Lượng giác hóa để giải tốn đại số A LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa phổ thơng mơn tốn đại số lớp 10 11, định nghĩa công thức biến đổi lượng giác giới thiệu đầy đủ Tuy nhiên, dùng lượng giác để lượng giác hóa, giải tốn đại số sách giáo khoa đề cập đến đề cập sơ sài, tài liệu tham khảo chủ đề hạn chế Qua thực tiễn giảng dạy, nhận thấy phần lớn em sử dụng công thức lượng giác để giải tốn lượng giác, mà ứng dụng lượng giác để giải toán khác Với mong muốn giúp em nắm vững kiến thức lượng giác biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải số dạng tốn đại số, tơi chọn đề tài “ Lượng giác hóa để giải số tốn đại số ” Nội dung đề tài giới thiệu số vấn đề phương pháp lượng giác hóa trình bày với bố cục sau: Phần 1: Cơ sở lí luận đề tài Phần 2: Thực trạng việc sử dung phương pháp lượng giác hóa để giải tốn đại số Phần 3: Chỉ số dạng tập áp dụng phương pháp này, dấu hiệu nhận biết dạng, phương pháp giải khái quát dạng Phần 4: Bài tập Mục đích yêu cầu - Trau dồi kiến thức, nâng cao nghiệp vụ chuyên mơn; làm tài liệu phục vụ cho q trình giảng dạy thân tham khảo cho đồng nghiệp - Giới thiệu phương pháp giải toán đại số linh hoạt, giúp học sinh có thêm kiến thức hứng thú học Toán Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh có khiếu u tốn trường phổ thơng - Đối tượng nghiên cứu: Đặc điểm ẩn phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức….đại số - Phạm vi nghiên cứu: Một số tốn đại số thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu a) Trình bày cơng thức lưọng giác Lượng giác hóa để giải tốn đại số b) Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp lưọng giác để giải toán đại số trưuờng hợp cụ thể Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Sách giáo khoa lớp 10, 11, 12 tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát tiến hành thực nghiệm học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Buôn Ma thuột - Tổng kết kinh nghiệm, tìm khó khăn, thuận lợi giải toán lớp trước II NỘI DUNG Phần Cơ sở lý luận đề tài 1.1 Kiến thức lượng giác a) Công thức cộng sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb cos(a  b) = cosa cosb + sina sinb sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb cos(a + b) = cosa cosb  sina sinb tan(a  b) = tan a  tan b  tan tan b tan(a + b) = tan a  tan b  tan a tan b b) Công thức nhân đôi sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  =  2sin2a tan2a = tan a  tan a c) Công thức hạ bậc cos2a =  cos2a tan a = sin2a = sin a  cos2a = cos a  cos2a  cos2a cot a  cos a  cos2a  sin a  cos2a d) Cơng thức biến đổi tích thành tổng tổng thành tích cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] sinasinb = [cos(a  b)  cos(a + b)] Lượng giác hóa để giải toán đại số sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] cosa + cosb = 2cos sina + sinb = 2sin ab ab cos 2 cosa  cosb = 2sin ab ab cos 2 sina + sinb = 2cos ab ab sin 2 ab ab sin 2 1.2 Nhận xét a) 1  sinx  1; 1  cos x  b) sin x  cos2 x  Phần Thực trạng việc sử dung phương pháp lương giác hóa để giải tốn đại số Hiện nay, tốn lượng giác, phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức thường gặp kì thi tuyển sinh đại học Để giải toán này, học sinh cần có vận dụng khéo léo linh hoạt kiến thức lượng giác, số học, đại số, đồng thời em phải biết cách phân tích tỉ mỉ để đưa hướng giải xác Đây yêu cầu tương đối khó với em Có nhiều phương pháp để giải toán lượng giác, phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức số trường hợp đơn giản phương pháp lượng giác hóa, phương pháp tạo cho người học cảm giác nhẹ nhàng vận dụng đơn giản so với phương pháp khác giải loại toán Tuy nhiên, việc lựa chọn cách đặt ẩn vấn đề khó khăn Người học phải biết cách chọn ẩn phù hợp Nếu chọn lời giải đơn giản, xác Nếu chọn khơng phù hợp lời giải phức tạp, chí khơng thể tiếp tục giải Trong tài liệu luyện thi đại học, tài liều bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông nay, nhiều tác giả bước đầu đề cập đến vấn đề Nhiều tài liệu cách đặt ẩn phụ cho biến x, y,… thỏa mãn điều kiện đó, thơng thường bị chặn số cho trước…những dẫn hay gợi ý chung chung, chưa giúp cho học sinh hiểu rõ phương pháp lượng giác hóa, học sinh bước đầu làm quen dạng toán Các em thường đặt câu hỏi: phải chọn cách đặt ẩn phụ mà không chọn cách đặt kia? Tại toán đặt sin  , toán sau lại đặt cos  ? Có cách lựa chọn giá trị chung để lượng giác hóa tốn khơng? Có thể có phương pháp chung cho lớp, dạng toán khơng? Phải phân tích tốn để lựa chọn cách đặt ẩn phụ (hay gọi lượng giác hóa) phù hợp? Lượng giác hóa để giải tốn đại số Hiện nay, chưa có tài liệu phân tích hướng dẫn cách chi tiết kĩ thuât đặt ẩn phụ để lượng giác hóa giải tốn đại số, giải tích, hình học Việc lựa chọn cách đặt ẩn phụ hợp để vào kiện đề vấn đề khó khăn học sinh Vấn đề đặt cần phân tích đề bài, phân tích đặc điểm điều kiện ràng buộc ẩn để đưa cách lượng giác hóa cụ thể cà dễ hiểu Có vậy, em giải triệt để dạng toán đạt kết cao kì thi Phần Chỉ số dạng tập áp dụng phương pháp này, dấu hiệu nhận biết dạng, phương pháp giải khái quát dạng Cách giải: Lượng giác hóa phương pháp có phạm vi áp dụng rộng Với tốn lại có nét riêng, khơng giống nên khơng thể có cách giải hiệu với toàn tốn Tuy nhiên ta khái qt nội dung sử dụng hàm số lượng giác để giải tốn đại số tìm cách biến đổi lượng giác phù hợp với yêu cầu giả thiết toán để đưa đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình đại số hay hàm số đại số phức tạp biểu thức lượng giác tương đối đơn giản từ sử dụng cơng thức biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm lời giải cho toán Bước 1: Chọn nhiều hàm số lượng giác phù hợp để thay biến tốn giá trị lượng giác Việc chọn biến lượng giác để thay đổi cho biến cũ thông qua dấu hiệu đặc biệt biến toán nắm bắt dấu hiệu thơng qua miền giá trị hình thức công thức lượng giác thông dụng Bước 2: Thay biến cũ hàm số lượng giác vừa chọn toán với ẩn hàm số lượng giác Trước thay hàm lượng giác vào, biến đổi tốn “ cồng kềnh “ Bước 3: Giải toán cách sử dụng công thức biến đổi lượng giác học Bước 4: Trả lại biến (với giải phương trình, bất phương trình) kết luận theo yêu cầu toán ban đầu Các bất đẳng thức - miền giá trị biểu thức lượng giác đơn giản Sau bước “lượng giác hóa”, tốn ban đầu trở thành tốn lượng giác túy Do đó, muốn giải tốn bất đẳng thức lượng giác hóa phải nắm bất đẳng thức lượng giác, miền giá trị biểu thức lượng giác quen thuộc Lượng giác hóa để giải tốn đại số   a) sin x  Có thể suy rộng miền giá trị f(x) đoạn  ;   miền giá trị sinf(x) đoạn  1;1 2 b) cos x  Có thể suy rộng miền giá trị f(x) đoạn  0; π  miền giá trị cosf(x) đoạn  1;1 Ngoài ra, tùy theo miền xác định biến x ta thu hẹp miền giá trị hàm số y  sin x y  cos x c)  a  b2  asinx  bcosx  a  b2 d) tanx  cotanx  e) Từ c ta tìm miền giá trị biểu thức đẳng cấp bậc hai hai sinx cosx: B  asin x  bcos2 x  csinxcosx  d Bằng phương pháp hạ bậc, ta đưa B dạng: B  Msin2x  Ncos2x  P Do đó, ta có P  M2  N2  B  P+ M2  N2 Các dạng tập đại số phương pháp lượng giác hóa  x  sin  với   0; 2   y  cos Dạng 1: Nếu x  y2  đặt   x  a sin  với   0; 2   y  acos Tổng quát: Nếu x  y2  a  a   đặt  Nếu hai biến x, y tham gia tốn có ràng buộc a x  b2 y2  c2 với a, b, c sin  c cos  ;y  c dương Khi đó, ta lượng giác hóa cách đặt: x  a với  o;2  b Nếu toán qui so sánh biểu thức a x  b2 y2 với số ta đặt c sin  c cos  ;y  Sau thay vào biểu thức tốn để rút miền giá a b trị a x  b2 y2 x Nếu  x     x  tốn có biểu b    tan t, t    ;  a  2 b co t t, t   0;   a thức a x  b2  a,b  0 , ta đặt Lượng giác hóa để giải toán đại số Bài 1: Chứng minh : Nếu x2 + y2 = x  y  (Đại số 10 Nâng cao NXB Giáo dục) Giải:  x  cos t Khi đó, ta có:  y  sin t Vì x2 + y2 = 1, nên ta đặt:  x  y = cos t  sin t  sin( t   x    Dấu „=‟ xảy t    y    )  (đpcm) 2 2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức : A  x    x Giải:  x   cos t  ĐK:  x  Vì ( x  1)  (  x )  , nên đặt:     x  sin t ,  t   Ta    A  cos t  sin t   sin  t   4  có: t nên   Mặt khác, vì: 0t   nên 3      sin  t      sin  t    4   4 Vậy: Max A  t   x , Min A  t   x  Bài 3: cho x2  y  16, u  v2  25, xu  yv  20 Tìm giá trị lớn x + v Giải  x  4cos Vì x2  y  16 ta đặt   y  4sin  u  5cos  u  v  25 ta đặt  v  5sin  Lượng giác hóa để giải toán đại số Theo bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có ( xu  yv)2  ( x2  y )(u  v2 )  16.25  xu  yv  20 mà xu  yv  20( gt ) Nên xu + yv =20  20cos.cos  20sin .sin   20  cos(   )       2k (k  z ) Từ x + v = 4cos  5sin   4cos  5sin   41cos(   ) (với cos  ) , sin   41 41 Vậy giá trị lớn Max (x+v) = 41     k 2 16 20 20 25 x ,y ,u  ,v  41 41 41 41 Bài 4: Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a > c > 0, b > c > ta có bất đẳng thức: c(a  c)  c(b  c)  ab (1) Giải: Vì a > 0, b > 0, ab > nên bất đẳng thức (1) tương đương với c( a  c) c ( b  c)  1 ab ab (2)  c   a c    =1 Nhận xét     a a     Nên đặt c = cosu , a a c  = sinu với  u  a 2  c   b  c  = Ta thấy     b b     Nên đặt c = cosv , b bc  = sinv với  v  b Khi (2) viết thành c a c + b a c bc = cosv sinu + cosusinv  a b (3) Lượng giác hóa để giải tốn đại số Bởi cosusinv + sinucosv = sin(u + v)  nên (3) ln ln có nghĩa (1) x  Bài 5: Giải phương trình: x      x 1 Giải ĐK: x       x  sint  1, t    ;  ( a) sin t   Đặt:  , thay (a) vào (b) ta được: cos t  sin t   x  cost ( b)  x -  sin t  cos t  sin t cos t  (c) Đặt u = sint + cost, đk: | u | , phương trình (1) trở thành: u  u    L  u 1   u  2u      u   (N) Vậy: sint + cost = 1 x  x    x  (1  ) x     x  1   2  1  x 1  Do đó, phương trình có nghiệm là: x  1   2  1 2 Dạng 2: Nếu x  tốn có chứa 1- x        x  m sin  ,    ;  Tổng quát: Nếu x  m đặt     x  mcos ,    0;   -     x  m sin  ,   0;    Nếu  x  m , ta đặt      x  mcos ,   0;   2        x  sin  ,    ;  đặt     x  cos ,    0;   Lượng giác hóa để giải tốn đại số -      x  m sin  ,     ;0    Nếu m  x  , ta đặt      x  mcos ,    ;   2   Bài Giải phương trình:  x  x2  x  1 x (Đề thi học viện ngân hàng 2000) Giải x  x     Điều kiện  x    x  , đặt x  cos t, t  0;   2 1  x   Khi phương trình biến đổi dạng: cos t  cos t  cos t   cos t   sin t cos t   cos t  sin t    2sin t cos t  sin t + cos t  1 u2 1 Đặt sin t + cos t = u , điều kiện  u   sin t cos t  Khi phương trình có dạng: u    u  3u      sin t + cos t   sin  t    4  u   t = k2 t  x     sin  t          t =  k2 t  4  x  2   Vậy nghiệm phương trình x = x = Bài Tìm giá trị lớn hàm số y  1  x  2015  1  x  2015 Giải Vì x  1;1 , đặt x  cos t, t  0;   Khi hàm số chuyển dạng: y  1  cos t  2015  1  cos t  t   y   2cos  2  t  2 2015 t   y  22015  cos 4030  sin 4030  2015 t    2sin  2  2015 , với x  1;1 Lượng giác hóa để giải tốn đại số t t  y  22015  cos 4030  sin 4030  2  Ta có: cos 4030 t  cos t  2  y  22015  cos t  sin t   22015    2  sin 4030 t  sin t  2 Do giá trị lớn y = 22015 đạt  t  cos   t  4030 t  cos t  1  t cos  cos cos      2     sin t   cos t  1  x  1   sin t  sin 4030 t  sin t  sin t    2     sin t  1   Bài 8: Giải phương trình: x  3x   x (Đề thi học viện quan hệ quốc tế khối D /2000) Giải: ĐK:   x  đặt x = cost, t  [ 0,  ] phương trình (2) thành: 4cos3t - 3cost = sint    t  k    cos 3t  sin t  cos(  t )   t     k   Vì t  [ 0,  ] nên ta chọn được: t  , t  5 3 ,t Vậy phương trình cho có nghiệm là: : x  cos  = 2 2 x  cos 3 5 2   , x  cos Bài 9: Giải bất phương trình :  x   x  x Giải : 10 Lượng giác hóa để giải tốn đại số Khi bất đẳng cos   cos   thức cần chứng minh tương đương với  tan  tan  2cos  cos   cos   cos   cos      cos     1  cos     cos      cos      cos      cos      1 cos       cos     sin      (đúng) cos       ab   a  b sin      Dấu “ = ” xảy  Bài a Cho 18 a, b, c > Chứng minh rằng:   b2   c2     ab  bc  ca  (Đề nghị Olympic 30-4, 2010) Giải a  tanx      Ta đặt b  tany  x, y, z   0;       c  tanz  Khi bất đẳng thức cần chứng minh cos x cosy cosz  cos xsin ysin z  sin xcos ysin z+sinx sinycos z   trở thành Mà cos  x  y  z   cos x cos y cos z  cos x sinysin z  sinx cosysin z  sinx sinycos z Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh cos x cos y cos z cos x cos y cos z  cos  x  y  z   Theo đẳng bất đẳng thức Cauchy bất  cos x  cos y  cos z  3 x + y+ z cos x cos y cos z     cos   3     Khi ta đặt t  xyz 16 tương thức đương Jensen, ta với có: Lượng giác hóa để giải toán đại số Ta cần chứng minh cos3 t  cos3 t  cos3t   Thật vậy, theo bất 4  cos t 1  cos t   27 đẳng thức Cauchy ta có:  cos t cos t     cos t   cos t cos t cos t 1  cos t    cos t      2   27   2 Dấu “ = ” xảy Dạng Trong giải tập lúc ta gặp dạng Do số lượng công thức lượng giác nhiều nên giải tập ta phải linh hoạt việc sử dụng công thức để chọn hàm số lượng giác phù hợp Chẳng hạn: Với hàm số sin  :  2x   2sin   cos2 3x  4x3  3sin   4sin3   sin3 , 1      x   sin   sin    cos   2 2 2 3      x   sin   sin    cos6   4 2 2 Với hàm số cos  : 2x   2co s2  1  cos2 4x3  3x  4co s3   3sin   co s3 , 8x  8x 1  8cos4   8cos2  1  cos4 1 x  cos     tan 1 x  cos  Với hàm số tan  17 Lượng giác hóa để giải toán đại số x y tan   tan    tan     ,  xy  tan  tan  2x tan  2x tan   ,   tan  cos   2sin  cos   sin 2 2 2 1 x  tan   x  tan  3x  x 3tan   tan    tan 3  3x  tan  x   tan   cot   x sin 2 ab , thường có lượng giác hóa cách  ab đặt a  tan  , b = tan Khi A  tan     Hoặc có ba số a, b, c mà Ví dụ có biểu thức A  a  b  c  abc Khi đó, đặt a  tan  , b = tan , c = tan Từ rút α  β  γ  kπ Nếu tốn có biểu thức biểu thức Nếu  a  0 , ta đặt   x  a cos 2t, t   0;  ,  2 ax trở thành thành tant ax Nếu tốn có biểu thức biểu thức ax ax  ax  a  0 , ta đặt x  a cos 2t, t  0;  , ax  2 ax trở thành cotant ax tốn có biểu thức  x  a  b  x  ta đặt x  a   b - a  sin 2t, t  0;  Ngoài ra, tốn có biểu thức sau ab a-b , ,  ab  ab 2x  x 3x - x      , , ta đặt a  tan  , b = tan   ,     ;   2  x  x  3x  2   Bài 19: Cho số thực a,b chứng minh rằng: a  b4  8(a  b ) Giải: + Nếu a = 0, bất đẳng thức hiển nhiên b4 b     b , , + Nếu a  , a  b  8(a  b )  1    8(1  ) , đặt  tan t , t   a a  2  a 4 18 Lượng giác hóa để giải tốn đại số Bất đẳng thức tương: 1  tan t 4  8(1  tan t )  cos t  sin t 4  8(cos t  sin t ) , 8(cos t  sin t )  cos t  sin t   Thật vậy, 8(cos t  sin t )  cos t  sin t    cos x  sin x  , (hiển nhiên) 2 Cần chứng minh: cos 4t  1  sin 2t  2 Bài 20: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức x  ( x  y)2 P= x2  y Giải: - Nếu y = P = - Nếu y  chia tử mẫu cho 4y ta x x ( )  (  2) 2y 2y P= x ( )2  2y x   Đặt tan   với   ( ; ) 2y 2 2 tan   (tan   2)   2(cos2  sin 2 )   2cos(2  )  2 P= tan    ( 1  cos(2  )   3 Khi    p   2 ,khi   p   2 8 Nên ta có  2  p   2 Vậy: Giá trị nhỏ P   2 Giá trị lớn max P =  2 x 2  2y 2 x 22  2y 22  log ( y  x)  log y  Bài 21: Giải hệ phương trình: (II)   x  y  25  Giải: 19 (1) (2) ta có: Lượng giác hóa để giải tốn đại số y  x y  ĐK:  Với điều kiện  log ( y  x)  log y   4  x  y  25  1  ( y  x) y    x  y  25  hệ (3)  x  cos t (sint > sint > cost), thay vào phương trình (3) ta được:  y  sin t , Đặt:   sin t   sin t  cos t     cot t   cot t   sin t  16   sin t 4 25 cos t   x  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  Bài 22: Giải hệ phương trình : x  a  y  b2  ( x  b)2  ( y  a)2 Giải a  R Đặt x  a  R    x  R  x  R cos  a  R sin  Nên ta đặt  với   00 ;1800   y  R cos  với   00 ;1800  b  R sin   Đặt y  b2  R2 tương tự ta đặt   R  ( x  b)  ( y  a )  R  ( R cos   R sin  )  ( R cos   R sin  )     300  sin(   )        150     300    300   với  y  R cos(300   )  R cos  cos300  sin  sin 300 ) 20 (II) Lượng giác hóa để giải tốn đại số a y   x (1) x Tương tự b  R sin   R sin(300   )   a (2) Từ (1 ) ( 2) ta có nghiệm hệ phương trình là: x  2b  a 3, y  2a  b - với     1500    1500   Vậy ta có y  R cos(1500   )  a x  2 (3) b  R sin(1500   )  x a  2 (4) Từ ( ) ( ) ta có nghiệm hệ phương trình là: x  2b  a 3, y  2a  b Bài 23: Chứng minh a  b2  b  a  Giải:  a  1  a  a  sin    ,   0;   Điều kiện:  Đặt   b  sin  1  b   b  Khi bất đẳng thức biến đổi dạng: sin   sin   sin   sin    sin  cos   sin  cos    sin      TỔNG HỢP MỘT SỐ ĐỀ THI Bài 24 Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn: x  x  y  z   3yz Thì  x  y    x  z   3 x  y  y  z  z  x    y  z  3 21 Lượng giác hóa để giải toán đại số (Đề tuyển sinh khối A năm 2009) Giải a  x  y  Với a, b, c số dương, ta đặt b  y  z c  z  x  bca  x    c  a b  Khi  y   abc  x   Ta đưa toán số dương a, b, c thỏa mãn: a  b2  c2  bc Do đó, ta coi a, b, c ba cạnh tam giác ABC với góc A = 600 Bất đẳng thúc cần chứng minh tương đương với  b  c  3abc  5a   b  c   b  bc  c   3abc  5a  a  b  c   3abc  5a 3 3 2  a  b  c   3bc  5a Theo định lí hàm sin, ta có  sin A(sinB sinC)  3sinBsinC  5sin A   sinB sinC   12sinBsinC  15 A  sinB  sinC  2cos   Mặt khác ta có:  sinBsinC   sinB sinC    4 Do đó, ta có:  sinB sinC   12sinBsinC  15 Dấu “ = ” xảy tam giác ABC đều, x = y = z Bài 25 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: (Đề Poland 1999) a  b2  c2  3abc  Giải Với A, B, C góc tam giác, ta đặt a  tan c  tan C A tan 2 22 A B B C tan , b  tan tan 2 2 Lượng giác hóa để giải tốn đại số Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với tan A 2B B C C A A B C tan  tan tan  tan tan  tan tan tan  2 2 2 2 2 A B B C A B C A B C    tan tan  tan tan  tan tan tan   tan tan tan 2 2 2 2 2    tan A B C A B C tan tan  tan  tan  tan  2 2 2 2 A B C  tan  tan  2  tan Đây bất đẳng thức bản, dấu “ = “ xảy tam giác ABC đều, a = b = c Bài 26 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1  1 1  1 1  a b b c c a Giải Từ giả thiết, với A, B, C góc tam giác, ta đặt a  tan Khi A B B C C A tan , b  tan tan c  tan tan 2 2 2 1  a Tương tự ta có: 1  A B tan tan 2 1  b sin Sin sin Sin A B C Sin 2 , C A B Sin 2 1  c sin Sin B A C Sin 2 Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành bất đẳng thức bản: B Sin  C Sin  A Sin 6 23 Lượng giác hóa để giải tốn đại số Đây bất đẳng thức bản, dấu “ = “ xảy tam giác ABC Bài 27 Cho a, b, c  cho a  b2  c2  abc  Chứng minh :  ab  bc  ca  abc  (Đề USAMO, 2001) Giải Giả sử a, b, c >1, a  b2  c2  abc  (vơ lý) Do đó, ta chọn a  2 a b c abc Giả thiết tương đương với          1 222  2  2  2 Với  ,  ,   0;  cho        Ta đặt a  2sin c  2sin  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành        4sin  4sin     4sin sin  8sin sin sin  2 2 2 2 2            sin sin  sin sin  sin sin  2sin sin sin  2 2 2 2 2 sin sin       Ta thấy sin  sin  sin   sin sin 1  sin   2 2 2        sin  sin a  b   Dấu “ = “ xảy  c  sin    Đối với bất đẳng thức thứ hai, ta xét  ,  ,    0;  Ta thấy ab  4sin   sin  cot sin     sin  sin  sin  cot Tương tự, ta có: bc  4sin  sin  sin   sin  sin   sin  sin    sin   sin  cot 24    sin  cot     , b  2sin  , Lượng giác hóa để giải tốn đại số   ca  4sin sin  sin  cot 2    sin  cot   Suy ab + bc ca   sin   sin   cot     sin   sin   cot     sin   sin   cot   Ta coi  ,  ,  ba góc tam giác nhọn ab  bc  ca  2cos   cos    2cos   cos    2cos   cos        ab  bc  ca   cos   cos   cos      sin  sin  sin     a  b  c  2 2    abc Dấu “ = “ xảy a = b = c = 25 Lượng giác hóa để giải tốn đại số Phần 4: Bài tập Bài : Cho a, b, x, y số dương cho Chứng minh rằng: x  y   a b  a b   x y Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm: 1/  x   x  2  x 2  x   m 2/ x   x   x  x  m (ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997) Bài 3: Giải hệ phương trình sau:     log   x  log 1  y   1/  2 log   y  log 1  x    x  y  2/   x  y  3xy   Bài 4:  x  x   x  x  2( x  1) (2 x  x  1) (ĐH Bách Khoa HCM_2001) Bài 5: Cho x2 + y2 = Chứng minh 16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y)  Bài 6: Cho xy + yz + zx = Chứng minh 26 x y z 3     x  y2  z2 Lượng giác hóa để giải tốn đại số C KẾT LUẬN 4.1 Khảo sát thực tế Trong năm học 2013-2014 năm học 2014-2015, phân công giảng dạy mơn tốn lớp 11A6, 12A6 hai lớp chọn ban khoa học tự nhiên Trong q trình giảng dạy, tơi bồi dưỡng kiến thức toán nâng cao cho học sinh yêu thích học khá, giỏi lớp Trước thực đề tài để dạy cho em, khảo sát khả sử dụng lượng giác hóa để giải tốn đại số nhóm tham gia khảo sát (trước tiến hành khảo sát tơi đưa tập có sẵn lời tự giải số toán đại số em tự nghiên cứu) 4.2 Các bước thực đề tài Bước 1: Hệ thống kiến thức lượng giác Bước Đưa số ví dụ điển hình dẫn học sinh phân tích giải toán Bước Rèn luyện kĩ giải tập cho học sinh thông qua số tập Gợi mở cho học sinh hướng pháp triển, mở rộng toán 4.3 Kết thực nghiệm Trước thực đề tài vào trình giảng dạy, toán ứng dụng lượng đại số dành cho học sinh khối 11, 12 Khi giảng dạy phần học sinh lớp tiếp thu kiến thức mơ hồ, kết số học sinh làm dạng tốn phần khơng tốt, dẫn đến học sinh chưa phát huy tính tích cực học tập nên hạn chế cho việc tiếp thu kiến thức phần Kết khảo sát lớp 12B5 12A6 năm học 2014- 2015 kiểm tra phần tập trước thực đề tài: Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu - Kém 12B5 46 HS 11 HS 17 HS 12 HS 27 Lượng giác hóa để giải tốn đại số 12A6 37 TL: 13% TL: 23,9% TL: 37% TL: 26,1% HS HS 11 HS 13 HS TL: 13,5% TL: 21,6% TL: 29,7% TL: 35,2% Trước tác động hai lớp tương đương tư kết học tập Sau tiếp thu phương pháp: Kết khảo sát kiểm tra hai lớp sau: Lớp Tổng số 12B5 46 (ĐC) 12A6 (TN) 37 Giỏi Khá TB Yếu - Kém 10 HS 16 HS 13 HS HS TL: 21,7% TL: 34,8% TL: 28,3% TL: 15,2% HS 15 HS HS HS TL: 24,3% TL: 40,6% TL: 21,6% TL: 13,5% Kết việc tiếp thu phương pháp có ảnh hưởng rõ rệt đến kết học tập học sinh, cụ thể: - Lớp thực nghiệm đạt kết học tập cao so với lớp đối chứng - Qua quan sát học sinh thể hứng thú với phương pháp cung cấp Phương pháp phổ biến ứng dụng đại trà cho khối 11 12 năm học 2014 - 2015 nhiều em chọn áp dụng, đặc biệt tiết dạy tập, nâng cao tiết ôn tập 4.4 Giải pháp đề nghị Để học sinh nắm vững phương pháp lương giác hóa trường phổ thơng, cần tiến hành cho em làm quen sớm phương pháp vào cuối lớp 10 đầu năm 11 Cho em luyện tập kĩ thuật đặt ẩn phụ, từ phát triển tư duy, phân tích tổng hợp dạng toán khác 4.5 Kết luận, giá trị khoa học đề tài Phần tập đại số phần kiến thức quan trọng chương trình tốn lớp 10, 11, 12 phần kiến thức phần quan trọng giúp học sinh nâng cao kiến thức q trình ơn tập, đòi hỏi 28 Lượng giác hóa để giải tốn đại số người giải phải nắm vững phương pháp giải cho dạng Khi giải, cần phân biệt toán giải thuộc dạng vận dụng phương pháp cho phù hợp Đối với giáo viên: Để học sinh hiểu làm tốn phần phải đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng toán, đồng thời phải phân tích kĩ dạng tập Đối với học sinh: Để làm tốt toán phần cần đọc phân tích kĩ đề vận dung phương pháp đúng, đồng thời nắm vững công thức hiểu rõ công thức, dạng tập Trên số ý kiến nhỏ qua trình dạng dạy học sinh trường Do giới hạn thời gian nên đề tài phân tích số tập Đề tài mở rộng lượng giác hóa tốn giải tích, hình học phát triển thành mơt hệ thống phương pháp giải tập đa dạng Rất mong đóng góp ý kiến quý thầy cô em học sinh Xin chân thành cảm ơn Buôn Ma Thuột, ngày 16 tháng 03 năm 2015 Người viết Hoàng Đức Huy 29 Lượng giác hóa để giải tốn đại số TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy, Nguyễn xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, 2006 Lê Bích Ngọc, Lê Hồng Đức, Học ơn tập toán Lượng giác 11- Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội năm 2007 Lê Bích Ngọc, Lê Hồng Đức, Học ơn tập tốn Đại số Giải tích 11- Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội năm 2007 Lê Quang Ánh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng, chuyên đề đại số ôn thi đại học NXB Đại học quốc gia Hà Nội năm 1994 Đậu Cấp, Nguyễn Văn Lộc, tuyển chọn 400 tập toán 12 NXB Đại học quốc gia thành phố HỒ CHÍ MINH Tạp chí tốn học tuổi trẻ Vũ Thế Hựu , Phương pháp lượng giác hóa tốn - NXB Giáo dục năm 1998 Hoàng Hoa Trại Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – NXB Nghĩa Bình 1988 Trần Thành Minh, Trần Đức Huyên, Lệ Trọng Hùng, Dương Quốc Tuấn, giải toán lượng giác 10 - NXB Giáo dục năm 2005 30 ... (hay gọi lượng giác hóa) phù hợp? Lượng giác hóa để giải tốn đại số Hiện nay, chưa có tài liệu phân tích hướng dẫn cách chi tiết kĩ thuât đặt ẩn phụ để lượng giác hóa giải tốn đại số, giải tích,... toán lượng giác túy Do đó, muốn giải tốn bất đẳng thức lượng giác hóa phải nắm bất đẳng thức lượng giác, miền giá trị biểu thức lượng giác quen thuộc Lượng giác hóa để giải toán đại số   a)... trình đại số hay hàm số đại số phức tạp biểu thức lượng giác tương đối đơn giản từ sử dụng cơng thức biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm lời giải cho toán Bước 1: Chọn nhiều hàm số lượng giác