UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: TỐN – Lớp Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (1,5 điểm): a) Cho A = 31 + 32 + 33 + + 32015 Tìm n biết rằng: 2A + = 3n b) Cho S1 = 1; S2 = + 3; S3 = + + 6; Hãy tính S100 Bài (1,5 điểm): 3a  4b 3c  4d a c  Chứng minh rằng:  5a  6b 5c  6d b d a1 a2 a3 a     b) Cho dãy tỷ số nhau: a2 a3 a4 a10 a) Cho tỷ lệ thức �a  a   a9 � a1 Chứng minh rằng: � � �a2  a3   a10 � a10 Bài (2,0 điểm): Tìm x biết: a) 3x  3x 1  3x   3x 3  3240 2 b) x  3x   x  x  Bài (2,0 điểm): x  15 Cho A = x 3 a) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên b) Tìm giá trị lớn A x thay đổi Bài (3,0 điểm): Tam giác ABC vng cân A có AD trung tuyến Trên đoạn thẳng DC lấy điểm H Hạ BE CF vng góc với đường thẳng AH (E, F thuộc đường thẳng AH) a) Chứng minh BE = AF b) Gọi G giao điểm AD BE Chứng minh GH song song với AC c) Chứng minh tam giác DEF vuông cân D d) Chứng minh HE > HD KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: TỐN – Lớp UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1(1,5 điểm): 2A + = 3A – A + = 32 + 33 + + 32016 – (31 + 32 + 33 + + 32015) + = 32016 32016 = 3n  n = 2016 S1 + S2 + S3 + + S99 = + + + + n n = + + + + 99 = 99(99+1):2 = 4950 S100 = (4950 + 1) + (4950 + 2) + + (4950 + 100) = 4950.100 + (1 + + + + 100) = 495000 + 5050 = 500050 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2(1,5 điểm):  3a  4b   5c  6d    3c  4d   5a  6b  15ac  18ad  20bc  24bd  15ac  18bc  20ad  24bd 38bc  38ad a c ad = bc   b d a1 a1  a2   a9   (Tính chất dãy tỷ số nhau) a2 a2  a3   a10 0,25 0,25 0,25 0,25 �a � �a  a   a9 �  � � � � �a2 � �a2  a3   a10 � 0,25 �a � a a a a Có: � �   đpcm �a2 � a2 a3 a10 a10 0,25 Bài 3(2,0 điểm): 3x  3.3x  9.3x  27.3x  3240 x (1 + 3+ + 27) = 3240 3x = 3240: 40 = 81 3x = 34 x = 2 Vì x  3x  ≥0 nên được: x  3x   x  x  3x   x  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3x   x  � x = x  �0 � 0,25 3 x   x  � x = -1 3x   � 0,25 Giải: � Giải: � Bài 4(2,0 điểm): x   12 12   x2  x2  12 Để A nguyên nguyên  x2 + ước 12 x 3 A= (*) x2 + ≥ nên x2 + { 3; 4; 6; 12} x  Z x = 0; x = ±1; x = ±3 Từ (*) A lớn 12 lớn x 3 12 lớn x2 + nhỏ x 3 x2 ≥ nên x2 nhỏ x = Vậy A đạt giá trị nhỏ + 12:3 = x = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5(3,0 điểm): Hai tam giác vuông EBA FAC vì: - AB = AC (ABC cân A) � = FAC � � - EBA (Cùng phụ với BAE )  BE = AF Tam giác ABH có AD, CE đường cao  HG đường cao thứ ba  HG AB  HG song song với AC � = DCF � � � Chứng tỏ được: DAE (cùng phụ với cặp góc: FHC AHD ) Từ ABC vuông cân chứng minh AD = CD Từ a) có AE = CF  DAE = DCF (*)  DE = DF  DEF cân D � = CDF � Từ (*) có ADE � �  EDF  � ADC � EDF  900 Vậy DEF vuông cân D � Từ c) DEH  450 � � EHD  900 � EDH  450 � � � HE  HD (Quan hệ cạnh đối diện) � EDH  DEH 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ...KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 201 4-2 015 Mơn: TỐN – Lớp UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1(1,5 điểm): 2A + = 3A – A + = 32 + 33 + +... 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5(3,0 điểm): Hai tam giác vuông EBA FAC vì: - AB = AC (ABC cân A) � = FAC � � - EBA (Cùng phụ với BAE )  BE = AF Tam giác ABH có AD, CE đường cao  HG đường... x  3x   x  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3x   x  � x = x  �0 � 0,25 3 x   x  � x = -1 3x   � 0,25 Giải: � Giải: � Bài 4(2,0 điểm): x   12 12   x2  x2  12 Để A nguyên nguyên