ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( SỐ 6) CÂU I: Cho hàm số 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + (1) a. Khảo sát hàm số (1) khi m=1 b. Chứng minh rằng , m ∀ hàm số (1) luôn đạt cực tṛ tại 1 x , 2 x với 1 2 x x− không phụ thuộc m CÂU II: a. Giải hệ phương tŕnh 2 2 2 2 2 3 9 2 13 15 0 x xy y x xy y  − + =   − + =   b. Tam giác ABC có 3 cạnh là a , b, c và p là nửa chu vi.Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2( ) p a p b p c a b c + + ≥ + + − − − CÂU III: a. Giải phương tŕnh : 2 2 cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ − = + b. Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC và ( ) 2 C a b tg atgA btgB+ = + th́ tam giác ABC cân CÂU IV: a. Có thể t́m được bao nhiêu số gồm 3 chươ số khác nhau đôi một? b. Từ các chươ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chươ số đôi một khác nhau? Thí sinh chọn một trong 2 câu Va hoặcVb dưới đây CÂU Va: a. Nếu Elip 2 2 2 2 1 x y a b + = nhận các đường thẳng 3x-2y-20=0 và x+6y-20 =0 làm tiếp tuyến,haơy tính 2 a và 2 b b. Cho Elip 2 2 2 2 1 x y a b + = (E).T́m quan hệ giươa a,b,k,m để (E) tiếp xúc với đường thẳng y=kx+m CÂU Vb: Trong không gian, cho đoạn OO’= h và 2 nửa đường thẳng Od, O’d’ cùng vuông góc với OO’ và vuông góc với nhau. Điểm M chạy trên Od , điểm N chạy trên O’d’ sao cho ta luôn có 2 2 2 'OM O N k+ = , k cho trước. a.Chứng minh rằng đoạn MN có độ dài không đổi b.Xác đ̣nh ṿ trí của M trên Od, N trên O’d’ sao cho tứ diện OO’MN có thể tích lớn nhất. Đáp án CÂU I: a) Khảo sát (1) khi m= 1: 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x= − + + + + 3 2 1: 2 9 12 1m y x x x= = − + + • TXĐ: D= R 2 ' 6 18 12 1 6 ' 0 2 5 '' 12 18 3 11 3 11 '' 0 , 2 2 2 2 y x x x y y x y y x y x y = − + = ⇒ =  = ⇔  = ⇒ =  = −   = ⇔ = ⇒ = ⇒     điểm uốn I • BBT: • Đồ tḥ: b) Chứng minh rằng ∀ m hàm số (1) luôn đạt cực tṛ tại x 1 , x 2 với x 1 - x 2 không phụ thuộc m. Ta có: 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 2 ' 6 6(2 1) 6 ( 1) 2 ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*) 2 (2 1) 4 ( 1) 1 0 y x m x m m x y x m x m m y x m x m m m m m = − + + + + = − + + + = ⇔ − + + + = ∆ = + − + = > ⇒ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x . ⇒ Hàm số luôn đạt cực tṛ tại 1 2 ,x x . Ta có: 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x m m x m m x x m m = + − = = + + = + ⇒ − = + − = (hằng số) Vậy: 2 1 x x− không phụ thuộc m. CÂU II: a) Giải: 2 2 2 2 2 3 9 (1) 2 13 15 0 (2) x xy y x xy y  − + =   − + =   Cách 1: V́ x = 0 không là nghiệm của hệ nên đặt y= kx. Khi đó hệ trở thành: 2 2 (1 2 3 ) 9 (3) 2 2 (2 13 15 ) 0 (4) x k k x k k  − + =    − + =  Ta có: (4) 2 15 13 2 0k k⇔ − + = (v́ x = 0 không là nghiệm) 1 5 2 3 k k  =  ⇔   =   thế vào (3) ta được: 5 2 2 2 2 25 2 5 2 2 2 2 2 2 9 3 2 3 2 x y x x y x x y x y  = ⇒ =    =   ⇔ = − ⇒ = −     =  = ⇒ =   = − ⇒ = −  Vậy hệ có 4 nghiệm 5 2 2 5 2 2 , , , ,(3, 2),( 3, 2) 2 2 2 2     − − − −             . Cách 2: V́ 0x ≠ nên chia 2 vế của (2) cho 2 x ta được: 2 (2) 2 13 15 0 1 1 5 5 2 2 3 3 y y x x y y x x y y x x     ⇔ − + =           = =   ⇔ ⇔     = =     Thế y vào (1) ta được đáp số trên. b) Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 2( ) p a p b p c a b c + + ≥ + + − − − Nhận xét: Nếu M, N > 0 th́: 2M N MN+ ≥ 1 1 1 2 M N MN + ≥ 1 1 ( ) 4 1 1 4 M N M N M N M N   ⇒ + + ≥     ⇒ + ≥ + Do đó: 1 1 4 4 2 1 1 4 4 2 1 1 4 4 2 p a p b p a b c p b p c p b c a p c p a p a c b + ≥ = − − − − + ≥ = − − − − + ≥ = − − − − Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh. CÂU III: a) Giải: 2 2 cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ − = + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta có: VT = ( ) 2 2 2 1.cos3 1. 2 cos 3 1 1. cos 3 2 cos 3 2x x x x+ − ≤ + + − = Mặt khác: VP 2≥ Do vậy: Phương tŕnh ( ) 2 cos3 2 cos 3 2 2 2 1 sin 2 2 2 2 cos 3 2 cos3 sin 2 0 cos3 1 sin 2 0 2 3 2 2 ( ) x x x x x x x x x k x k x k k π π π  + − =  ⇔  + =     − = − ⇔  =   =  ⇔  =   =   ⇔   =   ⇔ = ∈ ¢ b) Ta có: ( ) 2 ( )cot 2 ( ) 2 2 2 sin sin 2 2 cos cos cos .cos 2 2 sin .sin sin .sin 2 2 cos cos sin (sin cos sin cos ) 2 C a b tg atgA btgB C a b g atgA btgB A B a b tg atgA btgB A B A B a tg tgA b tgB tg A B B A a b A B A B A B A B A B A B A B A B A B B A + = + ⇒ + = + + ⇒ + = + + +     ⇒ − = −  ÷  ÷     − − ⇒ = + + − − ⇒ = − ⇒ − = 0 sin sin( ) 0 2 sin 0 2 sin( ) 0 A B A B A B A B ABC cân A B − ⇒ − = −  =  ⇒ ⇒ = ⇒ ∆  − =  CÂU IV: a) Có bao nhiêu số gồm 3 chươ số khác nhau đôi một. Gọi số cần t́m có dạng 1 2 3 a a a Số cách chọn 1 a : 9 (v́ 0 1 a ≠ ) Số cách chọn 2 , : 2 3 9 a a A Vậy các số cần t́m là: 2 9. 648 9 A = (số). b) Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chươ số đôi một khác nhau. Gọi số cần t́m có dạng 1 2 3 4 5 a a a a a Trường hợp 1 : 0 5 a = Số cách chọn các ṿ trí còn lại: 4 840 7 A = (số). Trườnng hợp 2: { } 2,4,6 5 a ∈ 5 a có 3 cách chọn. 1 a có 6 cách chọn (v́ 1 a khác 0). , , 2 3 4 a a a có 3 6 A cách chọn. ⇒ Số các số trong trường hợp 2: 3 3.6. 3000 6 A = (số). Vậy số các số cần t́m là: 840 + 2160 = 3000 (số). CÂU Va: a) (E) tiếp xúc với đường thẳng 3x - 2y - 20 = 0 và x + 6y – 20 = 0 2 2 2 9 4 400 40 2 2 2 36 400 10 a b a a b b   + = =   ⇔ ⇔     + = =   b) (E) tiếp xúc với đường thẳng kx – y + m = 0 2 2 2 2 k a b m⇔ + = . CÂU Vb: a) Chứng minh MN không đổi: Ta có: 2 2 2 2 2 2 ' ' 2 2 MN OM ON OM OO O N K h = + = + + = + 2 2 MN k h⇒ = + (không đổi). b) Đ̣nh M và N để OO’MN có thể tích lớn nhất. 1 1 . '. . ' ' ' 3 6 2 2 2 1 1 ' . . ' . 6 6 2 12 V S OM OO OM O N OO MN OO N OM O N hk h OM O N h = = + = ≤ = Vậy : 2 ' 12 2 hk k MaxV OM O N= ⇔ = = . . số (1 ) luôn đạt cực tṛ tại x 1 , x 2 với x 1 - x 2 không phụ thuộc m. Ta có: 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 2 ' 6 6(2 1) 6 ( 1) 2 ' 0 (2 1) ( 1) 0 (* ). ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( SỐ 6) CÂU I: Cho hàm số 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + (1 ) a. Khảo sát hàm số (1 ) khi m=1 b. Chứng