Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV HS HH PPVT SGK, SBT THPT : Giáo viên : Học sinh : Hình học : Phương pháp véc tơ : Sách giáo khoa,sách tập : Trung học phổ thông Lý chọn đề tài WWW.ToanCapBa.Net Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net Nhiệm vụ đề tài .4 Đối tượng nghiên cứu 4 Phạm vi nghiên cứu .4 B NỘI DUNG .5 Cơ sở lý luận Cơ sở khoa học Thực trạng Áp dụng thực tế dạy học C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN 27 KẾT LUẬN .28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 WWW.ToanCapBa.Net Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một mục đích dạy tốn trường phổ thơng là: Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến tri thức khoa học nhân loại tiếp thu thành kiến thức thân, thành công cụ để nhận thức hành động đắn lĩnh vực hoạt động học tập sau Trong đường lối đổi giáo dục Đảng nhà nước ta khẳng định: “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Như vậy, quan điểm chung đổi phương pháp dạy học khẳng định, cốt lõi việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kỹ toán học phổ thông bản, đại, phù hợp với thực tiễn có lực vận dụng tri thức vào tình cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập mơn khoa học khác Việc giải tập tốn hình thức tốt để củng cố, hệ thống hóa kiến thức rèn luyện kỹ năng, hình thức vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào vấn đề mới, hình thức tốt để giáo viên kiểm tra lực, mức độ tiếp thu khả vận dụng kiến thức học Việc giải tập tốn có tác dụng lớn việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt Việc giải tốn cụ thể khơng nhằm dụng ý đơn mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt học sinh dùng phương pháp để giải vấn đề toán cao vấn đề ngồi thực tế mang tính lơgic tốn Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ nghiên cứu hình học, học sinh có thêm cơng cụ để diễn đạt, suy luận để giải tốn, tránh ảnh hưởng khơng có lợi trực giác, từ cho thấy vấn đề xem xét giả quan điểm khoa học, với cách tiệm cận vấn đề khác đưa phương pháp WWW.ToanCapBa.Net Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net khác đắn Đây dịp tốt để học sinh làm quen với ngơn ngữ tốn học cao cấp, từ giáo dục học sinh cách nhìn cởi mở khoa học môn học liên quan Thế việc sử dụng không thành thạo phương pháp trên, cụ thể lúng túng giải sai tập làm học sinh gặp nhiều khó khăn, hạn chế tới kết học tập phạm vi chuyên đề sử dụng “phương pháp véc tơ” để giải tốn hình học Với lí trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu “Dạy giải tập VÉC TƠ hình học 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh” Nhiệm vụ đề tài 2.1 Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập toán theo hướng hình thành rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh 2.2 Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ hình học 10 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy nghiên cứu phương pháp dạy học tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Đối tượng nghiên cứu 3.1 Phương pháp giải tập hình học phẳng phương pháp véc tơ 3.2 Các tập hình học phẳng phương pháp véc tơ hình học lớp 10 Phạm vi nghiên cứu Bài tập hình học phẳng phương pháp véc tơ chương I+II SGK hình học 10 theo chương trình nâng cao WWW.ToanCapBa.Net Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net B NỘI DUNG Cơ sở lý luận Theo phương pháp dạy học toán tập toán đặt thời điểm trình dạy học chứa đựng cách tường minh hay ẩn tàng chức khác Các chức là: - Chức dạy học - Chức giáo dục - Chức phát triển - Chức kiểm tra Các chức hướng tới việc thực mục đích dạy học: - Chức dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành củng cố cho học sinh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo giai đoạn khác trình dạy học - Chức giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin phẩm chất đạo đức người lao động - Chức phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển lực tư cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tụê hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán, khả tiếp thu, vận dụng kiến thức trình độ phát triển học sinh Hiệu việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm Trong tốn có nhiều tốn chưa có khơng có thuật giải khơng có thuật giải tổng quát để giải tất toán Chúng ta thơng qua việc dạy học giải số toán cụ thể mà truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho tốn Dạy học giải tập tốn khơng có nghĩa giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải tốn Biết lời giải tốn khơng quan WWW.ToanCapBa.Net Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net trọng làm để giải toán Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho tốn Theo Pơlya, phương pháp tìm lời giải cho toán thường tiến hành theo bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Để giải tốn, trước hết phải hiểu tốn có hứng thú với việc giải tốn Vì người giáo viên phải ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh giúp em tìm hiểu tốn cách tổng qt Tiếp theo phải phân tích tốn cho: - Đâu ẩn số, đâu kiện -Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp (nếu cần) -Phân biệt thành phần khác điều kiện, diễn đạt điều kiện dạng cơng thức tốn học khơng? Bước 2: Xây dựng chương trình giải Phải phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản Phải huy động kiến thức học (định nghĩa, định lí, quy tắc ) có liên quan đến điều kiện, quan hệ đề toán lựa chọn số kiến thức gần gũi với kiện tốn mò mẫm, dự đốn kết Xét vài khả xảy ra, kể trường hợp đặc biệt Sau đó, xét tốn tương tự khái qt hóa tốn cho Bước Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận q trình giải - Nhìn lại tồn bước giải, rút tri thức phương pháp để giải loại tốn - Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể) - Khai thác kết có tốn - Đề xuất toán tương tự, toán đặc biệt khái qt hóa tốn Cơng việc kiểm tra lời giải tốn có ý nghĩa quan trọng WWW.ToanCapBa.Net Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net Trong nhiều trường hợp, kết thúc toán lại mở đầu cho tốn khác Vì "Cần phải luyện tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn có đặt điều kiện tốn đòi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực cách thường xuyên” Cơ sở khoa học Xuất phát từ yêu cầu học sinh kiến thức kỹ chương I, II- SGK HH nâng cao là: - Về kiến thức bản: nắm khái niệm véctơ, hai véctơ nhau, hai véctơ đối nhau, véctơ khơng, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, định nghĩa tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số thực, tích vơ hướng hai véctơ - Về kĩ bản: biết dựng véctơ véctơ cho trước, biết lập luận hai véctơ nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng véctơ tổng giải số toán, biết xác định số thực k đối r r r r với hai véc tơ phương a,b cho b = ka , vận dụng tính chất tích vơ hướng, đặc biệt để xác định điều kiện cần đủ hai véctơ (khác véctơ-khơng) vng góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức véctơ để nghiên cứu số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng ba điểm, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, giao điểm hai đường chéo hình bình hành… Thực trạng Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững tri thức, có kỹ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực nguyên lý nhà trường phổ thông là: “Học đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội” Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh học véctơ, phép toán véctơ, tính chất tích vơ hướng ứng WWW.ToanCapBa.Net Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net dụng chúng, đặc biệt hệ thức quan trọng tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin, công thức trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác học sinh phải biết tận dụng kiến thức nói để giải số tốn hình học tốn thực tế PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học lớp 10 Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép tốn véctơ lại có mmọt số tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Khó khăn thứ hai sử dụng PPVT ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang “ngơn ngữ véctơ” ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải toán Áp dụng thực tế dạy học Ở lớp 10 học sinh (học theo chương trình nâng cao) học sinh học véc tơ, phép toán véc tơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với số thực, tích vơ hướng hai véc tơ), sau trục, hệ trục toạ độ, toạ độ điểm, toạ độ véc tơ vài ứng dụng đơn giản phương pháp toạ độ Tuy học sinh học hai phương pháp: Véc tơ toạ độ, phương pháp chủ yếu phương pháp véc tơ Bởi vì, hệ thức lượng tam giác đường tròn xây dựng nhờ véc tơ phép tốn, đặc biệt tích vơ hướng hai véc tơ định nghĩa theo đẳng thức véc tơ Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải toán, học sinh lớp 10 giảng dạy GV cần lưu ý vấn đề sau: WWW.ToanCapBa.Net Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net 4.1 Áp dụng quy trình bước dạy giải tập tốn GV cần hình thành cho học sinh bước giải tốn hình học phương pháp véc tơ theo bước sau: Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải tốn PPVT Quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT Bước 1: Chọn véc tơ sở Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véc tơ phép tốn véc tơ để biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thơng thường sang ngơn ngữ véc tơ Bước 3: Giải tốn véc tơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết Giáo viên cần tận dụng hội để rèn luyện cho học sinh khả thực bốn bước giải tốn hình học PPVT thơng qua tập, minh hoạ quy trình bốn bước ví dụ sau: Bài tốn: Cho góc xOy hai điểm di chuyển hai cạnh góc M thuộc Ox, N thuộc Oy, luôn thoả mãn OM = 2ON Chứng minh trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải: Bước 1: Lấy điểm A ∈ Ox, B ∈Oy cho OA = OB, chọn hai véc tơ uuu r uuur OA, OB làm hai véc tơ sở Mọi véc tơ tốn phân tích (hoặc biểu thị được) qua hai véc tơ nàu uuur uuur uuuu r uuu r Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên ON = kOB , OM = 2kOA Điều phải chứng minh I thuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng uur r r OI = pv qua O) tương đương , với v véc tơ cố định Bước 3: Do I trung điểm MN, nên ta có uur uuuu r uuur uuu r uuuu r OI = (OM + ON ) = k (2OA + OB) 2r r uuu r uuu Đặt k = p, 2OA + OB = v , ta điều phải chứng minh A A' x Bước 4: Nhận xét: uuur uuu r Nếu lấy OA' = 2OA r uuur uuur v = OA' + OB ⇒ đường thẳng cố I O định qua trung điểm A’B * Có thể tổng quát hoá toán theo hai cách: B N y - Thay cho giả thiết OM = 2ON OM = m.ON (m số) WWW.ToanCapBa.Net Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net - Thay cho kết luận: Trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định IM p kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỷ số IN = q (p, q số dương) thuộc đường thẳng cố định Trong trình hướng dẫn học sinh giải toán PPVT, giáo viên cần ý đến tri thức phương pháp: Ở bước 1: Nên chọn véc tơ sở cho véc tơ tốn phân tích theo chúng thuận lợi Qua toán học sinh thấy việc chọn véc tơ sở Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ cách thành thạo Cách chuyển đổi ta thấy qua nhóm tốn trình bày Ở bước 3: Cần nắm vững phép toán véc tơ Đồng thời, thông qua tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ tính ưu việt PPVT Đặc biệt tập tìm tập hợp điểm, tập chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, dạng tốn có nhiều hội để làm rõ vấn đề 4.2 Trước giải tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh kiến thức tập sau (vì tri thức phương pháp để giải tập sau này) A - Điều kiện cần đủ để hai véc tơ khơng phương Bài tốn 1: (Bài 12-trang 17-SBT-HH10-nâng cao) r r Chứng minh hai véc tơ a b phương có cặp số r r r m, n khơng đồng thời cho ma + mb = Suy điều kiện cần đủ để r r r r r a b phương có cặp số m, n khơng thời cho ma + mb = B-Tâm tỉ cự hệ điểm {A1, A2, .An} ứng với hệ số { α1 , α , α n } (n ≥ 2) Bài toán 2: Cho hai điểm A, B phân biệt hai số α , β không đồng thời không Chứng minh rằng: uuur uuur r a) Nếu α + β = không tồn điểm M cho α MA + β MB = uuur uuur r α + β ≠ α MA + β MB = b) Nếu tồn điểm M cho WWW.ToanCapBa.Net 10 Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net 3/ Bài toán: Cho tam giác ABC đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D Gọi M, N trung điểm AD BC Chứng minh điểm M, N, I thẳng hàng Chứng minh có sử dụng kết tập sau: 4/Bài 37b - tr11- SBT HH10 - nâng cao Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b Gọi I tâm uu r uur uur r đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: aIA + bIB + cIC = * Hệ thống tập Bài 1: Bài 26 - SBT HH10 - nâng cao Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điêm A, B cố định Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng d có số α cho: uuuu r uuu r uuu r OM = α OA + (1 − α )OB Với điều kiện α M thuộc đoạn thẳng AB Bài 2: Trên cạnh tam giác ABC, lấy điểm M, N, P cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuu r r uuur uuuu r uuur MA + 3MB = NB − NC = PC + PA = Hãy biểu thị AN qua AM AP , từ suy M, N, P thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi D, I, N điểm xác định hệ thức: uuur uuur r uuur uuur uur uuur 3DB − DC = 0, AN = NB, CI = 2CN Chứng minh A, I, D thẳng hàng Bài 4: Bài 20a-tr8-SBT HH10-nâng cao Cho tam giác ABC điểm A1, B1, C1 nằm đường thẳng BC, CA, AB Gọi A2, B2, C2 điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) Nếu điểm A1, B1, C1 thẳng hàng điểm A2, B2, C2 b) Trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2 thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC đều, tâm O M tam giác ABC có hình chiếu xuống cạnh BC, CA, AB tương ứng P, Q, R Gọi K trọng tâm tam giác PQR a) Chứng minh: M, O, K thẳng hàng b) Cho N điểm tùy ý BC Hạ NE, NF tương ứng vng góc với AC, AC Chứng minh N, J, O thẳng hàng, với J trung điểm EF Bài 6: Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác ABC Qua điểm M tùy ý mặt phẳng tam giác ABC dựng đường thẳng song song với GA, WWW.ToanCapBa.Net 15 Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net GB, GC, chúng tương ứng cắt BC, CA, AB A 1, B1, C1 Chứng minh M, G, G1 thẳng hàng, với G1 trọng tâm tam giác A1B1C1 Có nhận xét điểm G1 ? Bài 7: Bài 28-tr24-SGK HH10-nâng cao Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: uuu r uuur uuur uuur r a) Có điểm G cho GA + GB + GC + GD = Điểm G gọi trọng tâm điểm A, B, C, D Tuy nhiên, người ta quen gọi G trọng tâm tứ giác ABCD b) Trọng tâm G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối tứ giác, trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo tứ giác c) Trọng tâm G nằm đoạn thẳng nối đỉnh tứ giác trọng tâm tam giác tạo đỉnh lại Bài 8: Cho tứ giác ABCD Hai điểm M, N thay đổi cạnh AB, CD cho AM CN = Gọi P, Q trung điểm hai đường chéo AC, BD, AB CD I trung điểm MN Chứng minh điểm P, I, Q thẳng hàng Bài 9: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I Gọi E, F trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh I, E, F thẳng hàng Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Vận dụng kiến thức PPVT để giải tốn quan hệ vng góc cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn Thông thường với dạng tốn trên, ta quy tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc, hay từ định nghĩa tích vơ hướng hai véc tơ ta có r r r r r thể suy ra: Nếu a, b hai véc tơ khác với a nằm đường thẳng a, b nằm rr đường thẳng b a ⊥ b ⇔ a.b = Vậy tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc quy tốn chứng minh tích vơ hướng hai véc tơ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A; M trung điểm BC, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH Chứng minh AE ⊥ BH Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán WWW.ToanCapBa.Net 16 Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net Trước hết học sinh phải tìm hiểu tốn cách tổng thể: Đây dạng toán chứng minh hai đường thẳng vng góc Tiếp theo phải phân tích tốn cho - Bài tốn cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân A, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH) - Bài tốn hỏi gì? (Chứng minh AE ⊥ BH) - Tìm mối liên hệ phải tìm với cho Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để chứng minh AE ⊥ BH, ta phải chứng minh ? (phải chứng uuur uuur minh đẳng thức véc tơ AE.BH = ) A uuuu r uuur Để sử dụng giả thiết AM ⊥ BC (Hay AM BC = ) uuuur uuur MH ⊥ AC (Hay MH AC = ) ta phải phân tích uuur uuur véc tơ AE, BH theo véc tơ nào? uuur uuur H Khi AE.BH = ? Bước 3: Thực chương trình giải B uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AE.BH = ( AM + AH )( BM + BH ) uuuu ruuuur uuuruuuu r = AM MH + AH BM uuuu ruuuur uuuu r uuuur uuuu r uuuu ruuuur uuuuruuuu r = AM MH + ( AM + MH ) BM = AM MH + MH MC uuuuruuuur uuuuruuuur uuuur2 uuuur2 = HM MH + MH MH = MH + MH = ⇒ AE ⊥ BH Bước 4: E M - Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại bước giải toán * Hệ thống tập Bài 1: (Bài 8-tr5-SGK-HH10-nâng cao) Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A uuu ruuur BABC = AB Bài 2: Bài 11-tr40-SGK-HH10-nâng cao ¶ = 600 Lấy điểm E tia MP đặt Tam giác MNP có MN=4, MP=8, M uuur uuur ME = k MP Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP WWW.ToanCapBa.Net 17 C Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC H uuur uuuur điểm nằm đường thẳng BC Chứng minh AB2 − AC2 = BC.MH điều kiện cần đủ để AH ⊥ BC Bài 4: Các đường AM, BE, CF trung tuyến tam giác ABC · a) Chứng minh BE + CF2 = 5AM điều kiện cần đủ để BAC = 900 b) Chứng minh AB2 + AC2 = 5BC2 điều kiện cần đủ để BE ⊥ CF Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, cạnh AB, BC, CA ta AM BN CE lấy điểm M, N, E cho MB = NC = EA Chứng minh rằng: AN ⊥ ME uuuu r uuur Bài 6: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N thoả mãn: BM = BC ; uuur uuur · AN = AB gọi I giao điểm AM CN Chứng minh góc BIC = 900 Bài 7: Tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O), D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE ⊥ CD Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I) B’ điểm đối xứng B qua O (I) tiếp xúc với cạnh BA, BC P, Q Trên BA, BC lấy điểm K, L cho BK = CQ, BL = AP Chứng minh B’I ⊥ KL Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Trên tia BA, CA lấy điểm E, F cho EB = BC = CF Chứng minh OI ⊥ EF Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc tổng bình phương cặp cạnh đối diện Bài 11: Bài 22-tr41-SBT-HH10-nâng cao Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M, gọi P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh MP ⊥ BC uuuu ruuuu r uuur uuuu r MA.MC = MB.MD Bài 12: Các đường chéo tứ giác ABCD vng góc Trên cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy điểm P, Q, R, S cho: uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uur AP = k PB; BQ = kQC ; CR = k RD; DS = k SA(k ≠ −1) WWW.ToanCapBa.Net 18 Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net Chứng minh SQ ⊥ PR Bài 13: Bài 23-tr41-SBT-HH10-nâng cao Cho hình vng ABCD, điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AC AM = Gọi N trung điểm đoạn thẳng DC Chứng minh BMN tam giác vng cân Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK vng góc với AC Gọi M, N trung điểm AK CD Chứng minh góc BMN vng Bài 15: Cho hình vng ABCD Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC cho BM = BN H hình chiếu B CM Chứng minh DHN = 900 Bài 16: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh AC ⊥ BD ⇔ AB2 + CD2 = 4R2 Bài 17: Bài 32-tr43-SBT-HH10-nâng cao Trong đường tròn ξ (O; R) cho hai dây cung AA ’, BB’ vng góc với điểm S gọi M trung điểm AB Chứng minh SM ⊥ A’B’ Bài 18: Bài 35-tr43-SBT-HH10-nâng cao · Cho điểm M nằm góc xOy gọi M1, M2 hình chiếu ϕ M Ox, Oy Vẽ đường tròn ( ) qua M1, M2, đường tròn cắt cạnh Ox, Oy N1, N2 Kẻ đường thẳng vng góc Ox N đường thẳng vng góc Oy N2 Giả sử hai đường thẳng vng góc với N Chứng minh ON ⊥ M1M2 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức véc tơ Đẳng thức véc tơ đẳng thức mà hai vế biểu thức véc tơ Mỗi biểu thức chứa hạng tử véc tơ chúng nối với r dấu phép toán véc rơ hai vế đẳng thức Để chứng minh tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành để dựng véc tơ cho hai vế đẳng thức, sử dụng công thức trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng, tính chất phép tốn, tính chất tích vơ hướng hai véc tơ để rút gọn hai vế Ví dụ: Chứng minh với điểm A, B, C, D ta có WWW.ToanCapBa.Net 19 Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD + AC.DB + AB.BC = (*) Hướng dẫn giải: uuur uuur uuur Bước 1: Chọn véc tơ AB, AC , AD làm véc tơ sở Mọi véc tơ xuất tốn phân tích qua véc tơ Bước 2: Bài toán cho dạng ngôn ngữ véc tơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD + AC.DB + AB.BC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = AB( AD − AC ) + AC ( AB − AD) + AD( AC − AB ) uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r = AB AD − AB AC + AC AB − AC.AD + AD AC − AD AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = ( AB AD − AD AB ) + ( AC AB − AB AC ) + ( AD AC − AC.AD ) = Bước 3: Bước 4: Nhận xét: Đẳng thức véc tơ (*)được gọi hệ thức Ơle Có thể dùng hệ thức Ơle để chứng minh: Trong tam giác đường cao đồng quy Thật vậy, giả sử đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC cắt H Áp dụng hệ thức Ơle cho điểm H, A, B, C ta có: uuur uuur uuur uuu r uuur uuur HA.BC + HB.CA + HC AB = uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur Do HB ⊥ CA, HC ⊥ AB nên HB.CA = HC AB = từ HA.BC = tức HA ⊥ BC Kết vừa chứng minh mở rộng đẳng thức uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD + AC.DB + AD.BC = A, B, C, D nằm đường thẳng * Hệ thống tập Bài 1: Cho tam giác ABC, G trọng tâm Chứng minh uuur uuur uuur uuu r uuuu r uuur MA.BC + MB.CA + MC AB = MA + MB2 + MC2 = 3MG + GA + GB2 + GC2 GA + GB2 + GC2 = a + b2 + c , với a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC 2 2 Nếu tam giác ABC nội tiếp (O; R) OG = R − (a + b + c ) Nếu trọng tâm G tam giác ABC thoả mãn điều kiện uuu r uuu r uuur r aGA + bGB + cGC = tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi H trực tâm, I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh: uu r uur uur r aIA + bIB + cIC = (a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC) WWW.ToanCapBa.Net 20 Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net uuur uuur uuur r tan AHA + tan BHB + tan C HC = uuur uuur uuuu r r Sa MA + Sb MB + Sc MC = , trongđó M điểm nằm tam giác ABC, Sa, Sb, Sc theo thứ tự diện tích tam giác MBC, MCA, MAB a.IA + b.IB2 + c.IC2 = abc Bài 3: cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hạ MD, ME, MF vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: uuuu r uuur uuur uuuu r MD + ME + MF = MO Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi I, J theo thứ tự trung điểm AC, BD Chứng minh rằng: AB2 + BC2 + CD2 + DA = AC2 + BD2 + 4IJ Bài 5: Cho tứ giác ABCD số k ≠ 0; k ≠ Trên đường thẳng AB, BC, CD, DA ta lấy điểm tương ứng A’, B’, C’, D’ cho: Dạng 4: Các tốn tìm tập hợp điểm Trong hình học phẳng thường đề cập đến tốn quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện Bằng phương pháp tổng hợp nghiên cứu tốn quỹ tích tốn quỹ tích Bằng phương pháp véc tơ nghiên cứu quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện (ta gọi tính chất α ) theo nguyên tắc chung phải thiết lập tính tương ứng tính chất α với điều kiện véc tơ có liên quan đến điểm M từ mơ tả hình H = {(M/M có tính chất α )} Do phạm vi nghiên cứu mở rộng nhiều cho lời giải dễ dàng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho uuur uuur a) MA.MB = k (k ∈ R) uuur uuuu r b) MB + MB.MC = a (a độ dài cạnh BC) Hướng dẫn giải: uuur uuur uuu r uu r uuu r uu r MA.MB = k ⇔ ( MI + IA)(MI − IA) = k ⇔ IM − IA = k ⇔ IM = AB +k WWW.ToanCapBa.Net 21 Dạy giải tập VÉC TƠ hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh WWW.ToanCapBa.Net AB AB + k > ⇔ k > − * Nếu Tập hợp điểm M đường tròn tâm 4 AB +k I, bán kính * Nếu k = − AB ⇒ IM = ⇔ Tập hợp M điểm I AB AB +k