Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File wordTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 10 Số phức và ứng dụng Lê Hoành Phò File word
CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Số phức phép toán Tập hợp số phức £ , đơn vị ảo i với i 1 - Số phức (dạng đại số): z a bi a, b ¡ a phần thực, b phần ảo z Kí hiệu Re z a, lm z b - Số phức liên hiệp số phức: z a bi, a, b ¡ z a bi z số thực phần ảo z z z z số ảo phần thực z z z z số phức vừa số thực vừa số ảo - Môđun số phức: z a bi, a, b ¡ z a b2 zz - Phép toán: a bi a ' b ' i a a ' b b ' i a bi a ' b ' i a a ' b b ' i a bi a ' b ' i aa ' bb ' ab ' ba ' i z : z 1 ( a, b, a ', b ' ¡ ) 1 z' z'z z'z z; z '.z 1 z z z zz z Chú ý: 1) i m 1; i m1 i; i m2 1; i m3 1 2) z z; z z ' z z '; zz ' z.z ' z' z' z' z' , z z z z 3) zz ' z z ' ; z z ; Số phức dạng lượng giác - Cho số phức: z a bi với a, b ¡ , z , ta có r cos i sin với r dạng lượng giác số phức: z a bi r a b ,cos a b ,sin r r acgumen z với số đo rađian Trang Góc lượng giác Ox, OM k 2 tức acgumen sai khác k 2 với k i cos 12 i.sin 12 1 i z Khi z khơng có dạng lượng giác dạng lượng giác không xác định - Nếu z r cos i sin , z ' r ' cos ' i sin ' có: zz ' rr ' cos ' i sin ' z r cos ' i sin ' , z ' z' r' Công thức Moa-vrơ Với n số nguyên, n r cos i sin r n cos n i sin n n Đặc biệt: cos i sin cos n i sin n n Căn bậc hai, bậc n số phức - Số phức z bậc hai số phức w z w Ta viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc thu gọn trình tìm bậc hai w - Số phức z bậc n số phức w z n w Đặc biệt đơn vị: cos i sin n cos n i sin n cos0 i sin k 2 , k 0,1, 2, , n n Do phương trình z n có n nghiệm phức (là bậc n đơn vị) zk cos k 2 k 2 i sin , k 0,1, 2, , n n n Kết tổng của đơn vị Phương trình bậc hai, bậc n Phương trình bậc hai Az Bz C với A 0, B, C số phức Lập biệt thức: B2 AC Nếu phương trình có nghiệm kép z B 2A Nếu ta tìm bậc hai phương trình có nghiệm phân biệt z1,2 B 2A Định lý Viet: Nếu hai nghiệm phương trình bậc hai: Trang Ax2 Bx C thì: S B C P A A Đảo lại, hai số phức nghiệm phương trình bậc hai: x x - Phương trình bậc n: A0 z n A1z n1 An1z An A0 , A1 , , An n số phức cho trước, A0 , n số ngun dương ln có n nghiệm phức, khơng thiết phân biệt Hệ phương trình - Dùng biến đổi tích số, rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… hệ phương trình đại số để giải - Đặt z x yi, x, y ¡ z ' x ' y ' i , x ', y ' ¡ vào hệ, đồng để tìm x, y, x ', y ' Biểu diễn số phức: - Biểu diễn hình học: Số phức z x yi, x, y ¡ biểu diễn điểm M x; y hay vectơ 4i x; y mặt phẳng tọa độ Oxy gọi mặt phẳng phức Trục thực trục i 1 hoành trục ảo trục tung uuuur uuuur - Nếu z, z ' biểu diễn M , M ' z z ' biểu diễn OM OM ', z z ' biểu diễn uuuur uuuur uuuuuur OM OM ' M ' M Tập điểm biểu diễn số phức: - Gọi điểm M x; y biểu diễn số phức z x yi x, y ¡ - Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ x y hay quanh hệ M điểm khác để xác định dạng loại tập điểm cần tìm CÁC BÀI TỐN Bài tốn 10.1: Thực phép tính sau: 10 1 i A 1 i 3i 3i i 1 i 33 B 1 i 1 i 1 i 1 i 20 Hướng dẫn giải i 1 i i 2i 2i i Ta có: i i2 11 2 Trang 1 i 33 16 Nên: i i i i Và 1 i i 2i 2i 1 i 33 Nên 1 i 2i 32i Từ tính C 13 32i 10 1 i 1 i q 21 Ta có D u1 1 q 1 i i 21 mà 1 i 1 i 1 i 21 20 21 1 i 2i 10 1 i 210 210 i.210 Vậy: D 210 i.210 i 210 210 1 i Bài toán 10.2: Cho số phức z thỏa mãn: a) z 1 z i z Tính z2 z 2i b) z i Tính 1 i z z 1 Hướng dẫn giải a) Ta có z 1 z z z 3 z , z z2 z 2 i z2 4z z 2 i Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Với z 2 i, z i 2 2i 10 z i 26 i 13 z 2i 2 3i 13 13 z 2i Với z 2 i, z i 2 z i i z 2i 2 i 5 z 2i b) Đặt z a bi, a, b ¡ Trang 4 i a b a bi b a 1 i z 1 Ta có: z a b a b a 1, b 2 a 2, b b a Với a 1, b 2 , 1 i z 1 i 1 2i 3i Với a 2, b , 1 i z 1 i 2 i 3i Bài toán 10.3: Cho số phức z Hỏi số sau số thực hay số ảo a) z z zz b) z3 z Hướng dẫn giải Ta tính số phức liên hiệp: a) z z b) zz zz z3 z z z z z Vậy z z z z3 zz z3 z Vậy số thực zz z3 z số ảo Bài tốn 10.4: Tìm bậc hai số phức a) 3i b) 17 20 2i Hướng dẫn giải a) x, y ¡ Giả sử: x yi 3i x y xy i 12 x x2 x y x 2 xy y y x x 2 Từ có bậc hai là: z1 3i, z2 2 3i b) x, y ¡ Giả sử: x yi 17 20 2i x y 17 xy 10 i Trang 2 x 5, y 2 x y 17 x 5, y 2 xy 10 Vậy có hai bậc hai 2i, 5 2i Bài toán 10.5: Tìm bậc hai w a bi a, b ¡ Hướng dẫn giải Gọi z x yi, x, y ¢ bậc hai w a bi a, b ¡ x2 y a x yi x y xyi a bi * xy b x2 y a x2 y a 2 4 x y b x y x y b xyb xyb a b2 a x x2 y a a b2 a 2 2 x y a b y xyb xyb Vậy bậc hai cần tìm w a bi là: Hay a b2 a i a b2 a i a b a a b a Bài tốn 10.6: Tìm bậc ba số phức b b 1 i Hướng dẫn giải Đặt z x iy, x, y ¡ bậc ba x3 3xy i 3x y y 1 i 1 i :z 2 1 i Trang x 3xy 3x y y x y x y xy 2 2 x y x y xy - Xét x y y x nên x3 3x3 1 1 1 x x 2 2 1 i Ta có được: z1 2 Do đó: y - Xét x y xy x y x y 2 xy x y Ta có hệ: x y xy xy Từ có bậc ba là: z1 i 2 1 z3 1 1 1 i ; z2 i 4 1 Bài tốn 10.7: Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) z.z z z 3i b) z phần thực z hai lần phần ảo Hướng dẫn giải a) Đặt z x iy, x, y ¡ Ta có: z.z z z x y 3.2iy x y yi 15 x x y Do đó: z.z z z 3i 6 y 3 y Vậy z 2 15 i 15 i z 2 2 Trang z 5 a b2 b) Giả sử z a bi, a, b ¡ Ta có: a 2b a 2b a a 2b a 2 hay b b b Vậy có hai số phức cần tìm: z 2 i 5, z i Bài toán 10.8: Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) z z i có z i z số ảo b) z i z z 3i 2 Hướng dẫn giải a) Đặt z x yi, x, y ¡ Khi đó: z z i y 2 y 1 i y 1 y mà: z i z x yi x 1 y i x x y 1 y x 1 y xy i nên z i z số ảo phần thực: x x y 1 y x 3 Với y , ta có x x x x Với y , ta có x x x Vậy z 3 1 i, z i , z i , z i 2 2 2 2 b) Đặt z x yi x, y ¡ Khi đó: z 1 z z 3i 2 Trang x y 1 i x yi x y 3 i 2 x y 1 x y 1 i x y x y 3 x y 3 i 2 2 2 2 x y 1 x y x y 3 2 x y 1 4 x y 3 2 2 2 x y 1 x y x y 3 2 x y Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 7 y y x 3 hay 2 y 10 y 21 497 x x 497 36 Vậy z 497 i 36 Bài toán 10.9: Viết dạng lượng giác số phức: a) i 1 i b) 1 i 1 i Hướng dẫn giải i sin ,1 i cos i sin 4 3 a) i cos nên i 1 i 2 cos i sin 4 2 cos i sin 12 12 Trang b) 1 i cos i sin 1 i 2 4 7 7 cos i sin 12 12 Bài tốn 10.10: Tìm acgumen số phức a) z 1 i b) z i Hướng dẫn giải a) Ta có: z 1 1 i 2 i 2 2 2 2 2 i 2 cos 2a cos 2a , sin a 2 Dùng công thức hạ bậc: cos a Ta tính được: cos 2 2 sin 2 Vậy acgumen số phức 2k , k ¢ b) Biểu diễn hình học số phức z i số phức z tương ứng với điểm A 3,1 Đặt · AOH ta có tan sin 2 AH 2 OH 2 tan tan 22 42 3 2 2 84 Tương tự cos 2 Suy ra: 2 tan tan 2l 12 l Chọn 12 k 2 Trang 10 155 24i Bài toán 10.27: Cho số phức z1 , z2 thõa mãn điều kiện z z z1 z2 z1 z2 Tính T z2 z1 Hướng dẫn giải Đặt z1 w ta z2 w z2 z2 w z2 z2 Hay w w Giả sử w a bi a, b ¡ Khi ta có a 1 b a b a - Với w ,b 2 i cos i sin 2 3 4 4 4 4 1 w cos cos i sin i sin 3 3 w 4 z z 4 1 Do T w4 2cos 1 w z2 z1 4 z z 1 i , tương tự T w4 1 - Với w 2 w z2 z1 Bài toán 10.29: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z 3i b) z i 1 z i Hướng dẫn giải a) Giả sử: z x yi, x, y ¡ , Ta có: z 3i x y 3 i x y 3 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 2;3 , bán kính R b) Giả sử: z x yi, x, y ¡ , ta có: Trang 22 z i z i z i x y 1 i x y 1 i z i x y 1 x y 1 y 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z trục thực Ox Bài toán 10.30: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: b) z z z a) z i z z 2i 4 Hướng dẫn giải a) Gọi z x yi, x, y ¡ Ta có: z i z z 2i x y 1 i y 1 i x y 1 y 1 y x2 x2 Vậy tập hợp cần tìm parabol y 4 b) Gọi z x yi, x, y ¡ Ta có: z z xyi xy xy xy 1 Vậy tập hợp cần tìm hai hyperbol y 1 y x x Bài toán 10.31: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) z bậc hai a i, a thay đổi b) z2 có acgumen z2 Hướng dẫn giải a) Viết z x yi x, y ¡ 2 y x y a z2 a i 2x 2 xy x y2 a Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hyperbol y Vì với điểm x, y hyperbol này, tìm 2x a x y nên M vạch nên toàn hai nhánh hyperbol Trang 23 Vậy tập hợp điểm biểu diễn bậc hai hyperbol y z z z zz z z z2 z2 z2 z2 b) Ta có số phức 2x có acgumen zz z z l i , l số thực dương Viết z x yi x, y ¡ thì: z.z z z x y yi nên zz z z l i , ( l ) x2 y yi l l 3i l 2 x y l l 0 y x y 3, y 4 y l Mà: y x y 2 16 x y 0 3 Vậy M chạy cung tròn có tâm điểm biểu diễn i có bán kính nằm phía trục 3 thực Bài toán 10.32: Chứng minh rằng: w z a) Nếu z bậc hai số phức w b) Nếu z1 khác z2 : z1 z2 z1 z2 số ảo z1 z2 Hướng dẫn giải a) Nếu z bậc hai w z w Nên z z w Vậy: z b) Với điều kiện z1 z2 , z w z1 z2 z z2 z1 z2 số ảo z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 Bài tốn 10.33: Tìm số nguyên dương n: Trang 24 a) z n số thực, số ảo với số phức z i n n i 5i b) Nhỏ cho z1 số thực z2 số ảo 3i 3i Hướng dẫn giải a) Ta có: z i cos i sin 6 Áp dụng cơng thức Moivre z n 2n cos z n số thực n k n 6k , k ¥ * n n i sin 6 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 z n số ảo b) Ta có: n 2k 1 n 2k 1 , k ¥ i i cos i sin 2 6 3i n n i n n i sin nên z1 cos i sin cos 6 6 3i z1 số thực sin n n 6k , với k nguyên dương 5i 5i i cos i sin nên z2 Ta có 3i 4 3i cos i sin 4 z2 số ảo cos n n 2 n n n 2 i sin n 2 cos 4 n 4l Trang 25 n 4l , với l ngun dương Bài tốn 10.34: Tính sin 4 cos 4 theo lũy thừa sin cos Hướng dẫn giải Ta tính cos i sin theo cách: cos i sin cos 4 i sin 4 cos i sin cos cos3 i sin cos i sin cos i3 sin i sin cos4 6cos2 sin sin 4cos3 sin 4cos sin3 i Từ có: cos 4 cos4 6cos2 sin sin sin 4 4cos3 sin 4cos sin Bài toán 10.35: Cho z cos i sin ¡ Chứng minh rằng: a) z n 1 2cos n ; z n n 2i.sin n với số nguyên n n z z b) cos 1 cos 4 4cos 2 3 ,sin sin 5 5sin 3 10sin 16 Hướng dẫn giải a) Ta có z cos i sin ¡ nên z n cos n i sin n , Do z n cos n i sin n nên: zn 1 2cos n , z n n 2i sin n n z z b) Khi n ta có: z 1 2cos , z 2i sin z z 1 1 1 1 cos z ;sin z nên 2 z 2i z 1 cos z z 2 1 1 2 z z C4 z z C4 1 2cos 4 4.2cos 2 cos 4 4cos 2 3 Trang 26 1 1 1 sin z z C51 z C52 z z i z z z 2i 1 2sin C sin C sin sin 5 5sin 3 10sin 5 25 16 Bài toán 10.37: Cho số thực a, b cho sin a 0 Với số nguyên n 1, tính tổng S cos b cos a b cos 2a b cos na b T sin b sin a b sin 2a b sin na b Hướng dẫn giải Đặt cos a i sin a, cos b i sin b thì: S iT cos b i sin b cos a b i sin a b cos 2a b i sin 2a b cos na b i sin na b n 1 n n1 a (để ý sin ) 1 cos n 1 a i sin n 1 a cos a i sin a n 1 a na na cos b i sin b Từ suy ra: a sin sin S n 1 n 1 a sin a na na 2 cos b , T sin b a a sin sin 2 sin Bài toán 10.38: Tính tổng hữu hạn: A Cn2 Cn4 Cn6 B Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 Hướng dẫn giải Ta có: 1 i n n C i k 0 k k n Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i Trang 27 Cn2 Cn4 Cn6 i Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 A Bi Mặt khác: 1 i n n n n cos i sin 2n/2 cos i sin 4 4 Vậy A 2n /2 cos n n n /2 B sin 4 Bài toán 10.39: Chứng minh: 1 n Cn4 Cn8 2n1 2n/2 cos 2 1 n Cn1 Cn5 Cn9 2n1 2n/2 sin 2 Hướng dẫn giải Ta có 1 i n n C i k k n k 0 1 i n n Cn1 Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i 1 Cnk i k Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i n k 0 Và 2n 1 1 n n C k n k 0 n Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 1 1 1 Cnk Cn0 Cn1 Cn2 1 Cnn n n n k 0 Do Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 2n1 Suy Cn1 Cn5 Cn9 2n1 2n /2 cos n đpcm r ur Bài toán 10.40: Các vectơ u, u ' mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z, z ' Chứng minh: r ur r ur a) Tích vơ hướng u.u ' thỏa mãn: u.u ' r zz ' z z ' r ur b) Nếu u u, u ' vng góc z' số ảo; z Hướng dẫn giải a) Viết z x yi , z ' x ' y ' i x, y, x ', y ' ¡ r ur thì: u.u ' xx ' yy ' và: zz ' zz ' x yi x ' y ' i x yi x ' y ' i xx ' yy ' Trang 28 r ur Nên: u.u ' zz ' z z ' r ur b) u.u ' zz ' zz ' Do ddos: r ur z' z' z' z' z' u.u ' số ảo z z z z z Bài toán 10.41: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 a) Trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào? b) Giả sử z1 z2 z3 Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác khi: z1 z2 z3 Hướng dẫn giải uuur a) G trọng tâm tam giác ABC khi: OG uuur uuur uuur OA OB OC uuur uuur uuur Vì OA, OB, OC theo thứ tự biểu diễn z1 , z2 , z3 nên G biểu diễn số phức z1 z2 z3 b) Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O nên tam giác ABC tam giác trọng tâm G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức G hay z1 z2 z3 Bài tốn 10.42: Giải hệ phương trình: x3 3xy 1 a) y 3x y 2 x y xy b) 2 x y 21 y 10 x Hướng dẫn giải a) Điều kiện x y Xét số phức z x yi, x, y ¡ thì: z x3 3xy 3x y y i x 3xy 1 x3 3xy 3x y y i 1 i Hệ y 3x y 2 2 z 1 i cos i sin 3 2 2 z cos i sin 9 8 8 i sin ; cos 9 14 14 i sin ; cos 9 Suy nghiệm hệ: Trang 29 2 8 14 x cos x cos x cos 9 hay hay y sin 2 y sin 8 y sin 14 9 b) Xét số phức z x yi, x, y ¡ z x y xyi 2 x y xy xy x y 2 2 x y 21 y 10 x x y 10 x y 21 Hệ x y 10 x y 21 xy x y i x y xyi 10 4i x yi 21 4i z 2i z 21 4i z 2 2 i hay z 2 2 i x 2 Suy nghiệm hệ phương trình: y 2 x 2 hay y 2 Bài toán 10.43: Phân tích thành a) Nhân tử bậc của: f x cos n arccos x b) Tổng phần tử đơn của: P x x2 x4 Hướng dẫn giải a) f x cos n arccos x n arccos x k x cos 2k 2n Theo định nghĩa hàm số lượng giác ngược 1 2k 0 hay k n tức k 0,1.,,,.n 2 2n n 1 n 2k 2k f x cos n arccos x a0 x cos a0 x cos 2n 2n k 0 k 1 Đặt arccos x v từ cơng thức MOIVRE ta có: cos nv cos nv Cn2 cos n 2v sin v Cn4 cos n 4v sin v x n Cn2 x n2 1 x Cn4 x n4 1 x Nên hệ số cao a0 Cn2 Cn4 Cnn 2n1 Trang 30 Vậy: cos n arccos x n 1 n x cos k 1 2k n x2 x2 x2 b) Ta có: P x x x 1 x 1 x 1 x 1 x i x i Áp dụng công thức nội suy Lagrăng cho f x x số x1 1, x2 1; x3 i, x4 i, x x xi : f xi f x x i 1 ' xi x xi Do P x 1 i i C x x 1 x 1 x i x i 1 R x x 1 x 1 x 1 Bài toán 10.44: Chứng minh: a) x3m x3n1 x3 p2 M x2 x với m, n, p nguyên dương ka k 1 b) f x x ka1 x ka2 1 x k chia hết cho: g x x k 1 x k 2 Hướng dẫn giải a) Để chứng minh đa thức f x chia hết cho đa thức g x , ta cần chứng minh nghiệm g x nghiệm f x Nếu gọi w nghiệm x x w2 w hay w2 w nên w3 w2 w w w Thay w vào đa thức thứ ta có: w3m w3n1 w3 p2 w w2 Vậy w nghiệm đa thức x x (đpcm) b) Gọi nghiệm g x , ta có: g k 1 k 2 nên giá trị bậc k đơn vị, nghĩa ta có k Do f ka1 ka2 1 kak k 1 k 1 g x (đpcm) Vì vậy, nghiệm g x nghiệm f x nên f x M Trang 31 Bài toán 10.45: Cho n số nguyên dương đa đa thức P x với hệ số thực sau P x m 1 x x 1 n 3m x n Tìm tất giá trị thực m để x x 1| P x Hướng dẫn giải Xét x x x , Khi P m 1 1 n 3m n m 1 n6 3m n m 1 n 3m n 4m 1 n Theo giả thiết, suy P m Bài tốn 10.46: Tìm tất đa thức p x Z x monic bậc hai cho tồn đa thức q x Z x mà hệ số đa thức r x p x q x thuộc 1;1 Hướng dẫn giải Dễ thấy p x x ax , với a ¢ Giả sử r x an x n an1x n1 a1x a0 , 1;1 , i 0,1, , n Gọi z nghiệm phức r x z ta có n 1 a z z i z i i 0 an n Suy z n n z 1 z n i n1 i n1 i z z z z a z 1 i 0 n i 0 i 0 n n 1 1 z n z 2 1 z Vậy nghiệm r x có mơđun nhỏ Từ gọi z1 , z2 nghiệm p x ta có z1 , z2 , ta có z1 z2 z1 z2 Khơng tính tổng qt ta giả sử z1 z2 z1 2,0 z2 Ta lại có: a z1 z2 z1 z2 a 2; 1;0;1;2 Với a , ta có q x x Với a 1, ta có q x Với a 2 Kiểm tra p x x x có q x x m1 , với p x x x khơng thỏa mãn có nghiệm có mơđun lớn Vậy có đáp số p x x 1, x x 1, x x Trang 32 Bài toán 10.47: Cho đa thức P x rx3 qx px p, q, r số thực với r Xét dãy số an : a0 1; a1 p, a2 p q an3 pan2 qan1 ran n 0 Chứng minh đa thức P x có nghiệm thực khơng có nghiệm bội dãy an có vơ số số âm Hướng dẫn giải Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Từ điều kiện đề suy phương trình đặc trưng phương trình sai phân x3 px qx r có nghiệm thực âm hai nghiệm phức liên hợp Giả sử ba nghiệm a, R cos i sin , R cos i sin với a 0, R , an C1 a C2 R n cos i sin C3 R n cos i sin C1 , C2 , C3 số n n n đó, C2 , C3 số phức liên hợp Đặt C2 R * cos i sin với 0;2 , ta có an C1 a R n R * cos i sin cos n i sin n n R* cos sin cos n i sin n C1 a R n R * cos n n Giả sử ngược lại tồn n cho an với n n0 Khi ta có an1 aan 2R R * R cos n 1 a cos n 2R R *.C.cos n ( C 0, 0;2 ) với n n 2R n1R * cos n 1 a2R n R * cos n n n * * Điều khơng xảy nên tồn vô số n cho: Trang 33 3 n * k 2 , 2k 2 BÀI LUYỆN TẬP 1 i 1 i i tan x Bài tập 10.1: Tính: a) i tan x b) Hướng dẫn a) Nhân số phức liên hiệp mẫu Kết cos x i sin x b) Kết Bài tập 10.2: Tìm phần thực phần ảo số phức: a) z i với số phức z x iy x, y ¡ iz b) z i i i 2017 Hướng dẫn a) Tính trực tiếp Kết 2 xy x y 1 y x2 x y 1 qn b) Dùng tổng n số hạng cấp số nhân Sn u1 1 q tách lũy thừa i 8 Bài tập 10.3: Cho z x yi, x, y ¡ Chứng minh z a b Khi đẳng thức xảy Hướng dẫn Tính trực tiếp Kết b a Bài tập 10.4: Viết số phức sau dạng lượng giác: a) cos i sin ;cos i sin b) sin i cos;sin i cos Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa lượng giác công thức lượng giác Kết cos i sin ;cos i sin Trang 34 i sin ;cos i sin 2 2 2 2 b) Kết cos Bài tập 10.5: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm số có acgumen dương nhỏ a) z i b) z 5i Hướng dẫn a) Gọi z x yi, x, y ¡ tìm tập điểm thỏa mãn Kết z i b) Kết 12 16 i 5 Bài tập 10.6: Giải phương trình tập số phức: a) z 1 3i z 1 i b) 3z 5z 3z z Hướng dẫn a) Lập Kết 2i, 1 i b) Biến đổi tích nhờ nhẩm nghiệm, dự đoán nghiệm Kết i;1 i; 13 13 ; 6 Bài tập 10.7: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a) số ảo z i b) z i z i Hướng dẫn a) Gọi z x yi, x, y ¡ tính trực tiếp z i Kết trục ảo Oy trừ I 0;1 b) Gọi z x yi, x, y ¡ biến đổi tương đương Kết Elip Bài tập 10.8: Chứng minh rằng: a) Nếu phương trình an z n an1 z n1 a2 z a1z a0 với hệ số thực có nghiệm phức z0 z0 nghiệm phương trình b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự số: 1 i; 1 i;2i;2 2i nằm đường tròn Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa nghiệm số phức liên hiệp b) Lập phương trình đường tròn qua A, B, C thử tọa độ D Trang 35 Hay nhận xét AC AD, BA BD vng góc nên thuộc đường tròn đường kính CD Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z 1 b) z z z 1 1 z 3 Hướng dẫn a) z 1 z i z i hay z i Kết 2 1 i 1 i 2 b) Kết z1 1 i z2 1 i Bài tập 10.10: Chứng minh đa thức P z hàm số chẵn z £ tồn Q z thỏa mãn: P x Q z Q z , z £ Hướng dẫn Chứng minh quy nạp theo m số nghiệm khác đa thức P z , tức tồn Q z thỏa mãn P z Q z Q z Trang 36 ... i 1 i 21 20 21 1 i 2i 10 1 i 210 210 i. 210 Vậy: D 210 i. 210 i 210 210 1 i Bài toán 10. 2: Cho số phức z thỏa mãn: a) z 1 z i z Tính... , n n Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10, 11,12: Bài tốn 10. 25: Giải hệ phương trình nghiệm phức: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851... mua file word trọn chuyên đề khối 10, 11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 7 y y x 3 hay 2 y 10 y