Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ câu hỏi ôn thi đầu vào cao học ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán ở trường Đại học Cần Thơ.Bộ câu hỏi và đáp án này đã được biên soạn dựa trên các ôn thi qua các năm do Thầy Nguyễn Phú Lộc ôn tập. Có thể sẽ rất hữu ích cho các bạn không có điều kiện đi ôn tại trường Cần Thơ, các bạn có thể ôn theo bộ câu hỏi này và nên sưu tầm thêm phần mới cập nhật năm nay.Trong bộ câu hỏi hầu hết đã có câu trả lời, các bạn có thể bổ sung nhiều ví dụ hơn cho phong phú bài làm của mình, hoặc giữ nguyên ví dụ đã có cũng được. Tuỳ theo kinh nghiệm giảng dạy của mỗi bạn sẽ có những lí luận và ví dụ khác nhau, khi đó điểm sẽ được cao hơn.Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn chỉnh bộ tâm huyết này, nhưng chắc cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Mong các bạn góp ý và ủng hộ tinh thần để mình và cộng sự sẽ cho ra những sản phẩm tốt nhất phục vụ quá trình ôn thi và theo học 2 năm cao học của các bạn.Chúc các bạn sẽ thi đậu và tiếp tục ủng hộ các sản phẩm khác của mình nhé
Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu Theo R Marzano, dạy học khái niệm, định lý tiến hành nào? Áp dụng vào dạy học định nghĩa vectơ pháp tuyến hình học 10? Trả lời Theo R Marzano, dạy học khái niệm, định lý tiến hành qua ba bước: Xây dựng ý nghĩa cho kiến thức Tổ chức kiến thức Lưu giữ tri thức a) Bước 1: Xây dựng ý nghĩa cho kiến thức: dùng biết để giải thích cho học Học tập kiến thức thông báo tạo mối liên hệ kiến thức (cái học) kiến thức cũ (cái biết) Người ta có nhiều cách để xây dựng ý nghĩa cho kiến thức thông báo Ta cần ý đến hai cách sau đây: o Phương pháp K – W – L (K-W-L strategy Donna Ogle 1980) Bước (Known): Hỏi HS biết có liên quan đến chủ đề học (nhằm gợi lại kiến thức cũ làm sở cho điều học) Bước (Want): Yêu cầu HS liệt kê muốn biết chủ đề (làm dự đoán nội dung mới) Sau GV thu hẹp đề tài nghiên cứu (nếu cần) Bước (Learn): Hỏi HS xem em vừa học điều (vừa củng cố lại kiến thức vừa xác hóa lại kiến thức em hiểu sai) o Phương pháp đưa ví dụ phản ví dụ Bước 1: GV đưa ví dụ (thuộc ngoại diên khái niệm muốn hình thành cho HS) phản ví dụ (ví dụ đối tượng không thuộc ngoại diên khái niệm muốn hình thành cho HS) để HS thử thử xác định thuộc tính đặc trưng cho khái niệm xây dựng, HS nghĩ “mẫu” (mơ hình) mà chứa đựng thuộc tính đặc trưng xác lập, dùng ví dụ, phản ví dụ để thử kiểm tra xem có hợp với mẫu khơng Bước 2: Sau loạt ví dụ phản ví dụ HS đưa ra, GV cho HS thời gian suy ngẫm “mẫu” mà họ tạo Bước 3: Một loạt ví dụ phản ví dụ đưa tiếp để HS kiểm tra lại “mẫu” mà họ thử lập ý nghĩa cần thiết Sau HS trao đổi “mẫu” với Bước 4: GV u cầu HS tự tìm ví dụ phản ví dụ để kiểm tra lại lần cuối Bước 5: Mẫu (khái niệm) đặt tên HS xây dựng định nghĩa Bước 6: Cuối HS giải thích lý mà họ đưa q trình xây dựng khái niệm b) Bước 2: Tổ chức kiến thức thơng báo: trình bày kiến thức theo chủ quan người học quan trọng, khơng quan trọng thể sơ đồ, ký hiệu,…của thơng tin Khi tổ chức kiến thức thông báo cần ý đến yếu tố tổng qt thơng tin Ví dụ: Thay “Hai tam giác ABC A’B’C’ AB = A’B’, BC = B’C’ CA = C’A’, ta nên đọc lại: “Hai tam giác chúng có ba cạnh đôi một” c) Bước 3: Lưu giữ kiến thức thông báo: nhiều cách Kết hợp nói, đọc, viết nhiều lần thơng tin Liên kết với thức biết, xác định rõ kiến thức cốt lõi, kiến thức suy từ kiến thức khác, kiến thức nên sử dụng bảng tra cứu (không cần ghi nhớ) Trang Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Áp dụng: Dạy học phần: “Định nghĩa véc tơ pháp tuyến đường thẳng” hình học 10 a) Bước 1: Xây dựng kiến thức o Phương pháp K – W – L GV hỏi câu hỏi sau: Các em nêu biết vectơ phương đường thẳng? HS phát biểu định nghĩa vectơ phương đường thẳng tính chất GV hỏi tiếp vectơ vng góc với vectơ phương có tên gì? GV mời HS phát biểu định nghĩa vectơ pháp tuyến đường thẳng Các em liệt kê hay nêu điều mà em muốn biết vectơ pháp tuyến học hôm nay? Sau nghiên cứu xong phần vectơ pháp tuyến, GV hỏi: “Các em vừa học vectơ pháp tuyến?” o Phương pháp ví dụ phản ví dụ Bước 1: GV vẽ hình gồm có đường thẳng có vectơ phương 𝑢 ⃗ vectơ khác có vectơ vng góc với vectơ phương 𝑢 ⃗ HS dựa vào hình vẽ tự tìm tính chất vectơ khác vectơ phương 𝑢 ⃗ Từ HS tự đưa ví dụ phản ví dụ cách vẽ thêm vectơ Nếu HS cho vectơ pháp tuyến GV lấy làm ví dụ, ngược lại phản ví dụ e d a Δ f c b Bước 2: HS suy ngẫm: Đó vectơ vng góc với vectơ phương 𝑢 ⃗ Bước 3: GV gợi ý Câu hỏi: Góc với VTCP 𝑢 ⃗ bao nhiêu? Phải khác vectơ ⃗0 GV vẽ thêm số vectơ để làm ví dụ phản ví dụ e d a Δ f c b g h Trang Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Bước 4: GV yêu cầu HS cho ví dụ phản ví dụ lần cuối Bước 5: HS mơ tả, phát biểu định nghĩa khái niệm đặt tên Mô tả: Khác vectơ khơng vng góc với… Định nghĩa: Vectơ pháp tuyến là… Bước : HS giải thích lý đưa định nghĩa b) Bước 2: Tổ chức kiến thức: Có thể hướng dẫn HS lập sơ đồ sau đây: Định nghĩa n≠0 n ≠ u , với u VTCP Δ n VTPT đường thẳng Δ Tính chất k n VTPT Δ (k ≠ 0) Δ có vơ số VTPT Đường thẳng xác định biết điểm VTPT c) Bước 3: Lưu giữ kiến thức: Học thuộc định nghĩa, nhớ mối quan hệ vng góc với vectơ phương Câu Theo R Marzano, dạy học kiến thức quy trình tiến hành nào? Áp dụng vào 𝒇(𝒙) 𝒉(𝒙) dạy học giải bất phương trình 𝒈(𝒙) > 𝒌(𝒙) Trả lời Dạy học kiến thức quy trình Dạy học kiến thức quy trình (tri thức phương pháp) bao gồm: Xây dựng mơ hình, điều chỉnh mơ hình, nhâp tâm kiến thức qui trình (thành kĩ xảo) a) Xây dựng mơ hình Trong dạy học tốn, có hai kĩ thuật sau thường dùng để xây dựng mơ hình: Dùng lời: GV dùng lời để mơ tả mơ hình Ví dụ: “Hãy xem, bước tơi làm sau, bước làm sau,…” Khi GV suy nghĩ đọc thuật giải, cách giải, hướng giải HS nắm qui trình thực Dùng sơ đồ (a flow chart) mang tính chất cấu trúc hơn, phương pháp trực quan Ví dụ: Sơ đồ cho việc đọc tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số Đọc tọa độ điểm cực trị Tìm điểm cực trị Đọc hoành độ Đọc tung độ Kết luận Trang Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn b) Điều chỉnh mơ hình Sau HS hình dung sơ mơ hình cho kiến thức qui trình, GV cần làm cho HS nắm sâu cách phân tích cho ví dụ dẫn dắt HS kiểm chứng lại mơ hình, phát lỗi lầm giúp em khắc phục khó khăn Ở giai đoạn này, ta khơng buộc HS làm nhanh hay chậm, mà chủ yếu trải qua tình khác nhau, sau áp dụng mơ hình c) Nhập tâm kiến thức qui trình Để nhập tâm kiến thức qui trình, HS giải luyện tập đến vận dụng cách thành thạo Đối với thuật giải (al-go-rit) đạt đén trình độ tự động hóa Đối khác có nắm hồn hảo phải có suy nghĩa thực tốt Khi nhập tâm ta khơng ý đến nữa, học thêm tri thức thực tốt 𝒇(𝒙) 𝒉(𝒙) Áp dụng vào dạy học giải bất phương trình 𝒈(𝒙) > 𝒌(𝒙) (𝟏) a) Xây dựng mơ hình o Dùng lời Đưa vế Quy đồ mẫu số + Phân tích tử mẫu thành thừa số Lập bảng xét dấu Kết luận nghiệm o Sơ đồ Đưa vế Quy đồng mẫu số Phân tích tử số thừa số Phân tích mẫu số thừa số Lập bảng xét dấu Kết luận b) Điều chỉnh mơ hình Cho ví dụ áp dụng Phân tích lỗi sau đây: (1) ⇔ 𝑓(𝑥) 𝑘(𝑥) > ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) > ℎ(𝑥) c) Nhập tâm: Cho nhiều tập áp dụng Trang Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu Cho biết bước phân tích lỗi Hãy phân tích lỗi của học sinh giải toán sau: “𝒙𝟐 > 𝟏 ⇔ 𝒙 > ±𝟏” Trả lời Các bước phân tích lỗi: Xác định lỗi trình lập luận Nguyên nhân dẫn đến lỗi Hướng khắc phục ngăn ngừa lỗi Hãy phân tích lỗi của học sinh giải toán sau: “𝐱 𝟐 > 𝟏 ⇔ 𝐱 > ±𝟏” o Xác định lỗi trình lập luận o 𝑥 < −1 𝑥2 > ⇔ [ 𝑥>1 o 𝑥 > ⇔ |𝑥| > -1 o Nguyên nhân dẫn đến lỗi Học sinh quen với việc giải phương trình x = ⇔ x = ±1 áp dụng máy móc qua giải BPT Học sinh chưa hiểu cách giải BPT bậc có dạng 𝑎x + bx + c > Trong trường hợp x > ⇔ x − > o Hướng khắc phục ngăn ngừa lỗi o Nhấn mạnh cho học sinh biết |𝑥| > ≠ |𝑥| = o 𝑥 − > phải xác định dấu tam thức bậc kết luận tập nghiệm Câu Hãy nêu vai trò phép phân tích hình thành khái niệm tốn học cho HS Cho ví dụ minh họa Trả lời Vai trò phép phân tích hình thành khái niệm Nhận biết thuộc tính thành phần cần thiết việc hình thành khái niệm Chẳng hạn mơn giải tích khái niệm trường định nghĩa có độ phức tạp nội cao; để hiểu thấu đáo khái nhiệm môn học cần phải tiến hành phân tích định nghĩa để rút thuộc tính chất khái niệm Khi phân tích định nghĩa khái niệm mơn giải tích cần phải: Chỉ thuộc tính chất khái niệm; Chỉ đặc điểm tập xác đinh, tập giá trị, ý nghĩa hình học (đặc điểm đồ thị) khái niệm, ý nghĩa vật lý (nếu có)… Từ ý nghĩa khác khái niệm khả vận dụng khái niệm Nhờ GV xây dựng hệ thống ví dụ, phản ví dụ tập để củng cố, luyện tập vận dụng khái niệm tìm khả vận dụng khái niệm Ví dụ minh họa: Phân tích khái niệm giới hạn hàm số SGK Đại số giải tích 11 [20,tr.117-118] định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số sau: Trang Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn “Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định khoảng K, trừ điểm 𝑎 ∈ 𝐾 Ta nói hàm số 𝑓(𝑥) có giới hạn L (hay dần tới L), x dần tới a, dãy số (𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 ∈ 𝐾, 𝑥𝑛 ≠ 𝑎, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) cho lim 𝑥𝑛 = 𝑎 lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿” Ta tóm tắt định nghĩa sau: 𝑑𝑒𝑓 lim 𝑓(x) = 𝐿 ⇔ ∀(𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 ∈ 𝐾, 𝑥𝑛 ≠ 𝑎, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ), lim 𝑥𝑛 = 𝑎 ⇒ lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 𝑥→𝑎 Do khái niệm giới hạn hàm số xây dựng theo quan điểm tĩnh; tức hàm số 𝑓(𝑥) có giới hạn L x dần tới a đối tượng có tính chất: ∀(𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 ∈ 𝐾, 𝑥𝑛 ≠ 𝑎, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) cho lim 𝑥𝑛 = 𝑎 lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 Để xem xét hàm số 𝑓(𝑥) có giới hạn L x dần tới a hay khơng ta phải qua q trình: Bước 1: 𝐶ℎ𝑜 (𝑥𝑛 ) 𝑙à 𝑑ã𝑦 𝑏ấ𝑡 𝑘ỳ 𝑣ớ𝑖 (𝑥𝑛 ∈ 𝐾, 𝑥𝑛 ≠ 𝑎, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) có lim 𝑥𝑛 = 𝑎 Bước 2: Lập dãy số 𝑓(𝑥𝑛 ) xét lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 Bước 3: Nếu lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 kết luận lim f x n L xa Nếu dãy 𝑓(𝑥𝑛 ) khơng có giới hạn ta kết luận 𝑓(𝑥) khơng có giới hạn L x dần tới a Qua phân tích ta thấy khái niệm gới hạn hàm số định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn dãy khái niệm khó hiểu người bắt đầu học Nó khắc phục khó khăn nhân thức khái niệm định nghĩa ngơn ngữ "𝜀, 𝛿"tạo Trong hình thành khái niệm giới hạn hàm số, sách giáo khoa thường theo đường qui nạp Từ hay vài ví dụ hàm số có giới hạn, sử dụng khái quát hóa để đến định nghĩa khái niệm Tuy nhiên, theo chúng tơi, dùng ví dụ phản ví dụ để hình thành khái niệm giới hạn hàm số sau: Đầu tiết GV cho hai tập sau để kiểm tra cũ: Bài 1: Cho hàm số 𝑓(𝑥) = lim 𝑥𝑛 = 𝑥 −1 𝑥−1 Gọi (𝑥𝑛 ) dãy cho 𝑥𝑛 ≠ với ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ Chứng minh dãy số 𝑓(𝑥𝑛 ) có giới hạn Bài 2: Cho hàm số 𝑛ế𝑢 𝑥 < 𝑓(𝑥) = { 𝑥 𝑥 + 𝑛ế𝑢 𝑥 > 𝑛 a Cho dãy số (𝑥𝑛 ) với 𝑥𝑛 = 𝑛2 +1 Tính lim 𝑥𝑛 lim 𝑓(𝑥𝑛 ) b Cho dãy số (𝑥𝑛 ) với 𝑥𝑛 = 1−2𝑛 𝑛2 Tính lim 𝑥𝑛 lim 𝑓(𝑥𝑛 ) Sao chỉnh sửa sai sót HS, GV khác biệt: Đối với 1: hàm số 𝑓(𝑥) có tính chất ∀(𝑥𝑛 ) ( 𝑥𝑛 ≠ 1, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ), lim 𝑥𝑛 = ⇒ lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = Vì có tính chất nên người ta nói 𝑓(𝑥) có giới hạn x dần tới Đối với Bài 2: 𝑛 Nếu 𝑥𝑛 = 𝑛2 +1 (𝑥𝑛 ≠ 0) lim 𝑥𝑛 = lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = Nếu 𝑥𝑛 = 1−2𝑛 𝑛2 (𝑥𝑛 ≠ 0) lim 𝑥𝑛 = lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = Do đó, 𝑓(𝑥) khơng có tính chất ∀(𝑥𝑛 ) ( 𝑥𝑛 ≠ 0, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) lim 𝑥𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛 ) có giới hạn Trong trường hợp này, người ta nói hàm số 𝑓(𝑥) khơng có giới hạn x dần tới GV cần khác biệt đồ thị hàm số Cuối cùng, GV khái quát hóa phát biểu định nghĩa giới hạn hàm số Trang Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn GV nêu thêm cho HS số phát biểu gần có tính trực giác là: lim f xn L xa giá trị hàm số 𝑓(𝑥) dần tới L x dần tới a Ngoài ra, GV cần rõ cho HS điều sau Tập xác định: Hàm số có giới hạn L x dần tới a khơng thiết phải xác định 𝑥 = 𝑎 Tập giá trị: 𝑓(𝑎) khơng xác định Nếu 𝑓(𝑎) xác định 𝑳 = 𝒇(𝒂) 𝑳 ≠ 𝒇(𝒂) (tức L khơng thiết phải 𝑓(𝑎)) Để cho HS thấy rõ điều nắm vững khái niệm giới hạn hàm số, GV dùng sơ đồ để biểu thị khả xảy hàm số có giới hạn với tập xác định tập giá trị dùng nhiều ví dụ phản ví dụ để minh họa chẳng hạn ví dụ phản ví dụ sau đây: a) Hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 −4 𝑥−2 b) Hàm số 𝑓(𝑥) = { không xác định 𝑥 = lim f x x 2 3𝑥 + 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ xác định 𝑥 = lim f x f 1 x 1 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = c) Hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 + xác định 𝑥 = lim f x f 3 11 x 3 d) Hàm số 𝑓(𝑥) = √𝑥 khơng có gới hạn x dần tới khơng có khoảng K chứa mà 𝑓(𝑥) xác định với 𝑥 ∈ 𝐾\{0} 2𝑥 + 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≥ e) Hàm số 𝑓(𝑥) = { khơng có giới hạn x dần tới Vì 3𝑥 − 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 𝑛+1 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛 Dãy ( Dãy ( ) có lim ( ) có lim ( f) Hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥+2 𝑥 ) = lim 𝑓 ( ) = lim 𝑓 ( )=3 )=2 1 khơng có giới hạn x dần tới dãy (𝑛) có lim (𝑛) = mà lim 𝑓 (𝑛) khơng tồn Ngồi ra, để giúp HS nắm đặc điểm đồ thị hàm số x dần tới a, GV cần nêu đặc điểm đồ thị tập nhận biết hàm số có giới hạn hay khơng có giới hạn thông qua đồ thị chúng Câu Hãy nêu vai trò phép phân tích dạy học định lý? Cho ví dụ minh họa? Trả lời Vai trò phép phân tích dạy học định lý Phân tích định lý biết “phân tích giả thiết kết luận” định lý: đâu giả thiết, đâu kết luận định lý, liên hệ giả thiết kết luận, phân tích bước chứng minh định lý Ngoài ra, ta phân tích định lý để tìm khả ứng dụng định lý Ví dụ minh họa Nhờ phân tích, hiểu rõ định lý mối liên hệ giới hạn bên giới hạn hàm số SGK Đại số Giải tích 11 “Định lí: Điều kiện có đủ để lim f xn L lim f xn , lim f xn tồn xa x a x a L” Khái niệm giới hạn hàm số định nghĩa (tóm tắt): lim f xn L xa ∀(𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 ≠ a ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ ) , lim 𝑥𝑛 = 𝑎 lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 Trang Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Khái niệm giới hạn bên định nghĩa (tóm tắt) sau: 1) lim f xn L ∀(𝑥𝑛 ), 𝑥𝑛 > 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ , lim 𝑥𝑛 = 𝑎 lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 x a 2) lim f xn L ∀(𝑥𝑛 ), 𝑥𝑛 < 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ , lim 𝑥𝑛 = 𝑎 lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 x a Để hiểu rõ chất định lí trên, ta cần phân biệt tập hợp, 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑣à 𝑆 sau đây: 𝑆1 = {(𝑥𝑛 ): 𝑥𝑛 > 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ lim 𝑥𝑛 = 𝑎} gồm dãy số (𝑥𝑛 ) 𝑐ó lim(𝑥𝑛 ) = 𝑎 số hạng dãy lớn a 𝑆2 = {(𝑥𝑛 ): 𝑥𝑛 < 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ lim 𝑥𝑛 = 𝑎} gồm dãy số (𝑥𝑛 ) 𝑐ó lim(𝑥𝑛 ) = 𝑎 số hạng dãy nhỏ a 𝑆3 = {(𝑥𝑛 ): 𝑥𝑛 ≠ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ , ∃𝑛 𝑥𝑛 > 𝑎 lim 𝑥𝑛 = 𝑎} gồm dãy số (𝑥𝑛 ) 𝑐ó lim(𝑥𝑛 ) = 𝑎 số hạng dãy dao động qua lại a 𝑆 = {(𝑥𝑛 ), : 𝑥𝑛 ≠ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ lim 𝑥𝑛 = 𝑎} gồm dãy số (𝑥𝑛 ) 𝑏ấ𝑡 𝑘ỳ 𝑐ó lim(𝑥𝑛 ) = 𝑎 số hạng dãy khác a Do 𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3 Ý nghĩa định lí: Nếu lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 với ∀(𝑥𝑛 ) ∈ 𝑆1 ∪ 𝑆2 𝑡ℎì lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 với ∀(𝑥𝑛 ) ∈ 𝑆3 , hay lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 với ∀(𝑥𝑛 ) ∈ 𝑆1 ∪ 𝑆2 𝑡ℎì lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝐿 với ∀(𝑥𝑛 ) ∈ 𝑆 Cơng dụng: Tính tốn cóa dạng lim f xn , 𝑓(𝑥) cho x2 sau: 2𝑥 + 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > 𝑓(𝑥) = { 4𝑥 − 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < Câu Để nhận dạng - mẫu, người ta sử dụng mơ hình nào? Áp dụng: Hãy tìm dạng mẫu khái niệm cấp số nhân? Trả lời Mơ hình nhận biết dạng mẫu Để nhận biết dạng mẫu, ta sử dụng mơ hình nhận biết dạng – mẫu sau đây: Quan sát phân tích tìm mối liên hệ Phát dạng - mẫu Diễn tả dạng - mẫu lời hay ký hiệu Có dạng mẫu: Dạng mẫu số, dạng mẫu hàm số, dạng mẫu logic Ví dụ: Dạy học khái niệm cấp số nhân tính đạo hàm hàm số 𝐲 = 𝐬𝐢𝐧(𝐜𝐨𝐬(𝐬𝐢𝐧𝐱)) phân tích để nhận biết dạng mẫu Trang Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Dạy học khái niệm cấp số nhân (Nhận biết dạng mẫu số) GV: Xét dãy số 1, 2, 4, 8, 16, 32, … Hãy cho biết ba số hạng dãy gì? Tại sao? HS trả lời: 64, 128, 256, ta có 𝑢2 = 𝑢1 2, 𝑢3 = 𝑢2 2, 𝑢4 = 𝑢3 2, … Số hạng kề sau bằng số hạng đứng kề trước nhân cho số không đổi GV: Hãy cho thêm ví dụ khác tương tự dãy dãy số viết theo quy luật gì? Sau học sinh cho thêm ví dụ, GV khái qt hóa đến khái niệm cấp số nhân Dạy học khái niệm cấp số nhân (Nhận biết dạng mẫu hàm số) Để tính đạo hàm hàm số 𝑦 = sin(cos(𝑠𝑖𝑛𝑥)), HS phải nhận dạng – dạng mẫu hàm số 𝑦 = sin 𝑢 (𝑣ớ𝑖 𝑢 = cos(sin 𝑥)) Do 𝑦 ′ = cos 𝑢 𝑢′ = cos(cos(𝑠𝑖𝑛𝑥)) (cos(sin 𝑥))′ Để trính đạo hàm 𝑦 = cos(sin 𝑥), học sinh lại phải nhận dạng mẫu hàm số 𝑦 = cos 𝑢 (𝑣ớ𝑖 𝑢 = sin 𝑥) Do 𝑦 ′ = − sin 𝑢 𝑢′ = − sin(sin 𝑥) (sin 𝑥)′ = − sin(sin 𝑥) cos 𝑥 Cuối (sin(cos(𝑠𝑖𝑛𝑥)))′ = − cos(cos(sin 𝑥)) sin(sin 𝑥) cos 𝑥 Trang Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu Để khái quát hóa, người ta thực theo qui trình nào? Áp dụng Trả lời Qui trình khái qt hóa Quan sát "Cái riêng" Kiểm chứng ứng dụng vào tình hay giới thiệu khái niệm Phân tích tìm mối quan hệ Khái qt hóa: Tìm "Cái chung" Sơ đồ khái qt hóa từ riêng Quy trình hành động tiến hành khái quát hóa sau với chủ thể hành động: Bước 1: (Quan sát) quan sát hay số vật, tượng cụ thể hay đơn Bước 2: (Phân tích): Tiến hành phân tích hay so sánh để tìm mối liên hệ, tìm đặc điểm vật hay tượng Bước 3: (Khái qt hóa) đặc điểm chung có tính khái quát Bước 4: (Kiểm chứng) tiến hành kiểm chứng hay xem xét lại đưa khái niệm hay vận dụng vào tình Áp dụng Bước 1: Xem xét tốn giải phương trình 𝑥 = 2√2𝑥 + + (1) với lời giải sau: Đặc 𝑢 = √2𝑥 + u=x Ta có {𝑢2 = 2𝑥 + lấy vế trừ theo vế ta được: u2 − x = 2(x − u) ⇔ { u = −x − 𝑥 = 2𝑢 + Trường hợp 1: 𝑢 = 𝑥 hay √2𝑥 + = 𝑥 ⇔ 𝑥 = Trường hợp 2: 𝑢 = −𝑥 − hay √2𝑥 + = −𝑥 − (𝑣𝑛) Vậy 𝑥 = nghiệm phương trình (1) Bước 2: Phân tích mối quan liên hệ: Chú ý mối quan hệ số số phương trình Bước 3: Khái qt hóa thành dạng tốn tổng qt 𝑥 = 𝑎√𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑏 (𝐼) Đặc 𝑢 = √2𝑥 + Ta đưa hệ {𝑢2 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑎𝑢 + 𝑏 Bước 4: Áp dụng 1: Giải phương trình 𝑥 − 2𝑥 − = 3√3𝑥 − (𝐼𝐼) Đặt 𝑡 = 𝑥 − ta đưa dạng (II) dạng (I): 𝑡 = 3√3𝑥 + + Áp dụng 2: Giải phương trình 𝑥 = 𝑎 √𝑎𝑥 + 𝑏 Cụ thể giải phương trình: 𝑥 = 3√3𝑥 − − Đặc 𝑢 = √3𝑥 − Ta có {𝑢3 = 3𝑥 − ⇒ u3 − x = 3(x − u) ⇒ (x − u)(𝑥 + 𝑥𝑢 + 𝑢2 + 3) = ⇒ x = 𝑢 ⇔ 𝑥 = 3𝑢 − 𝑥=1 Trang 10 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu 11 Deese quan niệm mối liên hệ động cơ, nhu cầu mục tiêu nào? Từ quan niệm Deese đưa qui trình gợi động học tập cho học sinh? Áp dụng Trả lời: Quan niệm Deese Theo Deese (1958), động thoi thúc làm cho người (hay vật) tích cực Deese cho động có ích hai thành phần là: Nhu cầu mục tiêu (goal) Gần nhu cầu điều có mục tiêu nhằm thỏa mãn nhu cầu Qui trình động học tập cho học sinh Bước 1: Tạo nhu cầu học tập cho học sinh Bước 2: xác định mục tiêu (mục đích) học tập (của tiết, chương) Qui trình dạy học có gợi động học tập Bước 1: Gợi động học tập Tạo nhu cầu học tập Xác định mục tiêu (mục đích) học sinh Bước 2: Tiến hành hoạt động dạy học nhằm chiếm lĩnh mục tiêu dạy học Thực hành động dạy học (Theo yêu cầu hành động thầy) Áp dụng Ví dụ 1: Gợi động học tập dạy khái niệm “Phép tịnh tiến” Bước 1: Tạo nhu cầu học tập cho học sinh Khi đẩy cánh cửa trượt cho chốt cửa từ vị trí A đến vị trí B, theo hướng từ A đến B với độ dài AB Việc làm ta áp dụng phép biến hình Phép biến hình gì? Bước 2: Xác định mục tiêu tiết học Trong toán học việc di chuyển điểm theo hướng khoảng cách cho trước ta gọi tịnh tiến Ví dụ 2: Tạo động học tập cho học sinh dạy “Sự liên hệ đạo hàm tính đơn điệu” Bước 1: Tạo nhu cầu học tập cho học sinh Giáo viên: Hãy xét tính đơn điệu hàm số: y = x + x Nếu dùng định nghĩa để giải bìa tốn ta tốn nhiều thời gian liệu có cách khác để giải nhanh tiện lợi hay không? Bước 2: Xác định mục tiêu tiết học Các nhà toán học có cách làm tiện lợi sử dụng “Dấu đạo hàm để xét tính đơn điệu kàm số” Tiết học ta tìm cách giải Trang 15 Tài liệu ơn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu 12 Bản chất dạy học niêu vấn đề? Thế tình nêu vấn đề? Ba điều kiện tình có vấn đề gì? Hãy xác định tình có vấn đề dạy học? Trả lời: Bản chất dạy học nêu vấn đề Bản chất cảu dạy học nêu vấn đề đưa trước cho học sinh tình có vấn đề, điều kiện bảo đảm việc giải vấn đề dẫn nhằm tạo cho học sinh hoạt động tích cực, tận lực tập trung để giải vấn đề Bằng đường khơng giúp học sinh tiếp thu kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà học sinh rèn luyện lực tự nhận thức phát triển thư sáng tạo tư khoa học Thế tình có vấn đề Là tình tạo cho học sinh khóa khăn lí luận hay thực tiễn mà họ cần thiết có khả vượt qua tưc khắc mà nhờ quy tắc có tính chất thuật giải, mà phải trãi qua q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động điều chỉnh kiến thức sẵn có Ba điều kiện tình có vấn đề Tồn vấn đề: Tình phải bộc lộ mâu thuẫn thực tế trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức khó khăn tư hành động mà vốn hiểu biết sẵn có khơng thể vượt qua Nói cách khác, phải tồn vấn đề mà học sinh chưa giải được, chưa có quy tắc có tính chất thuật tốn để giải đáp câu hỏi sinh tình Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu vấn đề mà học sinh khơng có nhu cầu giải vấn đề chưa phải tình có vấn đề Trong tình có vấn đề, học sinh có “câu hỏi”, “ngạc nhiên”, “điều trăn trở” cần giải quyết, tức chủ thể chấp nhận tình có vấn đề gây cảm xúc, hứng thú lòng mong muốn, sẵn sàng hoạt động tích cực để giải vấn đề Gây niềm tin khả năng: Nếu vấn đề hấp dẫn, học sinh cảm thấy vượt xa so với khả họ họ không sẵn sàn giải vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ họ chưa có lời giải, số kiến thức, kĩ liên quan đến vấn đề đặt họ tích cực suy nghĩ có hy vọng giải vấn đề Tình có vấn đề ln đặt cho học sinh niềm tin khả giải vấn đề Xây dựng tình có vấn đề a) Nếu toán đặt vấn đề mà cách giải dẫn đến việc hình thành kiến thức Ví dụ: Để dẫn dắt học sinh nắm quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] Giáo viên cho học sinh giải tốn sau: Tìm GTLN GTNN hàm số 𝒚 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝒎 [−𝟏; 𝟐] o Đầu tiên GV yêu cầu học sinh lập bảng biến thiên hàm số x -1 + y' 1 2 - + m + 26 m+1 y m-1 m-1 o Tìm GTLN cách so sánh giá trị cực đại 𝑦 (− 2) = 𝑚 + giá trị 𝑦(2) = 𝑚 + 26 o Tìm GTNN cần so sánh giá trị cực tiểu 𝑦 ( ) = 𝑚 − giá trị 𝑦(−1) = 𝑚 − 1 Trang 16 Tài liệu ôn thi cao học o LL & PP dạy học mơn Tốn Sau ta cho học sinh giải tiếp tốn: “Tìm GTLN GTNN hàm số 𝑦 = + 4𝑥 − 𝑥 ” đoạn [−1; 3] Cuối tổ chức cho học sinh tìm quy luật sau Bước 1: Tìm giá trị hàm số 𝑥0 đoạn [𝑎; 𝑏] mà hàm số đạo hàm triệt tiêu hay khơng xác định Bước 2: 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑥0 ) Bước 3: Cho học sinh so sánh giá trị kết luận b) Lợi dụng kiến thức cũ để đặt vấn đề, dẫn đến kiến thức Ví dụ: Để dẫn dến định lí hàm số sin lượng giác, giáo viên kiểm tra kiến thức cũ học sinh: Xác định hệ thức cạnh 𝑎, 𝑏, 𝑐 tam giác vuông sin 𝐴 , sin 𝐵 , sin 𝐶 (𝐴 = 𝑏 𝑐 𝑎 900 ) tam giác 𝑏 = 𝑎 sin 𝐵 , 𝑐 = 𝑎 sin 𝐶 hay sin 𝐵 = sin 𝐶 = sin 𝐴 = 2𝑅, với 2𝑅 = 𝑎 đường kính đường tròn ngoại tiếp với tam giác Ở xuất vấn đề hệ thức có với trường hợp thường có A góc nhọ hay góc tù hay khơng? Học sinh đưa giả thuyết hệ thức đúng, kiểm tra lại giả thuyết chứng minh cho trường hợp với A góc nhọn hay A góc tù Ví dụ: c) Bằng cơng tác thực hành (Làm mơ hình, hình vẽ, đo đạc, tính toán, …) đặt vấn đề dẫn đến kiến thức sin x (x tính radian), GV cho HS tính tỉ số radian giảm x 0 x sin x (x tính radian) sau chứng minh giả thuyết để dến giả thuyết lim x 0 x Ví dụ: Khi dạy lim từ 𝜋 Trang 17 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu 13 Trình bày mơ hình dạy học sử dụng dạy học khám phá khái niệm, định lý cho biết dạy GV phát triển lực tư cho HS? Trả lời Mơ hình dạy học sử dụng dạy học khám phá khái niệm, định lý: Dạy học khái niệm cách cho ví dụ phản ví dụ o Qui trình Hoạt động thầy giáo (a) 1a Gợi động học tập Hoạt động HS (b) 1b Hành động theo yêu cầu thầy 2a Đưa ví dụ phản ví dụ để yêu cầu HS 2b Quan sát liệt kê điểm khác tính chất khác biệt ví dụ ví dụ phản ví dụ (Quan sát so phản ví dụ sánh) 3a Các ví dụ gọi … gọi … Một cách tổng quát, …được gọi ….? 3b Phát biểu định nghĩa khái niệm 4a Chính xác hóa định nghĩa yêu cầu HS lập lại định nghĩa 4b Nhắc lại định nghĩa o Nhận định mơ hình Hình thành khái niệm theo đường trên, giáo viên tạo hội cho HS phân tích, so sánh đặc điểm khác biệt cacs ví dụ phản ví dụ, khái quát hóa để cuối tự phát biểu định nghĩa khái niệm Đối với số khái niệm khó, GV nên đưa thêm số câu hỏi để từ định nghĩa học sinh rút tính chất cần ý thêm khái niệm o Ví dụ minh họa: Dạy học khái niệm hai vectơ Hoạt động thầy giáo (a) Hoạt động HS (b) 1a Gợi động học tập 1b Cần tìm điều kiện để hai vectơ gì? Chúng ta biết hai đoạn thẳng gọi độ dài chúng Vậy hai vectơ điều kiện khơng? 2a Đưa ví dụ phản ví dụ để yêu cầu HS 2b Liệt kê điểm giống nnhau khác cặp vectơ cột ví dụ tính chất khác biệt ví dụ phản ví dụ phản ví dụ Cho học sinh quan sát ví dụ phản ví dụ Ví dụ u1 Phản ví dụ v1 u3 Ví dụ - Có phương v3 u4 v4 u2 u5 v2 v5 Phản ví dụ - Khơng phương - Có độ dài - Khơng có độ dài - Có hướng - Khơng hướng Trang 18 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn 3a Mỗi cặp vectơ cột ví dụ cột ví dụ 3b Phát biểu định nghĩa khái niệm: gọi hai vectơ Một cách tổng quát, hai vectơ thỏa mãn điều kiện gọi hai vectơ nhau? Hai vectơ có phương, hướng, độ dài 4a Điều kiện hướng bao gồm điều kiện 4b Phát biểu định nghĩa kí hiệu phương nên ta có định nghĩa Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài Nếu 𝑎 𝑏⃗ ta viết 𝑎 = 𝑏⃗ Hãy phát biểu định nghĩa cách kí hiệu 𝑑𝑒𝑓 𝑎, 𝑏⃗ 𝑐ù𝑛𝑔 ℎướ𝑛𝑔 𝑎 = 𝑏⃗ ⇔ { |𝑎| = |𝑏⃗| Mơ hình dạy học sử dụng dạy học khám phá định lý: Dạy học khám phá định lý có khâu nêu giả thuyết o Qui trình Hoạt động thầy giáo (a) 1a Gợi động Hoạt động HS (b) 1b Hành động theo yêu cầu thầy 2a Yêu cầu HS quan sát, xem trường hợp 2b Phân tích tìm mối liên hệ riêng, tìm mối liên hệ? 3a Yêu cầu học sinh đưa giả thuyết (Dự 3b Nêu giả thuyết (Dự đốn) đốn): Em phát biểu điều … về?; Từ … em nêu dự đốn …? 4a Chỉnh sửa kết luện giả thuyết mà lớp 4b Đề xuất cách kiểm chứng thực việc kiểm chứng cần kiểm chứng Yêu cầu HS tìm cách kiểm chứng giả thuyết 5a Yêu cầu HS xem xét đánh giá tính đắng 5b Kết luận tính sai giả thuyết để giả thuyết chấp nhận hay bác bỏ 6a Kết luận, phát biểu định lý, công 6b Nhận biết tầm quan trọng định lý dụng, tầm quan trọng định lý, … o Nhận định mơ hình Mơ hình sử dụng khâu đưa giả thuyết không thời gian Chẳng hạn, với hướng dẫn GV, HS đưa giả thuyết Khi dạy học định lý phương trình mặt cầu: “Trong khơng gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏; 𝑐) có bán kính R có phương trình (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑅 ” (Sách giáo khoa Hình học 12 Cơ bản) Giáo viên gợi ý học sinh đưa giả thuyết sau: Nhắc lại phương trình đường tròn: GV u cầu học sinh nhắc lại phương trình đường tròn tâm có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) có bán kính R nhấn mạnh mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, biết tâm bán kính ta viết phương trình đường tròn Hình thành giả thuyết GV gợi ý: “Bằng cách tương tự, hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧 em dự đốn xem phương trình mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼(𝑎; 𝑏; 𝑐) có bán kính R có phương trình tổng qt gì?” Cuối GV hướng dẫn HS kiểm chứng giả thuyết cho áp dụng Trang 19 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Khi vận dụng, GV cần lưu ý học sinh giả thuyết cần phải kiểm chứng khẳng định tính sai o Ví dụ minh họa: Trang 20 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu 14 Hãy sử dụng sơ đồ biểu thị mối liên hệ khái niệm “Giá trị hàm số”, “Giới hạn hàm số” “Hàm số liên tục” Trả lời Dùng sơ đồ Xét hàm số f (x) x = a Tồn giới hạn Không tồn giới hạn lim f (x) lim f (x) = L x→a x→a f (x) không xác định x = a f (x) xác định x = a L = f (a) L ≠ f (a) f (x) Không liên tục x = a (f (x) gián đoạn x = a) f (x) liên tục x = a Sơ đồ biểu thị mối liên hệ giá trị hàm số, khái niệm giới hạn hàm số, hàm số liên tục Dùng biểu đồ ven A C B Quan hệ tập hợp hàm số có giới hạn, xác định liên tục x0 A tập hàm số có giới hạn L x tiến x0 B tập hàm số xác định x0 C tập hàm số liên tục x0 Trang 21 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học môn Tốn Câu 15 Phân tích khái niệm mơn Giải tích, cho biết kết thu gì? Áp dụng phân tích định nghĩa khái niệm sau Trả lời: Phân tích khái niệm mơn Giải tích Chỉ dấu hiệu đặc trưng Chỉ đặc điểm tập xác định Chỉ đặc điểm giá trị Chỉ ý nghĩa khác (Đặc điểm đồ thị), đặc biệt ý nghĩa hình học Chỉ mối quan hệ hoawcj so sánh với khái niệm học Chỉ khả ứng dụng Áp dụng: Phân tích khái niệm giới hạn hàm số điểm Khái niệm giới hạn hàm số lim f x L xn xn x0 , N * 1 lim xn x0 lim f xn L def x x0 * Dấu hiệu đặc trưng ( xn ),( xn x0 , n N ) lim xn x0 lim f xn L Đặc điểm tập xác định 1 Nếu lim f x L f x khơng thiết phải thuộc x x0 tập xác định hàm số x0 K hay x0 K Minh họa y y L y L L f(x) f(x) f(x) O x0 f x xác định x0 lim f x L x x0 O x x0 O x f x không xác định x0 lim f x L x0 x f x không liên tục x0 x x0 lim f (x) = L x→x0 f (x) không xác định x0 f (x) xác định x0 L ≠ f (x0) L = f (x0) Trang 22 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu 16 Phát triển nhận thức tư toán học sơ cấp đến toán học cao cấp? Tall (1995) lý giải phát triển tư toán học từ THSC đến THCC sau: Sự phát triển tư toán học sơ cấp xem phát triển theo hai tuyến chúng xảy đồng thời o Tuyến thứ nhất, phát triển xây dựng thông qua loại tri giác đối tượng giới bên Tri giác giới bao gồm nghiên cứu hình dạng khơng gian, cuối dẫn đến mơn hình học o Tuyến thứ hai, phát triển tư tốn học hành động với đối tượng hành động đối tượng đếm, biểu diễn kí hiệu phát triển thành tốn học kí hiệu (số học đại số) Sự phản ánh tri giác hành động dẫn đến toán học theo tiên đề Chuyển đổi sang toán học cao cấp Hình học suy diễn Euclid Giải tích Đại số cao cấp Hình học giải tích Đại số Lượng giác Số học Hình học Tốn học sơ ấp Hành động đối tượng Tri giác đối tượng Tương tác với môi trường Hành động đối tượng việc xây dựng cấu trúc tri thức toán học (D Tall) Theo Tall, chuyển đổi đến tư toán học cao cấp bao gồm chuyển đổi cấu trúc tri giác khái niệm tốn học sơ cấp có tính chất mà xác định hành động chúng hay tri giác chúng Trong khái niệm tốn học cao cấp có tính chất xác định thơng qua định nghĩa chất khái niệm tự tạo nên tính chất rút suy diễn Từ nhận định Tall, ta rút rằng, học tập khái niệm tốn học cao cấp phương pháp phân tích cần sử dụng mức để tìm yếu tố cấu thành khái niệm, định lý phát mối liên quan yếu tố F.Engels viết khác chất toán học sơ cấp toán học cao cấp sau: “Toán học sơ cấp, tức toán học số khơng đổi, tự vận động, toàn bộ, giới hạn logic hình thức; tốn học biến, mà phần quan trọng tính đại lượng vơ bé, áp dụng phép biện chứng vào mối quan hệ tốn học mà thơi” Như vậy, tư biện chứng phần tư toán học cao cấp Trang 23 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu 17 Hãy lý giải đặc điểm khái niệm mơn giải tích có tính phức tạp nội cao? Tại sao? Trả lời Mỗi khái niệm mơn Giải tích thường có liên quan nhiều với khái niệm toán học sơ cấp, khơng thể hiểu khái niệm Giải tích không hiểu ý nghĩa khái niệm tốn học sơ cấp Ngồi ra, khái niệm mơn Giải tích thương có liên quan với nhiều khái niệm khác Chẳng hạn khái niệm đạo hàm liên quan mật thiết đến khái niệm hàm số, khái niệm hàm số có liên quan đến khái niệm đối số, khái niệm đối số có liên quan đến khái niệm số… Hàng loạt mối liên hệ tạo nên hệ thống ý tưởng có mối quan hệ tương hỗ với nhau, mối tư tưởng kết hợp nhiều khái niệm sơ cấp để tạo thành cấu rộng mà nội có tính phức tạp Để hiểu phép tính vi phân, ta cần xem khái niệm hàm số đối tượng: phép tính vi phân tạo hàm số từ hàm số cho Do dó, khái niệm có độ phức tạp cao hiểu hệ thống với nhiều khái niệm khác Chính tính phức khái niệm làm cho học sinh khó nắm đươch đầy đủ ý nghĩa khái niệm mơn Giải tích Câu 18 Sự liên hệ khái niệm mơn Giải tích? Trả lời Các khái niệm mơn Giải tích nhà trường phổ thơng xây dựng khái niệm sở: hàm số, dãy số, giới hạn, liên tục Các khái niệm có mối “liên hệ liên hồn” với nhau: khái niệm hàm số liên quan đến tập xác định, tập giá trị; dãy số hàm; giới hạn dãy số sở để xây dựng lhais niệm hàm số liên tục khái niệm đạo hàm; khái niệm nguyên hàm sở để xây dựng khái niệm tích phân Hàm số Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số x → a Đạo hàm Nguyên hàm Tích phân Hàm số liên tục x0 Giới hạn hàm số x → a+ hay x → a- - Giới hạn vô cực - Giới hạn vô cực - Tiệm cận xiên - Tiệm cận đứng - Tiệm cận ngang Sơ đồ phát triển khái niệm mơn giải tích Trong thực tiễn, giáo viên hay sách có sai soat kiến thức khơng ý đến đặc điểm Chẳng hạn, sách giáo khao Đại số Giải tích 11(chỉnh lí năm 2000) có tập giới hạn dãy số như: Trang 24 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn 0; x n Tính lim Tính lim n x n2 n2 , Ở đây, hai biểu thức un n n2 n n khơng số hạng tổng qt dãy số, u n không xác định n = không xác định n=1 Câu 19 Sự liên hệ giải tích đại số Trả lời Các vấn đề nghiên cứu Giải tích thương liên quan nhiều đến Đại số như: biến đổi đông nhất, phân tích đa thức thành thừa số thường dùng tính giới hạn, tìm tiệm cận, tính tích phân; quy tắc xét dấu tam thức, nhị thức làm sở cho việc xét dấu đạo hàm bậc nhất, đạo hàm bậc hai (trong khảo sát hàm số); nhiều tốn giải tích quy tốn đại số Chẳng hạn, tốn tìm tọa đọ giao điểm hai đồ thị (C ) : y f x L : y g x quy giải phương trình f x g x Sự liên hệ số tốn mơn Giải tích Đại số Bài tốn Giải tích Tìm tham số m cho hàm số f(x) đồng biến khoảng (a;b) Tìm tham số m cho hàm số f(x) nghịch biến khoảng (a;b) Bài toán Đại số Tìm tham số m cho f x f x với x a; b Tìm tham số m cho f x f x với x a; b Tìm tham số m cho hàm số f x ax3 bx cx d , hay hàm số y ax bx c có cực đại cực tiểu ex d Tìm m cho đồ thị (C ) : y f x cắt đồ thị L : y g x n điểm mà hồnh độ thỏa mãn tính chất Tìm tham số m cho tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt Tìm tham số m cho phương trình f x g x có n nghiệm thỏa mãn điều kiện Ngược lại, nghiên cứu phương trình bất phương trình thực chất nghiên cứu hàm số Do đó, ta quy nhiều tốn phương trình bất phương trình tốn Giải tích Nhờ đó, nhiều vấn dề đại số giải nhanh hay dễ dàng dùng công cụ giải tích Ví dụ 4.1, 4.2, 4.3 (trang 37, 38, 39) Khi dạy mơn giải tích, GV cần cho HS ôn lại kiến thức đại số có liên quan, rèn luyện kỹ chuyển đổi toán đại số sang tốn giải tích ngược lại Trang 25 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu 20 Sự liên hệ Giải tích Hình học giải tích Trả lời Như ta biết (C) đồ thị hàm số y f x , mặt hình học y f x phương trình đường cong (C) Trong chương trình mơn tốn nhà trường phổ thơng, nhiều chủ đề nghiên cứu giải tích hình học giải tích có điểm chung Bảng nêu số điểm chung giải tích hình học giải tích Do đó, nhiều tốn giải tích ta giải hình học giải tích ngược lại Một số chủ đề có điểm chung Giải tích Hình học giải tích Chủ đề Giải tích Hình học giải tích Đường thẳng y ax b Ax By C A2 B2 0 Parabol y ax bx c a y px Hyperbol y Tiếp tuyến Tiếp tuyến với đường cong ax bx c , m 0 mx n Đường tròn, mặt cầu Diện tích, thể tích x2 y 1 a b2 Tiếp tuyến với đường tròn Diện tích, thể tích Chẳng hạn, Bài tốn tìm hai điểm thuộc hai điểm khác hàm số dạng ax bx c y , m có khoảng cách ngắn nhất: Xét mặt hình học, hai điểm cần tìm mx n hai đỉnh Hyperbol; tức là, giao điểm đồ thị hàm số với đường phân giác góc hợp hai tiệm cận; từ đó, ta giải toán dễ dàng Tuy nhiên, điểm chung kèm theo mặt hạn chế học sinh có nhận thức sai lầm không thấy khác chúng Ví dụ: Giáo viên tự cho ví dụ mối liên hệ đại số hình học tọa độ Trang 26 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Câu 21 Nêu cách dạy cố luyên tập vận dụng khái niệm? Trả lời 1) Củng cố khái niệm Các khái niệm toán học thường định nghĩa theo cấu trúc sau x Ax Bx Cx Ax khái niệm định nghĩa Bx Cx : khái niệm dùng để định nghĩa Để giúp học sinh nắm vững định nghĩa cần ý: a) Chỉ rõ giải thích dấu hiệu chất khái niệm, dấu hiệu điều kiện cần tất dấu hiệu điều kiện đủ Ví dụ: Khi dạy khái niệm lăng trụ điều: “Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi hình lăng trụ đều” Cần rõ: Hình lăng trụ lăng trụ là: Lăng trụ đứng (có cạnh bên vng góc với đáy) Đáy đa giác (đáy có góc cạnh nhau) b) Cần làm cho học sinh biết phát biểu đầy đủ xác định nghĩa khái niệm c) Cần lưu ý học sinh khái niệm định nghĩa nhiều cách khác Ví dụ: “Hình chóp hình chóp có đáy đa giác có cạnh bên nhau” hay “Hình chóp hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đáy” 2) Luyện tập vận dụng khái niệm a) Luyện tập nhận biết đối tượng có thuộc ngoại diên khái niệm Để giúp học sinh nhận biết đối tượng có ngoại diên khái niệm cần luyện tập cho học sinh vận dụng định nghĩa theo sơ đồ: xBx Cx Ax Nên giúp học sinh nhận biết theo an_go_rít nhận biết sau đây: Xét xem x có thỏa mãn B hay khơng? Nếu khơng, kết luận x khơng A Nếu có,thì Xét xem x có thỏa mãn C hay khơng? Nếu khơng kết luận x khơng A Nếu có kết luận x A Ví dụ: Sau định nghĩa hình lăng trụ đều, cho học sinh tập sau: Các hình lăng trụ sau hình lăng trụ đều, sao? Lăng trụ đứng có đáy hình vng? Lăng trụ đứng có đáy hình thoi? Lăng trụ đứng có đáy tứ giác có cạnh hai bên mặt bên vng góc với đáy Lăng trụ có hai mặt bên kề vng góc với đáy đáy hình thoi nội tiếp đường tròn… Trang 27 Tài liệu ơn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Khi học sinh giải tập loại đòi hỏi phải kiểm tra điều kiện (dấu hiệu), yêu cầu em giải thích rõ đối tượng thuộc hay khơng thuộc ngoại diên khái niệm: điều kiện thỏa mãn, điều kiện vi phạm? Những tập loại giúp học sinh dần nắm vững dấu hiệu chất khái niệm biết cách dựa vào định nghĩa khái niệm để kiểm tra số đối tượng có thuộc khái niệm khơng? b) Luyện tập nhận biết dấu hiệu chất khái niệm: Rèn luyện cho học sinh sử dụng sơ đồ x Ax Bx Cx Có nghĩa học biết thay khái niệm định nghĩa khái niệm định nghĩa Ví dụ: Giải tốn: tính diện tích tồn phần hình lăng trụ tam giác cạnh đáy a cạnh bên b Học sinh phải biết thay “Lăng trụ đều” “lăng trụ đứng có đáy tam giác đều”, biết thay “lăng trụ đứng” “lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy” giải toán Câu 22 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải tốn sau Chú ý phải đủ bước Phân tích đề Phân tích tìm cách giải Trình bày lời giải Kiểm tra Trả lời Các bước giải tốn Bước 1: Tìm hiểu đề tốn (phân tích đề) Những thơng tin cho Bạn cần làm gì? Bước 2: Xây dựng chương trình giải (phân tích tìm hiểu lời giải) Tìm mối liên hệ toán ý tưởng quen tốn giải Tìm kiện, định lý, cơng thức liên quan đến tốn Vận dụng biến đổi toán cần phải đưa toán quen thuộc, đơn giản Xem điều xảy điều kiện cho thay đổi, dự đốn kết Tóm lại phải tìm chiến lược giải nhờ nhận cấu trúc toán Xác định kiện biết, kiện, biến số Chọn mơ hình biểu diễn yếu tố tốn kí hiệu mơ hình tìm tòi lời giải tốn Bước 3: Thực chương trình giải (Trình bày giải) Trình bày lời giải toán cho hợp logic Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải (kiểm tra) Xem xét lại toàn lời giải thử lại kết Kiểm tra lại q trình suy luận Dựa vào toán cũ, cho toán Ví dụ: Hướng dẫn học sinh giải tốn sau x x 161 Dự đốn sai lầm mà học sinh gặp phải? Trang 28 Tài liệu ôn thi cao học LL & PP dạy học mơn Tốn Giải Bước 1: Phân tích tìm hiểu đề tốn Những thơng tin cho? Bạn cần làm gì? Đưa phương trình dạng quen thuộc nào? Đã cho phương trình chứa thức Tìm nghiệm phương trình Dạng f x g x Bước 2: Xây dựng chương trình giải Cách 1: Biến đổi hệ 1 x 16 x x ? thử lại nghiệm, kết luận nghiệm 2 Cách 2: Biến đổi tương đương f x g x g x 0 f x g x x? Cách 3: Nhẩm nghiệm chứng minh nghiệm nhất: x nghiệm phương trình chứng minh nghiệm Bước 3: Thực chương trình giải Trang 29 ... học sinh quan sát ví dụ phản ví dụ Ví dụ u1 Phản ví dụ v1 u3 Ví dụ - Có phương v3 u4 v4 u2 u5 v2 v5 Phản ví dụ - Khơng phương - Có độ dài - Khơng có độ dài - Có hướng - Khơng hướng Trang 18 Tài... Giới hạn hàm số x → a+ hay x → a- - Giới hạn vô cực - Giới hạn vô cực - Tiệm cận xiên - Tiệm cận đứng - Tiệm cận ngang Sơ đồ phát triển khái niệm môn giải tích Trong thực tiễn, giáo viên hay sách... hình thoi? Lăng trụ đứng có đáy tứ giác có cạnh hai bên mặt bên vng góc với đáy Lăng trụ có hai mặt bên kề vng góc với đáy đáy hình thoi nội tiếp đường tròn… Trang 27 Tài liệu ơn thi cao học