PHẦN I : GIỚI THIỆU CHUNG 1.Lời dẫn Phương pháp quy nạp tốn học hình thức suy luận,hơn nữa, phương pháp chứng minh cổ điển toán học (một số sử gia cho phương pháp sử dụng từ trước công nguyên Plato,Aristotle) Có thể nói phương pháp chứng minh hiệu quả, việc đưa vào chương trình Tốn trung học phổ thơng tất yếu Bên cạnh đó, việc thực bước chứng minh quy nạp giúp học sinh phát triển lực trí tuệ (tổng hợp, khái quát hóa) Phép quy nạp sử dụng rộng rãi số học đại số lý thuyết số Và phép quy nạp coi tuyệt chiêu tốn học Nó phương pháp tiếp cận toán độc đáo Quy nạp thường dùng việc chứng minh khẳng định Nhìn chung, giải tốn theo phương pháp quy nạp nghĩa đưa toán thành toán nhỏ để giải Hai toán nhỏ thường : Phần 1: Là tốn tương tự tốn cho, có giả thiết trường hợp đặc biệt giả thiết toán ban đầu, Phần thường giải dễ dàng Phần 2: Ta chứng minh sau phép biến đổi (*) giả thiết toán tương tự toán ban đầu thành giả thiết khác, điều khẳng định (Với điều kiện sau số lần hữu hạn thực phép biến đổi (*) giả thiết Phần 1, ta thu toán ban đầu, nhờ toán ban đầu chứng minh).Quy nạp toán học nét đặc trưng suy luận toán học Tư quy nạp cần thiết số học, đại số, tổ hợp, hình học giải tích, nói chung tất lĩnh vực tốn học 2.Vai trò chỗ đứng “Tuy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu phương pháp tốn học, vai trò quy nạp khơng phải khơng quan trọng Vai trò quy nạp thể xây dựng khái niệm mới, chọn lọc tiên đề trước chứng minh định lí, nói lúc nhà toán học dùng phương pháp quy nạp lúc quan trọng phát triển toán học” Mặc dù thực tế dạy học, trọng đến suy diễn, suy luận ,chứng minh mà chưa ý đến quy nạp, đến khả tư độc lập sáng tạo, phát học sinh Điều trình bày rõ phần sau khoá luận Là sinh viên sư phạm tốn, tơi mong muốn góp phần nhỏ vào vấn đề đổi phương pháp, nâng cao hiệu dạy học, đáp ứng yêu cầu ngày cao khoa học kĩ thuật, đời sống xã hội người lao động phục vụ cho công tác xã hội sau nên chọn đề tài: “Phương pháp chứng minh quy nạp” Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phép quy nạp toán học toán liên quan Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán sử dụng phương pháp quy nạp toán học Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo tài liệu internet có liên quan đến đề tài tiểu luận) để thu thập thơng tin trình bày lại theo thể khép kín; tập hợp dạng tốn phục vụ cho yêu cầu đề tài, tìm hiểu cách giải phân loại PHẦN II: PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP 1.Khái quát chung : 1.1.Khái niệm quy nạp: - “Quy nạp” theo nghĩa dùng để quy luật nhờ mà thu kết luận tổng quát, dựa vào loạt khẳng định riêng biệt - Quy nạp hoàn toàn mệnh đề tổng quát chứng minh theo trường hợp số hữu hạn trường hợp có Ví dụ 1:: Chúng ta xác lập : “ Mỗi số chẵn n khoảng biểu diễn dạng tổng số nguyên tố ” Muốn phân tích: [ 4;100] = 2+2 = 3+3 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5 98 = 93+5 100 = 97+3 Sau thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức chứng tỏ rằng, thực tế số chẵn khoảng xét biểu diễn dạng tổng số nguyên tố -Quy nạp khơng hồn tồn: Trong trường hợp kết luận tổng quát rút không dựa kiểm tra tất trường hợp xảy mà sở số đủ lớn trường hợp ta có quy nạp khơng hồn tồn Quy nạp khơng hồn tồn vận dụng nhiều khoa học thực nghiệm Chẳng hạn cách người ta thiết lập nên định luật bảo toàn khối lượng: định luật Lômônôxôp phát biểu thừa nhận Lavoadiê kiểm tra đắn với độ xác đủ lớn điều kiện đủ khác Trong toán học, quy nạp khơng hồn tồn khơng xem phương pháp chứng minh chặt chẽ, áp dụng hạn chế Bởi mệnh đề tốn học bao hàm số vơ hạn trường hợp riêng, người ta tiến hành kiểm tra số vô hạn trường hợp được.Chẳng hạn sau có kết với 49 trường hợp ví dụ 1, ta chưa thể đưa kết luận rằng, số tự nhiên chẵn phân tích thành tổng hai số nguyên tố Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn phương pháp “gợi mở” hiệu lực để tìm chân lý Chúng ta tham khảo vài ví dụ Ví dụ Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp Chúng ta xét trường hợp riêng biệt: + với n=1 : 1=1 = 12 mà + với n=2 : 1+3=4 = 22 mà + với n=3 : 1+3+5=9 = 32 mà + với n=4 : 1+3+5+7=16 mà + với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà 16 = 25 = Sau xét số trường hợp riêng này, ta nảy kết luận tổng quát : 1+3+5+7+9+ +(2n-1) = n2 tức : “ tổng n số lẻ liên tiếp (1) n2 ” Việc chứng minh kết luận cách chặt chẽ chứng tỏ kết luận Ví dụ 3: Tính tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp đầu tiên: S n = 13 + + 33 + + n Ta xét trường hợp riêng biệt: S1 = 13 = = 12 S = 13 + = = (1 + 2) S = 13 + + 33 = 36 = (1 + + 3) S = 13 + + 33 + = (1 + + + 4) Do nảy kết luận tổng quát : S n = (1 + + + + n) (2) Tất nhiên, điều nhận xét chứng minh đắn công thức (1) hay (2) phần sau, làm quen với phương pháp giúp chứng minh công thức (1) (2) 1.2.Phương pháp quy nạp toán học sử dụng ? Phương pháp qui nạp thực có hiệu lực với lớp tốn chứng minh ∈ mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n N Nhìn chung, quy nạp hồn tồn sử dụng quy nạp khơng hồn tồn ,quy nạp hồn tồn dùng để chứng minh tốn quy nạp theo trường hợp số hữu hạn trường hợp có (theo ví dụ trên).Mà ta biết, đa số toán quy nạp phải chứng minh tập hợp tất số nguyên dương, dùng quy nạp hoàn toàn để chứng minh việc khó khăn.Như vậy, quy nạp khơng hồn toàn đường để dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu số hữu hạn trường hợp riêng để tìm quy luật tổng quát Thế nhưng, ta biết, quy nạp không hồn tồn thường dẫn đến kết sai Ví dụ : Người ta nói : Sắt chất rắn Đồng chất rắn Platin chất rắn Vàng chất rắn ………………… Sắt, đồng, Platin, vàng kim loại Kết luận quy nạp : “Tất cá kim loại chất rắn” Kết luận không đúng, người ta thủy ngân kim loại chất rắn Vậy làm để biết quy luật tổng quát mà ta đưa đắn,chẳng lẽ ta lại thử tiếp, thử tiếp gặp trường hợp riêng mà kết luận khơng Và lấy để đảm bảo số lần thử hữu hạn Trong nhiều trường hợp để tránh khó khăn ta áp dụng phương pháp suy luận đặc biệt gọi “ phương pháp quy nạp tốn học”, cho phép thay hình dung tìm tòi theo phương pháp quy nạp khơng hồn toàn chứng minh chặt chẽ Cơ sở lý thuyết : 2.1 Nguyên lý quy nạp toán học: (Quy nạp cổ điển) 2.1.1.Cơ sở lý thuyết: n∈ N* Một mệnh đề phụ thuộc vào n ( ) coi chứng minh với số n điều kiện sau thoả mãn:  Mệnh đề với n =  Từ đắn mệnh đề với số tự nhiên n = k suy đắn với n = k+1 2.1.2.Ví dụ minh họa: Ví dụ : Chứng minh với số nguyên dương n : “Tổng n số lẻ liên tiếp n2 ” (chứng minh dự đoán ví dụ phần 1.1 ) Bài giải : Theo yêu cầu toán , ta chứng minh : 1+3+5+7+9+ +(2n-1) = n2 (1) Với n=1, ta có : 1=12 => (1) với n=1 Giả sử (1) với n=k, tức : 1+3+5+7+9+ +(2k-1) = k2 Ta cần chứng minh (1) với n=k+1, tức ta chứng minh : 1+3+5+7+9+ +(2k+1) = (k+1)2 Thật vậy,theo giả thiết quy nạp , ta có : 1+3+5+7+9+ +(2k+1) = 1+3+5+7+9+ +(2k-1) + (2k+1) = k2 +(2k+1) = (k+1)2 Vậy theo ngun lí quy nạp (1) với số nguyên dương n Bình luận : Lời giải khơng có đặc biệt ngồi kĩ nhóm số hạng tinh tế để thành lập xuất giả thiết qui nạp bước n = k+1 dẫn đến giải tốn Ví dụ 2: CMR với số nguyên dương n : 12 + 2 + + + ( n − 1) + n = n( n + 1)( 2n + 1) (2) Bài giải : Khi n = 1, 12=1 , nên (2) ≥ Giả sử (2) với n = k , tức : Ta phải chứng minh (2) với n = k +1 , tức Thật : ==+ = Vậy (1) với số tự nhiên n thuộc N* Bình luận : Lời giải khơng có đặc biệt ngồi kĩ nhóm số hạng tinh tế để thành lập xuất giả thiết qui nạp bước n = k+1 dẫn đến giải tốn y= Ví dụ : Tính đạo hàm cấp n hàm số sau : 1+ x Hướng dẫn : , = , , …, Ta có : Bây ta tìm y (k) Giả sử y Ta có : ( k +1) y (n ) quy nạp sau : k ( − 1) k! = (1 + x ) k +1 =y (k ) , [ ]  ( −1)( k + 1)(1 + x ) k  (−1) k +1 ( k + 1)! = ( − 1) k!  = ( k +1) (1 + x) ( k +1) +1  (1 + x )  k Vậy =  Bình luận : Phương pháp giải chung cho dạng tốn phân làm hai bước sau :  Bước : Tính đạo hàm cấp , hai,ba,…,cho tới dự đoán đạo hàm cấp n  Bước 2: Chứng minh đạo hàm cấp n qui nạp toán học  Chú ý : Dạng làm cần phải tính đến đạo hàm cấp ba để việc dự đoán xác  Qua ví dụ ta thấy toán chứng minh đẳng thức cách dùng phương pháp qui nạp toán học khó khăn phức tạp phần cuối bước , tức chứng minh đẳng thức với n=k+1.Khi đó, từ đẳng thức cần chứng minh ứng với n=k+1,ta biến đổi khéo léo,(dùng kĩ thuật thêm bớt ,hoặc tách số hạng… ), để sử dụng giả thiết đẳng thức với n=k, tiếp tục thực tính tốn số bước ta có điều phải chứng minh 2.1.3.Bài tập tự luyện : Bài 1: Chứng minh với số nguyên dương n ta có : a b c d Bài : a) Chứng minh số chia hết cho với số nguyên n b) Chứng minh s ố chia hết cho 23 Bài :Tính đạo hàm cấp n hàm số : 2.2.Quy nạp mạnh: 2.2.1.Cơ sở lý thuyết : Ngun lí quy nạp mạnh mơ theo sơ đồ sau : Với Sơ đồ quy nạp mạnh minh họa định lý (Thuật chia Euclide) Nếu P(x), Q(x), Q(x) không đồng 0, đa thức với hệ số thực tồn cặp đa thức S(x), R(x) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau i) P(x) = Q(x).S(x) + R(x); ii) deg R < deg Q 2.3.Quy nạp nhảy cách : 2.3.1.Cơ sở lý thuyết : Nguyên lí quy nạp nhảy cách mô theo sơ đồ sau : Với , A(n) 2.3.2.Ví dụ minh họa : Chúng ta đọc truyện xem phim Tây Du Ký Câu chuyện sau rút từ chuyến kỳ vĩ thầy trò Đường Tăng đến Tây Trúc Vừa thoát khỏi kiếp nạn Bạch cốt tinh, thầy trò Đường tăng lại vào vương quốc mới, gọi vương quốc Ngũ Bát Sở dĩ có tên Ngân hàng trung ương Vương quốc phát hành loại tiền quan (Ngũ) quan (Bát) Vương quốc chưa phát triển nên người dân biết phép tính cộng, khơng biết phép tính trừ Vì thế, bán hàng, đưa thừa người ta khơng trả lại (còn đưa thiếu người ta khơng chịu - khơn lắm) Thầy trò Đường tăng tung tăng thành thấy siêu thị có tên "Over 28" Thấy tên lạ lạ, họ bước vào Nhân viên bảo vệ chặn lại, xem chừng không muốn cho vào Trư bát giới xơng nói - Sao khơng cho vào? Tay bảo vệ tay vào số 28 (nhị thập bát) nói: Ơng có thấy số khơng? - 28 28 tuổi vào Yên tâm em Anh 360 tuổi Còn ơng anh gãi mơng 720 tuổi Cái gánh hàng 240 Ngay ngựa 130 tuổi Trẻ có lẽ sư phụ bọn anh, ơngấy vừa làm sinh nhật lần thứ 30 Các có cần xem chứng minh nhân dân khơng, loại nhé, có tên bố mẹ - Không, không, tuổi, - Đây (Trư bát giới kín đáo nhìn xa xơi) - Đây siêu thị mà hàng từ 28 quan trở lên Tôi thấy ông nhà quê quá, sợ không đủ tiền nên không muốn cho vào - Ấy, đừng nghĩ Bọn anh nhà có điều kiện nhé, tiền quan, quan bọn anh đổi cửa ních túi - Vậy xin mời anh vào Bài tốn: Chứng minh thầy trò Đường tăng mua (tức trả giá tiền) hàng siêu thị "Over 28" Hướng dẫn:      Theo toán , ta xét trường hợp đầu tiên: Mặt hàng giá 28 quan : 28=5*4+8*1 , bao gồm đồng quan đồng quan Mặt hàng giá 29 quan : 29=5*1+8*3 , bao gồm đồng quan đồng quan Mặt hàng giá 30 quan : 30=5*6 , bao gồm đồng quan Mặt hàng giá 31 quan : 31=5*3+8*2 , bao gồm đồng quan đồng quan Mặt hàng giá 32 quan : 32=8*4 , bao gồm đồng quan     Ta xét trường hợp đầu đủ, ứng với N mua N+5 mua Ngồi ,bài tốn chứng minh phương pháp quy nạp cổ điển Khi N mua N+1 mua đúng, nghĩa sau lần tăng lên đồng , cách mà ta mua mặt hàng, : Nếu có đồng quan thay hai đồng quan Nếu có đồng quan thay năm đồng quan Nhận xét ,bình luận : Bài toán dài ta cần để ý đến điểm mấu chốt toán  Khi xét trường hợp đầu tiên, cần để ý xét đến trường hợp thứ 6, ứng với mức 33 quan, cách chi tiền có chút liên quan đến cách chi tiền ứng với mức 28 quan  Khi ta vận dụng phép chứng minh quy nạp nhảy cách để giải toán 2.4.Quy nạp lùi : 2.4.1.Lịch sử phép quy nạp lùi : Quy nạp lùi dạng phép chứng minh quy nạp (nó gọi “Quy nạp ki Cauchy”) ,do Cauchy sử dụng lần đầu chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân: với số nguyên dương n với n số thực không âm 2.4.2.Cơ sở lý thuyết : Cho dãy vô hạn số nguyên dương mà Giả sử P(n) hàm mệnh đề biến n biến thiên tập hợp tất số nguyên dương cho , với với số nguyên dương ,nếu P(n) P(n-1) Khi P(n) với số nguyên dương n 2.4.3.Ví dụ minh họa: Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân Cauchy: Với số nguyên dương n với n số thực không âm , ta có : (1) Với n=1 , (1) hiển nhiên Với n=2 , đ úng Với n=4 , hay Thật vậy, = Như vậy, với k, sở quy nạp Ta thực bước lùi, tức ta chứng minh P(n) P(n-1) Ta xét n-1 số thực khơng âm với n ngun dương, có : (*) Ta áp dụng P(n) cho n số : (**) Chọn ,ta : 10 = Chuyển vế , trả lại a =>  Nhận xét,bình luận :  Cách giải tốn nhìn đơn giản, vào chi  tiết thấy khó Cách chứng minh khơng u cầu cao trình độ, đòi hỏi tinh tế nhạy bén cách giải, bước lùi , ta phải chọn a để từ (**), ta đưa (*)  Ở toán khác,ta cần để ý đến giả thiết yêu cầu toán để vận dụng phương pháp chứng minh cách hiệu 2.4.4.Bài tập tự luyện : Bài :Trong tam giác ABC, chứng minh : sin A+sin B+ sin C Bài : Dùng phương pháp quy nạp lùi, chứng minh : với dãy số hữu hạn ⊂ [0;1] Hướng dẫn : Dùng bất đẳng thức Jensen 3.Một số biến thể khác phép chứng minh quy nạp : Dưới hai biến thể khác phép chứng minh quy nạp, nhiên, mức độ phổ biến ứng dụng khơng nhiều nên đề cập đến sở lý thuyết chúng hình thức mà giới thiệu đến bạn nội dung hai phương pháp 3.1.Quy nạp phân rã : 3.1.1.Cơ sở lý thuyết : Giả sử P(n) hàm mệnh đề biến n biến thiên tập hợp tất số nguyên dương cho P(1) P(p) với số nguyên tố p; nữa, với cặp số nguyên dương m n, P(m) P(n) P (mn) Khi đó, P(n) số nguyên dương n 3.1.2.Ví dụ minh họa: 11 Bài toán: Chứng minh từ 2n−1 số nguyên (n ∈ N*) ta trích n số có tổng chia hết cho n (Phỏng theo đề thi chọn học sinh giỏi Toán Trung Quốc) Lời giải toán (Pn) trình bày qua bước sau - Chứng minh kết luận P(n) P(m) (m, n ∈ N*) kết luận P(nm) - Kiểm tra kết luận P(n) n số nguyên tố (hoặc n = 1) - Từ ta thấy kết luận toán P(n) cho số nguyên dương n 3.2.Quy nạp cấu trúc: Phương pháp quy nạp dùng Automatic ứng dụng ngơn ngữ hình thức, ngơn ngữ lập trình Cho {A, B}* tập hợp sinh phần tử A,B     Xâu rỗng thuộc L Nếu X L AXB L Nếu X L BXA L Nếu X, Y L XY L Ví dụ : X=ABBA Khi đó, AXB = AABBAB Mệnh đề : “Nếu xâu X L số ký tự A X số ký tự B X” 12 PHẦN III:BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài : Chứng minh với số nguyên dương n, ta có : a b c = d Bài : Chứng minh a n > 2n + với ∀n ∈ N ; n ≥ b Bài :Chứng minh với ,ta ln có : a n + 2n chia hết cho 13 − n b c d chia hết cho n+2 +3 2n +3 n 4.32 n + + 32n − 36 16 − 15n − chia hết cho 11 chia hết cho 64 n e chia hết cho 225 Bài : Cho tổng : a Tính b Dự đốn cơng thức tính chứng minh phương pháp quy nạp Bài : Chứng minh với số nguyên đồng (tiền Việt Nam) lớn đổi tiền lẻ không dư đồng tiền gồm tờ đồng đồng (1 đồng 1000 đồng thực tế)? Bài : Chứng minh tổng góc n-giác lồi ( n – ) 1800 Bài : Cho 111 chia hết cho 3, số 111111111 chia hết cho 9, số 111 111 (27 chữ số 1) chia hết cho 27 Chứng minh 111 111 (3n chữ số 1) chia hết cho 3n với n 13 Hướng dẫn : Sử dụng dấu hiệu chia hết cho dấu hiệu chia hết cho để chứng minh tốn 14 Bài : Tìm số hạng tổng quát dãy số sau : Bài : (Bất đẳng thức Jensen ) Cho đoạn thẳng I Chứng minh bất đẳng thức: với x , y thuộc I với n nguyên dương với thuộc I ta có bất đẳng thức: Bài 10 : Cho số đường thẳng chia mặt phẳng thành miền khác Chứng minh ta tơ miền hai màu trắng đen cho miền cạnh (có chung đoạn biên) có màu khác 15 PHẦN IV : TỔNG KẾT ĐỀ TÀI Về mặt nội dung: Đề tài đưa khái niệm phép chứng minh quy nạp, số dạng nguyên lý quy nạp toán học số biến thể Cuối chương tuyển chọn tốn tổng hợp để áp dụng Về mặt thực tiễn: Khi thực đề tài, nhóm thực cố gắng bám sát dạng nguyên lý quy nạp tốn học số biến thể với ví dụ cụ thể bà tập tự luyện Hy vọng đề tài tập tài liệu tham khảo có ích cho học sinh trường THPT, bạn học sinh đam mê toán học sinh viên trường Đại học Những mặt đạt được: Trong trình thực đề tài, với nỗ lực ,cố gắng thành viên với hướng dẫn tận tình TS Trần Nam Dũng, nhóm hồn thành đề tài thời hạn đặt Những mặt hạn chế : Vẫn vài dạng quy nạp cần đào sâu ,nghiên cứu, nhóm thực hạn chế thời gian lực, chúng tơi chưa có điều kiện để nghiên cứu kỹ Chúng cố gắng nghiên cứu mảng thời gian tới 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Thùy Dương , Quy nạp toán học: Phương pháp toán, Đại học Đà Nẵng, năm 2011 .TS Trần Nam Dũng, Bài giảng Số học Logic toán học, Lớp Số học logic toán học, Năm học 2014-2015 TS Trần Nam Dũng ,Assignment 1,Phần Logic ,Lớp Số học logic tốn học ,Năm học 2014-2015 Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên ), Đại số Giải tích 11 Nâng cao,Nhà xuất Giáo dục-2008 Đỗ Danh Thắng ,Bài viết :Phép quy nạp phương pháp quy nạp toán học trường phổ thơng (Tại Hòa Bình -Tháng năm 2008) Nguyễn Hữu Điển, Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học, Đại học Khoa học Tự nhiên Nguyễn Gia Thơ, Những đặc điểm logic quy nạp cổ điển, Triết học, Số 3(121), tháng năm 2001 Giáo án trực tuyến Violet , truy cập ngày 14 tháng 11 năm 2014 http://giaoan.violet.vn/present/show/entry_id/6127440# 17 18 ... tượng nghiên cứu: Phép quy nạp toán học toán liên quan Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán sử dụng phương pháp quy nạp toán học Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu... ta vận dụng phép chứng minh quy nạp nhảy cách để giải toán 2.4 .Quy nạp lùi : 2.4.1.Lịch sử phép quy nạp lùi : Quy nạp lùi dạng phép chứng minh quy nạp (nó gọi Quy nạp ki Cauchy”) ,do Cauchy sử... chung, quy nạp hồn tồn sử dụng quy nạp khơng hồn tồn ,quy nạp hồn tồn dùng để chứng minh tốn quy nạp theo trường hợp số hữu hạn trường hợp có (theo ví dụ trên).Mà ta biết, đa số toán quy nạp phải