ung dung phuong phap toa do vecto toa do diem vao giai bat dang thuc phuong trinh bat phuong trinh he phuong trinh

9 152 0
ung dung phuong phap toa do vecto toa do diem vao giai bat dang thuc phuong trinh bat phuong trinh he phuong trinh

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề 1: Dạng toán chứng minh bất đẳng thức BÀI 1: Chứng minh rằng: a  2a   a  2a   (1) Cách giải: (1)  (a  1)2  22  (a  1)2  22      Đặt a  (1  a; 2), b  (a  1; 2)  a  b  (2; 4)     Ta có: (a  1)2  22  (a  1)2  22  a  b  a  b  (đpcm)   Dấu xảy khi: a; b hướng 1-a = a+1  a = BÀI 2: Chứng minh rằng: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x , x, y, z  R (1) Cách giải: Ta có  2 x   z     2 x  xy  y   y     x  ; y  yz  z   y     z          2        xz  Xét a   y  ; x  , b     y   ; z   a  b   ; ( x  z )  2  2       x z   ( x  z ) 3( x  z )  ab    z  zx  x 4     Do a  b  a  b nên x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x , x, y, z  R (đpcm)   Dấu xảy khi: a; b hướng x  z  x  z      x  z  a  b  ab  x   x 2 y  x      2y  x    xy  yz  zx  2y  z 2y  z  z GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x  z    x  kz , y   k z , k  1 1 k  BÀI 3: Cho a, b, c > ab + bc + ca = abc Chứng minh a  2b b  2c c  2a    ab bc ca Cách giải:  1 Chọn u   ; b            1 2 2    ; v   ;  ; w   ;   u  v  w     ;  a  b c  c b  a c  a b c a Ta có 2 2 2       1   1   1  2 1 1 u  v  w  u  v  w                         b   a   c   b   a   c  a b c  a  2b b  2c c  2a    (đpcm) ab bc ca Dấu xảy khi: a = b = c = BÀI 4: Chứng minh x   y   z   3, x, y, z   , x  y  z  Cách giải:   Xét hai vectơ: u  1;1;1 v   x  2; y  2; z     Ta có u  3, v  5( x  y  z )    u.v  x   y   z     Áp dụng bất đẳng thức u.v  u v ta có x   y   z   3, x, y, z     Dấu xảy khi: u  1;1;1 , v   x  2; y  2; z   hướng  5y  5x  5z    x yz2 1 BÀI 5: Chứng minh s inx   s in x + s inx  s in x  3, x GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cách giải:      Xét hai vectơ: u  sin x;1;  sin x v  1;  sin x ;sin x     Áp dụng bất đẳng thức u.v  u v ta có  s inx   s in x + s inx  s in x  sin x    sin x    sin x  sin x  3, x      Dấu xảy khi: u  sin x;1;  sin x v  1;  sin x ;sin x  hướng  sin x  sin x  sin x     sin x   sin x    x   k sin x 2  sin x sin x  2 BÀI 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  ( x  1)  y   x  ( y  1)  1, x, y Cách giải:     Xét hai vectơ: u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1)  u  v  (1; 1;3)     Do a  b  a  b ta có: A  ( x  1)2  y   x  ( y  1)2   11   Dấu xảy khi: u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1) hướng Tức là: x 1 y 2    x ,y x  y 1 3 Vậy A đạt giá trị nhỏ 11 x   , y   BÀI 7: Chứng minh ( x  1)  ( y  1)  ( z  1)  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1)  2, x, y, z Cách giải: Trong không gian Oxyz, lấy điểm A(1;1;-1), B(-1;1;1),M(x;y;z) Khi AB  2 MA  ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 , MB  ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Từ bất dẳng thức MA  MB  AB , ta suy ( x  1)  ( y  1)  ( z  1)  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1)  2, x, y, z   Dấu xảy khi: M nằm AB  AM  t AB, t   0;1  x   2t   y 1 t   0;1  z  1  2t  Vấn đề 2: Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình BÀI 1: Giải phương trình (4  x) x    x  85  57 x  13x  x3 (1) Cách giải: Ta có: (1)  (4  x) x    x  (5  x)( x  x  17)  7  (4  x) x    x  (5  x)   x   1 , x   2;     2    Xét a    x;1 , b   x  2;  x   a.b  (4  x) x    x   Và a  (4  x)2  1, b  ( x  2)  (7  x)   x      Khi (1)  a.b  a b  cos  a, b    4 x  x2  2x  (4  x) (7  x)  x   x  Vậy phương trình có nghiệm x = BÀI 2: (A – 2014) Giải Hệ Phương trình  x 12  y  y (12  x )  12 (1)  (2)  x  x   y  Cách giải: Điều kiện:  y  12, x      Xét a  x; (12  x ) , b   12  y ; y  phương trình (1) có dạng GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí      a.b  a b  a, b hướng nên (1)  x y  (12  x ) 12  y  y  12  x , x  thay vào phương trình (2) Ta có: x3  x   10  x  x3  x   2( 10  x  1)  ( x  3)( x  x  1)  2(9  x ) 10  x   2( x  3)   ( x  3)  x  x   0 10  x    x    x  x   2( x  3)  0(VN )  10  x  x= suy y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3)  x4  y  z  BÀI 3: Giải hệ phương trình:  2  x  y  z  Cách giải: Gọi ( x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm tùy ý hệ có Xét hai vectơ sau khơng gian:   u  ( x0 ; y0 ; z0 ), v  (1;1; 2)    u  x0  y0  z0  1, v  , ta có u.v  x0  y0  z0     u.v  vô lý Mặt khác: cos(u, v)     u.v Vậy hệ cho vô nghiệm GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  x2  y   y( x  z)  BÀI 4: Giải hệ phương trình:  x  x  y  2 yz 3 x  y  xy  yz  x  z   Cách giải: Hệ phương trình cho viết lại:  x( x  y )  y ( y  z )  (1)  (2)  x( x  1)  y (2 z  1)  4( x  y )  4( y  z )  ( x  1)  (2 z  1) (3)  Xét véctơ trục    u  ( x; y ), v  ( x  y; y  z ), w  ( x  1; z  1) u.v     Khi hệ viết lại: u.w       4 v  w  w  v (4) (5) (6) Chỉ có hai khả xảy ra:     Khả 1: Nếu u  ta có x = y = u   z    Ta có nghiệm  0;0;    2  Khả 2: u  x 1  2 z      TH1: w  v    vô lý x  y   y  z       TH2: Nếu v, w khác , (4) (5) v, w hai vectơ cộng tuyến, (6) ta có     w  2v w  2v x    x 1  2x  y  + Nếu w  2v    thay vào (1) ta có z   2 z   y  z  y  GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 1  x  y    x    x  y   + Nếu w  2v    2 z   2 y  z  z  3x  Thay vào (1) ta có: x  (1  x)  x x   5x2  5x   4 Phương trình vơ nghiệm 1 Vậy hệ cho có hai nghiệm:  0;0;   ,  0; ;    2  2 x  y  z  BÀI 5: Giải hệ phương trình:  x  y  z   x3  y  z   Cách giải:   Xét hai vectơ u  ( x0 ; y0 ; z0 ); v  ( x0 ; y0 ; z0 ) ( x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm hệ  Ta có u.v  x03  y03  z03  (1)  Lại có u  x0  y0  z0   v  x0  y0  z0  x  y0  z0    x0 y0  y0 z0  z0 x0     x0 y0  y0 z0  z0 x0     Vậy u v  (2)  x0 y0   Dấu (2) xảy  x0 y0  y0 z0  z0 x0    y0 z0   2  z0 x0     Vì u.v  u v   Nên từ (1) (2) suy điều kiện cần là: u v  GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  x0 y0  y z  Nên ta có  0  z0 x0   x0  y0  z0  suy phải có ba số x0 ; y0 ; z0 có hai số 0, số Thử vào hệ thỏa mãn Vậy hệ cho có ba nghiệm sau (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1) BÀI 6: Giải phương trình: x  x   x  x  10  29 (1) Cách giải: Tập xác định D = R (1)  ( x  1)  22  ( x  1)  32  29   Đặt u  ( x  1; 2)  u  ( x  1)2  22   v  ( x  1;3)  v  ( x  1)  32     Suy u  v  (2;5)  u  v  29       Như (1)  u  v  u  v  u, v hướng  3( x  1)  2( x  1)   x  5 Vậy phương trình có nghiệm x  BÀI 7: Giải bất phương trình: 2( x  3)2  x   x   x  (1) Cách giải: Điều kiện: x  (1)  ( x  3)  ( x  1)  x   x      Đặt u  ( x  3; x  1)  u  ( x  3)2  ( x  1)2 , v  (1;1)  v     Suy u.v  x   x  u v  ( x  3)2  ( x  1)2 GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí        u v  ( x  3)  ( x  1) (1)  u v  u.v  u , v hướng  x   x 1  x  Vấn đề 3: Bài toán cực trị BÀI 1: Cho hai điểm A(1;1;0), B(3;-1;4) đường thẳng (d): x 1 y 1 z    1 Tìm điểm M đường thẳng (d) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Cách giải: Do điểm M đường thẳng (d), ta có: M(-1+t; 1-t; -2+2t) Khi đó: MA  (2  t )2  t  (2  2t )2  6t  12t  MB  (4  t )  (t  2)  (6  2t )  6t  36t  56 Khi 2       MA  MB  6t  12t   6t  36t  56   (t  1)    (3  t )      3 3            Xét hai vectơ u   t  1;  , v    t ;  3 3           Ta có MA  MB  u  v  u  v    Dấu xảy khi u   t  1;        , v    t;  hướng 3 3  t 1   t   M (1; 1; 2) 3t Vậy điểm M cần tìm là: M (1; 1; 2) GV: Trần Minh Cường Page ...VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x  z    x  kz , y   k z , k  1 1... yz2 1 BÀI 5: Chứng minh s inx   s in x + s inx  s in x  3, x GV: Trần Minh Cường Page VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cách giải:      Xét hai vectơ: u  sin... giải:     Xét hai vectơ: u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1)  u  v  (1; 1;3)     Do a  b  a  b ta có: A  ( x  1)2  y   x  ( y  1)2   11   Dấu xảy khi: u  ( x  1;

Ngày đăng: 30/11/2017, 13:28

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan