1. Trang chủ
  2. Thể loại khác

[toanmath.com] Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1)

7 160 1
[toanmath.com] Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1)

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

[toanmath.com] Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1) tài liệu, giá...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2017 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (5 điểm) { un } n≥1 a) Cho q số thực thuộc khoảng (0;1) dãy thỏa mãn điều kiện un+ − un+1 < q un+1 − un , ∀n ≥ { un } Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn vn+1 = , ∀n ≥ { } n≥1 < v1 ≠ + b) Cho dãy xác định Chứng minh { } lim dãy có giới hạn hữu hạn tính Bài (5 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ để 5n+1 chia hết cho 72018 Bài (5 điểm) ( a , b, c ) ; a , b, c Có thứ tự với số nguyên dương thỏa mãn [ a , b, c ] [ a, b, c ] = điều kiện ? (Kí hiệu bội chung nhỏ ba số nguyên a , b, c dương ) Bài (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có B, C cố định, A thay đổi Phía ngồi tam giác ABC dựng tam giác ABD, ACE vng cân A hình vng BCFG Dựng tam giác XAB vuông cân X (X khác phía với D đường thẳng AB), tam giác YAC vng cân Y (Y khác phía với E đường thẳng AC) a) Chứng minh điểm D, Y, F thẳng hàng b) Các đường thẳng DY, EX cắt P Chứng minh đường thẳng AP qua điểm cố định A thay đổi ……………………………………….HẾT…………………………………… • Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay • Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Bài (5 điểm) Điểm { un } n≥1 a) Cho q số thực thuộc khoảng (0;1) dãy thỏa mãn điều kiện un+ − un+1 < q un+1 − un , ∀n ≥ { un } Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn vn+1 = , ∀n ≥ { } n≥1 < v1 ≠ + b) Cho dãy xác định Chứng minh dãy a { } có giới hạn hữu hạn tính lim Ta có un+ k − un = un+ k − un+ k −1 + un+ k −1 − un+ k −2 + + un+1 − un < q ( un+ k − un+ k −1 + un+ k −1 − un+ k − + + un+1 − un 0, ∃N ∈ ¥ un+ k − un < ε , ∀n > N , ∀k > cho { un } Do đó, theo tiêu chuẩn Cauchy dãy có giới hạn hữu hạn điểm b Ta có { } + − vn+1 dãy số dương ( vn+1 − ) 3 = − = < vn+1 − + +1 + ( + vn+1 ) ( + ) điểm { } lim = Theo câu a), dãy hội tụ tính Bài (5 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ để 5n+1 chia hết cho 72018 điểm Nhận xét n>3, 53-1 (mod 7) ord7(5)=6 điểm Nên 5n+1 chia hết cho 72018 suy 5n=53.5n-3-1.5n-3-1(mod 7) hay 5n-31 (mod 7) suy 6|n-3 hay n=6k+3 điểm Ta tìm k 72018| 56k+3+1 hay v7( (53)2k+1+1) 2018 Theo định lý LTE ta có v7( (53)2k+1+1)=v7(53+1)+v7(2k+1)=1+v7(2k+1) điểm Hay v7(2k+1) 2017 suy 2k+1=7m.t với m,t số nguyên dương m2017 t số lẻ điểm Khi n=3.7m.t nên số nguyên dương n nhỏ n=3.72017 điểm Bài (5 điểm) ( a , b, c ) a, b, c Có thứ tự , với số nguyên [ a , b, c ] [ a, b, c ] = dương thỏa mãn điều kiện ? (kí hiệu bội chung a, b, c nhỏ ba số nguyên dương ) a = 2a13a2 5a3 , b = 2b13b 25b3 , c = 2c13c 25c3 Đặt ≤ a1 , b1 , c1 ≤ 3, ≤ a2 , b2 , c2 ≤ 5, ≤ a3 , b3 , c3 ≤ [ a, b, c] = 233557 Ta có max { a1 , b1 , c1} = 3, max { a2 , b2 , c2 } = 5, max { a3 , b3 , c3 } = điểm Ta đếm tất có thứ tự gồm số ngun khơng âm max { a1 , b1 , c1} = cho Đặt: ( a1, b1, c1 ) điểm A = { ( a1 , b1 , c1 ) Â ì Â ì Â | a1 = 3, ≤ b1 , c1 ≤ 3} B = { ( a1 , b1 , c1 ) Â ì ¢ × ¢ | b1 = 3, ≤ a1 , c1 ≤ 3} C = { ( a1 , b1 , c1 ) Â ì Â ì Â | c1 = 3, ≤ a1 , b1 ≤ 3} Khi đó, A∪ B ∪C tập hợp tất có thứ tự gồm số nguyên max { a1 , b1 , c1} = ( a1 , b1, c1 ) không âm cho A = B = C = 16, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = 4, A ∩ B ∩ C = 1 điểm Ta có Do A ∪ B ∪ C = ( A + B + C ) − ( A ∩ B + B ∩ C + C ∩ A ) + A ∩ B ∩ C = 37 Vậy số tất có thứ tự gồm số nguyên không âm max { a1 , b1 , c1} = cho Tương tự: 91 Số tất có thứ tự gồm số ngun khơng âm max { a3 , b3 , c3} = 37 Số tất có thứ tự gồm số nguyên không âm max { a2 , b2 , c2 } = ( a1, b1, c1 ) 169 Theo quy tắc nhân số tất số nguyên dương toán 37x91x169 = 569023 ( a2 , b2 , c2 ) ( a3 , b3 , c3 ) ( a, b, c ) điểm cho cho thỏa mãn điểm Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC có B, C cố định, A thay đổi Phía ngồi tam giác ABC dựng tam giác ABD ACE tam giác vng cân A hình vng BCFG Dựng tam giác XAB vuông cân X (X khác phía với D đường thẳng AB), tam giác YAC vng cân Y (Y khác phía với E đường thẳng AC) a Chứng minh điểm D, Y, F thẳng hàng b Các đường thẳng DY, EX cắt P Chứng minh đường thẳng AP qua điểm cố định A thay đổi a o QC90 : F → B Phép quay phép quay 90o 90o QA oQC : F → D Do o o QA90 oQC90 Gọi Y’ tâm phép quay o QA90 : B → D điểm ( AC , AY ') = 45o Theo tính chất tích phép quay, ta có ( CY ', CA) = 45o Suy tam giác Y’AC cân Y’ Y '≡Y Suy 180o QY : F → D Do Nên D, Y, F thẳng hàng Hơn nữa, Y trung điểm DF điểm b Tương tự câu a, chứng minh X trung điểm EG M = AG ∩ DF , N = AF ∩ EG Gọi VBAG : VBDF ∠BAG = ∠BDF Vì nên Do đó, tứ giác BDAM nội tiếp BM ⊥ DF Suy CN ⊥ EG Tương tự, Do đó, điểm B, C, F, G, M, N nằm đường tròn ngoại tiếp hình vng BCFG Gọi T giao điểm tiếp tuyến F tiếp tuyến G đường tròn ngoại tiếp hình vng BCFG Áp dụng định lý Pascal cho điểm B, C, F, G, M, N ta A, P, T thẳng hàng Vậy đường thẳng AP qua điểm T cố định điểm điểm điểm ... cầm tay • Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10 /2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180... n=6k+3 điểm Ta tìm k 72018| 56k+3+1 hay v7( (53)2k+1 +1) 2018 Theo định lý LTE ta có v7( (53)2k+1 +1)= v7(53 +1)+ v7(2k +1)= 1+v7(2k +1) điểm Hay v7(2k +1) 2017 suy 2k+1=7m.t với m,t số nguyên dương m2017... chia hết cho 72018 điểm Nhận xét n>3, 53-1 (mod 7) ord7(5)=6 điểm Nên 5n+1 chia hết cho 72018 suy 5n=53.5n-3-1.5n-3-1(mod 7) hay 5n-31 (mod 7) suy 6|n-3 hay n=6k+3 điểm Ta tìm k 72018| 56k+3+1

Ngày đăng: 26/11/2017, 10:47

Xem thêm: [toanmath.com] Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1)

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan