UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018 Môn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề) (Đề thi có 01 trang) Câu (4,0 điểm) Cho dãy số  xn  xác định bởi: x = 2017; x n = 2017 n å 2k x k + L = lim 2017 n -1 å x (n ³ 1) Tìm giới hạn: n k =0 k k =0 -2018n + 4n - Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn điều kiện: xf (x + xy ) = xf (x ) + f (x )f (y ), "x , y Ỵ  Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) , có trực tâm H Gọi M , N , P trung điểm BC ,CA, AB Đường tròn đường kính AH đường tròn (O ) cắt T ¹ A AT cắt BC Q NP cắt tiếp tuyến A đường tròn (O ) R a) Chứng minh QR vng góc OH  cắt đoạn thẳng BC b) Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác góc BHC I Gọi K hình chiếu A HI Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK tiếp xúc với đường tròn (O ) Câu (3,0 điểm) Tìm tất giá trị tự nhiên n để biểu thức A = (3n )! có giá trị n !(n + 1)!(n + 2)! nguyên Câu (4,0 điểm) a) Cho S tập gồm 2017 số nguyên tố phân biệt M tập gồm 2018 số tự nhiên phân biệt cho số M khơng số phương có ước nguyên tố thuộc S Chứng minh chọn M số số có tích số phương b) Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, học sinh tham gia nhiều câu lạc câu lạc có học sinh tham gia Biết khơng có câu lạc có học sinh giống Chứng minh có câu lạc chung học sinh Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh :………… UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018 Mơn thi: Tốn Đáp án Cho dãy số  xn  Điểm xác định bởi: x = 2017; x n = - n -1 2017 å x (n ³ 1) Tìm giới hạn n k =0 k 2017 L = lim n å 2k x k + k =0 -2018n + 4n - 4,0 2017 *) Tính S = å 2k x k k =0 k -1 k -2 i =0 i =0 Ta có kx k = -2017 å x i ; (k - 1)x k -1 = -2017 å x i  kx k - (k - 1)x k -1 = -2017x k -1  x k = - Từ (*) suy x k -1 = - 1,0 2017 - k + x k -1 ("k ³ 1) (*) k 2017 - k + x k -2 k -1 … 2017 - x1 2017 - x1 = x0 é ùé ù é k ê 2017 - (k - 1) ú ê 2017 - (k - 2) ú 2017 - úù  x k = (-1) ê x úê ú êê ú k k -1 ê úê ú ë û ë ûë û k k 2017 ! k = (-1) 2017 = (-1) 2017.C 2017 ("k ³ 1) k ! (2017 - k ) ! x2 = - 2017 2017 2,0 k k  S = 2017 å 2k (-1) C 2017 = 2017 å (-2) C 2017 = 2017 (1 - 2) k =0 *) Do đó: L = lim k k 2017 = -2017 k =0 -2017n + 2017 = -2018n + 4n - 2018 1,0 Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn điều kiện xf ( x  xy )  xf ( x)  f ( x ) f ( y ), x, y   4,0 Trong (1) cho x = y = ta f (0) = Trong (1) cho y = -1 ta có xf (x ) + f (x )f (-1) = xf (0) = 0, "x Ỵ  (2) 0,5 Trong (2) cho x = -1 ta có f (1)f (-1) - f (-1) =  f (-1) = f (1) = - Nếu f (-1) = từ (2) ta suy xf (x ) = "x Ỵ  từ suy f (x ) º 0, "x Ỵ  - Nếu f (1) = , (2) cho x = ta thu f (-1) = -1 Từ (2) trở thành f (x ) = xf (x ), "x Ỵ  (3) 0,5 0,5 Trong (1) ta cho y = ta có xf (2x ) = xf (x ) + f (x )f (1), "x Ỵ   f (2x ) = f (x ), "x Ỵ  Từ (1) (3) ta f (x + xy ) = f (x ) + f (x )f (y ), "x , y Ỵ  (4) Trong (4) lấy x = ta có f (1 + y ) = + f (y ), "y Ỵ  Trong (4) lấy x = -1 ta có f (-1 - y ) = -1 - f (y ), "y Ỵ  Do f (-1 - y ) = -f (1 + y ) "y Ỵ  hay f hàm số lẻ Trong (4) thay y -y sử dụng tính lẻ hàm số ta có f (x - xy ) = f (x ) + f (x )f (-y ) = f (x ) - f (x )f (y ), "x , y Ỵ  (5) Cộng theo vế (4), (5) ta có f (x + xy ) + f (x - xy ) = f (x ) = f (2x ), "x , y Ỵ  Hay f (a + b) = f (a ) + f (b) "a, b Î  (6) 2,0 Thật vậy: (6) hiển nhiên với a + b = ì ïx + xy = a Với a, b mà a + b ¹ ta có hệ ïí có nghiệm ï x - xy = b ï ỵ ìï ïïx = a + b ï , từ í a -b ïï ïïy = a +b ïỵ f (a ) + f (b) = f (a + b) Do (6) Ta có f ((x + 1)2 ) = (x + 1)f (x + 1) = (x + 1)( f (x ) + 1) Và f ((x + 1)2 ) = f (x + 2x + 1) = f (x ) + f (2x ) + f (1) = xf (x ) + f (x ) + Từ hai điều ta có xf (x ) + f (x ) + = (x + 1)f (x ) + x + "x Î  hay f (x ) = x "x Î  Thử lại ta có f (x ) = "x Ỵ  f (x ) = x "x Î  tất hàm số cần tìm 0,5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , có trực tâm H Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB Đường tròn đường kính AH đường tròn (O) cắt T  A AT cắt BC Q NP cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) R a/ Chứng minh QR vng góc OH 5,0  cắt đoạn thẳng BC I b/ Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác góc BHC Gọi K hình chiếu A HI Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK tiếp xúc với đường tròn (O) a/ Gọi A1, B1,C chân đường vuông góc kẻ từ A, B, C tam giác ABC Khi AT, BC, B1C đồng quy Q ( tính chất tâm đẳng phương ba đường tròn (O ),(AH ),(BC ) (kí hiệu (AH ),(BC ) đường tròn 1,0 đường kính AH, BC) Ta có RA2 = RP RN QT QA = QB1.QC R,Q có phương tích đường tròn (O) đường tròn Euler ( đường tròn điểm qua P, N, B1,C ) Ta biết tâm đường tròn Euler trung điểm OH nên RQ ^ OH 1,0 1,0 b/ Ta chứng minh tốn trường hợp hình vẽ, trường hợp khác chứng minh tương tự Gọi AH cắt (O) D khác A, AE đường kính (O) Trước tiên ta có H D đối xứng qua BC tứ giác HBEC hình bình hành đồng thời điểm T, H, M, E thẳng hàng  = HAK  = KTH  = KTM  T, I, M, K thuộc đường tròn Ta có HIA Ta chứng minh T, I, D thẳng hàng Thật gọi TD cắt BC J Khi tính đối xứng  = BDJ  = BDT  = BET  = BEH  = EHC  , J trùng với I BHJ  = TED  = TMI  Tx tiếp tuyến Gọi Tx tiếp tuyến T (O) Khi xTD đường tròn ngoại tiếp tam giác TMI hay Tx tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK Hay Tx tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) đường tròn ngoại t iếp tam giác MIK, ta có điều phải chứng minh 2,0 Tìm tất giá trị tự nhiên n để biểu thức A  (3n)! có giá trị nguyên n !(n  1)!(n  2)! Rõ ràng n = 0,1,2, không thỏa mãn Xét n ³ , với p số ngun tố bất kì, ta có é 3n ù é n ù é n + 1ù é n + ù v p ((3n )!) = å ê k ú ; v p (n !(n + 1)!(n + 2)!) = å (ê k ú + ê k ú + ê k ú) êp ú ê p ú ê p ú êp ú k ë û ë û ë û ë û é 3n ù é n ù é n + ù é n + ù ú+ê ú (1) Thật vậy: +) Để ý rằng, với m ³ ta có ê ú ³ ê ú + ê ê m ú êm ú ê m ú ê m ú ë û ë û ë û ë û Đặt n = mk + r với k, r thương dư phép chia n cho m Khi é é 3r ù 3r ù * Nếu r £ m - VP(1) = 3k VT(1)= ê 3k + ú = 3k + ê ú ê êm ú m úû ë ë û é é 2m - ù 3m - ùú ú * Nếu r = m - VP(1) = 3k + VT(1)= ê 3k + = 3k + + ê ê ú ê m ú m ë û ë û é ù é ù 3m - ú m - 3ú * Nếu r = m - VP(1) = 3k + VT(1)= ê 3k + = 3k + + ê ê ú ê ú m û ë ë m û Do m ³ nên trường hợp cho ta VT(1)  VP(1) Như với số nguyên tố p >2 với số k ³ ta có é 3n ù é n ù é n + ù é n + ù ê ú³ê ú+ê ú+ê ú ê pk ú ê pk ú ê pk ú ê pk ú ë û ë û ë û ë û é 3n ù é n ù é n + ù é n + ù Với p = k ³ ta có ê k ú ³ ê k ú + ê k ú + ê k ú ê ú ê2 ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û é 3n ù é n ù é n + 1ù é n + ù ú+ê ú +) Xét riêng với p = , dễ thấy ê ú + = ê ú + ê ê2ú ê2ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û én + ù k k +1 Lại gọi k số tự nhiên lớn mà ê k ú khác Nói cách khác, ta có £ n + < ê 20 ú ë û k +1 Khi 3n = 2(n + 2) + n - ³ n ³ æ é n ù é n + ù é n + ù ÷ư é 3n ù ç ê ú ³ Vậy nên ta có å k ỳ cũn ỗỗỗ ờờ k ỳỳ + êê k úú + êê k úú ÷÷÷ =0 k >k0 ë û k >k0 è ë û ë û ë ûø Tóm lại ta có v p ((3n )!) ³ v p (n !(n + 1)!(n + 2)!) với số nguyên tố p n ³ Vậy tất số tự nhiên n cần tìm n ³ 3,0 0,5 1,5 1,0 a/ Cho S tập gồm 2017 số nguyên tố phân biệt M tập gồm 2018 số tự nhiên phân biệt cho số M khơng số phương có ước nguyên tố thuộc S Chứng minh chọn M số số có tích số phương b/ Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, học sinh tham gia nhiều câu lạc câu lạc có học sinh tham gia Biết khơng có câu lạc có học sinh giống Chứng minh có câu lạc chung học sinh a/ Số tập phân biệt khác tập rỗng M 22018  4,0 Gọi tập M , M , , M 2018 1 tích phần tử M i Giả sử phần tử S p1  p2   p2017 i2017 ki j  0;1 Ta viết tích dạng  bi2 p1 i1 p2i2 p2017 k k k 0.5 Ta có 22018  (ki1 , ki2 , , ki2017 ), ki j  0;1 nên có tối đa 22017 phân biệt Do tồn trùng nhau, giả sử ứng với hai tích am , an Khi tích am an số phương Bây ta cần bỏ phần tử thuộc giao M m M n ta lại phần tử khác mà tích số phương 1,0 Do tốn chứng minh b/ Giả sử khơng có câu lạc chung học sinh Nếu học sinh tham gia câu lạc có tất 32 câu lạc bộ, mâu thuẫn Suy có học sinh tham gia nhiều câu lạc bộ, giả sử A tham gia câu lạc thứ 1, 2, 0,5 Xét câu lạc có A, B C Câu lạc thứ có B C, giả sử A, B D Nếu câu lạc thứ khơng có B phải có C D, nghĩa có A, C D 1,0 Khi khơng tồn cách chọn câu lạc thứ Suy câu lạc thứ có B, có A, B E Lập luận tương tự ta suy câu lạc có A có B ngược lại có B có A Giả sử A tham gia k câu lạc B tham gia k câu lạc Mỗi học sinh lại tham gia nhiều k câu lạc học sinh câu lạc với A, B không tham gia câu lạc (nếu C tham gia câu lạc khác câu lạc chung với A, B, C học sinh C, trái giả sử) Lúc 30 – k học sinh tham gia 33 – k câu lạc Lập luận lại từ đầu (do 30 – k nhỏ 33 – k), tồn học sinh tham gia nhiều câu lạc 1,0 Quá trình diễn vơ hạn, điều vơ lí ta có hữu hạn học sinh hữu hạn câu lạc Bài tốn tổng qt: Có n học sinh tham gia n + câu lạc bộ, học sinh tham gia nhiều câu lạc câu lạc có học sinh tham gia Biết khơng có câu lạc có học sinh giống Chứng minh có câu lạc chung học sinh Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, khơng làm tròn điểm  ...UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018 Môn thi: Toán Đáp án Cho dãy số  xn  Điểm... tập gồm 2018 số tự nhiên phân biệt cho số M khơng số phương có ước nguyên tố thuộc S Chứng minh chọn M số số có tích số phương b/ Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, học sinh tham gia nhiều... cách chọn câu lạc thứ Suy câu lạc thứ có B, có A, B E Lập luận tương tự ta suy câu lạc có A có B ngược lại có B có A Giả sử A tham gia k câu lạc B tham gia k câu lạc Mỗi học sinh lại tham gia