Biên soạn: phạm hinh. Chuyên đề hình học Bài tập tổng hợp đờng tròn. Bài tập 1 Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm và AP, BN, CM là ba đờng cao của tam giác ABC. a) Chứng minh rằng các tứ giác AMHN, ANPB nội tiếp.( ? trên hình vẽ có bao nhiêu tứ giác nội tiếp? Xác định tâm các đờng tròn ngoại tiếp các tứ giác đó?) b) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BHC.( ? Chứng tỏ rằng mỗi đỉnh của tam giác ABC là trực tâm của tam giác tạo thành bởi hai đỉnh còn lại và trực tâm của tam giác ABC.) c) Chứng minh NA là phân giác ngoài của góc N thuộc tam giác MPN.( ? Chứng minh rằng các đỉnh của tam giác ABC là tâm đờng tròn bàng tiếp trong các góc tơng ứng của tam giác MPN.) d) Chứng minh rằng PA là tia phân giác của góc MPN.( ? chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPN) e) G là giao điểm của AP và MN. Chứng minh rằng . HG AG HP AP = . f) Gọi D, E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua AC, AB, BC. Chứng minh rằng 6 điểm A, E, B, F, C, D cùng nằm trên một đờng tròn. g) Chứng minh rằng, 2 2 2 . 1 cos cos cos . MNP ABC S A B C S = Bài tập 2 Cho tam giác ABC nhọn, các đờng cao AD, BE, CF. Lấy điểm M bất kỳ thuộc DF, kẻ MN//BC(N thuộc DE). Lấy điểm I trên đờng thẳng DE sao cho ã ã . .MAI BAC= . Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN là cân. b) AMNI là tứ giác nội tiếp. c) MA là phân giác của góc FMI. Bài tập 3 Cho A, B, C cố định thẳng hàng( B nằm giữa AC). Vẽ đờng tròn (O) bất kì qua B, C ( B,C không là đờng kính của đờng tròn (O)). Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của đờng tròn (O) với E, F là các tiếp điểm . Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm của EF. Gọi giao điểm FI với đờng tròn (O) là D. Chứng minh rằng: 1) AE 2 = AB.AC 2) A, E, I, O, F cùng thuộc một đờng tròn. 3) ED//AC. 4) Khi đờng tròn (O) thay đổi, thì đờng tròn ngoại tiếp OIK luôn đi qua một điểm thứ hai khác I. Bài tập 4 - 1 - Biên soạn: phạm hinh. Cho hình thang ABCD ( AD là đáy lớn, BC là đáy nhỏ) nội tiếp trong (O). Các cạnh bên AB, CD cắt nhau tại E. Các tiếp tuyến tại B và D của (O) cắt nhau tại F. 1)Chứng minh tứ giác BEFD nội tiếp đợc một đờng tròn. 2)Chứng minh EF//BC. 3)Khi nào thì tứ giác AEFD là hình bình hành, khi đó chứng minh EC.EK=ED.CK với K là giao điểm của BF và DE. Bài tập 5 Cho ABC đều, đờng cao AH, M bất kỳ trên BC. Kẻ MP AB, MQ AC. Gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: 1) A, P, M, H, Q cùng thuộc một đờng tròn. 2) Có nhận xét gì về tứ giác OPHQ. 3) Tìm M thuộc đoạn BC để PQ có độ dài ngắn nhất. Bài tập 6 Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) có AC > AB. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, P là giao điểm của AB và CD. Tiếp tuyến của đờng tròn tại C cắt tiếp tuyến của đờng tròn tại D và cắt AD lần lợt tại E, Q. Gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: 1) DE//BC. 2) Tứ giác PACQ nội tiếp một đờng tròn. 3) DE//PQ. 4) 1 1 1 CE CQ CF = + Bài tập 7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn (O;R) và E là điểm chính giữa cung AB. Hai dây EC, ED cắt AB theo thứ tự tại P, Q. Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: 1) AE 2 = EQ.ED và các tứ giác CDIK, CDQP nội tiếp đợc đờng tròn. 2) IK//AB. 3) EA, EB lần lợt là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AQD và QBD. Gọi đờng tròn tơng ứng đó là (O 1 ;R 1 ) và (O 2 ;R 2 ). 4) R 1 +R 2 < 2R. Bài tập 8 Cho đờng tròn tâm O và một dây CD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm M, kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (O) <với A, B thuộc (O)>. H là trung điểm của dây CD, đờng thẳng AB cắt OH tại P và cắt OM tại E. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác EHPM nội tiếp một đờng tròn. 2) OH.OP = OE.OM 3) ã CED có số đo không đổi khi M di động trên tia đối của tia DC. Bài tập 9 - 2 - Biên soạn: phạm hinh. Cho điểm C nằm trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB sao cho cung AC lớn hơn cung BC (B C). Đờng vuông góc với đờng kính AB tại O cắt dây AC tại D. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác BCDO nội tiếp một đờng tròn. 2) AD.AC = AO.AB 3) Tiếp tuyến tại C của đờng tròn cắt đờng thẳng qua D song song với AB tại E. Chứng minh rằng AC//OE. 4) Gọi H là chân đờng cao hạ từ C xuống AB. Hãy chỉ ra cách xác định vị trí của C để ACH vuông có HD là đờng cao. Bài tập 10 a ) Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A. Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC. Đờng tròn(A, AH) cắt các cạnh AB và AC tơng ứng ở M và N. Đờng phân giác góc AHB và góc AHC cắt MN lần lợt ở I và K. 1. Chứng minh tứ giác HKNC nội tiếp đợc trong một đờng tròn. 2. Chứng minh: AC HK AB HI = 3. Chứng minh: S ABC 2S AMN . Bài tập 10 b ) Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH. Gọi I, K tơng ứng là tâm các đ- ờng tròn nội tiếp ABH và ACH. 1) Chứng minh ABC đồng dạng HIK. 2) Đờng thẳng IK cắt AB, AC lần lợt tại M, N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác HCNK nội tiếp một đờng tròn. b) AM = AN. c) S S' 2 , trong đó S, S lần lợt là diện tích của ABC và AMN. Bài tập 11 Cho nửa đờng tròn tâm O bán kính R với đờng kính AB. C là điểm chính giữa của cung AB. Điểm M thuộc cung AC sao cho M khác A và khác C. Kẻ tiếp tuyến (d) của (O;R) tại tiếp điểm M. Gọi H là giao điểm của BM và OC. Từ H kẻ một đờng thẳng song song với AB, đờng thẳng đó cắt d tại E. 1)Chứng minh tứ giác OHME là tứ giác nội tiếp. 2)Chứng minh EH = R. 3)Kẻ MK OC tại K, chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp OBC đi qua tâm đờng tròn nội tiếp OMK. Bài số 12 Cho (O;R) và một dây AB cố định. M là một điểm bất kỳ trên cung lớn AB. Dựng đờng tròn tâm O 1 qua M và tiếp xúc với AB tại A. I là trung điểm của dây AB. Tia MI cắt đờng tròn O 1 tại N và đờng tròn (O) tại C. Chứng minh rằng: a) ANBC là hình bình hành. - 3 - Biên soạn: phạm hinh. b) Tam giác INB đồng dạng với tam giác IMB. c) IB là tiếp tuyến của đờng tròn qua ba điểm B, M, N. d) Xác định vị trí của M trên cung lớn AB để hình bình hành ANBC có diện tích lớn nhất. e) Tìm điều kiện của dây AB để A, B, O, N cùng nằm trên một đờng tròn. Bài số 13 Cho hai đờng tròn (O;R) và (O; 2 R ) tiếp xúc trong tại A. Trên đờng tròn O lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là N. Qua N kẻ đờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng MB tại Q và cắt đờng tròn (O) tại P. a) Chứng minh rằng OAM đồng dạng với OAN. b) Chứng minh độ dài NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M. c) ABQP là hình gì? vì sao. d) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó theo R. Bài tập 14 Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O). Từ M thuộc cung BC không chứa A kẻ MK AC, MH AB, MI BC. Chứng minh rằng: a) MBH đồng dạng với MCK. b) H, I, K thẳng hàng. c) .AB AC BC MH MK MI + = Bài tập 15 Cho ABC cân ở A, có góc A nhọn. Đờng vuông góc với AB tại A cắt đờng thẳng BC tại E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai đờng thẳng AM và EN cắt nhau tại F. a) Tìm những tứ giác có thể nội tiếp đợc một đờng tròn. Giải thích vì sao? Hãy xác định tâm của các đờng tròn đó. b) Chứng minh EB là phân giác của góc AEF. c) Chứng minh M là tâm đờng tròn ngoại tiếp AFN. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Nam Định. Bài tập16 a .(1993-1994) Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn (O). Khi kẻ các đờng phân giác của các góc B, góc C, chúng cắt đờng tròn lần lợt tại điểm D và điểm E thì BE=CD. - 4 - Biên soạn: phạm hinh. 1. Chứng minh ABC cân. 2. Chứng minh BCDE là hình thang cân. 3. Biết chu vi của ABC là 16n (n là một số dơng cho trớc), BC bằng 3/8 chu vi ABC. a. Tính diện tích của ABC. b. Tính diện tích tổng ba hình viên phân giới hạn bởi đờng tròn (O) và ABC. Bài tập 16 b . Cho tam giác cân ABC đỉnh A nội tiếp trong một đờng tròn. Các đờng phân giác BD, CE cắt nhau tại H và cắt đờng tròn lần lợt tại I, K. 1. Chứng minh BCIK là hình thang cân. 2. Chứng minh DB.DI=DA.DC. 3. Biết diện tích tam giác ABC là 8cm 2 , đáy BC là 2cm. Tính diện tích của tam giác HBC. 4. Biết góc BAC bằng 45 0 , diện tích tam giác ABC là 6 cm 2 , đáy BC là n(cm). Tính diện tích mỗi hình viên phân ở phía ngoài tam giác ABC. Bài tập 17.( 1995-1996) Cho đờng tròn tâm (O), đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B (BC) và vẽ đờng tròn tâm (O) đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ một dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đờng tròn (O) tại điểm I. a. Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao? b. Chứng minh 3 điểm I, B, E thẳng hàng. c. Chứng minh rằng MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O) và MI 2 =MB.MC. Bài tập 18.( 1996-1997) Cho đờng tròn tâm B bán kính R và đờng tròn tâm C bán kính R cắt nhau tại A và D. Kẻ các đờng kính ABE và ACF. a.Tính các góc ADE và ADF. Từ đó chứng minh 3 điểm E, D, F thẳng hàng. b.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC và N là giao điểm của các đờng thẳng AM và EF. Chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành. c.Trên các nửa đờng tròn đờng kính ABE và ACF không chứa điểm D ta lần lợt lấy các điểm I và K sao cho góc ABI bằng góc ACK (điểm I không thuộc đờng thẳng NB; K không thuộc đờng thẳng NC) Chứng minh tam giác BNI bằng tam giác CKN và tam giác NIK là tam giác cân. d.Giả sử rằng R<R. 1. Chứng minh AI < AK. 2. Chứng minh MI < MK. Bài tập 19.( 1997-1998) - 5 - Biên soạn: phạm hinh. Cho ABC có 3 góc nhọn. Các đờng cao AA, BB, CC cắt nhau tại H; M là trung điểm của cạnh BC. 1. Chứng minh tứ giác ABHC nội tiếp đợc trong đờng tròn. 2. P là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh rằng: a. Tứ giác BHCP là hình bình hành. b. P thuộc đờng tròn ngoại tiếp ABC. 3. Chứng minh: AB.AC = AA.AH. 4. Chứng minh: 8 1''' HC HC HB HB HA HA Bài tập 20.( 1999-2000) Cho ABC vuông ở đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh A và đỉnh B. Đờng tròn đờng kính BD cắt cạnh BC tại E. Đờng thẳng AE cắt đờng tròn đờng kính BD tại điểm thứ hai là G. đờng thẳng CD cắt đờng tròn đờng kính BD tại điểm thứ hai là F. Gọi S là giao điểm của các đờng thẳng AC và BF. Chứng minh: 1. Đờng thẳng AC// FG. 2. SA.SC=SB.SF 3. Tia ES là phân giác của AEF . Bài tập 21.( 2000-2001) Cho PBC nhọn. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC. Đờng tròn đờng khinh BC cắt cạnh PB và PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính BC tại điểm thứ 2 là E. 1. Chứng minh 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn ấy? 2. Chứng minh EM vuông góc với BC. 3. Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng: AM.AF=AN.AE Bài tập 22.( 2001-2002) Cho ABC vuông ở đỉnh A. Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với các điểm A và C). Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MC. GọiT là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn (O). Nối BM và kéo dài cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là S. Chứng minh: 1. Tứ giác ABTM nội tiếp đợc trong đờng tròn. 2. Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi. 3. Đờng thẳng AB//ST. Bài tập 23.(2002-2003) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD và AB>CD) nội tiếp trong đờng tròn (O).Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của các đờng chéo AC và BD. 1. Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp đợc trong một đờng tròn. 2. Chứng minh EI//AB. - 6 - Biên soạn: phạm hinh. 3. Đờng thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S. Chứng minh rằng: a. I là trung điểm của đoạn RS. b. RSCDAB 211 =+ Bài tập 24.( 2003-2004) Cho đờng tròn (O) có tâm là điểm O và một điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đờng tròn (O), P và Q là các tiếp điểm. Đờng thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đờng thẳng AQ tại M. 1. Chứng minh rằng MO=MA. 2. Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đờng tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ tơng ứng tại B và C. a. Chứng minh rằng AB+AC-BC không phụ thuộc vị trí điểm N. b.Chứng minh rằng nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng tròn thì PQ//BC. Bài tập 25. (2004-2005) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm phân biệt, chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A. Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh: 1. BM.BN không đổi. 2. Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc trong đờng tròn. 3. Bất đẳng thức: BN+ BP + BM+ BQ > 8R. Bài tập 26.( 2005-2006) Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn tâm O, bán kính R( 0 <BC< 2R). A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ABC nhọn. Các đờng cao AD, BE, CF của ABC cắt nhau tại H(D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB). 1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp trong một đờng tròn. Từ đó suy ra AE.AC=AF.AB. 2. Gọi A là trung điểm của BC. Chứng minh AH=2AO. 3. Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích của ABC, 2p là chu vi của DEF. a. Chứng minh: d//EF. b. Chứng minh: S=pR. Bài tập 27.( 2006-2007) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O).Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N, B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh: 1. Tứ giác IECB nội tiếp. 2. AM 2 =AE.AC 3. AE.AC-AI.IB=AI 2 - 7 - Biên soạn: phạm hinh. Bài tập 28.( 2007-2008) Cho đờng tròn (O;R) có đờng kính AB. Điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I, đờng thẳng này cắt đờng tròn (O;R) tại M và N. Gọi S là giao điểm của hai đờng thẳng BM và AN. Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt tại K và H. Hãy chứng minh: 1. Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK =HA.HM. 2. KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R). 3. Ba điểm H, N, B thẳng hàng. - 8 - . đờng tròn (O) là D. Chứng minh rằng: 1) AE 2 = AB.AC 2) A, E, I, O, F cùng thuộc một đờng tròn. 3) ED//AC. 4) Khi đờng tròn (O) thay đổi, thì đờng tròn. B nằm giữa AC). Vẽ đờng tròn (O) bất kì qua B, C ( B,C không là đờng kính của đờng tròn (O)). Kẻ các tiếp tuyến AE, AF của đờng tròn (O) với E, F là các