Đang tải... (xem toàn văn)
Mð ¦u T¿ l» v ng l mët sè væ t¿ ÷ñc x¡c ành l 1 + p 5 2 . Nâ ¢ ÷ñc quan t¥m bði c¡c nh to¡n håc, vªt l½ håc, tri¸t håc, ki¸n tróc s÷, ngh» s¾ v thªm ch½ l c¡c nh¤c s¾ tø thíi cê ¤i. Euclide - nh to¡n håc ¢ tøng nâi ¸n t¿ l» v ng trong t¡c ph©m b§t hõ cõa æng mang t¶n "Cì b£n". Theo Euclide, iºm I tr¶n o¤n AB ÷ñc gåi l iºm chia o¤n AB theo t¿ l» v ng (cán ÷ñc gåi l iºm v ng) n¸u tho£ m¢n: AI IB = AB AI : °t AI IB = AB AI = x; sè x ÷ñc gåi l t¿ l» v ng v iºm I l iºm v ng cõa o¤n AB. Ð thíi ký trung ¤i, câ kh¡ nhi·u ph¡t hi»n v· sü tçn t¤i cõa t¿ l» v ng trong c¡c h¼nh tü nhi¶n nh÷ h¼nh ngæi sao n«m c¡nh, h¼nh a gi¡c m÷íi c¤nh,... trong d¢y sè Fibonacci. Luca Pacioli (1445 - 1517) x¡c ành t¿ l» v ng l "t¿ l» th¦n th¡nh" trong t¡c ph©m Proportione Divina. Ð thíi ký hi»n ¤i, Mark Bar (th¸ k 20) sû döng chú c¡i Hy L¤p phi ('') l k½ hi»u cõa t¿ l» v ng. Nh÷ vªy, ngo i t¶n t¿ l» v ng nâ cán ÷ñc gåi l ph¦n v ng, ct v ng, t¿ l» th¦n th¡nh v câ gi¡ trà l 1:61803: : : Mët sè væ t¿ khæng thº biºu di¹n b¬ng mët t¿ sè húu h¤n sè nguy¶n. Nhúng con sè n y ÷ñc t¤o th nh tªp væ h¤n v mët sè nh÷ (t¿ sè cõa chu vi vîi ÷íng k½nh cõa mët ÷íng trán) v e (cì sð cõa logarit tü nhi¶n) nêi ti¸ng v câ ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc. T¤i sao t¿ l» v ng l¤i thu hót ÷ñc sü quan t¥m s¥u sc v ùng döng cõa nâ l g¼? Mët sè væ t¿ ÷ñc thº hi»n d÷îi d¤ng I = a + p b c trong â '' ÷ñc x¡c ành bði c¡c gi¡ trà a = 1; b = 5 v c = 2: C¡c sè væ t¿ nh÷ a = 3; b = 3 v c = 3 câ sü èi xùng hìn so vîi t¿ l» v ng v mët gi¡ trà t÷ìng tü 1:57735: : : Tuy nhi¶n, t¿ l» v ng chi¸m húu mët sè t½nh n«ng thó và v t½nh ch§t quan trång l m cho nâ trð l¶n thu hót trong tªp hñp sè væ t¿. C¡c ngh» s¾ v ki¸n tróc s÷ bt ¦u t½nh to¡n v x¥y düng sao cho
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ LINH TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ LINH TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN DANH NAM Thái Nguyên, 10/2017 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 1.1 Tỉ lệ vàng 1.2 Dãy số Fibonacci 18 1.3 Mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 30 Ứng dụng tỉ lệ vàng liên hệ tỉ lệ vàng với thực tiễn 33 2.1 Hình chữ nhật vàng 33 2.2 Hình tam giác vàng 39 2.3 Đường xoắn ốc vàng 47 2.4 Một số ứng dụng tỉ lệ vàng thực tiễn 52 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Danh Nam, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Đào tạo, thầy giáo dạy cao học chun ngành Phương pháp Tốn sơ cấp trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ, tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Thái Ngun, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Linh Mở đầu √ 1+ Nó quan Tỉ lệ vàng số vô tỉ xác định tâm nhà toán học, vật lí học, triết học, kiến trúc sư, nghệ sĩ chí nhạc sĩ từ thời cổ đại Euclide - nhà tốn học nói đến tỉ lệ vàng tác phẩm bất hủ ông mang tên "Cơ bản" Theo Euclide, điểm I đoạn AB gọi điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ vàng (còn gọi AI AB AI AB điểm vàng) thoả mãn: = Đặt = = x, số x IB AI IB AI gọi tỉ lệ vàng điểm I điểm vàng đoạn AB Ở thời kỳ trung đại, có nhiều phát tồn tỉ lệ vàng hình tự nhiên hình ngơi năm cánh, hình đa giác mười cạnh, dãy số Fibonacci Luca Pacioli (1445 - 1517) xác định tỉ lệ vàng "tỉ lệ thần thánh" tác phẩm Proportione Divina Ở thời kỳ đại, Mark Bar (thế kỷ 20) sử dụng chữ Hy Lạp phi (ϕ) kí hiệu tỉ lệ vàng Như vậy, ngồi tên tỉ lệ vàng gọi phần vàng, cắt vàng, tỉ lệ thần thánh có giá trị 1.61803 Một số vô tỉ biểu diễn tỉ số hữu hạn số nguyên Những số tạo thành tập vô hạn số π (tỉ số chu vi với đường kính đường tròn) e (cơ sở logarit tự nhiên) tiếng có ứng dụng nhiều lĩnh vực Tại tỉ lệ vàng lại thu hút quan tâm sâu sắc ứng dụng √ gì? a+ b Một số vô tỉ thể dạng I = ϕ c xác định giá trị a = 1, b = c = Các số vô tỉ a = 3, b = c = có đối xứng so với tỉ lệ vàng giá trị tương tự 1.57735 Tuy nhiên, tỉ lệ vàng chiếm hữu số tính thú vị tính chất quan trọng làm cho trở lên thu hút tập hợp số vô tỉ Các nghệ sĩ kiến trúc sư bắt đầu tính tốn xây dựng cho tác phẩm họ xấp xỉ tỉ lệ vàng nhà tốn học nghiên cứu tỉ lệ vàng tính độc đáo tính chất lí thú Qua nhiều năm, nghệ sĩ kiến trúc sư nỗ lực tìm kiếm mối quan hệ tỉ lệ vàng với nghệ thuật, kiến trúc, sinh học, thực vật lĩnh vực khác Những số bật nên số cơng trình xây dựng hình học có số tính chất tốn học thú vị Từ dẫn đến u thích người đam mê gán thuộc tính huyền bí đến số dẫn đến tên như: giá trị trung bình vàng tỉ lệ thần thánh Về mặt nguyên lý thiết kế, tỉ lệ vàng yếu tố quan trọng tạo nên tổng thể cơng trình kiến trúc đẹp, khơng gian hài hòa hay sản phẩm mỹ thuật có điểm nhấn sáng tạo Trong toán học nghệ thuật, đại lượng xem tỉ số vàng hay tỉ lệ vàng tỉ số tổng đại lượng với đại lượng lớn tỉ số đại lượng lớn với đại lượng nhỏ tức tồn thể tất có giá trị tương quan 1, 618033987 (con số vàng) Tỉ số người sử dụng hàng kỷ qua tiếp tục có mặt tác phẩm mỹ thuật, kiến trúc, điêu khắc ngày Nó xuất tỉ lệ thể người, biến động thị trường chứng khoán nhiều ảnh hưởng khác tới sống vạn vật Luận văn tìm hiểu tỉ lệ vàng, số ứng dụng tỉ lệ vàng Toán học liên hệ toán học với thực tiễn Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung luận văn, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci" trình bày định nghĩa tỉ lệ vàng, dãy số Fibonacci mối quan hệ chúng Các kiến thức tỉ lệ vàng, kiến thức dãy Fibonacci mối quan hệ tỉ lệ vàng dãy Fibonacci Chương 2: "Ứng dụng tỉ lệ vàng liên hệ Toán học với thực tiễn" trình bày ứng dụng tỉ lệ vàng hình học: hình chữ nhật vàng, hình tam giác vàng, đường xoắn ốc vàng mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy Fibonacci đời sống: tự nhiên, kiến trúc, hội hoạ thiết kế đồ hoạ Chương Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci Chương đưa kiến thức bản, tính chất biểu diễn khác tỉ lệ vàng Các kiến thức dãy Fibonacci mối quan hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 1.1 Tỉ lệ vàng Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [3] [5] Định nghĩa 1.1.1 Trong toán học, hai đại lượng gọi tỉ lệ vàng tỉ số tổng đại lượng với đại lượng lớn tỉ số đại lượng lớn với đại lượng nhỏ Tỉ lệ vàng kí hiệu kí tự ϕ (phi) bảng chữ Hy Lạp Dạng tổng quát tỉ lệ vàng là: Hình 1.1 Cách chia AB tỉ lệ vàng suy rộng Giả sử đoạn thẳng AB chia thành hai đoạn AC CB (Hình 1.1) cho n AB βAC (1.1) a = AC CB a β số thực dương βAC AB AC + CB CB Cho = x a = a =a 1+ CB AC AC AC β = a+ x Như vậy, ta có a+ aβ x = xn xn+1 = ax + b (1.2) đó, aβ = b Trong trường hợp đặc biệt cho n = ta chia AB AB βAC cho a = , ta có: AC CB x2 − ax − b = Hoặc x1 = a+ x2 = a− (1.3) √ a2 + 4b (1.4) √ a2 + 4b (1.5) Ta gọi nghiệm dương phương trình tổng quát hai tham số tỉ lệ vàng ϕ(a, b) 4b 1+ 2 1 a ϕ(a, b) = a + 2 Trong trường hợp b = 1, ta có: a ϕa = ϕ(a, 1) = + √ a2 + 4b gọi tỉ lệ vàng tổng quát Cho a = ta có tỉ lệ vàng: √ 1+ ϕ = ϕ1 = ϕ(1, 1) = Hãy xem xét tính chất tỉ lệ vàng Cho a = b ta có: 1+ 1 a ϕ = a + 2 Đó cách giải cho phương trình x2 − ax − b = Bây có b thể xem xét tính chất khác tỉ lệ này, ta có: a + = ϕ Khi ϕ đó, tỉ lệ vàng √ tổng quát ϕ (với a = 1) giảm xuống đến tỉ lệ vàng lịch 1+ sử ϕ = có nhiều tính chất ứng dụng nghệ thuật, kỹ thuật, vật lí tốn học Các tính chất tương tự thiết lập trường hợp tổng qt Ví dụ: tổng qt ϕ thể số hạng ϕ = a + Nó mở rộng thành phân số nghiệm ϕ phương trình lồng gọi phân số liên tục hay nghiệm lồng √ ϕ = + + + ϕa = 1+a ϕ(a, b) = 1+a b+a √ + a 1+a b+a √ b + a Sử dụng mối quan hệ số hạng ta nhận phân số liên tục ϕ, ϕa , ϕ(a, b) tương ứng ϕ= 1+ 1+ 1 + ϕa = a + a+ a+ a + b ϕ(a, b) = a + b a+ b a+ a+ b a + Stakhov Rozin đưa số kết từ n = a = b = 1, kết tương tự xác minh với giá trị khác a b Bằng cách sử dụng phân số liên tục khái quát hóa ứng dụng nghệ thuật kiến trúc Đoạn thẳng AB chia thành n phần theo tỉ lệ hệ phương trình tạo cho a có giá trị n, (1.1) mở rộng đến tham số tỉ lệ để tạo tỉ lệ vàng nhiều tham số Ở đây, ta tập trung vào tham số tổng quát ứng dụng tỉ lệ Nếu a = b (1.3) 1+ 1 a ϕ(a, a) = a + 2 Tỉ số tham số tổng quát khác với ϕ(a, 1) Thật vậy, (1.2) xem hàm đặc trưng phương trình khác n với tham số a b Pn+2 (a, b) = aPn+1 (a, b) + bPn (a, b) khái quát thành trường hợp nhiều tham số p Pn+p (a1 , a2 , , ap ) = Pn+p−i (a1 , a2 , , ap ), p = 2, 3, i=1 1.1.1 Các tính chất tỉ lệ vàng Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [3] [5] Tỉ lệ vàng xuất số mối quan hệ liên quan đến số mà từ nhiều tính chất tỉ lệ vàng phát Một dãy số tổng dãy biểu thức toán học Trong đa số trường hợp sử dụng, biểu thức dãy xây dựng cơng thức hay thuật tốn hay chí số ngẫu nhiên 58 mặt trời chiếu sáng chia chiều dài tranh theo tỉ lệ vàng Bên phải thơng gò đất rực nắng chia mảng bên phải tranh theo tỉ lệ vàng Phía trái thơng lớn lại có chia mảng theo tỉ lệ vàng Sự có mặt nét dọc ngang tranh theo tỉ lệ vàng đem đến cảm giác bình ổn, yên tĩnh Tóm lại, để cảm nhận vẻ đẹp tác phẩm hội họa hay kiến trúc, cần có nhìn tổng qt tính thẩm mỹ tính khoa học 2.4.2 Tỉ lệ vàng giới tự nhiên Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [2] [4] a) Tỷ lệ vàng giới tự nhiên Không dừng lại tác phẩm hội họa kiến trúc, ti lệ vàng - tỉ lệ tự nhiên thực tế gắn với tượng tự nhiên cách đáng ngạc nhiên - Vóc dáng người định nghĩa siêu mẫu: Con người thực thể tạo hóa Con người đẹp cách hoàn hảo Cái đẹp người có lẽ cân đối vóc dáng Tỉ lệ vàng xuất hầu hết phận thể người Hình 2.38 Tỉ lệ vàng phận thể người 59 + Chiều cao / đỉnh đầu đến đầu ngón tay = ϕ + Đỉnh đầu tới đầu ngón tay/đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) = ϕ + Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ)/đỉnh đầu tới ngực = ϕ + Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ)/chiều rộng đôi vai = ϕ + Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ)/chiều dài cẳng tay = ϕ + Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ)/chiều dài xương ống = ϕ + Đỉnh đầu tới ngực/đỉnh đầu tới gốc sọ = ϕ + Đỉnh đầu tới ngực/chiều rộng bụng = ϕ + Chiều dài cẳng tay/chiều dài bàn tay = ϕ + Vai đến đầu ngón tay/khuỷu tay đến đầu ngón tay = ϕ + Hơng đến mặt đất/đầu gối đến mặt đất = ϕ Gọi độ dài từ rốn lên đến đỉnh đầu x, độ dài từ rốn xuống đến chân y Độ dài dang tay gọi a Nếu x/y = a/(x + y) = 1, 618 = ϕ, thân hình siêu người mẫu - Tỉ lệ vàng khn mặt người Hình 2.39 Tỉ lệ vàng khuôn mặt người 60 Một khuôn mặt thật hồn hảo khn mặt cân đối Và ta ln tìm thấy tỉ lệ vàng tuyệt tác tự nhiên Như tỉ lệ vàng hay tỉ lệ hồn mỹ, khơng để định nghĩa vóc dáng, mà khn mặt đẹp - Tỉ lệ vàng thấy thiết diện cắt qua ốc sên Hình 2.40 Tỉ lệ vàng thiết diện cắt ốc sên - Tỉ lệ vàng vũ trụ Trong vũ trụ có nhiều thiên hà xoắn ốc theo tỉ lệ đường xoắn ốc vàng Ví dụ: dải ngân hà NGC 5194 cách dải ngân hà 31 triệu năm ánh sáng Hình 2.41 Tỉ lệ vàng vũ trụ 61 Tỉ lệ vàng thấy hành tinh (Sao Thổ), mặt trăng trái đất xuất tỉ lệ thần thánh Hình 2.42 Tỉ lệ vàng Sao Thổ, mặt trăng Trái Đất b) Dãy số Fibonacci quy luật sinh trưởng tự nhiên Dãy số Fibonacci toán học định nghĩa sau: f (0) = f (1) = f (n) = f (n − 1) + f (n − 2) (∀n ≥ 2) Công thức cho ta biết số hạng dãy, kể từ số hạng thứ ba, tổng hai số hạng liền trước nó: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Ở ta khơng sâu nghiên cứu tính chất tốn học dãy Fibonacci, mà tìm hiểu mối liên hệ dãy số với quy luật sinh trưởng động vật phát triển cối ngành thực vật học Từ dãy Fibonacci, với tính chất tốn học phong phú nó, người ta cố gắng tìm mơ hình thiên nhiên, sinh học, y học, di truyền học, phản ánh mối liên hệ tốn học thực tế sống mn hình mn vẻ Chúng ta có cha mẹ, ông bà nội ngoại, cụ nội cụ ngoại (trừ trường hợp đặc biệt) Do ngược bậc, số tổ tiên tăng gấp đơi Đời thứ n trước có 2n vị tổ tiên Người ta nhận thấy dãy tỉ số Fibonacci biểu thị cho loại số phát triển loại thực vật định, thể phân bố mọc xung quanh thân Quan sát phân 62 bố này, người ta thấy mọc xung quanh thân cuộn theo đường đinh ốc theo hướng từ thấp lên cao (Hình 2.43) Hình 2.43 Việc xếp thân làm cho nhận lượng ánh sáng cần thiết cho phát triển Nghiên cứu xếp người ta tìm thấy mối liên hệ chúng với dãy tỷ số Fibonacci nói Ví dụ: Hình 2.43 phân phối đường đinh ốc chiếu chúng xuống mặt phẳng vng góc với trục đường đinh ốc hình chiếu phân phối đường tròn Trong ví dụ này, đường đinh ốc quấn vòng xung quanh thân ta có khoảng cách Ta gọi tỷ số Fibonacci Đối với loại định, tỉ số số sinh học Tương tự vậy, số mọc theo hình xốy trơn ốc quanh thân có khoảng cách hai so với thân gần bằng: 5 f (n + 1) sồi, dương lê, liễu Sự kiện 13 f (n) tiến đến tỉ lệ vàng giải thích: phân bố tốt phân bố cho chúng hưởng nhiều tia nắng Người ta chứng minh phân bố tối ưu tạo với góc 2πϕ radian Người ta nhận thấy hoa cúc tây, 63 21 thông tỉ số Các tỉ số 34 13 giúp cho nhà thực vật học có thêm số liệu cần thiết để nghiên cứu phân loại loại tìm quy luật phát triển chúng Trên nhiều loài thực vật, số cánh hoa hoa nở số dãy số Fibonacci Cây mao lương hoa vàng bóng nước có cánh, irít có cánh, cúc vạn thọ có 13 cánh cúc tây có 21 cánh hoa Một số lồi có số cánh hoa khác theo hoa, trung bình số cánh hoa số dãy số Fibonacci Ví dụ: Hình 2.44 lồi hoa passion nhìn từ trước sau tỉ số Hình 2.44 Số Fibonacci hoa Passion Nhìn từ trước: lớp cánh hoa bọc lấy dãy nhị hoa xanh trắng (không rõ số lượng), nhị màu xanh, noãn màu nâu đậm Nhìn từ sau: ngồi đài, đến cánh hoa giữa, đến năm cánh hoa nhạt màu Số Fibonacci xuất cách xếp nhị hoa Hình 2.45 Phần nhị hoa cúc (Echinacea purpura) 64 Hình 2.45 Số Fibonacci nhị hoa cúc (Echinacea purpura) Các phần tử nằm nhị hoa xếp nằm đồng thời đường xoắn ốc, phía trái phải Ở phần rìa ảnh, đếm số đường xoắn phải hướng ta 55 đường xoắn ốc Ở bên ta đếm 34 đường xoắn ốc 34 55 hai số liền dãy Fibonacci Nhị hoa hướng dương có cách xếp giống hệt vậy: Hình 2.46 Số Fibonacci nhị hoa hướng dương 2.4.3 Tỉ lệ vàng thiết kế đồ hoạ Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [2] [4] Đóng vai trò quan trọng tạo nên tính cân hài hoà tác phẩm thiết kế, tỉ lệ vàng khái niệm nhiều nhà thiết kế 65 quan tâm tìm hiểu Nhưng thật có ý nghĩa ảnh hưởng đến thiết kế? Và có thực cần phải quan tâm đến nó? Phần giúp ta hiểu rõ cách ứng dụng tỉ lệ vàng cách tốt vào thiết kế a) Tỉ lệ vàng thiết kế nội thất Trong thiết kế nội thất áp dụng tỉ lệ vàng để có cân hài hòa, chủ yếu tập trung vào hình chữ nhật có tỉ lệ vàng Tỉ lệ ứng dụng chế tạo đồ nội thất phòng, trí tương quan tỉ lệ cao thấp, ngắn dài, phân chia khu vực trang trí, để đồ nội thất phòng, Tỉ lệ vàng dùng chế tạo đồ nội thất tủ đồ, kệ trang trí, kích thước bàn trà, bàn ăn Hình 2.47 Tỉ lệ vàng thiết kế tủ, ghế Chaise Longue Le Corbusier - kiến trúc sư tiếng, đưa tỉ lệ vàng vào thiết kế Năm 1929, Le Corbusier thiết kế ghế Chaise Longue dựa vào tỉ lệ vàng tỉ lệ khung ghế liên quan đến phân chia hài hòa hình chữ nhật vàng chiều rộng hình chữ nhật trở thành đường kính vòng cung khung ghế Năm 1946, Charles Eames kí hợp đồng với Le Corbusier để làm ghế đồng thời phản ánh ứng dụng tỉ lệ vàng thiết kế b) Tỷ lệ vàng thiết kế logo Chúng ta khơng ngạc nhiên tìm thấy xuất ϕ (hệ số tỉ lệ vàng) thiết kế logo Cùng xem số logo thương hiệu tiếng sử dụng tỉ lệ vàng để tạo hòa hợp cân tối đa cho logo 66 Hình 2.48 Logo kênh khoa học National Geographic Hình chữ nhật màu vàng logo National Geographic hình chữ nhật có tỉ lệ vàng = 1:1.61 Chiều dài chiều rộng hình chữ nhật có tỉ lệ 1.61 Nó hồn tồn phù hợp với hiệu chương trình "thúc giục người quan tâm hành tinh chúng ta" Hình 2.49 Logo Pepsi Hai vòng tròn logo Pepsi có đường kính theo tỉ lệ vàng 1.6.18 Logo thương hiệu Pepsi tạo việc tổ hợp hình tròn theo tỉ lệ tương tác với tuân thủ tỉ lệ vàng 67 Hình 2.50 Logo Apple Đường kính vòng tròn tạo cấu trúc logo Apple có tỉ lệ theo chuỗi Fibonacci (tỉ lệ vàng) Apple số cơng ty khơng sử dụng tên thương hiệu logo họ Mặc dù logo Apple thiết kế trở thành biểu tượng cơng ty uy tín giới Logo cân đường biên tạo vòng tròn có đường kính tn theo dãy số Fibonacci Vậy Rob Janoff (nhà thiết kế logo chuyên nghiệp, người tạo logo Apple) có cân nhắc đưa dãy Fibonacci vào thiết kế tình cờ? Người ta hỏi Janoff tỉ lệ vàng, đến thân ông thừa nhận chưa cân nhắc đến Một sản phẩm khác Apple có logo ấn tượng Các đường cong tạo đám mây có đường kính theo tỉ lệ vàng Hình chữ nhật bo ngồi logo tn theo tỉ lệ vàng ln Ngồi có nhiều sản phẩm khác Apple từ Ipods đến Iphone hình chữ nhật vàng 68 Hình 2.51 Logo icloud BP hãng dầu nhờn gas lớn giới Họ trình làng logo vào năm 2000 Sự thu hút logo tạo thành từ hình tròn có tỉ lệ theo chuỗi Fibonacci Hình 2.52 Logo BP 69 Logo Toyota có hình bầu dục Hai hình elip cắt với ngụ ý khách hàng sản phẩm tầm quan trọng mối quan hệ Vòng tròn ngồi giới mơi trường kinh doanh tồn cầu Nếu nhìn kỹ thấy lưới tọa độ có tỉ lệ vàng Lưới tọa độ Phi ϕ tạo tỉ lệ vàng thú vị Hình 2.53 Logo Toyota Thẻ tín dụng thiết kế dựa hình chữ nhật vàng Thẻ tín dụng có kích thước 54mm x 86mm, tạo tỉ số 1,5926 xấp xỉ 1,6 Giải thích lựa chọn kích cỡ thẻ tín dụng: ta biết số 55 89 hai số liên tiếp dãy Fibonacci tỉ số chúng 1.618 - số chọn để thiết kế kích thước thẻ chuẩn, điều khơng thuận tiện chọn chiều dài thẻ 86mm thay 89mm Để có hài hồ chiều dài chiều rộng thẻ, chiều rộng thẻ thay 54mm (86/1.6) = 53.75 xấp xỉ 54mm Hình 2.54 Tỉ lệ vàng thiết kế thẻ tín dụng Dãy số Fibonacci tỉ lệ vàng xuất xung quanh đóng vai trò quan trọng thực tiễn Từ hình chữ nhật hình tam giác hình xoắc ốc tuân theo tỉ lệ vàng Tỉ lệ vàng xuất tự nhiên khuôn mặt người, vóc dáng 70 người, thiết diện cắt qua ốc sên, tăng trưởng tự nhiên chí thiên hà thổ trái đất, Tỉ lệ vàng có ứng dụng to lớn kiến trúc, hội họa, thiết kế nội thất, thiết kế thẻ tín dụng thiết kế logo, Tuy nhiên, tỉ lệ vàng không nên coi quy ước cho hoàn cảnh cần nghiên cứu kỹ để tìm ứng dụng tuyệt vời tất lĩnh vực 71 Kết luận Luận văn thu số kết sau đây: Nêu kiến thức tỉ lệ vàng: định nghĩa, tính chất biểu thức khác tỉ lệ vàng Kiến thức dãy số Fibonacci, mối quan hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci Xây dựng số hình hình học có xuất tỉ lệ vàng: hình chữ nhật vàng, hình tam giác vàng đường xoắn ốc vàng Trình bày ứng dụng tỉ lệ vàng thực tiễn đời sống với ví dụ minh hoạ cụ thể: hội hoạ kiến trúc, giới tự nhiên thiết kế đồ hoạ 72 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Hasemiparast (2011), "Multi Parameters Golden Ratio and Some Applications", Applied Mathematics, 2, pp 808-815 [2] Jay Kappraff (2001), Connections The Geometric Bridge Between Art and Science, World Scientific Publishing Co Pte Ltd., Vol.25, USA, 2001 [3] Mario Livio, The Golden Ratio, The Story of Phi The world’s most astonishing number, New York [4] Md Akhtaruzzaman, Amir A Shafie (2011), "Geometrical Substantiation of Phi, the Golden Ratio and the Baroque of Nature, Architecture, Design and Engineering", International Journal of Arts, 1(1), pp 1-22 [5] Nicholas J Rose (2014), "The Golden Mean and Fibonacci Number" [6] Richard A Dunlap (1997), The Golden Mean and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing Co Pte Ltd ... Chương 2: "Ứng dụng tỉ lệ vàng liên hệ Toán học với thực tiễn" trình bày ứng dụng tỉ lệ vàng hình học: hình chữ nhật vàng, hình tam giác vàng, đường xoắn ốc vàng mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy Fibonacci... tỉ lệ vàng "tỉ lệ thần thánh" tác phẩm Proportione Divina Ở thời kỳ đại, Mark Bar (thế kỷ 20) sử dụng chữ Hy Lạp phi (ϕ) kí hiệu tỉ lệ vàng Như vậy, ngồi tên tỉ lệ vàng gọi phần vàng, cắt vàng, ... đầu Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 1.1 Tỉ lệ vàng 1.2 Dãy số Fibonacci 18 1.3 Mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 30 Ứng dụng tỉ lệ vàng liên