ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( SỐ 5) CÂU I Cho hàm số 2 6 9 2 x x y x − + = − + a) Khảo sát sự biến thiên và veơ đồ tḥ của hàm số. b) Tm tất cả các điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được tiếp tuyến ́ với đồ th,song song với đường thẳng ̣ 3 4 y x = − CÂU II Cho hệ phương tŕnh: 2 2 12 26 xy y x xy m  − =   − = +   a) Giải hệ phương tŕnh với m=2 b) Với nhương giá tṛ nào của m th́ hệ phương tŕnh đaơ cho có nghiệm? CÂU III a) Tính: 36 0 cos2 tg x I dx x π = ∫ b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho h́nh phẳng D giới hạn bởi các đường lny x= , 0y = , x e= .Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay D quanh trục Ox CÂU IV Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nươ trong đó có An và B́nh,người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người.T́m số cách chọn trong moăi trường hợp sau: a) Trong tổ phải có cả nam laăn nươ. b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên,hơn nươa An và B́nh không đồng thời có mặt trong tổ PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh được chọn một trong 2 câu sau) CÂU VA: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng: d1: 2 0 2 6 0 x y x z − − =   − − =  , d2: 4 2 1 1 2 1 x y z− − − = = , d3: 5 1 2 2 1 1 x y z− + + = = − − Và mặt cầu: 2 2 2 ( ) : 2 2 2 1 0S x y z x y z+ + + − + − = a) Chứng minh rằng d1,d2 chéo nhau và viết phương tŕnh đường thẳng d cắt d1,cắt d2 và song song với d3. b) Viết phương tŕnh mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r=1. CÂU VB: Cho h́nh vuông ABCD cạnh a.Gọi O là giao điểm hai đường chéo.Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa h́nh vuông,ta lấy điểm S sao cho góc ˆ 60SCB = ° a) Tính khoảng cách giươa 2 đường thẳng BC và SD b) Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) .Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( α ) và h́nh chóp S.ABCD Đáp án CÂU I: a) Khảo sát sự biến thiên và veơ đồ tḥ 2 6 9 ( ) 2 x x y C x − + = − + • TXĐ: D = R\ {2} 2 4 3 ' 2 ( 2) x x y x + − = − + • 1 ' 0 3 x y x =  = ⇔  =  • TCĐ: x = 2 v́ lim 2x = ∞ → Ta có: 1 4 2 y x x = − + + − + • TCX: y = - x + 4 v́ 1 lim 0 2x x = = − + → ∞ • BBT: • Đồ tḥ: Cho x = 0 9 2 y⇒ = b) T́m M ∈ Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) song song với đường thẳng y= 3 4 − x có dạng. Gọi M(0, b) Oy∈ , tiếp tiếp qua M song song đường thẳng 3 4 y x= − có dạng: (D): 3 4 y x b= − + (D) tiếp xúc (C) 2 6 9 3 (1) 2 4 2 4 3 3 (2) 2 4 ( 2) x x x b x x x x  − +  = − + − +   ⇔   − + −  = −  − +  co ùnghiệm (2) 2 4 0 0 4x x x x⇔ − = ⇔ = ∨ = Thay vào (1): 9 5 0 ; 4 2 2 x b x b= ⇒ = = ⇒ = Vậy : 9 5 (0; ), (0; ) 1 2 2 2 M M CÂU II: Cho 2 2 12 26 xy y x xy m  − =   − = +   Giải hệ khi m=2. Ta có: Hệ phương tŕnh ( ) 12 ( ) 26 y x y x x y m − =  ⇔  − = +  ( ) 12 (1) (26 ) (2) 12 y x y m y x − =   ⇔  + =   Thế (2) vào (1) ta được : 2 (14 ) 144 (*)y m+ = Với m= 2: Phương tŕnh (*) trở thành : 2 16 144y = 2 9 (2) 3 7 (2) 3 7 y y x y x ⇔ =  = → =  ⇔  = − → = −  Vậy khi m= 2 hệ có nghiệm : 7 7 3 3 x x y y = = −   ∨   = = −   b) T́m m để hệ có nghiệm: Ta có: Hệ có nghiệm ⇔ phương tŕnh (*) có nghiệm. 14 0 14 m m ⇔ + > ⇔ > − CÂU III: a) Tính 6 3 0 cos2 tg x I dx x ∏ = ∫ Đặt t= tgx 1 2 cos dt dx x ⇒ = Đổi cận : 0 0 3 6 3 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 3 3 6 6 2 2 2 2 cos sin cos (1 ) 0 0 3 3 3 3 3 1 2 2 1 1 0 0 3 3 2 1 1 1 2 2 ln 1 ln 2 2 6 2 3 0 tg x tg x I dx dx x x x tg x t dt t dt t t t t π π ⇒ = = ∫ ∫ − −   = = − +  ÷ ∫ ∫  ÷ − −      ÷ = − − − = − −  ÷   b) Tính thể tích do h́nh phẳng giới hạn bởi y= lnx, y= 0, x= e quay quanh Ox. Đồ tḥ y= lnx cắt Ox tại điểm có hoành độ x= 1 Do đó: e 2 ln 1 V xdx π = ∫ Đặt ln 2 ln 2 x u x du dx x = ⇒ = dv = dx, chọn v = x ( ) e e 2 . ln 2 ln 1 1 e e 2 ln 1 V x x xdx xdx π π   ⇒ = −   ∫       = −   ∫     Xem e ln 1 J xdx= ∫ Đặt 1 lnu x du dx x = ⇒ = dv = dx, chọn v = x ( ) e e ln 1 1 1 J x x dx⇒ = − = ∫ Vậy: (e 2)V π = − (đvtt) CÂU IV: Có 6 nam và 8 nươ trong đó có An và B́nh. Lập tổ công tác 6 người. T́m số cách chọn: a) Có cả nam laăn nươ: • Số cách lập tổ công tác không phân biệt nam nươ là: 6 14 C . • Số cách lập tổ công tác toàn nam là: 6 6 C . • Số cách lập tổ công tác toàn nươ là: 6 8 C . Suy ra số cách lập tổ công tác có cả nam laăn nươ là: 6 6 6 ( ) 2974 14 6 8 C C C− + = (cách). b) Có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và B́nh không đồng thời có mặt: Có 3 trường hợp xảy ra: • Trường hợp 1: Trong tổ không có An laăn B́nh. Như vậy còn lại 12 người. Số cách chọn tổ trưởng :12 cách. Số cách chọn tổ viên: 5 11 C . ⇒ Số cách chọn tổ trong đó không có An laăn B́nh là: 5 12. 5544 11 C = (cách). • Trường hợp 2: Trong tổ không có An và không có B́nh. Như vậy có 13 người trong đó có An nhưng không có B́nh. Nếu An là tổ trưởng th́ số cách chọn 5 tổ viên trong 12 người còn lại là: 5 12 C . Nếu An là tổ viên th́ số cách chọn 1 tổ trưởng và 4 tổ viên còn lại trong 12 người còn lại là: 4 12. 11 C . ⇒ Số cách chọn tổ mà trong đó có An và không có B́nh là: 5 4 12 4752 12 11 C C+ = (cách). • Trường hợp 3: Trong tổ có B́nh và không có An: Tương tự trường hợp 2 có 4752 cách. • Tóm lại: Số cách chọn tổ trong đó có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và B́nh không đồng thời có mặt là: 5544 + 4752 + 4752 = 15048 (cách). CÂU IV: a) 1 , d2d chéo nhau. Ta có 1 d đi qua A(0, -2, -6) có VTCP (1,1,2) 1 a = uur 2 d đi qua B(4, 2, 1) có VTCP (1,2,1) 2 a = uur Ta có: , ( 3,1,1) 1 2 , . 1 0 1 2 (4,4,7) a a a a AB AB    = −      ⇒ = − ≠     =  uur uur uur uur uuur uuur Vậy: 1 , d2d chéo nhau. • Phương tŕnh đường thẳng d cắt 1 d cắt 2 d , song song 3 d . Ta có VTCP của 3 d là (2, 1, 1) 3 a = − − uur Gọi α là mặt phẳng chứa 1 d và song song 3 d . , (1,5, 3) 1 2 n a a α   ⇒ = = −   uuur uur uur ⇒ phương tŕnh α : x + 5y - 3z – 8 = 0 Gọi β là mặt phẳng chứa 2 d song song 3 d . , ( 1,3, 5) 2 3 n a a β   ⇒ = = − −   uuur uur uur ⇒ Phương tŕnh β : -x + 3y -5z -8 = 0. Đường thẳng d cần t́m là giao tuyến của α và β . ⇒ Phương tŕnh d là: 5 3 8 0 3 5 3 0 x y z x y z + − − =   − + − + =  (v́ d khác phương 1 2 , dd ) b) • Mặt cầu (S) có tâm I(-1, 1, -1) và R= 2. • Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r= 1. ⇒ d(I,(P))= 2 2 3R r− = • Mặt phẳng (P) chứa 1 d nên phương tŕnh có dạng: m(x – y – 2 ) + n(2x – z – 6 )= 0 ⇔ (m+2n)x-my-nz-2m-6n=0 Ta có: d(I,(p))= 3 2 2 2 2 2 6 3 ( 2 ) 2 2 2 4 7 3 ( 2 ) 2 2 2 2 16 49 56 6 15 12 2 2 10 34 44 0 2 2 5 22 17 0 m n m n m n m n m n m n m n m n m n mn m n mn m n mn m mn n ⇔ − − − + − − = + + + ⇔ − − = + + + ⇔ + + = + + ⇔ + + = ⇔ + + = Cho n= 1, ta có 2 5 22 17 0m mn+ + = 17 1 5 m m⇔ = − ∨ = − Vậy phương tŕnh (P) là: 4 0 7 17 5 4 0 x y z x y z + − − =   − + − =  CÂU Vb) a) Khoảng cách giươa BC và SD. Ta có SO là trục h́nh vuông ABCD và ¼ 60SCB = ⇒ SA = SB = SC = SD = CB = a Và BC// (SAD) nên d(BC, SD) = d(I,(SAD)) Với I là trung điểm CB. Gọi H là trung điểm AD, ta có: ( )BC SHI⊥ . Veơ IJ SH ⊥ ta có ( )IJ SAD⊥ ⇒ d(BC, SD) = IJ • Tam giác SIH có 2 . . 6 2 3 3 . 2 a a SO HI a IJ SH a = = = Vậy d(BC, SD) = 6 3 a . b) ( ) α Cắt h́nh chóp theo thiết diện là h́nh thang BCFE. Do h́nh chóp đều nên BCFE là h́nh thang cân: (EF+BC).IJ E 2 S BCF = Ta có: 3 3 3 ; , 3 6 2 a a a HJ SJ SH= = = Do EF//AD nên: 3 EF 1 6 AD 3 3 2 a SJ SH a = = = 2 a EF⇒ = . Vaäy 6 2 6 2 3 2 4 a a a a S BCEF   +     = = . trưởng, 5 tổ viên, An và B́nh không đồng thời có mặt là: 55 44 + 4 752 + 4 752 = 150 48 (cách). CÂU IV: a) 1 , d2d chéo nhau. Ta có 1 d đi qua A(0, -2, -6) có VTCP. tŕnh ( ) 12 ( ) 26 y x y x x y m − =  ⇔  − = +  ( ) 12 (1 ) (2 6 ) (2 ) 12 y x y m y x − =   ⇔  + =   Thế (2 ) vào (1 ) ta được : 2 (1 4 ) 144 (* )y