Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Chuyên đề : Vận dụng các trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông .Định lí Pytago để chứng minh hệ thức hình học. A.Đặt vấn đề I.Lí do chọn đề tài * Chúng ta đã biết từ năm 2004 2005 Bộ Giáo Dục & Đào Tạo đã thay SGK và đổi mới phơng pháp dạy học ở THCS .Môn toán nói riêng đã có sự thay đổi vị trí nội dung các kiến thức . Ví dụ : Phần đờng trung bình trong tam giác từ lớp 7 đợc đa lên lớp 8; phần định lí Pytago từ lớp 8 đợc đa xuống lớp 7 nhằm mục các mục đích sau đây - Tăng cờng bài tập tính toán và xây dựng thêm trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông . - Xây dựng thêm tập số vô tỉ để lấp đầy trục số *Khi tôi dậy toán hình về phân định lí pytago và các trờng bằng nhau của tam giác vuông tôi thấy có rất nhiều bài tập vận dụng các trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông và định lí pytago để chứng minh một hệ thức hình học . *Khi dậy toán các lớp 8;9 về môn hình tôi thấy học sinh học rất yêu những loại toán này . Do ba lí do trên và qua trình tìm hiểu và đã đa ra một giải pháp là viết một chuyên để nhằm trang bị cho học sinh những kỹ năng thờng dùng để chứng minh một hệ thức hình học dựa vào kiến thức đã có . II.Đối t ợng nghiên cứu Học sinh lớp 7 trờng THCS Cơng Chính III.Nhiệm vụ 1) Nâng cao chất lợng giảng dạy 2) Rèn cho học sinh nhữ thói quen suy nghĩ khi chứng minh một hệ thức hình học IV.Ph ơng pháp nghiên cứu 1) Phơng pháp phân tích 2) Phơng pháp tổng hợp 3) Phơng pháp so sánh 4) Phơng pháp sơ đồ hoá B.Nội dung nghiên cứu 1) Trớc hết giáo viên cần trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản và cách vận dung các tr- ờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông và định lí pytago .Trong phần này đòi hỏi giáo viên cần có biện pháp giúp học sinh nắm kiến thức và bớc đầu vận dụng kiến thức giải các bài tập đơn giản . 2) Giáo viên cần hớng dẫn học sinh những thao tác suy luận khai thác từ những dự kiện đã cho trong bài toán để tìm lời giải của bài toán . 3) Trong khi hớng dẫn học sinh tìm lời giải của bài toán giáo viên cần chuẩn bị cho mình các câu hỏi những kỹ năng và câu hỏi dẫn dắt có tích lôgíc để hớng dẫn học sinh tứng bớc suy luận để tìm ra lời giải . 3) Khi hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán giáo viên cần phải trải qua các bớc sau : 1) Tìm hiểu đề 2) Tìm lời giải 3) Lập chơng trình giải 4) Trình bày lời giải 5) Kiểm tra lời giải Trong phần này tôi chia thành bốn dạng toán cơ bản sau : 1 Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Dạng 1: Chứng minh hệ thức dạng a = c + d ,dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm đợc kỹ năng sau tách a = m +n , sau đó chứng minh m = c và n = d hoặc m = d và n = c Dạng 2: Chứng minh hệ thức có dạng a 2 + b 2 = m 2 , dạng này đòi hỏi học sinh nắm đợc kỹ năng tìm một đoạn n = b ,trong đó n và a là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là m . Dạng 3: Chứng minh hệ thức có dạng a 2 + b 2 = c 2 + m 2 , dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm đợc kỹ năng biến đổi sau : a 2 + b 2 = c 2 + m 2 a 2 c 2 = m 2 b 2 n 2 = d 2 ( trong đó n = d) Dạng 4: Chứng minh hệ thức có dạng a 2 + b 2 + c 2 = m 2 + 2n 2 + 3d 2 và b = c,dạng này học sinh năm đợc kỹ năng biến đổi sau : Biến đổi vế phải m 2 + 2n 2 + 3d 2 = (m 2 +d 2 ) +2(n 2 + d 2 ) = a 2 + 2b 2 = a 2 + b 2 + c 2 Thông qua bốn dạng này tối rèn cho học sinh kỹ năng chứng minh hệ thức hình học thì ta cần tiến hành nh thế nào, từ đó cũng rền luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi trong hình học . Bài dạy thực nghiệm Dạng 1: Chứng minh hệ thức dạng a = c + d Phơng pháp : Tách a = m + n ,chứng minh c = m ; n = d . Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Gọi a là một điểm nào đó đi qua A và không cắt đoạn BC .Kẻ BD a ; CE a .Chứng minh BD + CE = DE Hoạt động của GV Hoạt động của HS GT của bài toán là gì ? KL của bài toán là gì ? Từ GT tam giác ABC cân tại A ,cho ta biết GT ABC cân ( A = 90 0 ) a đi qua A ; BD a;CE a KL BD + CE = DE HS: AB = AC ; A = 90 0 ; B = C = 45 0 2 a E D C B A Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi thêm đợc gì ? Từ GT BD a;CE a ta suy ra đợc gì ? Em có nhận xét gì về vị trí của điểm A so với hai điểm D,E ? Từ điều này ta suy ra đợc gì ? KL nói gì ? Từ (1) và (2) gợi cho ta điều gì ? Muốn chứng minh AD = CE ta làm nh thế nào ? Nh vậy ta phải đi chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau Muốn chứng minh AD = CE ta phải chứng minh đièu gì ? Muốn chứng minh hai tam giác ABD = CAE Ta phải chứng minh những điều kiện gì ? Yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh Từ hai tam giác này bằng nhau ta có thể chứng minh đợc AE = BD không ? Nh vậy ta có điều phải chứng minh HS: Tam giác ABD vuông tại D ; Tam giác AEC vuông tại E. HS: A nằm giữa D và E HS: DE = AD + AE (1) HS: Chứng minh DE = BD + CE (2) HS: Chứng minh AD = CE ; AE = BD Chứng minh hai tam giác ABD bằng tam giác CAE AD = CE ABD = CAE AB = AC ; D = E = 90 0 ; DAB = ACE DAB + DBA = 90 0 DAB + ACE = 90 0 ABD = CAE AE = BD Dạng 2: Chứng minh hệ thức có dạng a 2 + b 2 = m 2 3 Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Phơng pháp : Chọn một số n = b , trong đó n và a là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là m . Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi a là một điểm nào đó đi qua A và không cắt đoạn BC Kẻ BH a ; CK a .Chứng minh rằng BH 2 + CK 2 = AB 2 Hoạt động của GV Hoạt động của HS GT của bài toán nói gì ? Ta thấy hệ thức cần chứng minh BH 2 +CK 2 = AB 2 , hệ thức này gợi cho ta nghĩ tới định lí pytago.Cho nên ta tìm cách gán hai cạnh CK,BH về cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là AB . Tam giác ABH là tam giác gì ? Từ kết quả này ta suy thm đợc gì ? KL của bài toán nói gì ? GT ABC vuông cân tại A Đờng thẳng a đi qua A BH a ; CK a KL BH 2 + CK 2 = AB 2 Tam giác ABH vuông tại A BH 2 +AH 2 = AB 2 BH 2 + CK 2 = AB 2 4 H K C B A Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Điều này gợi ý cho ta đợc gì ? Muốn chứng minhAH = CK ,ta phải chứng minh điều gì ? Muốn chứng minh hai tam giác này bằng nhau ta phải chứng minh các điều kiện gì ? Muốn chứng minh ABH = CAK ta phải chứng minh điều gì ? Từ hai hệ thức trên ta rút ra đợc gì ? GV yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh AH = CK ABH = CAK AB = AC ; K = H = 90 0 ; ABH = CAK ABH + HAB = 90 0 CAK + ACK = 90 0 ABH = CAK Dạng 3: Chứng minh hệ thức có dạng a 2 + b 2 = c 2 + m 2 (1) Phơng pháp : Để chứng minh các hệ thc dạng này ta có một số hớng đi nh sau Cách 1: (1) a 2 c 2 = m 2 b 2 n 2 = d 2 n = d Cách 2: Biến đổi vế phải a 2 + b 2 = d 2 Biến đổi vế trái c 2 + m 2 = d 2 đpcm Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC.C/mr: AB 2 + CH 2 = AC 2 + BH 2 Hoạt động của GV Hoạt động của HS 5 H C B A Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi GT của bài toán là gì ? KL của bài toán là gì ? Từ GT tam giác ABC vuông tại A cho ta biết thêm điều gì ? Từ GT AH BC, ta suy thêm đợc gì ? Từ kết quả này cho ta biết thêm đợc gì ? KL của bài toán nói gì ? Hệ thức này có thể biến đổi ở dạng nào khác không ? Hiệu AB 2 BH 2 có thể thay bởi bình phơng của đoạn thẳng nào khác không ? Hiệu AC 2 CH 2 đợc thay bởi bình phơng của đoạn thẳng nào ? GT ABC ( A = 90 0 ) AH BC KL AB 2 + CH 2 = AC 2 + BH 2 ABC có : A = 90 0 AB 2 + AC 2 = BC 2 B + C = 90 0 Tam giác ABH và ACH vuông tại H AB 2 = BH 2 + AH 2 (1) AC 2 = CH 2 + AH 2 (2) AB 2 + CH 2 = AC 2 + BH 2 AB 2 BH 2 = AC 2 CH 2 AB 2 BH 2 = AH 2 (3) AC 2 CH 2 = AH 2 (4) AB 2 BH 2 = AC 2 CH 2 6 Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Từ (3) và(4) ta suy ra đợc gì ? Nh vậy ta có đièu phải chứng minh Dạng 4: : Chứng minh hệ thức có dạng a 2 + b 2 + c 2 = m 2 + 2n 2 + 3d 2 và b = c Phơng pháp : Biến đổi vế này về vế kia,chẳng hạn nh hệ thức trên tôi thờng bắt đầu từ vế cồng kềnh nhất để thực hiện phép biến đổi . Bài tập 4: Cho tam giác ABC cân tại C,từ điểm B kẻ BD AC ( D AC) .Chứng minh AB 2 + BC 2 + CA 2 = AD 2 + 2CD 2 + 3BD 2 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Hãy vẽ một hình vẽ thoả mãn những điều kiện của bài toán đã cho và ghi GT và KL của bài toán . Từ giả thiết BD AC cho ta biết thêm đợc gì ? GT ABC ( CB = CA) BD AC ( D AC) KL AB 2 + BC 2 + CA 2 = AD 2 + 2CD 2 + 3BD 2 ABD ; BDC vuông tại D 7 D C B A Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Từ kết quả này ta suy thêm đợc gì ? KL của bài toán nói gì ? Ta hãy xuất phát từ VP của hệ thức để biến đổi BD 2 + CD 2 = CB 2 AD 2 + BD 2 = AB 2 AB 2 + BC 2 + CA 2 = AD 2 + 2CD 2 + 3BD 2 Ta có :VP = AD 2 + 2CD 2 + 3BD 2 = (AD 2 + BD 2 ) + 2( CD 2 +BD 2 ) = AB 2 + 2CB 2 = AB 2 + CB 2 + CB 2 = AB 2 + CB 2 + CA 2 (CA = CB) = VT Vậy VP = VT Bài tập tự luyện Bài 1: Cho đoạn AC và BD cắt nhau tại O và AC vuông góc với BD .Chứng minh rằng : AB 2 + AD 2 + CD 2 + CB 2 = 2( OA 2 + OB 2 + OC 2 + OD 2 ) Bài 2: Cho tam giác ABC có điểm O nằm bên trong tam giác .Kẻ OD BC ; OE AC ; OF AB .Chứng minh rằng : BD 2 + CE 2 + AF 2 = BF 2 + CD 2 + AE 2 C.Kết luận Qua việc giảng dạy toán 7 và do liềm đam mê nghề dạy học cũng nh học môn toán, tôi đã đợc tiếp cận nhiều đối tợng học sinh khác nhau. Bản thân tôi từ phía chủ quan cũng nh từ kinh nghiệm thực tiễn ,tôi đã không ngừng nghiên cứu và thay đổi phơng pháp giảng dạy theo chơng trình đổi mới.Những vấn đề tôi nêu trên còn nhiều thiếu sót,tôi mong các đồng chí bạn bè góp ý kiến giúp tôi để tôi ngày một hoàn thiện hơn. D.Nhận xét và góp ý kiến của tổ 8 Ngêi thùc hiÖn chuyªn ®Ò gi¸o viªn Hµ TiÕn Khëi …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… . 9 . Muốn chứng minhAH = CK ,ta phải chứng minh điều gì ? Muốn chứng minh hai tam giác này bằng nhau ta phải chứng minh các điều kiện gì ? Muốn chứng minh ABH. nằm giữa D và E HS: DE = AD + AE (1) HS: Chứng minh DE = BD + CE (2) HS: Chứng minh AD = CE ; AE = BD Chứng minh hai tam giác ABD bằng tam giác CAE AD =