WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng A ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học khoa học tự nhiên, toán học đời từ sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất xây dựng nhà cửa Càng ngày xã hội loài người tiến dần lên mức độ cao đến đang trình độ cao từ mà lồi người chưa có Do tốn học củng khơng nằm quy luật phát triển từ sơ khai đến đại Toán học nghiên cứu nhiều, đa dạng phong phú Trong tốn bất đẳng thức tốn khó , để giải toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng, phải nắm phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng nhiều phương pháp giải khác , có phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí giải Bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có tốn bất đẳng thức, sách giáo khoa phổ thơng lại trình bày Vì học sinh cần thiết phải nắm kiến thức bất đẳng thức Trong thực tế trường THCS THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan bất đẳng thức , tốn chứng minh bất đẳng thức thường khơng có cách giải mẫu, khơng theo phương pháp định nên học sinh không xác định hướng giải tốn Mặt khác nhận thức học sinh THCS Và THPT có nhiều hạn chế khả tư chưa tốt học sinh lúng túng nhiều khơng biết vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Trong nội dung đề tài xin tập trung giới thiệu tính chất bản, số phương pháp hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng bất đẳng thức biết , phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai …., số tập vận dụng ứng dụng bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh tự định hướng phương pháp chứng minh, giải toán liên quan hứng thú học bất đẳng thức nói riêng mơn Tốn nói chung Qua đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức ) muốn giúp học học sinh có thêm số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài này, nghiên cứu không tránh khỏi sai sot mác phải mong góp ý thày giáo, bạn để đề tài hồn thiện hơn, tơi xin chân thành cảm ơn! NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - kỹ giải toán chứng minh bất đẳng thức - kỹ vận dụng bất đẳng thức để giải tốn: Tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm ngun, phương trình vơ tỉ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh trung học sở - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng 4- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Qua trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học, thể nhiều đối tượng học sinh khác : Học sinh giỏi, học sinh trung bình mơn Tốn Sinh viên: Nguyễn Xn Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng PHẠM VI NGHIÊN CỨU Giới hạn phần chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức chương trình tốn trung học sở B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN Để giải tốn đòi hỏi mổi người phải đọc kỹ tốn xem tốn u cầu gì, phải sử dụng phương pháp để giải, gặp tốn giải có dạng tương tự tốn hay khơng để từ tìm cách giải Đối với học sinh trung học sở việc vận dụng khiến thức lý thuyết, nhận dạng tốn để tìm cách giải chưa rèn luyện nhiều đơi lúc trình bày vấn đề sơ sài Khi nghiên cứu bất đẳng thức ta thấy thật có tác dụng rèn luyện phát huy khả tư để giải tốn khơng riêng bất đẳng thức mà giải dạng tốn khác muốn giải đòi hỏi phải thật có kiến thức toán học lớn Phương pháp để giải tốn bất đẳng thức khơng đâu xa xơi ngồi chương trình em học sinh trung học sở Nhưng việc em vận dụng vấn đề cốt lỏi Muốn làm điều đòi hỏi học sinh phải thật nắm vững kiến thức, phải có lập luận lơgic, xét đầy đủ mặt khác toán, nhận dạng toán Đặc biệt học sinh giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không giải tốn mà phải khái qt dạng để đua phương pháp chung cho toán khác tuơng tự Khi giảng dạy cho học sinh giáo viên phải rèn luyện cho em nắm phần lý thuyết, đưa ví dụ minh hoạ cụ thể, tập vận dụng, nên ý tạo cho em cách nhìn nhận tốn để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu chí khơng hình thành lơgic tốn học Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức phổ thông sở hạn chế Do việc học tập vận dụng thành thao cho em sẻ khó khăn đói với em có học lực trung bình, PHẦN NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I> CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ b , kí hiệu a < b + a lớn b , kí hiệu a > b , + a nhỏ b , kí hiệu a ≤ b, + a lớn b , kí hiệu a ≥ b , 2) mơt số tính chất bất đẳng thức: a) Nếu a > b b > c a > c (tính chất bắc cầu) b) Nếu a > b c a + c > b + c Tức là: Khi cộng vào vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức khơng đổi chiều c) Nếu a > b + c a − b > c Tức là: Ta chuyển số hạng bất đẳng thức từ vế sang vế phải đổi dấu số hạng d) Nếu a > b c > d a + c > b + d Tức là: Nếu cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Chú ý: Không cộng vế với vế bất đẳng thức ngược chiều e) Nếu a > b c < d a − c > b − d Tức là: Nếu trừ vế với vế bất đẳng thức ngược chiều ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ Chú ý: Không trừ vế với vế bất đẳng thức chiều f) Nếu a > b c > ac > bc Nếu a > b c < ac < bc Tức là: Nhân vế bất đẳng thức với cung số dương thf bất đẳng thức không đổi chiều Nhân vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức đổi chiều g) Nếu a > b > c > d > ac > bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức chiều có vế dương ta bất đẳng thức cung chiều Chú ý: Không nhân vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng h) Nếu a > b > 1 > >0 b a Tức là: Nếu nhân vế bất đẳng thức dương phép lấy nghịch đảo dổi chiều bất đẳng thức k) Nếu a > b > n nguyên dưong a n > b n Nếu a > b n nguyên dưong a n + > b n +1 Một số bất đẳng thức thông dụng 2 + A ≥ 0( A = ⇔ A = 0); A = A + A ≤ B ⇔ − B ≤ A ≤ B (B ≥ 0) A ≥ B + A ≥B⇔   A ≤ −B + A + B ≤ A + B Dấu “=” xảy A, B Cùng dấu + A − B ≤ A − B Dấu “=” xảy A ≥ B ≥ + + + + A≤B≤0 A > B ⇔ A > B2 a ≥ (a = ⇔ a = 0) a + b ≥ 2ab (Dấu “=” xảy a = b ) a b + ≥ (Với a, b dấu) b a Chú ý: Để chứng minh bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào dạng toán Sau số cách thường dùng II> CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Pương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh A ≥ B (hoặc A > B ) ta chứng minh A − B ≥ (hoặc A − B > ) - Lưu ý : A2 ≥ với A ; dấu '' = '' xảy A = - Ví dụ : Bài tốn 1.1 Chứng minh bất đẳng thức Cơsi hai số thực khơng âm ( Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng gọi bất đẳng thức Ơclit ) a + b ≥ ab a,b ∈ R* Dấu “ = “ xảy a = b Thật vậy, a + b ≥ ab ⇔ a + b − ab ≥ ⇔ ( a − b)2 ≥ Với a,b ≥ Dấu “ = “ xảy a = b Bài toán 1.2 a + b + c2 ≥  a + b + c  a, b, c Chứng minh  3 ÷ với số thực  Phân tích: Đây đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải Lời giải: Xét hiệu a + b + c2  a + b + c  3a + 3b2 + 3c2 − (a + b + c)2 − ÷ =  (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = a + b + c2 ≥  a + b + c  Vậy  3 ÷  Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c a + b + c2 ≥  a + b + c  Do  3 ÷  ≥0 Khai thác toán: - Bằng phương pháp xét dấu hiệu A − B ta xét đắn bất đẳng thức A ≥ B Để ý với số thực u, v ta củng có: u + v2 ≥  u + v   ÷   - tương tự chứng minh ta chứng minh toán sau Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Bài toán 1.3 Với số : x, y, z chứng minh : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) Lời giải: Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 ≥ với x (y - 1)2 ≥ với y (z - 1)2 ≥ với z => H ≥ với x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) với x, y, z Dấu xảy x = y = z = Khai thác toán: Tương tự ta chứng minh tốn sau: Cho a, b, c, d, e số thực : Chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) Bài toán 1.4 Chứng minh rằng: a + b ≥ với a, b dấu b a Lời giải: a + b − 2ab (a − b) a b Ta có: + − = = b a ab ab (a − b) ⇒ ⇒ a, b dấu ab > ≥0 ab a b Vậy + ≥ dấu “=” xảy a − b = hay a = b b a Khai thác toán: 1.4.1 Chứng minh tương tự ta chứng minh Toán sau Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Chøngminhr»ngvíi mäix tho¶m·n1≤ x ≤ 5, tacã: 5- x + x − ≥ Hướng dẩn: 5- x + x − ≥ ⇔ ( ) 5- x + x − ≥ ≥ ⇔ + ( − x)( x − 1) ≥  x = 5  ⇔ ( − x)( x − 1) ≥  § óngdÊub»ngkhi  x =    1.4.2 Chứng minh bất đẳng thức: ab + bc + ca < c với a ,b cạnh 2 góc vng tam giác ABC, c cạnh huyền Hướng dẩn: Ta có : ab + bc + ca < 2.c2 hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 Xét: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ) = ( 2 ( a − b ) + (b − c) + (c − a)2 > ( ) Bài toán 1.5 Chứng minh a.b ≥ thì: + ≥ 1+ a 1+ b2 1+ ab Phân tích: Củng xét hiệu vế sử dụng giả thiết a.b ≥ ( ⇔ ab −1 ≥ ) Lời giải: Xét hiệu: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng + − = − + − 1+ a 1+ b2 1+ ab 1+ a 1+ ab 1+ b2 1+ ab (b − a) (ab −1) ≥ = (1+ ab)(1+ a )(1+ b2 ) Khai thác toán: - Với số dương a, b, c mà abc ≥ , bất đẳng thức sau hay sai? Chúng ta phát triển tốn tổng qt hay khơng? Nếu được, phát biểu toán tổng quát + + ≥ 1+ a 1+ b2 1+ c2 1+ abc - Với số x, y mà x + y ≥ ta có: + ≥ y x + + + 2x + y Phương pháp biến đổi tương đương - Để chứng minh A ≥ B ta biến đổi tương đương A ≥ B ⇔ …⇔ C ≥ D bất đẳng thức cuối C ≥ D bất đẳng thức hiển nhiên bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức A ≥ B Sau khẳng định tính đắn bấtđẳng thức C ≥ D ta kết luận bất đẳng thức A ≥ B - Một số đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Bài toán 2.1 Chứng minh ∀a, b, c, d ∈ R a + b2 + c2 + d + e2 ≥ a(b +c +d +e) Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Lời giải Bất đẳng thức xét tương đương với bấ đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế) (a − 4ab + 4b2 ) + (a − 4ac + 4c2 ) + (a − 4ad + 4d ) +(a − 4ae + 4e2 ) ≥ ⇔ (a − 2b)2 + (a − 2c)2 + (a − 2d)2 + (a 2e)2 Bi toán 2.2 Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: a + b2 +1 ≥ ab + a + b Lời giải: Bất đẳng thức a + b2 +1 ≥ ab + a + b ⇔ (a + b +1) − 2(ab + a + b) ≥ ⇔ (a − 2ab + b2 ) + (a − 2a +1) + (b − 2b +1) ≥ ⇔ (a − b)2 + (a −1)2 + (b −1)2 ≥ ⇒ Điều cần chứng minh Khai thác toán: Tương tự toán chứng minh bất đẳng thức sau: Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: a + b + c ≥ 2 + +  bc ca ab  a b c ÷ Bài tốn 2.3 ∀x, y chứng minh x + y4 ≥ xy3 + x y Lời giải: Ta có: Vậy x + y4 − xy3 − yx = x (x − y) − y3 (x − y)   = (x − y)2  (x + y )2 + 3y  ≥   x + y4 ≥ xy3 + x y 10 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Hay Xét: ab + bc + ca < 2.c2 ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = ( ) 1 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ) = ( a − b ) + (b − c) + (c − a) ( 2 57> Hướng dẩn: Ta viết : ≤ a ≤ b ≤ c ≤ (1 – a ).(1 – b) ≥ ⇒ a + b ≤ + ab ≤ + 2.ab ⇒ a + b + c ≤ a + b + ≤2 + 2.ab ⇒ + ab ≤ + ac ≤ + bc a b c a +b+c + + ≤ ≤2 bc + ac + ab + 1 + ab 58> Hướng dẩn: 4( − x ) ( − z) ≤ ( − x − z) = ( + y) ⇒ ( − x ) ( − y ) ( − z ) ≤ ( + y ) ( − y ) = ( − y2 ) CÇn chøng minh: + y ≥ 1-y (®óng) 59> Hướng dẩn: Cách 1> Ta có b + c ≥ 2bc;c + d ≥ 2cd;d + a ≥ 2ad; Cộng vế với vế ta ( a + b + c + d ) ≥ ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ⇔ ( a + b + c + d ) ≥ a + b + c + d + ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ⇔ ( a + b2 + c2 + d ) ≥ ( a + b + c + d ) = ⇔ ( a + b + c2 + d ) ≥ Cách ( a + b + c + d ) = ( 12 + 12 + 12 + 12 ) ( a + b + c + d ) ≥ ( a + b + c + d) = 60> Hướng dẩn: 95 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng 2 1 1   a + + b + ÷ 2 + + ÷ 2  1  1   a b a b a + + b + =  ÷  ÷ ≥ a  b 2    2 + ÷ 25 a+b  ≥ = 2 61> Hướng dẩn: Ta có = ( a + b + c ) ≥ ( a + b ) c ⇔ a + b ≥ ( a + b ) c Lại có ( a + b) 62> Hướng dẩn: Ta có 2 ≥ 4ab ⇒ a + b ≥ 16abc ( b2 + c2 ) ⇔ ( − a ) ≥ ( − a ) ⇔ 3a − 4a ≤ ⇔ ≤ a ≤ Tương tự 63> Hướng dẩn: 4 0≤b≤ ; 0≤c≤ 3 ( + a + b + c) ≥ 4( a + b + c) Lại có a ≥ a ;b ≥ b ;c ≥ c Vậy ( + a + b + c) ≥ ( a + b2 + c2 ) 64> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi a a b a b 3a + + ≥ 33 = b b c bc abc 96 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng b b c + + ≥ c c a c c a + + ≥ a a b Tương tự 3b abc 3c abc Cộng vế với vế ta điều phải chứng minh 65> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi a ( + b ) ( + c ) 3a a3 1+ b 1+ c + + ≥ 3 = 64 ( + b ) ( + c ) ( + b) ( + c) b3 + a + c 3b + + ≥ Tương tự ( + a ) ( + c) c3 + a + b 3c + + ≥ ( + a ) ( + b) Cộng vế với vế ta được: a3 b3 c3 a + b + c 3 abc + + + ≥ ≥ = 2 ( + b) ( + c) ( + a ) ( + c) ( + a ) ( + b ) 66> Hướng dẩn: 1 ⇔ ab ( a + b ) ≤ ⇔ ab   64 ⇔ ab − ab ≤ ab.( a + b ) ≤ ( ( a+ b ) ) − ab  ≤  ( Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ab 1-2 ab ( ) ab − ab ≤ ( ) ab − ab ≤ ) ab + − ab 1 = ⇔ ab − ab ≤ hay: 2 ( ) 67> Hướng dẩn: 97 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Giả sử ngược lại bốn đẳng thức Nhân ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => [ a (1 − a ) ] [ b(1 − b) ] [ c(1 − c) ] [ d (1 − d ) ] > 256 (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : a (1 − a ) ≤ a +1− a = 2 => a(1 - a) ≤ 4 c(1 - c) ≤ d(1 - d) ≤ Tương tự : b(1 - b) ≤ Nhân bất đẳng thức ; ta có : [ a(1 − a)] [ b(1 − b)] [ c(1 − c)] [ d (1 − d )] > 256 (2) Từ (1) (2) suy vô lý Điều vô lý chứng tỏ bất đẳng thức cho đầu sai 69> Hướng dẩn: Ta có : p - a = b+c−a >0 Tương tự : p - b > ; p - c > ; Áp dụng kết tập (3.5) , ta ; Tương tự : 1 4 + ≥ = p − a p − b ( p − a ) + ( p − b) c 1 + ≥ p−b p −c a 98 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng 1 + ≥ p−a p−c b 1 1 1 + + ) ≥ 4( + + ) => 2( p−a p−c p−c a b c => điều phải chứng minh Dấu '' = '' xảy : p - a = p - b = p - c ⇔ a = b = c Khi tam giác ABC tam giác iii TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤ 70> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta A = x = 71> Hướng dẩn: a) A = − x + + x Hướng dẩn: Xét A = = − x ta A = với x = ±1 , max A = với x=0 b) B = x−2 + 6−x Hướng dẩn: Xét B2 = + (x − 2)(6 − x) ta có x = B = ⇔  x = Áp dụng bất đẳng thức Cô-si a + b ≥ ab ta max B = 2 ⇔ x − = ⇔ x = 72> Hướng dẩn: Áp dụnh bất đẳng thức Bunhacôpski ta max A = ⇔ x = 73> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi Bunhacôpski ta A = −100 ⇔ x = −10,max A = 1000 ⇔ x = 10 74> Hướng dẩn: 99 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Cách 1: a b ay bx A = x + y = 1(x + y) =  + ÷(x + y) = a + + +b x y x y   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta  x = a + ab A = a + b + ab = ( a + b) ⇔   y = b + ab Cách Dùng bất đẳng thức Bunhacôpski a b  a b A = (x + y).1 = (x + y)  + ÷ ≥  x + y ÷ x y x y  75> Hướng dẩn: Ta có x + y ≥ 2x y ; z + y ≥ 2z y ; x + z ≥ 2x z Suy x + y4 + z4 ≥ x y2 + z y2 + x 2z Mặt khác, để chứng minh a + b + c = a + b2 + c2 ≥ Do Vậy 76> Hướng dẩn: x y2 + z y2 + x 2z ≥ 3 A = ⇔ x = y = z = ± 3 A = x − y ≥ , A lớn A lớn A2 ≤ ( Bunhacôpski) 77> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số x + y + z t 100 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng   2x x = −  y = −2  ⇔ ⇔ Vậy max A =  x + 4y =  y =   10  x =   y = −  10 78> Hướng dẩn: P ( x) = x +x+2 x ( x + 1) + = ( ) x ( x + 1) + + x ( x + 1) + = x ( x + 1) + + x ( x + 1) + ≥2 x = dÊu d¼ ng thøc x ( x + 1) + = ⇔   x = −1 79> Hướng dẩn: z4 1 ⇒ = + ( x + y4 ) Ta có P = 4 P z 1+ z ( x + y ) x2 y Từ xy z + x z + y = 3z ⇒ xy + + =3 z z2 Áp dụng Côsi cho số không âm 2 x x 4 1; ; x ; x có + + x + x ≥ 4 = z z z z Áp dụng Côsi cho số không âm 1 1; ; ; y có + 14 + 14 + y ≥ 4 y8 = y2 z z z z z z Áp dụng Côsi cho số không âm 1; x ; y ; y có + x + y + y ≥ 4 x y8 = 4xy 2 2 2 101 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Cộng vế với vế bất đẳng thức ta  x2 y  1 4 + + 3.x + 3.y ≥  + + xy ÷ = 12 ⇒ ≥ dÊu b»ng x = y = z = z P  z z  VËy Pmax = x = y = z = 80> Hướng dẩn: (x P= + y3 ) − ( x + y ) ( x − 1) ( y − 1) x ( x − 1) + y ( y − 1) x2 y2 = = + ≥ y −1 x −1 ( x − 1) ( y − 1) 2xy ( x − 1) ( y − 1) x2 y2 x −1 +1 x = l¹i cã ( x-1) ≤ = dÊu b»ng x = y −1 x −1 2 y −1+1 y = dÊu b»ng y = ( y − 1) ≤ 2 2xy ⇒P≥ = dÊu b»ng x = y = x y 2 VËy Pmin = x = y = 81> Hướng dẩn: dÊu b»ng Ta có f ( x ) = 2x + 5x + + x + − 2x = Áp dụng Cơsi cho số khơng âm Ta có ( x + ) ( 2x + 1) + ( x + ) vµ ( 2x + 1) ( x + ) − 2x x + + 2x + 3x + = 2 dÊu d¼ ng thøc khi: x + = 2x + ⇔ x = Áp dụng Côsi cho số khơng âm vµ ( x + 3) ( x + ) ( 2x + 1) Ta có ≤ 4+x +3 x +7 = 2 DÊu d¼ ng thøc : = x + ⇔ x = ( x + 3) ≤ 102 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng ⇒ ( x + ) ( 2x + 1) + ( x + 3) − 2x ≤ 3x + x + + − 2x = 2 dÊu d¼ ng thøc x = VËy: f ( x ) = x = 82> Hướng dẩn: Ta có T = ( x + y ) ( x + z ) = x + xz + xy + yz = x ( x + y + z ) + yz Tõ: ( x + y + z ) xyz = ⇒ x ( x + y + z ) = thay vµo T ta cã: yz T= + yz ≥ dÊu d¼ ng thøc yz = yz 83> Lời giải  x10 y10  + ÷ ≥ x y Dấu “=” xảy x12 = y12 Ta có  2 y x  16 x + y16 ) ≥ x y8 dÊu b»ng x16 = y16 ( 2 1 ⇒ Q ≥ x y8 + x y − ( + x y ) = ( x y8 + 2x y + 1) − ( + x y ) − 2 2 1 = ( x y + 1) − ( x y + 1) − 2 l¹i cã: ( 12 + 12 ) ( x y ) + 12  ≥ ( x y + 1)   hay ( x y + 1) ≥ ( x y + 1) dÊu b»ng x y = 84> Hướng dẩn: Ta có 1 a  1  3a  1  2 P = ( b + c ) + a  + ÷ = ( b + c ) +  + ÷+  2+ 2÷ a b c a b c     b c  103 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng a2  1  a2  1  2 ( b + c ) +  b2 + c ÷≥ a ( b + c )  b2 + c2 ÷ a2     Có ≥2 a2 a2  1  2 b + c = dÊu b»ng b + c = ( ) b2 + c ( )  b2 + c2 ÷ a2 a2   ⇔ 4b c = a ; b = c a2  1  a2 = dấu “=” xảy Lại có  + ÷ ≥ b c  b + c2 b = c a2 a2 2 2 ⇒ P ≥ dÊu b»ng b = c = VËy Pmin = b = c = 2 85> Hướng dẩn: x +1 = x −x ( x − 1) + 2x 2 x ( x − 1) x2 − 2x = + ≥2 x x −1 86> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 A = x + 12 + (1 − x) + 2 ≥ ( x + − x ) + (1 + 2) = 10 1− x A = 10 ⇔ =2 ⇔ x= x 87> a) Điều kiện : x ≥ 1, y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a+b ≥ ab Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dựng bất đẳng thức : a + b ≤ 2(a + b ) A = x − + y − ≤ 2(x − + y − 3) = 104 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng x − = y −  x = 1,5 max A = ⇔  ⇔  x + y =  y = 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x ≥ 1, y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : Ta xem biểu thức ab ≤ a+b x − , y − tích : x − = 1.(x − 1) , y − = 2(y − 2) x − 1.(x − 1) + x − 1 Theo bất đẳng thức Cauchy : = ≤ = x x 2x y−2 2.(y − 2) + y − 2 = ≤ = = y y 2y 2 x − = x = 2 2+ M ax B = + = ⇔  ⇔  4 y − = y = 88> Hướng dẩn: Điều kiện x ≤ Đặt 2 − x = y ≥ 0, ta có : y = x − 2 9   a = − y + y = −  y − ÷ + ≤ ⇒ max A = ⇔ y = ⇔ x = 2 4 4  89> Hướng dẩn Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ⇔ ≤ x ≤ Áp dụng bất đẳng thức đả biết Áp dụng xét hiệu 90> Hướng dẩn − x + x + 12 ≥ ( x + 2)(6 − x) ≥ ⇔  ⇔ − ≤ x ≤ 3{ Tập xác định :  − x + x + ≥ ( x + 1)(3 − x) ≥ } (1) Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + 105 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Do (1) nên 2x + > nên A > Xét : A2 = ( ) ( x + 2)(6 − x) − ( x + 1)(3 − x) Hiển nhiên A2 ≥ dấu “ = ” không xảy (với A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác : A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - ( x + 2)(6 − x)( x + 1)(3 − x) = = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - ( x + 2)(6 − x)( x + 1)(3 − x) = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) – ( x + 2)(6 − x)( x + 1)(3 − x) + = ( ( x + 1)(6 − x) − ( x + 2)(3 − x) A2 ≥ Do A > nên A = ) + 3 với x = 91> Lời giải: Trước hết ta chứng minh : a + b ≤ Áp dụng (*) ta có : S = 2(a + b ) (*) (a + b ≥ 0) x − + y − ≤ 2(x − + y − 2) =  x =  x − = y − 2 maxS = ⇔  ⇔ x + y = y =  2 • Có thể tính S áp dụng bất đẳng thức Cauchy 92> Lời giải: A = 3x + 3y ≥ 3x.3y = 3x + y = 34 = 18 A = 18 với x = y = 93 Lời giải: Không tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy : a+b+c+d b c b+c  c c  a +b+c+d c+d c+d  A= + = − − − − ÷≥ ÷ c+d a +b c+d c+d a+b 2(c + d) c+d a +b Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : b+c≥ 106 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng A≥ x+y y y x y  x y x y 1 − + = + −1+ =  + ÷− ≥ − = 2− 2y y x 2y x  2y x  2y x 2 ⇔ d =0 , x = y , b+c≥a +d ; a = + 1,b = − 1,c = 2,d = A = − Chẳng hạn II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 94> Hướng dẩn : a Tóm tắt : ( x − + ⇔ − 2x )2 ≤ 2(2x - + - 2x) = x − + − 2x ≤ => MaxL = x = ≤x≤ 2 (*) ⇔ x − + − 2x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + ≥ , dấu '' = '' xảy x = => với x = ( thoả mãn TXĐ ) VT = VP = b TXĐ : => phương trình (*) có nghiệm x = 95> Hướng dẩn: TXĐ : -2 ≤ x ≤ VP = (x - 3)2 + ≥ Dấu '' = '' xảy x = VT2 = ( − x + x + 1)2 ≤ (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT ≤ , dấu '' = '' xảy 6− x = x+2  x=2 => khơng có giá trị x để VT = VP => Phương trình vơ nghiệm 96> Hướng dẩn: y − y + 13 ≥ => VT ≥ x − = x = Dấu '' = '' xảy :   y − = y = x − 12 x + 16 ≥ 2; 107 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng => phương trình có nghiệm : x = ; y = c KẾT LUẬN Các tập bất đẳng thức thường tương đối khó học sinh , hướng dẫn học sinh xong đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức ), học sinh thấy việc làm toán bất đẳng thức rễ Đồng thời đứng trước tốn khó cho dù dạng tập học sinh có hướng suy nghĩ tập suy luận , em có tự tin Chun đề còn nhiều thiếu sót , mong ủng hộ Thầy, Cô giáo Và bạn để đề tài ngày hồn thiện Nhân đây, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường, ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, đặc biệt giảng viên.Th.S.NCS.Nguyễn Quang Hoè tạo điều kiện trực tiếp hướng dẫn , giúp đỡ tơi hồn thành đề tài Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương MỤC LỤC MỤC LỤC 108 ************************************************************ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1> 2> 3> 4> Đại số sơ cấp thực hành giải tốn Hồng Kỳ( chủ biên) Bài tập nâng cao đại số (Phan Văn Đức-Ngyễn TháI Hoà - Nguyễn Thế Thựơng Nguyễn Anh Dũng) Bài tập toán chọn lọc BĐT (GS: Phan Huy Khải) Nâng cao phát triển tốn (Vũ Hữu Bình) 108 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng 5> 6> 7> 8> Toán nâng cao đại số (Nguuyễn Vĩnh Cận) Bất đẳng thức (Trần Đức Huyên) Toán nâng cao chuyên đề đại số (Vũ Dương Thụy: Chủ biên) Nguyễn Ngọc Đạm Nâng cao phát triển tốn Vũ Hữu Bình) 109 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48 WWW.ToanCapBa.Net ... Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng = + + + > 13 = VP n +1 2n (2n +1)(2n + 2) 24 ⇒ Bất đẳng thức với n + Kết luận : bất đẳng thức với ∀n ∈ N , n >1 Tương tự ta chứng minh bất đẳng thức sau... WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng PHẠM VI NGHIÊN CỨU Giới hạn phần chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức chương trình toán trung học sở B GIẢI... tài: Chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Bài toán 6.5 Cho a,b,c số dương chứng minh bất đẳng thức: a + b + c2 ≥ a + b + c b+c c+a a +b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski Phương pháp phản chứng