1,711 1,708 2,074 2,069 2,064 2,060 2,508 2,500 2,492 2,485 2,819 2,807 2,797 2,787 3,792 3,767 3,745 3,725 26 27 28 29 + α 1,315 1,314 1,313 1,311 1,706 1,703 1,701 1,699 2,056 2,052 2,048 2,045 2,479 2,473 2,467 2,462 2,779 2,771 2,763 2,756 3,707 3,690 3,674 3,659 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp, Lê Thiên Hương Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Trường Đại học kó thuật công nghệ (Lưu hành nội bộ), 1998 Đinh Văn Gắng Bài tập xác suất thống kê NXB Giáo dục, 2000 Đặng Hấn Bài tập xác suất thống kê Trường Đại học kinh tế TP.Hồ Chí Minh (Lưu hành nội bộ), 1994 Hoàng Ngọc Nhậm Bài tập xác suất thống kê NXB Thống kê, 1996 Đặng Hùng Thắng Bài tập xác suất NXB Giáo dục, 1998 Tống Đình Quỳ Hướng dẫn giải tập Xác suất Thống kê NXB Giáo dục, 1998 127 ... ý sửa chữa thảo Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Dân lập Kỹ thuật Công nghệ TP Hồ Chí Minh, Phòng Quản lý khoa học, Phòng Kế hoạch – Tài chính, Ban Khoa học tập thể giảng viên Bộ môn Toán... số dạng tập có tổng kết thành phương pháp giải chung Để giúp sinh viên tự đọc làm tập, sách Bài tập Xác suất – Thống kê cố gắng trình bày lời giải tỉ mỉ, đặc biệt tập chương II Mỗi lời giải trọng... Ta xem V công việc chọn Ban cán lớp, bao gồm ba công đoạn : - Thứ nhất, chọn lớp trưởng từ 60 sinh viên, có 60 cách - Thứ hai, chọn lớp phó học tập từ 59 sinh viên lại, có 59 cách - Thứ ba,